浙江大学城市学院几本-中国二线城市排名
《
空间两点间的距离公式
》
◆ 教材分析
本节课为高中必修二第二章第三节第三课时的内容，它是在学生已经学过的平面直角坐
标系的基 础上的推广。距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，
点又是确定线、面的几 何要素之一，所以本节课对学习点线面的距离公式的推导和进一步学
习。
◆ 教学目标
【知识与能力目标】
理解空间内两点间的距离公式的推导过程，掌握两 点间距离公式及其简单应用，
会用坐标法证明一些简单的几何问题
。
【过程与方法目标】
通过推导公式发现，由特殊到一般，由空间到平面，由未知到已知的基本 解题思想，培养学
生观察发现、分析归纳等基本数学思维能力。
【情感态度价值观目标】
培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。
◆ 教学重难点
【教学重点】
空间两点间的距离公式和它的简单应用。
【教学难点】
空间两点间的距离公式的推导。
◆
◆ 课前准备
◆
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分
◆ 教学过程
我们知道，数轴上两点的距离是两点的坐标之差的绝对 值，即
d
＝|
x
1
－
x
2
|；平面直角< br>坐标系中，两点的距离是
（
）
（
）
，同学们想一下，在空间直角 坐
标系中，如果已知两点的坐标，如何求它们之间的距离呢？
二、研探新知，建构概念
1、电子白板投影出上面实例。
2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。
（1）长方体的对角线及其长的计算公式
①连接长方体两个顶点
A
，
C
′的线段
AC
′称为长方体的对角线。(如图)
②如果长方体的长、宽、高分别为
a
、
b
、
c
，那么对角 线长
.
注意：（①）就推导过程而言，其应用了把空间长度向平面长度转化的思想，即通过构造辅助平面，将空间问题降维到平面中处理。
(②)就公式而言，该公式可概括为：长方体的对角 线长的平方等于一个顶点上三条棱长
的平方和。
（2）两点间的距离公式
空间两点
A
(
x
1
，
y
1
，
z
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
，
z
2
)间的距离
（
）
（
）
（
）
注意：①空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广。
P
2
落在同一坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，（①）当空间中的任意两点
P
1
，
此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间的距离公式；
（②）当空间中的任意 两点
P
1
，
P
2
落在同一坐标轴上时，则该公式转化为数轴 上两点
间的距离公式。
②空间任意一点
P
(
x
0
，
y
0
，
z
0
)与原点的距离
.
三、质疑答辩，发展思维
1、举例：如图，在长方体< br>ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，|
AB
|＝|
AD
|＝3，|
AA
1|＝2，点
M
在
A
1
C
1
上，|
MC
1
|＝2|
A
1
M
|，
N
在
D< br>1
C
上且为
D
1
C
中点，求
M
、< br>N
两点间的距离。
解析：如图分别以
AB
，
AD
，
AA
1
所在的直线为
x
轴、
y< br>轴、
z
轴建立空间直角坐标系。
由题意可知
C
( 3,3,0)，
D
(0,3,0)，∵|
DD
1
|＝|
CC
1
|＝|
AA
1
|＝2，
∴
C
1
(3,3,2)，
D
1
(0,3,2)，∵
N
为
CD1
的中点，∴
N（
， ）
。
M
是A
1
C
1
的三分之一分点且靠近
A
1
点，∴< br>M
(1,1,2)。
由两点间距离公式，得
（
） （ ） （ ）
。
2、思考：怎么求空间两点间的距离？
解：求空间两点间的距离时 ，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建
立适当的坐标系，确定两点的坐标。确定点的 坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转
化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直 角坐标系的知识确定。
3、例题
B
(2,3,4)，
C
(3,1,5)。例1 已知△
ABC的三个顶点
A
(1,5,2)，求△
ABC
中最短边的边长。
解：
由空间两点间距离公式得：
（ ）
（ ） （ ）
（ ）
（ ） （ ）
（ ）
（ ） （ ）
∴△
ABC
中最短边是
BC
，其长度为
.
例2 在
z
轴上求一点使得它到点
A
(4,5,6) 与到点
B
(－5,0,10)的距离相等。
解：由题意可知，设该点的坐标
P
为(0,0，
z
)，
则
，
（ ）
（ ） （ ）
，
又|
PA
|＝|
PB|，所以
z
＝6，
所以所求点的坐标为(0,0,6)。
4、巩固练习
（1）如图，在正方体
ABCD
－
A
1B
1
C
1
D
1
中，
P
为面
A
1
B
1
C
1
D
1
的中心，求证：
AP
⊥
PB
1
(用坐
标法)。
解析：如图所示，建立空间直角坐标系
如图所示，以
D
为坐标原 点，分别以
DA
，
DC
，
DD
1
为
x轴，
y
轴，
z
轴建立空间直角坐标
系，设正方体的棱长为1，则
A
(1,0,0)，
B
1
(1,1,1)，
P（
，
， ）
由两点间的距离公式，
可
得
,
∴|
AP
|＋|
PB
1
|＝|
AB
1
|，
∴
AP
⊥
PB
1
。
（2）已知点
P到坐标原点的距离等于23，且它的
x
坐标、
y
坐标、
z
坐标均相等，求该点
的坐标。
解： 由题意可知
P
点的坐标为(
x
，
y
，
z
)。
所以
又
x
＝
y
＝
z
，所以
所以
x
＝
y
＝
z
＝2或
x
＝
y
＝
z
＝－2.
四、课堂小结：
222
所以该点的坐标为(2,2,2)或(－2，－2，－2)。
（1）长方体的对角线及其长的计算公式
①连接长方体两个顶点
A
，
C
′的线段
AC
′称为长方体的对角线。(如图)
②如果长方 体的长、宽、高分别为
a
、
b
、
c
，那么对角线长
（2）两点间的距离公式
空间两点
A
(
x
1
，< br>y
1
，
z
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
，
z
2
)间的距离
（
）
（
）
（
）
五、作业布置：课后书面作业：第95页练习。
◆ 教学反思
略。
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