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向心加速度公式推导学习探究诊断必修二

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 08:13
tags:两点间距离公式

学业水平考试等级划分-同济大学浙江分院



第二章 平面解析几何初步
测试十 平面直角坐标系中的基本公式
Ⅰ 学习目标
理解和掌握数轴上的基本公式,平面上两点间的距离公式,中点坐标公式.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1.点A(-1,2)关于y轴的对称点坐标为( )
(A)(-1,-2) (B)(1,2) (C)(1,-2) (D)(2,-1)
2.点A(-1,2)关于原点的对称点坐标为( )
(A)(-1,-2) (B)(1,2) (C)(1,-2) (D)(2,-1)
3.已知数轴上A,B两点的坐标分别 是x
1
,x
2
,且x
1
=1,d(A,B)=2,则x2
等于( )
(A)-1或3 (B)-3或3 (C)-1 (D)3
4.已知点M(-1,4),N(7,0),x轴上一点P满足|PM|=|PN|,那么P点的坐标为( )
(A)(-2,0) (B)(-2,1) (C)(2,0) (D)(2,1)
5.已知点P(x,5)关于点Q(1,y)的对称点是M(-1,-2),则x+y等于( )
(A)6 (B)12 (C)-6 (D)
9

2
二、填空题
6.点A(-1,5),B(3,-3)的中点坐标为______.
7.已知A(a,3),B(3,a),|AB|=
2
,则a=______.
8.已知M(-1,-3),N(1,1),P(3,x)三点共线,则x=______.
9.设点A(0,1),B(3,5),C(4,y),O为坐标原点.
若OC∥AB,则y=______;
若OC⊥AB,则y=______.
10.设点P,Q分别是x轴和y轴上的点,且中点M(1,-2),则|PQ|等于______.
三、解答题
11.已知△ABC的顶点坐标为A(1,-1),B(-1,3),C(3,0).
(1)求证:△ABC是直角三角形;
(2)求AB边上的中线CM的长.



12.已知矩形ABCD相邻两个顶点A(-1,3),B(-2,4),若矩形 对角线交点在x轴上,
求另两个顶点C和D的坐标.



13. 已知AD是△ABC底边的中线,用解析法证明:|AB|
2
+|AC|
2
= 2(|AD|
2
+|DC|
2
).





Ⅲ 拓展训练题
14.利用两点间距离公式求出满足下列条件的实数x的集合:
(1)|x-1|+|x-2|=3;
(2)|x-1|+|x-2|>3;
(3)|x-1|+|x-2|≤3.





测试十一 直线的方程
Ⅰ 学习目标
1.理解直线斜率和倾斜角的概念,掌握两点连线的斜率公式.
2.掌握直线方程的点斜式、斜截式及一般式.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1.已知直线AB的斜率为
1
,若点A(m,-2),B(3,0),则m的值为( )
2
(D)7 (A)1 (B)-1 (C)-7
2.如图所示,直线l
1
,l
2
,l
3
的斜率分别为k
1
,k
2
,k
3
,则( )

(A)k
1
<k
2
<k
3
(B)k
3
<k
1
<k
2


(C)k
3
<k
2
<k
1
(D)k
1
<k
3
<k
2

3.直线l经过二、三、四象限,l的倾斜角为α,斜率为k,则( )
(A)ksinα>0 (B)kcosα>0 (C)ksinα=0 (D)kcosα符号不定
4.一条光线从点M(5,3)射出,遇x轴后反射,反射光线过点N(2,6),则反射光线所在直线方程是( )
(A)3x-y-12=0 (B)3x+y+12=0
(C)3x-y+12=0 (D)3x+y-12=0
5.直线x-2y+2k=0与两坐标轴围成的三角形面积不小于1,那么k的取值范围是( )
(A)k≥-1 (B)k≤1 (C)|k|≤1 (D)|k|≥1
二、填空题
6.斜率为-2且在x轴上截距为-1的直线方程是______.
7.y轴上一点M与点N (-
3
,1)所在直线的倾斜角为120°,则M点坐标为______.
8.已知 直线
a
x-2y-4a=0(a≠0)在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍,则a=3
______.
9.已知直线l过点A(-2,1)且与线段BC相交,设B(-1, 0),C(1,0),则直线l的斜
率k的取值范围是______.
10.如果直线l沿x 轴负方向平移3个单位,接着再沿y轴正方向平移1个单位后又回到原
来的位置,则直线l的斜率为__ ____.
三、解答题
11.直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积.若平行四边 形两个相对顶点为B(1,4),
D(5,0),求直线l的方程.





12.直线l与直线y=1,x-y-7=0分别交于P、Q两点,线段PQ的中 点为(1,-1).求
直线l的方程.



Ⅲ 拓展训练题
13.设A(0,3),B(3,3),C(2,0),直线x=a将△ABC分割成面积相等的两部分 ,求a
的值.



14.一条直线l过点P(2,3),并且分别满足下列条件,求直线l的方程.
(1)倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的两倍;
(2)与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点,且△AOB的面积最小;
(3)|PA|·|PB|为最小(A、B分别为直线与x轴、y轴的正半轴的交点).





测试十二 两条直线的位置关系(一)
Ⅰ 学习目标
掌握两条直线平行、垂直的条件,会利用两条直线平行、垂直的条件解决相关的问
题.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么a等于( )
(A)-3 (B)-6 (C)-
3

2
3

2
(D)
2

3
2

3
2.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0垂直,那么a等于( )
(A)-3 (B)-6 (C)-(D)
3.若两条直线A
1
x+B
1
y+C
1
=0,A
2
x+B
2
y+C
2
=0垂直,则( )
(A)A
1
A
2
+B
1
B
2
=0 (B)A
1
A
2
-B
1
B
2
=0
(C)
A
1
A
2
=-1
B
1
B
2
(D)
B
1
B
2
=1
A
1
A
2
4.设A,B是x轴上两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y< br>+1=0,则直线PB的方程为( )
(A)x+y-5=0 (B)2x-y-1=0
(C)2y-x-4=0 (D)x+y-7=0
5.已知直线y=kx+2k+1与y=-
(A)-6<k<2
(C)-


1
1
<k<
2
6
1
x+2的交点在第一象限,则k的取值范围是( ).
2
11
(B)-<k<
22
1
(D)k<
2
二、填空题
6.以A(1,3)、B(-1,1)为端点的线段的垂直平分线方程是______.
7. 若三条直线l
1
:2x-y=0,l
2
:x+y-3=0,l
3:mx+ny+5=0交于一点,则实数m,n
满足的关系式是______.
8.直线y=2x+3关于点(2,3)对称的直线方程为______.
9.直线2x-y+1=0绕着它与y轴的交点逆时针旋转45°角,此时直线的方程为______.
10.若三条直线x+y=2,x-y=0,x+ay=3构成三角形,则a的取值范围是______ .
三、解答题
11.求经过两条直线l
1
:2x+3y+1=0和l2
:x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y
-7=0的直线方程.



12.平行四边形ABCD的两边AB,AD所在的直线方程分别为x +y-1=0,3x-y+4=0,
其对角线的交点坐标为(3,3),求另两边BC,CD所在的直线 方程.





13.已知三角形三条边AB,BC, AC中点分别为D(2,1)、E(5,3)、F(3,-4).求各边
所在直线的方程.



14.已知两条直线l
1
:mx+8y+n=0和l
2
:2x+my-1=0,试确定m,n的值,使l
1
,l
2

别满足下列条件:(1)l
1
,l
2
相交于点P(m,-1);(2)l< br>1
∥l
2
;(3)l
1
与l
2
重合.





测试十三 两条直线的位置关系(二)
Ⅰ 学习目标
会应用点到直线的距离公式解决相关的问题.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1.点P(0,2)到直线y=3x的距离是( )
(A)1 (B)
10

5
(C)2 (D)
5

5
2.平行线3x+4y+2=0与3x+4y-12=0之间的距离为( )
(A)2 (B)
10

3
(C)
14

5
(D)3
3.若直线(2+m)x-y+5-n=0与x轴平行且与x轴相距5时,则m+n等于( )
(A)-2或8 (B)-2 (C)8 (D)0
4.直线l
1
:ax- y+b=0与l
2
:bx-y+a=0(ab≠0,a≠b)在坐标系中的位置可能是( )

5.A、B、C为△ABC的三个内角, 它们的对边分别为a、b、c.已知原点到直 线xsinA+
ysinB+sinC=0的距离大于1,则此三角形形状为( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不能确定
二、填空题 < br>6.若直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+c=0垂直相交于点(1,m),则a=____,c =_____,
m=______.
7.已知定点A(0,1).点B在直线x+y=0上运 动,当线段AB最短时,点B的坐标是____.
8.两平行直线分别过点(1,0)与(0,5),且距离为5,它们的方程为______.
9.若点A(1,1)到直线l:xcosθ+ysinθ=2(θ为实数)的距离为f(θ),则f(θ)的 最大值是___.
10.若动点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)分别在直线l
1
:x+y-7=0和l
2:x+y-5=0上移动,则
AB中点M到原点距离的最小值是______.
三、解答题
11.过点P(1,2)的直线l与两点A(2,3),B(4,-5)的距离相等,求直线l的方程.



12.已知直线l:x+2y-2=0,试求:
(1)与直线l的距离为
5
的直线的方程;
(2)点P(-2,-1)关于直线l的对称点的坐标.






13.已知△ABC的垂心H(5,2),且A(-10,2)、B(6,4),求点C的坐标.



Ⅲ 拓展训练题
14.在△ABC中,点B(1,2), BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,∠A的平分线
所在的直线方程为y=0,求|BC| .





测试十四 圆的方程
Ⅰ 学习目标
掌握圆的标准方程及一般方程,能根据已知条件求圆的方程.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1.圆x
2
+y
2
+ax=0的圆心的横坐标为1,则a等于( )
(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2
2.与圆C:x
2
+y
2
-2x-35=0的圆心相同,且面积为圆C的一半的圆的方程是( )
(A)(x-1)
2
+y
2
=3 (B)(x-1)
2
+y
2
=6
(C)(x-1)
2
+y
2
=9 (D)(x-1)
2
+y
2
=18
3.曲线x
2
+y
2
+2
2
x-2
2
=0关于( )
(A)直线x=
2
轴对称
(C)点(-2,
2
)中心对称
(B)直线y=-x轴对称
(D)点(-
2
,0)中心对称
4.如果圆x
2
+y2
+Dx+Ey+F=0与y轴相交,且两个交点分别在原点两侧,那么( )
(A)D≠0,F>0 (B)E=0,F>0
(C)F<0 (D)D=0,E≠0
5.方程x-1=
1?
?
y?1
?
所表示的曲线是( )
2
(A)一个圆 (B)两个圆
(C)半个圆 (D)四分之一个圆
二、填空题
6.过原点的直线将圆x
2
+y
2
-2x+4 y=0的面积平分,则此直线的方程为______.
7.已知圆的方程(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
(r>0),试根据下列条件,分别写出a,b,r 应满足
的条件.
(1)圆过原点且与y轴相切:______;
(2)原点在圆内:______;
(3)圆与x轴相交:______.
8.圆 (x-1)
2
+y
2
=1的圆心到直线y=
3
x的距离是_ _____.
3
9.P(x,y)是圆x
2
+y
2
-2x +4y+1=0上任意一点,则x
2
+y
2
的最大值是______;点P到 直
线3x+4y-15=0的最大距离是______.
10.设P(x,y)是圆(x-3 )
2
+y
2
=4上的点,则
y
的最小值是______.
x
三、解答题
11.方程x
2
+y
2
+ax+2 ay+2a
2
+a-1=0表示圆,求a的取值范围.



12.求过三个点A(0,0),B(4,0),C(2,2)的圆的方程.





13.已知圆C的圆心在直线x+y-1=0上,且A(-1,4)、 B(1,2)是圆C上的两点,求
圆C的方程.



Ⅲ 拓展训练题
14.已知曲线C:x
2
+y
2
-4ax+2ay+2 0a-20=0.
(1)证明:不论a取何实数,曲线C必过定点;
(2)当a≠2时,证明曲线C是一个圆,且圆心在一条直线上.





测试十五 直线与圆的位置关系
Ⅰ 学习目标
1.会用解析法及几何的方法判定直线与圆的位置关系,并会求弦长和切线方程;
2.会用几何的方法判定圆和圆的位置关系.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题 1.圆x
2
+y
2
-2x=0和x
2
+y
2< br>+4y=0的位置关系是( )
(A)相离 (B)外切 (C)相交 (D)内切 < br>2.直线3x+4y+2=0与圆x
2
+y
2
+4y=0交于A、B两 点,则线段AB的垂直平分线的方程
是( )
(A)4x-3y-2=0 (B)4x-3y-6=0
(C)3x+4y+8=0 (D)3x-4y-8=0
3. 直线
3
x+y-2
3
=0截圆x
2
+y
2
=4得的劣弧所对的圆心角为( )
(A)
π

6
(B)
π

4
(C)
π

3
(D)
π

2
4.若圆x
2
+y
2
=r
2
(r>0)上恰有相异两点到直线4x-3y+25=0的距离等于1,则 r的取值
范围是( )
(A)[4,6] (B)(4,6] (C)(4,6) (D)[4,6)
5.从直线y=3上的点向圆x
2
+y
2
=1作 切线,则切线长的最小值是( )
(A)2
2
(B)
7
(C)3 (D)
10

二、填空题
6.以点(-2,3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是______.
7.已知直线x=a (a>0)和圆(x-1)
2
+y
2
=4相切,那么a的值是______.
8.设圆x
2
+y
2
-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1) ,则直线AB的方程是______.
9.过定点(1,2)可作两直线与圆x
2
+ y
2
+kx+2y+k
2
-15=0相切,则k的取值范围是____. < br>10.直线x+
3
y-m=0与圆x
2
+y
2
=1在 第一象限内有两个不同的交点,则m的取值范
围是______.
三、解答题
11 .圆x
2
+y
2
=8内有一点P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为α的 弦.
(1)当α=

时,求AB的长;
4
(2)当弦AB被点P平分时,求直线AB的方程.


12.求经过点P(6,-4)且被圆x
2
+y
2
=20截得的弦长为6
2
的直线的方程.





13.求 过点P(4,-1)且与圆x
2
+y
2
+2x-6y+5=0外切于点M(1 ,2)的圆的方程.



Ⅱ 拓展训练题
14.已知圆满足:
①截y轴所得弦长为2;
②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;
③圆心到直线l:x-2y=0的距离为
求该圆的方程.



5

5


测试十六 空间直角坐标系
Ⅰ 学习目标
1.理解空间直角坐标系的概念,能写出满足某些条件的点的坐标.
2.会用空间两点间距离公式进行相关的计算.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1.点A(2,0,3)在空间直角坐标系的位置是( )
(A)y轴上 (B)xOy平面上 (C)xOz平面上 (D)yOz平面上
2.在空间直角坐标系中,点P(-2,-1,3)到原点的距离为( )
(A)
14
(B)
5
(C)14 (D)5
3.点A(-1,2,1)在xOy平面上的射影点的坐标是( )
(A)(-1,2,0) (B)(-1,-2,0)
(C)(-1,0,0) (D)(1,-2,0)
4.在空间直角坐标系中,两个点A(2,3,1)、A′(2,-3,1)关于( )对称
(A)平面xOy (B)平面yOz (C)平面xOz (D)y轴
5.设a是任意实数,则点P(a,1,2)的集合在空间直角坐标系中所表示的图形是( )
(A)垂直于平面xOy的一条直线 (B)垂直于平面yOz的一条直线
(C)垂直于平面xOz的一条直线 (D)以上均不正确
二、填空题
6.点M(4,-3,5)到x轴的距离为______.
7.若点P(x,2,1)与Q( 1,1,2)、R(2,1,1)的距离相等,则x的值为______.
8.已知点A(-2,3,4),在y轴上求一点B,使|AB|=6,则点B的坐标为______.
9.已知两点A(2,0,0),B(0,3,0),那么线段AB的中点的坐标是______. < br>10.在空间直角坐标系中,点A(1,2,a)到点B(0,a,1)的距离的最小值为______.
三、解答题
11.在空间直角坐标系中,设点M的坐标为(1,-2,3),写出点M关于各 坐标面对称的
点、关于各坐标轴对称的点的坐标.



12.在 空间直角坐标系中,设点M的坐标为(1,-2,3),写出点M到原点、各坐标轴及各
坐标面的距离.



13.如图,正方体OABC-A
1
B
1< br>C
1
D
1
的棱长为a,|AM|=2|MB|,|B
1
N|=|NC
1
|,分别写
出点M与点N的坐标.






14.在空间直角坐标系中,设点P在x轴上,它到点P
1< br>(0,
2
,3)的距离为到点P
2
(0,1,
-1)的距离的 两倍,求点P的坐标.





测试十七 平面解析几何初步全章综合练习
Ⅰ 基础训练题
一、选择题
1.方程y=k(x-2)表示( )
(A)经过点(-2,0)的所有直线
(B)经过点(2,0)的所有直线
(C)经过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
(D)经过点(2,0)且去掉x轴的所有直线
2.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O为坐标原点,则|OP|的最小值为( )
(A)
10
(B)2
2
(C)
6
(D)2
3.若直线l:y=kx-
3
与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线 l的倾斜角的
取值范围是( )
(A)
[,)

ππ
63
(B)
(,)

ππ
62
(C)
(,)

ππ
32
(D)
[,]

ππ
62
4.若 直线(1+a)x+y+1=0与圆x
2
+y
2
-2x=0相切,则a的值为 ( )
(A)1或-1 (B)2或-2 (C)1 (D)-1
5.如果直线l将 圆:x
2
+y
2
-2x-4y=0平分,且不通过第四象限,那么直线l的斜 率的取
值范围是( )
(A)[0,2] (B)[0,1] (C)
[0,]

1
2
(D)
[0,)

1
2
二、填空题
6.经过点P(-2,3)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为______.
7.若直 线mx+ny-3=0与圆x
2
+y
2
=3没有公共点,则m、n满足的关系 式为______.
8.已知圆x
2
+(y-1)
2
=1及圆外一 点P(-2,0),过点P作圆的切线,则两条切线夹角的
正切值是______.
9.已知 P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x
2
+y
2
-2x- 2y+1=0的两条切线.A、
B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值为______ .
10.已知两个圆x
2
+y
2
=1①与x
2
+ (y-3)
2
=1②,则由①式减去②式可得上述两圆的对称
轴方程.将上述命题在曲 线仍为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,
而已知命题应成为所推广命题的一个特例. 推广的命题为______.
三、解答题
11.已知直线l
1
:2x-y +3=0与直线l
2
关于直线y=-x对称,求直线l
2
的方程.



12.圆心在直线x-2y-3=0上,且圆与两坐标轴都相切,求此圆的方程.



13.求通过直线2x+y-4=0及圆x
2
+y< br>2
+2x-4y+1=0的交点,并且有最小面积的圆的方
程.





14.在△ABC中,顶点A(2,4)、B(-4,2),一条内角 平分线所在直线方程为2x-y=0,
求AC边所在的直线方程.



Ⅱ 拓展训练题
15.已知过原点O的一条直线与函数y=log
8
x的 图象交于A、B两点(A在B的右侧),分别
过点A、B作y轴的平行线与函数y=log
2< br>x的图象交于C、D两点.
(1)证明:点C、D和原点O在同一条直线上.
(2)当BC平行于x轴时,求点A的坐标.



16*.已知 圆C:(x-1)
2
+(y-2)
2
=25,及直线l:(2m+1)x+( m+1)y=7m+4(m∈R).
(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交;
(2)求直线l被圆C截得的弦长最短长度及此时的直线方程.





参考答案
第二章 平面解析几何初步
测试十 平面直角坐标系中的基本公式
一、选择题
1.B 2.C 3.A 4.C 5.D
提示:
1.点(a,b)关于x轴、y轴、坐标原点O、直线y=x 的对称点坐标为(a,-b),(-a,b),
(-a,-b),(b,a).
二、填空题
6.(1,1); 7.2或4; 8.5; 9.
提示:
9. 若
AB
=(x
1
,y
1
),
CD
=(x< br>2
,y
2
),

AB

CD
?< br>x
1
y
2
-x
2
y
1
=0(应注意 向量平行与直线平行的关系);

AB

CD
?
x
1
x
2
+y
1
y
2
=0(即
AB?CD
=0);
三、解答题
11.(1)证明:由已知计算得
|AB|?
16
,?3
; 10.
25

3
(1?1)
2
?(?1?3)
2
?25,|BC|?5

|AC|?5
,所以,|AB|
2
+|AC|
2
=|BC|
2
,所以△ABC是直角三角形.
另解:由已知
AB
=(-2,4),
AC
=(2,1),
所以,
AB
·
AC
=-2×2+4×1=0,
所以,
AB

AC
,△ABC是直角三角形.
(2)解: 由已知,AB的中点M的坐标为
(
所以,
|CM|?
1?1?1?3
,)
,即M(0,1),
22
3
2
?1
2
?10.

12.设矩形对角线交点为M(x,0),因为|MA|=|MB|,

(x?1)?3?(x?2)?4
,解得x=-5,所以M(-5,0).
设C(x
1
,y
1
),因为M为AC中点,所以
2222
x
1
?1y?3
??5,
1
?0

22
解得x
1
=-9,y
1
=-3,所以,C(-9,-3),同理,D(-8, -4).
注:本题也可以利用向量平行、垂直的有关知识来解.
13.提示:通过建立适当的坐标系,利用坐标法来证明.


14.(1){x|x=0,x=3};(2){x|x<0或x>3};(3){x|0≤x≤3}.
测试十一 直线的方程
一、选择题
1 B 2 B 3 B 4 D 5 D
提示:
3.由题意知,l的倾斜角α为钝角,cosα<0,k<0,故kcosα>0.
4.反射 光线过点N(2,6),同时,还经过点M(5,3)关于x轴的对称点M′(5,-3),所
以,反射 光线的斜率为
6?(?3)
??3
,直线方程为3x+y-12=0.
2?5
要注意,“光线”问题常用对称点的思路去思考问题.
5.直线x-2y+2k=0与两坐标轴交点为A(-2k,0).B(0,k),
所以,< br>S
?AOB
?
11
|OA|?|OB|?|?2k|?|k|?k2
,由题意k
2
≥1,
22
得|k|≥1为所求.
二、填空题
6.2x+y+2=0; 7.(0,-2); 8.a=-2; 9.
?1?k??
1
1
; 10.
??

3
3
提示:
10.提示:设A(x
0
,y
0)为直线l上一点,根据题意,A点沿x轴负方向平移3个单位,接着
再沿y轴正方向平移1个单位 后仍应在直线l上,即点(x
0
-3,y
0
+1)在直线l上.
所 以直线l的斜率为
y
0
?1?y
0
1
???

x
0
?3?x
0
3
三、解答题
11.提示:平分 平行四边形面积的直线必过平行四边形的对角线交点,即过BD的中点(3,
2).
所以,所求直线方程为2x-3y=0.
12.略解:设P(x
1
,1), 因为PQ的中点为(1,-1),根据中点坐标公式,
可得Q(2-x
1
,-3),因为点Q在直线x-y-7=0上,
所以,(2-x
1
)-(-3)-7=0,
解得x
1
=- 2,所以,P(-2,1),Q(4,-3),
k

?
所以,l:2x+3y+ 1=0.
13.略解:由已知得AB∥x轴,作CD⊥AB于D,
∵C(2,0),A(0 ,3),B(3,3).∴S

ADC
>S

BDC

∵x=a将△ABC面积平分,
∴x=a在直线CD左侧,即0<a<2.
1?(?3)2
???

?2?43
11
?3?3?2?a (3?y
p
)
,其中y
p
表示AC与x=a的交点的纵坐标.
22
xy
∵直线AC的方程为
??1
.即3x+2y-6=0. < br>23
6?3a6?3a
当x=a时,
y?
,代入上式,得
a? ?3.

,?y
p
?
22
由题意得
S
?A BC
?


∵a∈(0,2).
?a?3
为所求.
14.(1)设直线l的倾斜角为α,则所求直线倾斜角为2α,由已知,
tan
?
?

1
,所以,tan2α
4
8
2tan
?
8
,所以,所求直线l方程为
?y?3?(x?2)
,即8x-15y+29=2
1?tan
?
15
15
3
,0)
,B(0, 3-2k),S

k
9
3
,即
k??

2 .
?2k
0.
(2)依题意,设直线l方程为y-3=k(x-2),k<0,则< br>A(2?
AOB
?
1
2
x
A
y
B< br>?6?(?2k?
9
?2k
)?6?6?12
,此时,
?2k ?
因为k<0,
3
3
,所求直线l方程为
y?3??(x?2)< br>,即3x+2y-12=0.
2
2
3
(3)依题意,设直线l方程为 y-3=k(x-2),k<0,则
A(2?,0),B(0,3?2k)

k所以
k??
|PA|?|PB|?
此时,
?k?
91?k
2
1
2
?9?4?4k?6??6?(?k?)?12

2
|k|
k?k
1
,即k=±1,因为k<0,所以k=-1,
?k
所求直线l方程为y-3=-(x-2),即x+y-5=0.
测试十二 两条直线的位置关系(一)
一、选择题
1.B 2.D 3.A 4.A 5.C
提示:
?
2?4k
?0
?
2?4 k6k?1
?
2k?1
5.提示:可以求出两条直线的交点坐标
(

,)
,解不等式组
?
6k?1
2k?12k?1
?
?0
?
?
2k?1
可得
?
11
?k??

62
1
x?2
与x轴、y轴的交点坐标为(4,0),(0,2).利用数形 结合的思
2
另外,注意到直线y=kx+2k+1可变形为y-1=k(x+2),即此直线过 定点(-2,1),
又,直线
y??
路可得结论.
二、填空题
6.x+y-2=0; 7.m+2n+5=0; 8.2x-y-5=0; 9.3x+y-1=0;
10.a∈R,a≠±1且a≠2.
提示:
9.设直线2x-y+1=0的倾斜角为α,由已知,所求直线的倾斜角为α+45°,


tan
?
?tan45
?
因为tanα=2,所以,tan(
?
?45)???3
,又直线2x-y+1=0与y轴
1?ta n
?
tan45
?
?
的交点为(0,1),所以,所求直线方程为3 x+y-1=0.
10.直线x+ay=3与另两条直线不平行也不重合,并且三条直线不过同一点.
三、解答题
11.4x-3y+9=0.
12.CD:x+y-11=0,BC:3x-y-16=0.
13.方法一:用中点.
DE中点
G(,2)
,又G为BF的中点,∴B(4,8).
同理,EF中点
H(4,?),?C(6,?2).

7
2
1
2
DF中点
M(,?),?A(0,?6).

5
23
2
?AB:y?
7
x?6,7x?2y?12?0.

2
BC:y+2=-5(x-6),5x+y-28=0.
AC:y?
2
x?6,2x?3y?18?0.

3
方法二:用斜率.
EF斜率为
77
??AB:y?1?(x?2)
,得7x-2y-12=0.
22
FD斜率为-5.∴BC:y-3=-5(x-5),得5x+y-28=0.
DE斜率为
22
??AC:y?4?(x?3)
,得2x-3y-18=0,
33
?
m
2
?8?n?0,
14.解:(1)由
?
解得m=1,n=7.
?
2m?m?1?0,
(2)易知m≠0,所以,当
m8n
??
时,
?
2m?1
即m=4,n≠-2,或m= -4,n≠2时l
1
∥l
2

(3)结合(2)的结果,当m=4 ,n=-2,或m=-4,n=2时,l
1
与l
2
重合.
测试十三 两条直线的位置关系(二)
一、选择题
1.B 2.C 3.A 4.D 5.C
提示:
5.由已知,
|sinC|
sin
2
A?sin
2
B
?1
,所以,sin
2
C>si n
2
A+sin
2
B.



abc< br>???2R
,所以,c
2
>a
2
+b
2

sinAsinBsinC
a
2
?b
2
?c
2由余弦定理,得
cosC??0
,所以,C为钝角,三角形为钝角三角形.
2ab
二、填空题
6.10,-12,-2; 7.
(?
11
,)

22
8.y=0,y=5或5x-12y-5=0,5x-12y+60=0;
9.
2?2
; 10.
32.

提示:
7.当AB与已知直线垂直时,线段AB最短.
9.
f(
?
)?< br>|sin
?
?cos
?
?2|
sin
2
?< br>?cos
2
?
?|sin
?
?cos
?
?2 |?|2(
2
2
sin
?
?
2
2
cos< br>?
)?2|

ππ
?|2sin(
?
?)?2|?2 ?2sin(
?
?)
,所以,f(θ)的最大值为
2?2.

44
10.由已知,点M到两直线l
1
,l
2
的距离相等.即点M 在直线x+y-6=0上,于是,问题
变成“点M在直线x+y-6=0上运动,求原点到点M的最小距 离”,可利用第7题的
思路加以解决.
三、解答题
11.提示:满足题目条件的直线l或者与直线AB平行,或者经过线段AB的中点.
当直线l与直线AB平行时,l:4x+y-6=0;
当直线l经过线段AB的中点时,l:3x+2y-7=0.
12.解:(1)设所求直线方程为x+2y+c=0,
根据题意
|c?2|
?5
,解得c=3或c=-7,
5
所以,所求直线方程为x+2y+3=0或x+2y-7=0.
(2)设P(-2 ,-1)关于直线l的对称点为P′(x
0
,y
0
).
则k
pp'
k
l
=-1,且PP′的中点在直线l上,即点
(
x
0
?2y
0
?1
,)
在直线l上.
22
y0
?1
?
x
0
?2
?2??2?0
?
?
x
0
?2y
0
?8?0
2
?
2
所以,
?
,即
?

y?1
1
?
2x0
?y
0
?3?0
?
0
?(?)??1
?2
?
x
0
?2
解得
x
0
?
1 3.解:AB斜率为
219
219
,y
0
??

P '(,)

55
55
1
,设C坐标(x
0
,y
0
).
8
所以,
y
0
?2
??8
……………………①
x
0
?5


因为AH斜率为0,∴BC斜率不存在,即BC直线方程为x=6,
所以,x
0
=6.…………………………②
②代入①,得y
0
=-6.∴C点坐标(6,-6).
14.略解:解
?
?
x?2y?1?0,
得A(-1,0),
?
y?0,
所以AB:x-y+1=0.
设C(x
0
,y
0
),因为BC与BC边上的高线垂直,并且C关于直线y=0(∠A的平分线)
的对 称点C′在直线AB上.
所以,k
BC
=-2,C′(x
0
,-y
0
)在直线AB上.
?
y
0
?2
??2
?
所以,
?
x
0
?1
解得x
0
=5,y< br>0
=-6,即C(5,-6),故|BC|=
45

?
x?y?1?0
0
?
0
测试十四 圆的方程
一、选择题
1.D 2.D 3.D 4.C 5.C
提示:
4.只需坐标原点在圆内,即原点与圆心的距离小于半径,已知圆圆心为
(?
DE
,?)
,半径
22
D
2
?E
2
?4F
(D
2
?E
2
?4F?0)
,结合 为
2
(
D
2
?0)?(
2
E
2
?0)?
2
2
D
2
?E
2
?4F
4
及D
2
+E
2
-4F>0,可得F<0.
5.方程
x?1?1?(y? 1)
可以等价变形为(x-1)
2
+(y-1)
2
=1,
且x-1≥0,1-(y-1)
2
≥0.
即(x-1)
2
+(y-1)
2
=1,且x≥1,0≤y≤2.
所以,方程
x?1?1?(y?1)
所表示的曲线是半个圆.
二、填空题
6.2x+y=0;
7.(1)a
2
+b
2
=r
2
且|a|=r或b=0,|a|=r;(2)a
2
+b
2
<r2
;(3)|b|<r;
8.
2
25
1
?
; 9.
9?45,6
; 10.
?
5

2
提示:
9.x
2
+y
2
的几何意义是点P(x ,y)到原点距离的平方.利用这个几何意义求解.
10.
y
的几何意义是点P(x,y)与原点连线的斜率.利用这个几何意义求解.
x
三、解答题


11.提示:将方程配方为
(x?3
a
2
3
)?(y?a)
2
?1?a?a
2< br>,则
1?a?a
2
?0,

24
4
2
即3a
2
+4a-4<0,(3a-2)(a+2)<0,解得,
?2?a??
3
?
F?0
?
解得D=-4,E=0,F=0,所以,所求圆 方程为x
2
+y
2
-4x
?
16?4D?F?0
?
2D?2E?F?8?0
?
12.提示:方法一:设圆的方程为x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0,由已知三个点在圆上,可得
=0.
方法二 :注意到k
AC
=1,k
BC
=-1,k
AC
k
B C
=-1,所以,三角形ABC是直角三角形,
∠C=90°,所以,所求圆心为AB边中点, 即(2,0)点,可求半径r=2,
所以,所求圆的方程为(x-2)
2
+y
2
=4.
13. 提示:因为A(-1,4),B(1,2)是圆C上的两点,所以圆心在线段AB的中垂线上,
因为AB 中点坐标为(0,3),k
AB
=-1,所以线段AB的中垂线方程为x-y+3=0,
?
?
x?y?3?0
得圆心坐标为(-1,2),半径
r?( ?1?1)
2
?(2?2)
2
?2,

?
x?y? 1?0
所以,圆C的方程为(x+1)
2
+(y-2)
2
=4. < br>14.分析:(1)曲线C方程可变形为(x
2
+y
2
-20)+a( -4x+2y+20)=0,
?
x
2
?y
2
?20?0< br>?
x?4

?
,解得
?
.
?
y? ?2
?
?4x?2y?20?0
即点(4,-2)满足曲线C的方程,故曲线C过定点 (4,-2).
(2)曲线C方程(x-2a)
2
+(y+a)
2
=5(a-2)
2
,因为a≠2,所以曲线C是圆心为(2a,-
a),半径为
5|a?2|
的圆.
设圆心坐标为(x,y),则有
?
?
x?2 a
1
,消去a可得
y??x
,故圆心必在直线
2
?
y??a
y??
1
x

2
测试十五 直线与圆的位置关系
一、选择题
1.C 2.B 3.C 4.C 5.A
提示:
5.圆方程x
2
+y
2
=1,圆心(0,0),半径1,
切线长的平方=圆心到直线y=3距离的最小值的平方
?r?3?1?
二、填空题
6.(x+2)
2
+(y-3)
2
=4; 7.3; 8.x+y-4=0;
9.
?
?
222
8?22.
?
8
??
8
?
3,?3
?
?
?
2,3
?
; 10.
3?m?2.

?
3
??
3
?


提示:
9. 圆方程配方为
(x?
k
2
3
)?(y?1)
2
?1 6?k
2
,

24
依题意,
(1?
k
2< br>3
3
)?(2?1)
2
?16?k
2
,且
1 6?k
2
?0,

4
24
解得k<-3或k>2,且
?
88
?
8
??
8
?
3,?3
?
?
?
2,3
?

3?k?3
,所以,
?
?
33
?
3
??
3
?
10.结合图形,求出直线 与圆在第一象限相切时的m值为2,求出直线过(0,1)点时的m
值为
3
.进而得出 m值范围.
三、解答题
11.提示:(1)方法一:由已知,AB:x+y-1=0,与圆 方程联立,解方程组得
x?

|AB|?
1?15
,

2
|x
2
?x
1
|
?30.

π
cos
4
方法二:圆心到直线AB的距离
d?
|?1|
2< br>?
1
2
2
,

2
?30.
所以< br>|AB|?2r?d
22
?28?
(2)当弦AB被点P平分时,AB⊥OP, 又k
OP
=-2,
所以,
k
AB
?
1
,AB:x?2y?5?0.

2
12.提示:注意到,过点P(6,-4)倾斜角为90°的直线不满足题意,设所求直线为 y+4
=k(x-6),由弦长为
62
,圆半径为
20
,所以圆心O 到所求直线的距离为
2


|6k?4|
1?k
2
?2
,解得k=-1或
k??
7
,所以所求直线方程为x+y-2=0或7 x
17
+17y+26=0.
13.略解:圆(x+1)
2
+(y -3)
2
=5的圆心为(-1,3),
?
(a?1)
2
? (b?2)
2
?(a?4)
2
?(b?1)
2
?
b ?23?2
设圆心(a,b),得
?
?
?
a?1?1?1
?
解得
?
,

?
a?3
,圆心(3,1),半径为< br>5
,所以,所求圆方程为(x-3)
2
+(y-1)
2
=5.
?
b?1


14.分析:设所求圆的圆心为P(a,b),半径为 r,则P到x轴、y轴的距离分别为|b|,|a|.
由题设圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°,圆P截x轴所得弦长为
2r
故r
2
=2b
2
.又圆P截y轴所得弦长为2,所以有r
2=a
2
+1,从而有2b
2
-a
2
=1.
又 点P(a,b)到直线x-2y=0的距离
d?
|a?2b|
5
?
5
,所以|a-2b|=1,
5

?
?
|a?2b|?1< br>22
?
2b?a?1
,得
?
?
a?1
?a??1

?

?
b?1
?
b??1
2
, 由于r
2
=2 b
2
,知
r?
于是所求圆的方程为(x-1)
2
+(y-1 )
2
=2或(x+1)
2
+(y+1)
2
=2.
测试十六 空间直角坐标系
一、选择题
1.C 2.A 3.A 4.C 5.B
二、填空题
6.
34
; 7.1; 8.(0,-1,0),(0,7,0); 9.
(1,
3
6

,0)
; 10.
2
2
三、解答题
11.答:点M关于平面xOy的对称点为(1,-2,-3);
点M关于平面yOz的对称点为(-1,-2,3);
点M关于平面xOz的对称点为(1,2,3);
点M关于x轴的对称点为(1,2,-3);
点M关于y轴的对称点为(-1,-2,-3);点M关于z轴的对称点为(-1,2,3).
12.答:点M到原点的距离为
14
;点M到平面xOy的距离为3;
点M到平面yOz的距离为1;点M到平面xOz的距离为2;
点M到x轴的距离为
13
;点M到y轴的距离为
10

点M到z轴的距离为
5

13.答:
M(a,
21
a,0),N(a,a,a).

32
14.答:(1,0,0)或(-1,0,0).
测试十七 平面解析几何初步全章综合练习
一、选择题
1.C 2.B 3.B 4.D 5.A
提示:
3.直线
l:y?kx?3
过定点
(0,?3)
,直线2x+3y-6=0与x轴、y轴交点坐标为(3,


0)、(0,2),作图分析可得答案.
二、填空题
6.x+y-1=0,3x+2y=0; 7.0<m
2
+n
2
<3;
8.
4
; 9.
22

3
10.两圆(x-a)
2
+(y-b)2
=r
2
与(x-c)
2
+(y-d)
2
=r
2
的对称轴的方程为
2(c-a)x+2(d-b)y+a
2
+b
2
-c
2
-d
2
=0.
提示:
9.< br>S
PACB
?2?

2
1
|PA|r
(r是 圆的半径),由已知r=1,所以,即求|PA|的最小值,又|PA|
2
|3?4?8|3?4
22
PC?1
,而|PC|的最小值为C到直线3x+4y+8=0的距离 ,即
?3

所以,所求最小值为
S
PACB
?2?
1
|PA|r?22.

2
三、解答题
11.提示:直线l
1
与l
2
的交点坐标为(-1,1),
直线l
1
与y轴交点坐标为(0,3),且(0,3)点关于直线y=-x对称点坐标为(- 3,0),
所以,直线l
2
过点(-3,0)和(-1,1),l
2
:x-2y+3=0.
12.提示:设圆心为(a,b),由已知|a|=|b|=r,又a-2b-3=0,
解< br>?
?
a?2b?3?0
?
a?2b?3?0
?
a?? 3
?
a?1

?

?

?
, < br>?
a?b
?
a??b
?
b??3
?
b??1
所以,所求圆方程为(x+3)
2
+(y+3)
2
=9或(x-1)
2
+(y+1)
2
=1.
13.提示:所求圆即为以已知直线和已知圆相交的弦为直径的圆.
1
?
x ?
?
x?y?2x?4y?1?0
?
x?1
?
?
5

?

?

?

18
y?2< br>2x?y?4?0,
?
?
?
y?
?
5
?22
即直线与圆的交点坐标为
(1,2),(,
118
45
)< br>,弦长为
5

55
所以圆心为
(,
314
25
)
,半径为
5

55
3
5
2
所求圆方程为
(x?)?(y?
14
2
4
)?

55
14.提示:注意到点A(2,4)在直线2x-y=0上,所以,已知直线为∠A的平分线l, 过B
作与l垂直的直线m:x+2y=0,l与m的交点为(0,0),B(-4,2)关于(0,0) 的对称
点为B′(4,-2),AB′所在直线即为AC边所在的直线,所以AC边所在的直线方程为3x+y-10=0.
15.(1)证明:设A、B的横坐标分别为x
1
、x
2



由题设知x
1
>1、x
2
>1,点A(x1
,log
8
x
1
),B(x
2
,log8
x
2
).
因为A、B在过点O的直线上,
?
log
8
x
1
log
8
x
2
x
1
?
x
2
?

又点C、D的坐标分别为(x
1
,l og
2
x
1
)、(x
2
,log
2
x2
),
由于
log
2
x
1
?
log
8
x
1
log
8
x
2
?3log
8
x
1
,log
2
x
2
??3log
8< br>x
2
,

log
8
2log
8
2
所以OC的斜率和OD的斜率分别为:
k
OC
?
3log
8
x
2
log
2
x
1
3log
8
x
1
logx
?,k
OD
?
x
22
?
x
22
x
1
x
1
由此得k
OC=k
OD
,即点O、C、D在同一条直线上.
(2)解:由BC平行于x轴,有 log
2
x
1
=log
8
x
2
,解得x< br>2

x
1

将其代入
3
log
8
x
1
log
8
x
2
3
xlog
8
x
1
?3x
1
log
8
x
1
. ,得
?
1
x
1
x
2
3
,于是点A的坐标为
(3,log
8
3).

3
由x
1
>1, 知log
8
x
1
≠0,故
x
1
=3x
1< br>,即
x
1
?
16.分析:(1)直线l的方程可化为x+y-4+m( 2x+y-7)=0,则l是过定点(3,1)的直
线束.又(3-1)
2
+(1-2 )
2
=5<25,∴点(3,1)在圆内部,因此不论m为
何实数,直线l与圆恒相交 .
(2)由(1)可知,直线l过点M(3,1),则过此点的直线l与圆O的半径垂直且
M 为AB中点时,l被圆所截得的弦长|AB|最短.
(|AB|?2r
2
?OM2
?45)
.此时
k
l
??
1
k
OM
??
1?3
?2

2?1
直线方程为y-1=2(x-3),即2x-y-5=0.

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