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文科高中数学公式大全(超全完美)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 11:36
tags:高中数学公式

职业高中数学试题高一-安永贺高中数学概率视频



文科高中数学公式大全(超全完
美)


托普高考教育
高中文科数学公式总结
一、函数、导数
1.元素与集合的关系:
x?A? x?CA
,
x?CA?x?A
.
??A?A??

集合
{a,a,L,a}
的子集个数共有
2
个;真子集有
2?1< br>个;非空子集有
2?1
个;非空的真子集有
2?2
个.
2. 真值表

p q 非pp

p 或且

q q

真 真 假 真 真

真 假 假 真 假

假 真 真 真 假

假 假 真 假 假
常见结论的否定形式;
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个也没有
一个
都是 不都是 至多有至少有两个
一个
大于 不大于 至少有至多有(
n?1

n
个 个
小于 不小于 至多有至少有(
n?1

n
个 个
对所有
x
,存在某
x

p

q

?p

?q

成立 不成立
对任何
x
,存在某
x

p

q

?p

?q

不成立 成立
UU
nn
12n
nn
第2页(共16页)


托普高考教育
四种命题的相互关系(下图):(原命题与逆否命题同真
同假;逆命题与否命题同真同假.)

原命题 互逆 逆命题
若p则q 若q则p
互 互
互 为 为



逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非p则非q 互逆 若非q则非


3. 充要条件(记
p
表示条件,
q
表示结论)
(1)充分条件:若
p?q
,则
p

q
充分条件.
(2)必要条件:若
q?p
,则
p

q
必要条件.
(3)充要条件:若
p?q
,且
q?p
,则
p
是< br>q
充要条件.
注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;
反之亦然.
4. 全称量词
?
表示任意,
?
的否定是
?
,< br>?
表示存在;
?

否定是
?

例:
?x?R,x
2
?x?1?0
的否定是
第3页(共16页)
?x?R,x
2
?x?1?0


托普高考教育
5. 函数的单调性
(1)设
x、x?[a,b],x?x
那么
f(x)?f(x)?0?f(x)在[a,b]
上是增函数;
f(x)?f(x)?0?f(x)在[a,b]
上是减函数.
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导,若
f
?
(x)?0
,则
f(x)

增函数;若
f
?
(x)?0
,则
f(x )
为减函数.
6. 复合函数
y?f[g(x)]
单调性判断步骤:
(1)先求定义域 (2)把原函数拆分成两
个简单函数
y?f(u)

u?g(x)

(3)判断法则是同增异减(4)所求区间与定义域
做交集
7. 函数的奇偶性
(1)前提是定义域关于原点对称。
(2)对于定义域内任意的
x
,都有< br>f(?x)?f(x)
,则
f(x)

偶函数;
对于定义域 内任意的
x
,都有
f(?x)??f(x)
,则
f(x)

奇函数。
(3)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关
于y轴对称。
8.若奇函数在
x
=0处有意义,则一定存在
f
?
0
?< br>?0

1212
12
12
若奇函数在
x
=0处无意义,则利用
f
?
?x
?
??f
?
x
?
求解;
9.多项式函数
P(x)?ax?ax???a
的奇偶性
多项式函数
P(x)
是奇函数
?
P(x)
的偶次项(即奇数项)
的系数全为零 .
多项式函数
P(x)
是偶函数
?
P(x)
的奇次项(即 偶数项)
的系数全为零.
nn?1
nn?10
第4页(共16页)


托普高考教育
10. 常见函数的图像:
y
y
y
y
y
k<0
o
k>0
x
o
a<0
x
y=a
x
01
o
x
y=log
a
x
0-1
2
x
o
1
y=x+< br>-2
a>1
1
x
x
y=kx+b
a>0
o< br>1
a>1
y=ax
2
+bx+c

11. 函数的对称性
(1)函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图 象关于直线
x?0
(即
y
轴)对称.
(2)对于函数
y? f(x)
(
x?R
),
f(a?x)?f(a?x)
恒成立,则函数
f(x)
的对称轴是
x?a

(3)对于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f(x?a)?f(b?x)
恒成立,则函数
a?b
;
f(x)
的对称轴是
x?
2
12. 由
f(x)
向左平移一个单位得到函数
f(x?1)


f(x)
向右平移一个单位得到函数
f(x?1)


f(x)
向上平移一个单位得到函数
f(x)?1


f(x)
向下平移一个单位得到函数
f(x)?1

若将函数y?f(x)
的图象向右移
a
、再向上移
b
个单位,
得 到函数
y?f(x?a)?b
的图象;若将曲线
f(x,y)?0
的图象向右移
a
、向上移
b
个单位,得到曲线
f(x?a,y?b)? 0
的图
象.
13. 函数的周期性
(1)
f(x)?f(x?a )
,则
f(x)
的周期
T??a?

(2)
f( x?a)??f(x)
,则
f(x)
的周期
T?2?a?

f(x)
的周期
T?2?a?
(3)
f(x?a)?
f< br>1
,则
(x)
(4)
f(x?a)?f(x?b)
,则
f(x)
的周期
T??a?b?

14. 分数指数
(1)< br>a?a

a?0,m,n?N
,且
n?1
).
m
n
n
m
?
第5页(共16页)


托普高考教育
(2)
a
?
m
n
?
1
a
m
n
?
1
n
a
m

a?0,m,n?N
,且
n?1
).
?
15.根式的性质
(1)
(a)?a
.
(2)当
n
为奇数时,
当< br>n
为偶数时,
a
n
n
n
a
n
?a< br>;
.
sr?s
n
n
?
a,a?0
?|a |?
?
?
?a,a?0
16.指数的运算性质
(1)
a?a?a(a?0,r,s?Q)
(2)
a?a?a(a?0,r,s?Q)

(3)
(a)?a(a?0,r,s?Q)
(4)
(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q)
.
17. 指数式与对数式的互化式:

logN?b?a?N
(a?0,a?1,N?0)
.

18.对数的四则运算法则:若a>0,a≠1,M>0,N>0,

(1)
log(MN)?logM?logN
; (2)
log
M
?logM?logN
;
N
rsr?sr
rsrsrrr
b
a
aaa
aaa
(3)
log
n
a
M?nlog
a
M(n?R)
; (4)
lo g
m
a
m
N
n
?
n
log
aN(n,m?R)
m

(5)
log
a
a?1
(6)
log
a
1?0

N
19. 对数的换底公式 :
logN?
log
(
a?0
,且
a?1
,m?0
,且
m?1
,

loga
a
m
).
倒数关系式:
log
a
b?log
b
a?1

20. 对数恒等式:
a?N
(
a?0
,且
a?1
,

N?0
).
21. 零点存在定理:
N?0
log
a
N
如果函数
f(x)
在区间(a, b)满足
f(a)?f(b)?0
,则
f(x)

区间(a, b)上存在零点。
22. 函数
y?f(x)
在点
x
处的导数的几何意义
函数
y?f (x)
在点
x
处的导数是曲线
y?f(x)

P(x,f( x))

的切线的斜率
f
?
(x)
,相应的切线方程是y?y?f
?
(x)(x?x)
.
0
000
0000
第6页(共16页)


托普高考教育
23. 几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
(C为常数) (2)
(x)?nx(n?Q)

(3)
(sinx)
?
?cosx
(4)
(cosx)
?
??sinx

1
(5)
(lnx)
?
?
1
(6)
(logx)
?
?
x
xlna
'n?1
n
a(7)
(e)
?
?e
(8)
(a)
?
?alna
.
24. 导数的运算法则
(1)
(u?v)?u?v
(2)
(uv)?uv?uv
(3)
uuv?uv
()?(v?0)

vv
xxxx
''''''
''
'
2
25. 复合函数的求导法则
设函数
u?
?
(x)
在点
x处有导数
u?
?
(x)
,函数
y?f(u)
在点
x
处的对应点U处有导数
y?f(u)
,则复合函数
y?f(
?< br>(x))


x
处有导数,且
y?y?u
,或写作< br>f(
?
(x))?f(u)
?
(x)
.
26. 求切线方程的步骤:
① 求原函数的导函数
f
?
(x)

② 把横坐标
x
带入导函数
f
?
(x)
,得到f
?
(x)
,则斜率
k?f
?
(x)

③ 点斜式写方程
y?y?f
?
(x)(x?x)

27. 求函数的单调区间
① 求原函数的导函数
f
?
(x)

② 令
f
?
(x)?0
,则得到原函数的单调增区间。
''
x
''
u
'
x
'
u
'
x
'
x
''
00
0
000
② 令
f
?
(x)?0
,则得到原函数的单调减区间。
28. 求极值常按如下步骤:
① 求原函数的导函数
f
?
(x)

② 令方程
f
?
(x)
=0的根,这些根也称为可能极值点
③ 检查在方程的根的左右两侧的符号,确定极值
第7页(共16页)


托普高考教育
点。(可以通过列表法) 如果在
x
附近的左 侧
f
?
(x)?0

右侧
f
?
(x)?0
,则
f(x)
是极大值;如果在
x
附近的左侧
0
0 0
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,则
f(x
0
)
是极小值.
④ 将极值点带入到原函数中,得到极值。
29. 求最值常按如下步骤:
① 求原函数的极值。
② 将两个端点带入原函数,求出端点值。
③ 将极值与端点值相比较,最大的为最大值,最小
的为最小值。
二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
30. 同角三角函数的基本关系式 sin
2
?
?cos
2
?
?1

ta n
?
=
sin
?
cos
?
.
31. 正弦、余弦的诱导公式
奇变偶不变,符号看象限。
32. 和角与差角公式

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?< br>?cos
?
sin
?
;
cos(
?
??
)?cos
?
cos
?
msin
?
sin< br>?
;
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1
m
tan
?
tan
?.
33. 二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
co s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c os
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
tan2< br>?
?
2tan
?
1?tan
2
?
.
2cos
2
?
?1?cos2
?
,cos
2
1? cos2
?
公式变形:
?
?
2
;

2s in
2
?
?1?cos2
?
,sin
2
?
?
1?cos2
?
2
;
34. 三角函数的周期
第8页(共16页)


托普高考教育
?
函数
y?s in(
?
x?
?
)
,周期
T?
2
?
?
函数
y?cos(
?
x?
?
)
, 周期
T?
2

?
?
函数
y?tan(
?
x?
?
)

周期
T?
?
.
35. 函数
y?sin(
?
x?
?
)
的周期、最 值、单调区间、图象变换
(熟记)

36. 辅助角公式(化一公式)
b
y?asinx?bcosx?a?bsin(x?
?
)
其中
tan
?
?

a
22
36. 正弦定理
abc
???2R
sinAsinBsinC
.
37. 余弦定理
;
b?c?a?2cacosB
;
c?a?b?2abcosC
.
38. 三角形面积公式
a
2< br>?b
2
?c
2
?2bccosA
222
222
S?
111
absinC?bcsinA?casinB
222
.

A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)
39. 三角形内角和定理
在△ABC中,
sin(A?B)?sinC

40.
a

b
的数量积(或内积)
a?b?|a|?|b|cos
?


41. 平面向量的坐标运算
uuuruuuruuur
(1)设A
(x,y)
,B
(x,y)
,则
AB?OB?OA?(x?x,y?y)
.
(2 )设
a
=
(x,y)
,
b
=
(x,y)
, 则
a?b
=
(x?x,y?y)
.
(3)设
a
=
(x,y)
,
b
=
(x,y)
,则
a?b
=
(x?x,y?y)
.
(4)设
a
=
(x,y)
,
b
=
(x,y)
,则
a?b
=
xx?yy.
1122
2121
1122
1212
1122
12 12
1122
1212
第9页(共16页)


托普高考教育
(5)设
a
=
(x,y)
,则
a?x?y

42. 两向量的夹角公式

a
=
(x,y)
,
b
=
(x,y)
,且
b?0
,则
xx?yy
a?b
cos
?
??

22
1 122
1212
ab
x
1
?y
1
?x
2< br>?y
2
2222
43. 向量的平行与垂直
ab
?
b?
?
a

?xy?xy?0
.
a?b(a?0)

?
a?b?0
?xx?yy?0
.
44. 向量的射影公式
若,
a

b
的夹角 为
?
,则
b

a
的射影为
|b|cos
?

1221
1212
三、数列
45. 数列
{a}
的通项公式与前n项的和的关系(递推公
式)
n?1
?
s,
( 数列
{a}
的前n项的和为
s?a?a?L?a
).
a?
?
s?s,n?2
n
1
n
?
nn12n
nn?1< br>46. 等差数列
{a}
的通项公式
n
a
n
?a< br>1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N
*
)

47. 等差数列
{a}
的前n项和公式
n(a?a)
n(n?1)d1
s??na?d?n?(a?d)n
.
2222
n
1n
2
n11
48. 等差数列
{a}
的中项公式
a

a?
a?

2
n
n?1n?1
n
49. 等差数列
{a}
中,若
m?n?p?q
,则
a?a?a?a

50. 等差数列
{a}
中,
s

s?s

s?s
成等差数列
51. 等差数列
{a}
中,若
n
为奇数,则
s?na

n
mnpq
n
n2nn3n2n
n
nn?1
2
52. 等比数列的通项公式
第10页(共16页)


托普高考教育
an
?a
1
q
n?1
?
a
1
n
?q(n?N
*
)
q

?
a
1
?an
q
,q?1
?
s
n
?
?
1?q?
na,q?1
?
1
53. 等比数列前n项的和公式为
?< br>a
1
(1?q
n
)
,q?1
?
s
n
?
?
1?q
?
na,q?1
?
1
n

1
.

q?1
时,
a?na

54. 等比数列
{a}
的中项公式

a?a?a

55. 等比数列
{a}
中,若
m?n?p?q
,则
a?a?a?a

56. 等比数列
{a}
中,
s

s?s

s?s
成等比数列
n
2
nn?1n?1
n
mnpqn
n2nn3n2n
四、均值不等式
57. 均值不等式:如果
a,b ?R
,那么
a?b?2
?
ab
。“一正二定
三相等”
y
58. 已知
x,y
都是正数,则有
x?
?
2< br>xy
,当
x?y
时等号成立。
2
(1)若积
xy< br>是定值
p
,则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p

s
. (2)若和
x?y
是定值
s
,则当
x?y
时积
xy
有最大值
1
4
五、解析几何
59. 斜率的计算公式
(1)
k?tan
?
(2 )
k?
y
x
11
?y
1
2
?x
1
2
A
(3)直线一般式中
k??
B

60. 直线的五种方程
(1)点斜式
y?y?k(x?x)
(直线
l
过点
P(x,y)
,且斜率为
k
).
(2)斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
yx?x
y?y
)(
P(x,y)

P(x,y)
(
x?x
)).
?
(3)两点式
y
y?
(?yx?x
111
11
1211122212
2121
xy??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距,(4)截距式
ab
a、b?0
)
第11页(共16页)


托普高考教育
(5)一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
61. 两条直线的平行

l:y?kx?b

l:y?kx?b

(1)
k?k,b?b
;

(2)
k,k
均不存在
62. 两条直线的垂直
111222
1212
12
63.
64.
65.
66.
种:
67.

l
1
:y?k
1
x?b
1

l
2
:y?k
2
x?b2

(1)
k
1
k
2
??1
.
(2)
k
1
?0,k
2
不存在
平面两点间的距离公式
d
?(x?x)
2
?(y?y)
2
A,B
2121
(A
(x
1
,y
1
),B
(x
2
,y
2
)
).
点到直线的距离
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A
2
?B
2
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l

Ax?By?C?0
).
圆的三种方程
1)圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
2)圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0(
D
2
?E
2
?4F
>0).
圆心坐标22
(?
D
2
,?
E
2
)
半径=
D?E?4F
2

直线与圆的位置关系
直线
Ax?By? C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2< br>的位置关系有三
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
. 弦长=
2r
2
?d
2

其中
d?
Aa?Bb?C
A
2
?B
2
.
椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、
第12页(共16页)




托普高考教育
几何性质
x
椭圆:
a
程:
a
2
x??
c
2
2
y
2
?
2
?1(a?b?0)
b

a< br>2
?c
2
?b
2
c
,离心率
e?
a
?1
.准线方

x
2
y
2
??1
a
2
b
2
a
2
x??
c
双曲线:
准线方程:
(a>0,b>0),
c
2
?a
2
?b
2
c
,离心率
e?
a
?1


渐近线方程是
y??
b
x
.
a
抛物线:
y
2
?2px
pp
,焦点
(
2
,0)
,准 线
x??
。抛物线上的
2
点到焦点距离等于它到准线的距离.
68. 双曲线的方程与渐近线方程的关系
xy
??1
?
渐近线方 程:(1)若双曲线方程为
ab
22
22
x
2
y
2
b
??0?
y??x
a
2
b
2
a
.
xy
(2)若渐近线方程为
y??
b
x
?< br>??0
?
双曲线可设为
ab
a
x
2
y
2
?
2
??
2
ab
.
x
2
y
2
?
2
?1
2
ab
(3)若双曲线与< br>x
2
y
2
???
a
2
b
2
有公共渐近线,可设为

??0
,焦点在x轴上,
??0
,焦点在y
轴上).
69. 抛物线
y?2px
的焦半径公式
p抛物线
y?2px(p?0)
焦半径
|PF|?x?
2
.(抛物 线上的点到
2
2
0
焦点距离等于它到准线的距离。)
70. 过抛物线焦点的弦长
AB?x
六、立体几何
1
?
pp
? x
2
??x
1
?x
2
?p
22
.
71. 证明直线与直线平行的方法
(1)三角形中位线 (2)平行四边形(一组对边
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托普高考教育
平行且相等)
72. 证明直线与平面平行的方法
(1)直线与平面平行的判定定理(证平面外一条直
线与平面内的一条直线平行)
(2)先证面面平行
73. 证明平面与平面平行的方法
平面与平面平行的判定定理(一个平面内的两条相
...
交直线分别与另一平面平行)

74. 证明直线与直线垂直的方法
转化为证明直线与平面垂直
75. 证明直线与平面垂直的方法
(1)直线与平面垂直的判定定理(直线与平面内两

条相交直线垂直)
. ..
(2)平面与平面垂直的性质定理(两个平面垂直,
一个平面内垂直交线的直线垂直另一个 平面)
76. 证明平面与平面垂直的方法
平面与平面垂直的判定定理(一个平面内有一条直
线与另一个平面垂直)
77. 柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公

圆柱侧面积=
2
?rl
,表面积=
2
?
rl?2
?
r

圆椎侧面积=
?
rl
,表面积=
?
rl?
?
r
1
V?Sh

S
是柱体的底面积、
h
是柱体 的高).
3
2
2
柱体
1
V
锥体
?Sh< br>3

S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高).
3
2
?
R
,其表面积
S?4
?
R
球的半径是
R
,则其体积
V?
4
3
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托普高考教育
1
V
台体
?(S

?S

?S

S

)h
3

78. 异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平
面角的定义及计算(构造二面角的平面角)
79. 点到平面距离的计算(定义法、等体积法)
80. 直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质:侧棱平
行且相等,与底面垂直。
正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底
面正多边形的中心。
七、概率统计
81. 平均数、方差、标准差的计算
平均数:
x?
x?x
n
??x
方差:
s?< br>1
[(x
n
12n
2
1
?x)
2
? (x
2
?x)
2
??(x
n
?x)
2
]< br>
标准差:
s?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
??(x
n
?x)
2
]
n

82. 回归直线方程
$$
y?a?bx
,其中
83. 独立性检验
nn
?
?
x
i
?x
??
y
i
?y
?
?
x
i
y
i
?nxy
?
?
?
b?< br>i?1
n
?
i?1
n
2
?
x?xx
i
2
?nx
2
??
??
i
?
i?1i?1
?
?
a?y?bx
n(ac?bd)
2
2
K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
.

84. 古典概型的计算(必 须要用列举法、列表法、树状
........
图的方法把所有基本事件表示出来,不重复、不 遗

漏)
85. 几何概型的计算,转化为体积,面积,长度之比。
八、复数
86. 复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d
.(
a,b,c,d?R

87. 复数
z?a?bi
的模
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=
|a?bi|
=
a?b
.
88. 复数
z?a?bi
的共轭复数

z?a?bi

89. 复数的四则运算法则
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
?bdbc?ad
(4)
(a?bi)?(c?di)?
ac
?i(c?di ?0)

c?dc?d
|z|
22
2222
90. 复数的周期
T?4


i?i

i??1

i??i












123
i
4
?1

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