异步电机公式第章直线与方程直线的交点坐标与距离公式

第3章 直线与方程
3.3 直线的交点坐标与距离公式
教学目标：
1、 掌握求两条直线交点坐标的方法。
2、 会求平面内两点间的距离，并掌握两点间距离公式的应用。
3、 会利用公式求点到直线的距离的方法。

知识点：
1、两直线的交点
求两直线与的交点坐标
只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.
①若方程组有无穷多个解，此时两直线重合；反之，亦成立。
②若方程组无解，此时两直线平行；反之，亦成立。
③当有交点时，方程组的解就是交点坐标。
两直线相交的条件是
0
或A
1
B
2
－A
2
B
1
≠
要点 诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.

例1、求下列两条直线的交点：
l
1
：
x+2y+1=0
,
l
2
：
－x+2y+2=0







2、平面上两点间的距离公式
两点间的距离公式为.
要点诠释：
此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点 到直线的距离和两平行
直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的 推导、直线与圆、圆与圆
的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.

例2、已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求证：△ABC是等腰三角形。







例3、已知点A（4，12），在x轴上的点P与点A的距离等于13，求点P的坐标。








3、点到直线的距离公式
点
要点诠释：
到直线的距离为.
此公式常用于求三角形的高、两平行间的 距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等。点
直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距 离。
到
例4、直线
l
经过点P（2，-5），且与点A（3，-2）和点B （-1，6）的距离之比为1：2，求直线
l
的方程。







4、两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法：
①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点 到另一条直线的距离即为两直线之间
的距离；
②距离公式：直线与直线的距离为.
要点诠释：
(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一
般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；
(2)利用两条平行直线间的距离公式
线中x，y的系数要保持一致.
时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直
例5、直线
l
1
过点A（0，1），
l
2
过点B（5，0），如果
l
1
∥< br>l
2
，且
l
1
与
l
2
的距离为5， 求
l
1
、
l
2
的方程。






5、两条直线位置关系的判断方法
（1）平行
（2）垂直
（3）相交

2
)
x+3y+2m=0，当m为何值时，直线
l
1
与（中难题）例6、已知两直线
l
1
：
x+my+6=0,
l
2
：
(
m－
l< br>2
（1）平行；（2）重合；（3）相交。














6、用直线系求直线方程的方法
（1）过两直线的交点的直线系方程：经过两直线
l
1
：
A
1
x+B
1
y+C
1
=0
，
l
2
：
A
2
x+B
2
y+C< br>2
=0
交
点的直线方程为
A
1
x+B
1y+C
1
+λA
2
x+B
2
y+C
2
=0
，其中
λ
是待定系数。在这个方程中，无论
λ
取
什么实 数，都得不到
A
2
x+B
2
y+C
2
=0
，因此它不能表示直线
l
2
。
（2）垂直直线系方程：与直线
Ax +By+C=0
(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是
Bx－Ay+λ=0
。
例7、求过两直线x-2y+4=0和x+y-2的交点，且满足下列条件的直线l的方程。
（1）过点（2，-1）；
（2）和直线2x-y+5=0平行。












()
（中难题）例8、求经过两条直线
l
1
：x-2y+4=0和< br>l
2
：x+y-2=0的交点P且与直线
l
3
：3x-4y+ 5=0垂直的
直线
l
的方程。



















7、解决与距离相关的问题的方法。
求解步骤：
（1）根据条件画图
（2）化直线方程为一般式
（3）运用距离公式建立关系
例9（中难题）
（1）求两平行线
l
1
：3x+4y=10和l
2
：3x+4y=15的距离。
（2）求过点M（-2，1）且与A（-1，2），B（3，0）两点距离相等的直线方程。

















8、求关于点对称的对称问题的方法。
（1）求已知点关于点的对称点。
（2）求直线关于点的对称直线。
（3）求点关于直线的对称点。
（4）求直线关于直线的对称直线。

（中难题）例10、已知直线
l
：y=3x+3，求：
（1）点P（4，5）关于
l
的对称点坐标；
（2）直线y=x-2关于
l
的对称直线的方程；
（3）直线
l
关于点A（3，2）的对称直线的方程。




















9、对称问题的应用。
（1）在直线
l
上求一点P，使P到两定点的距离之和最小。
（2）在直线
l
上求一点P，使P到两定点的距离之差最大。
例11：（1 ）已知两点A（3，-3），B（5，1），直线
l
：y=x，在直线
l
上求 一点P，使
PA+PB
最小；
（2）已知两点A（-3，3），B（5，1），直线
l
：y=x，在直线
l
上求一点P，使
PA+PB
最小；
（3）已知两点A（-3，3），B（5，1），直线
l
：y=x，在直线
l
上求一点P，使
PA－PB
最大；
（4）已知两点A（3，-3），B（5 ，1），直线
l
：y=x，在直线
l
上求一点P，使
PA－PB最大；
















10、光线的入射、反射问题的数学处理的创新能力
（中难题）例12、一束平行光线从原点 O（0，0）出发，经过直线
l
：8x+6y=25反射后通过点P（-4，3），
求 反射光线所在直线的方程。