分时量公式2020版高中数学第二章解析几何初步3_3空间两点间的距离公式学案北师大版必修2

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
3.3 空间两点间的距离公式
学习目标 1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应 用空间两点的
距离公式求空间中两点间的距离．
知识点 空间两点间的距离公式
思考 如图，在长方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，若长方体的长、宽、高分别为
a
，
b
，
c
，则其对
角线
AC
1
的长等于多少？
梳理 两点间的距离公式
(1)在空间直角坐标系中，任意一点
P
(
x
，
y
，
z
)与原点间的距离|
OP
|＝
x
＋
y
＋
z
.
(2)空间中
222
P
1
(
x
1
，
y
1
，
z
1
)，
P
2
(
x
2
，
y
2
，
z
2
)之间的距离|
P
1
P
2
|＝y
1
－
y
2
2
x
1
－
x2
2
＋＋
z
1
－
z
2
2
.
类型一 求空间两点间的距离
例1 已知在长方体
ABCD
－
A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，
AB
＝
BC
＝2，
D
1
D
＝3，点
M
是
B
1
C
1
的中点，点
N
是
AB
的中点． 以
D
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出点
D
，
N
，
M
的坐标；
(2)求线段
MD
，
MN
的长度．
反思与感悟 求空间两点间的距离的步骤
(1)求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式 的关键在于建立适
当的坐标系，确定两点的坐标．
(2)确定点的坐标的方法视具体题目而定 ，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几
何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．
跟踪训练1 如图所示，在直三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中，|
C
1
C
|＝|
CB
|＝|
CA
|＝2，
AC
⊥
CB
，
D
，
E
分别是棱
AB
，
B
1
C
1
的中 点，
F
是
AC
的中点，求
DE
，
EF
的长 度．
类型二 求空间点的坐标
例2 已知点
A
(4,5,6)，
B
(－5,0,10)，在
z
轴上有一点
P
，使|
PA|＝|
PB
|，则点
P
的坐标
为________．
引申探究
1．若本例中已知条件不变，问能否在
z
轴上找一点
P
，使得△
ABP
是以
AB
为底边的等腰三
角形？
2．若本例中“在
z
轴上”改为“在
y
轴上”，其他条件不变，结论又如何？
反思与感悟 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用
待 定系数法求解点的坐标．
(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可 以列出关于点的
1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
坐标的方程进行求解．
跟踪训练2 设点
P
在
x
轴上，使它到点
P
1(0，2，3)的距离是到点
P
2
(0,1，－1)的距离
的2倍，求点
P
的坐标．
类型三 空间两点间距离公式的应用
例3 如图所示，正方体 棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，
建立空间直角坐标系，点
P< br>在正方体的体对角线
AB
上，点
Q
在正方体的棱
CD
上．当点
P
为体对角线
AB
的中点，点
Q
在棱
CD
上运动时，求|
PQ
|的最小值．
反思与感悟 利用空间两点间的距离公式 ，将空间距离问题转化为二次函数的最值问题，体
现了数学上的转化思想和函数思想，此类题目的解题方 法是直接设出点的坐标，利用距离公
式就可以将几何问题代数化，再分析函数即可．
跟踪训练3 在
xOy
平面内的直线2
x
－
y
＝0 上确定一点
M
，使它到点
P
(－3,4,5)的距离最
小，并求出最 小值．
1．坐标原点到下列各点距离最大的点是( )
A．(1,1,1)
C．(2，－3,5)
B．(1,2,2)
D．(3,0,4)
2 ．已知点
A
(
x,
1,2)和点
B
(2,3,4)，且|< br>AB
|＝26，则实数
x
的值是( )
A．－3或4
C．3或－4
B．6或2
D．6或－2
3．已知三角形的三个顶点
A
(2，－1,4)，
B
(3,2，－6)，
C
(5,0, 2)，则过
A
点的中线长为( )
A.11
C．112
B．211
D．311
4．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为
a< br>的正方体
ABCD
－
A
′
B
′
C
′
D
′，
A
′
C
的中点
E
与
AB< br>的中点
F
的距离为( )
A.2
a

C．
a

B.
2
a

2
1
D.
a

2
5．已知点
A
( 1，
a
，－5)，
B
(2
a
，－7，－2)，则|
AB
|的最小值为________．
1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的 推广，它可以求空间直角坐标系下任
意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想． < br>2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可．若已知两点间距离求参数或点的坐标时，
应利 用公式建立相应方程求解．
2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.