小鱼公式1巧用距离求二面角

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巧用距离求二面角

作者：袁治军

来源：《读与写·下旬刊》2010年第12期

摘要：用文中的方 法求二面角的优点是，不用在图中找二面角的平面角，只需过二面角的
棱上某两点作两条长垂线段即可， 因此方法简单，学生易于接受，且笔者在近几年的教学中，
取得了较为明显的效果。
关键词：高中数学；立体几何；二面角；求解方法
中图分类号：G633.63 文献标识码：B文章编号：1672-1578（2010）12-0242-01

立体几何教学中，二面角的求法是现行高中数学教学中学生必须掌握的数学基本知识， 也
是高考必考的内容。二面角的求法，方法灵活，不拘一格。用几何方法求二面角的难点是在已
知图形中很难找出二面角的平面角，笔者在多年的教学中注意到巧用异面直线上两点间的距离
公式求二面 角，就可以避免这一不足之处，用这种方法可以使某一类型的二面角的求法更为直
观，学生易于接受。
用几何方法求二面角的常规求法是：如图(1)，要求二面角α-L- β的大小，需要过棱L上的
某一点O，分别在两个平面α、β内作OA⊥ L，OB ⊥L，则∠AOB的大小即为二面角的大
小。
本文求二面角的方法是如图( 2)，要求二面角α－L－β的大小，可过棱上的某两点E、F，
分别在两个平面α、β内作EA⊥ L、FB ⊥L，则线段EA和FB所夹的角就是二面角α－L－β
的大小或其补角的大小。这种解法的 优点是线段EA、FB本身就在已知图形中，或已知图形中
的这两条线段都很容易作、也很容易求，这样 可以省去平移EA和FB到同一点的麻烦，从而
简化解题过程。

例1 (2009年武汉五月模拟)如图(3)，半径为R的球O的截面BCD把球面分成两部分，
∠B OC=23π，AC是球O的直径，BC是截面圆的直径，D是圆周上一点，D分
：：2求二面角B- AC-D的大小。
且：
分析：用常规的几何方法求题中二面角的大小，难点 是二面角的平面角不好作，但用本文
的方法如图(4)，只要作BE⊥AC，DF⊥AC，则线段EB和 FD所夹的角就是二面角的大小，
问题可迎刃而解。