高中数学公式大全(简化)

高中数学常用公式及常用结论



1. 元素与集合的关系
x?A?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
2.德摩根公式
C
U
(AIB)?C
U
AUC
U
B;C
U
(AUB)?C
U
AICU
B
.
3.包含关系
AIB?A?AUB?B
?A?B?C
U
B?C
U
A

?AIC
U
B???C
U
AUB?R

4.容斥原理
card(AUB)?cardA?cardB?card(AIB)

card(AUBUC)?cardA?cardB?cardC?card(AIB)
?card(AIB)?card(BIC)?card(CIA)?card(AIBIC)
.
nnn
5．集合
{a
1
,a
2
,L,a< br>n
}
的子集个数共有
2
个；真子集有
2
–1个；非空子集有
2
–1
个；非空的真子集有
2
–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;
(3)零点式f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
7.解连不等式
N?f(x)?M
常有以下转化形式
2
2
n
N?f(x)?M
?
[f(x)?M][f(x)?N]?0

f(x)?N
M?NM?N
?0

|?
?
|f(x )?
?
M?f(x)
22
11
?
.
?
f (x)?NM?N
8.方程
f(x)?0
在
(k
1
,k2
)
上有且只有一个实根,与
f(k
1
)f(k
2)?0
不等价,前者是后
2
者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程
ax?bx?c?0(a?0)
有且只有一个实根在
k?k
2
b
( k
1
,k
2
)
内,等价于
f(k
1
)f( k
2
)?0
,或
f(k
1
)?0
且
k1
???
1
,或
f(k
2
)?0
且
2 a2
k
1
?k
2
b
???k
2
.
22a
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数
f(x)?ax? bx?c(a?0)
在闭区间
?
p,q
?
上的最值只能在
x ??
2
b
处及区
2a
间的两端点处取得，具体如下：
(1 )当a>0时，若
x??
b
b
?
?
p,q
?
，
),f(x)
max
?
max
?
f(p),f(q)< br>?
；则
f(x)
min
?f(?

2a
2a
b
?
?
p,q
?
，
f(x)
max
?
max
?
f(p),f(q)
?
，
f(x)
m in
?
min
?
f(p),f(q)
?
.
2a< br>b
(2)当a<0时，若
x???
?
p,q
?
，则< br>f(x)
min
?min
?
f(p),f(q)
?
， 若
2a
x??

x??
b
?
?
p,q
?
，则
f(x)
max
?max
?
f(p),f( q)
?
，
f(x)
min
?min
?
f(p),f (q)
?
.
2a
10.一元二次方程的实根分布
依据：若
f(m)f(n)?0
，则方程
f(x)?0
在区间
(m,n)
内 至少有一个实根 .
设
f(x)?x
2
?px?q
，则 ?
p
2
?4q?0
?
（1）方程
f(x)?0
在区间
(m,??)
内有根的充要条件为
f(m)?0
或
?
p
；
?
??m
?2
?
f(m)?0
?
f (n)?0
?
?
（2）方程
f(x)?0
在区间
(m,n)
内有根的充要条件为
f(m)f(n)?0
或
?
p
2
?4q?0
?
?
m??
p
?n
?
?2
?
f(m)?0
?
f(n)?0
或
?
或
?
；
?
af(n)?0
?
af(m)?0
?
p
2
?4q?0
?
（3）方程
f(x)?0
在区间
(??,n)
内有根的充要条件为
f(m)?0
或
?
p
.
?
??m
?2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间
(??,??)
的子区间
L
（形如
?
?
,
?
?
，
?
??,
?
?
，
?
?
,??
?
不同）上含参数
的二次不等式
f(x,t) ?0
(
t
为参数)恒成立的充要条件是
f(x,t)
min
?0(x?L)
.
(2)在给定区间
(??,??)
的子区间上含参数的二 次不等式
f(x,t)?0
(
t
为参数)恒成立
的充要条件是
f(x,t)
man
?0(x?L)
.
?
a?0
?a?0
?
42
(3)
f(x)?ax?bx?c?0
恒成立的充 要条件是
?
b?0
或
?
2
.
b?4ac?0
?
c?0
?
?
12.真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
13.常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论
是 不是 至少有一个
都是 不都是 至多有一个
大于 不大于 至少有
n
个
小于 不小于 至多有
n
个
对所有
x
， 存在某
x
，
成立 不成立
p
或
q

对任何
x
，
不成立

存在某
x
，
成立
p
且
q

反设词
一个也没有
至少有两个
至多有（
n?1
）个
至少有（
n?1
）个

?p
且
?q


?p
或
?q

14.四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ

15.充要条件
（1）充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
充分条件.
（2）必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
必要条件.
（3）充要条件：若
p?q
，且
q?p
，则
p
是< br>q
充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
16.函数的单调性
(1)设
x
1
?x
2
??
a,b
?
,x
1
?x
2
那么
f( x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b< br>?
上是增函数；
x
1
?x
2
f(x
1)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?
x
1
?x2
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如果
f
?(x)?0
，则
f(x)
为增函数；如果
f
?
(x)? 0
，则
f(x)
为减函数.
17.如果函数
f(x)
和< br>g(x)
都是减函数,则在公共定义域内,和函数
f(x)?g(x)
也是减< br>函数; 如果函数
y?f(u)
和
u?g(x)
在其对应的定义域上都 是减函数,则复合函数
y?f[g(x)]
是增函数.
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的 图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图
象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数 的图象关于y轴对称，那么这个函
数是偶函数．
19.若函数
y?f(x)
是偶函数，则
f(x?a)?f(?x?a)
；若函数
y?f(x?a)
是偶 函
数，则
f(x?a)?f(?x?a)
.
20.对于函数
y?f (x)
(
x?R
),
f(x?a)?f(b?x)
恒成立,则函数< br>f(x)
的对称轴是
函数
x?
a?ba?b
;两个函数
y?f(x?a)
与
y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
对称.
22
a
21.若
f(x)?? f(?x?a)
,则函数
y?f(x)
的图象关于点
(,0)
对称; 若
2
f(x)??f(x?a)
,则函数
y?f(x)
为周期为2a
的周期函数.
nn?1
22．多项式函数
P(x)?a
n
x?a
n?1
x?L?a
0
的奇偶性
多项式函数
P(x)
是奇函数
?
P(x)
的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数
P(x)
是偶函数
?
P(x)
的奇次项(即偶数项)的 系数全为零.
23.函数
y?f(x)
的图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a?x)?f(a?x)< br>

?f(2a?x)?f(x)
.
(2)函数
y?f (x)
的图象关于直线
x?
a?b
对称
?f(a?mx)?f(b? mx)

2
?f(a?b?mx)?f(mx)
.
24.两个函数图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
与函数
y? f(?x)
的图象关于直线
x?0
(即
y
轴)对称.
(2 )函数
y?f(mx?a)
与函数
y?f(b?mx)
的图象关于直线
x?
(3)函数
y?f(x)
和
y?f
?1
a?b
对称.
2m
(x)
的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y ?f(x?a)?b
的图
象；若将曲线
f(x,y)?0
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到曲线
f(x?a,y?b)?0
的图
象.
26．互为反函数的两个函数的关系
f(a)?b?f
?1
(b)?a
.
27.若函数
y?f (kx?b)
存在反函数,则其反函数为
y?
1
?1
[f(x)?b ]
,并不是
k
y?[f
?1
(kx?b)
,而函数
y?[f
?1
(kx?b)
是
y?
1
[f(x)?b]的反函数.
k
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数
f(x)?cx
,
f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c
.
( 2)指数函数
f(x)?a
,
f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0< br>.
(3)对数函数
f(x)?log
a
x
,
f(x y)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1)
.
(4)幂函数
f( x)?x
,
f(xy)?f(x)f(y),f(1)?
?
.
(5 )余弦函数
f(x)?cosx
,正弦函数
g(x)?sinx
，
f (x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)
，
?
'
x
f( 0)?1,lim
x?0
g(x)
?1
.
x
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期T=a；
（2）
f(x)?f(x?a)?0
，
1
(f(x)?0)
，
f(x)
1
或
f(x?a)??
(f(x)?0)
, f(x)
1
2
或
?f(x)?f(x)?f(x?a),(f(x)?< br>?
0,1
?
)
,则
f(x)
的周期T=2a；
2
1
(f(x)?0)
，则
f(x)
的周期T=3a； ( 3)
f(x)?1?
f(x?a)
f(x
1
)?f(x
2< br>)
(4)
f(x
1
?x
2
)?
且
f (a)?1(f(x
1
)?f(x
2
)?1,0?|x
1
? x
2
|?2a)
，则
1?f(x
1
)f(x
2)
f(x)
的周期T=4a；
(5)
f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)

?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a)
,则
f(x)
的周期T=5a；
(6)
f(x?a)?f(x)?f(x?a)
，则f(x)
的周期T=6a.
或
f(x?a)?

30.分数指数幂
(1)
a< br>(2)
a
m
n
?
?
1
n
?
m
n
a
m
1
m
n
（
a?0,m,n?N< br>，且
n?1
）.
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
?
?
a
31．根式的性质
n
（1）
(
n
a)?a
.
（2）当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
； < br>当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
32．有理指数幂的运算性质
(1)
a?a?a
rs
r
rs
rr
rsr?s
?
a,a?0
.
?
?a,a?0
(a?0,r,s?Q)
.
(2)
(a)?a(a?0,r,s?Q)
.
(3)
(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q)
.
注： 若a＞0，p 是一个无理数，则a
p
表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算
性质，对于无理数 指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式

log
a
N? b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

34.对数的换底公式
log
m
N
(
a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
log
m
a
n
n
推论 log
a
m
b?log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1,

N?0
).
m
log
a
N?
35．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)
log
a
(MN) ?log
a
M?log
a
N
;
M
?log
a
M?log
a
N
;
Nn
(3)
log
a
M?nlog
a
M(n?R)
.
(2)
log
a
2
2
36.设函数
f(x )?log
m
(ax?bx?c)(a?0)
,记
??b?4ac
. 若
f(x)
的定义域为
R
,则
a?0
，且
??0< br>;若
f(x)
的值域为
R
,则
a?0
，且
? ?0
.对于
a?0
的情形,需要
单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广
1
,则函数
y?log
ax
(bx)

a
11
(1)当
a?b
时,在
(0,)
和
(,??)
上
y?log
ax
(bx)
为增函数. aa
11
)
和
(,??)
上
y?log
ax< br>(bx)
为减函数.
，
(2)当
a?b
时,在
(0,
aa
若
a?0,
b?0
,
x?0
,
x?
推论:设
n?m?1
，
p?0
，
a?0
，且
a?1
，则
（1）
log
m?p
(n?p)?log
m
n
.

（2）
log
a
mlog
a
n?loga
2
m?n
.
2
38. 平均增长率的问题
如果原 来产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则对于时间
x
的总产值
y< br>，有
y?N(1?p)
x
.
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
n?1
?
s
1
,
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
?L ?a
n
).
a
n
?
?
?
s
n< br>?s
n?1
,n?2
40.等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N
*
)< br>；
其前n项和公式为
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
?na
1
?d

22
d1
?n
2
?(a
1
?d)n
.
22
s
n
?
41.等比数列的通项公式
a
n?a
1
q
n?1
?
a
1
n
?q(n? N
*
)
；
q
其前n项的和公式为
?
a
1
(1?q
n
)
,q?1
?
s
n
?
?
1?q

?
na,q?1
?
1
?
a< br>1
?a
n
q
,q?1
?
或
s
n?
?
1?q
.
?
na,q?1
?
1
42.等比差数列
?
a
n
?
:
a
n?1
? qa
n
?d,a
1
?b(q?0)
的通项公式为
?
b?(n?1)d,q?1
?
a
n
?
?
bq
n< br>?(d?b)q
n?1
?d
；
,q?1
?
q?1
?
其前n项和公式为
?
nb? n(n?1)d,(q?1)
?
s
n
?
?
.
d1 ?q
n
d
(b?)?n,(q?1)
?
1?qq?11?q
?
43.分期付款(按揭贷款)
ab(1?b)
n
每次还款
x?
元(贷款
a
元,
n
次还清,每期利率为
b
).
n
(1?b)?1
44．常见三角不等式
（1）若
x?(0,?
2
)
，则
sinx?x?tanx
.

)
，则
1?sinx?cosx?2
.
2
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
(2) 若
x?(0,
45.同角三角函数的基本关系式
?
sin
2?
?cos
2
?
?1
，
tan
?
=< br>46.正弦、余弦的诱导公式
sin
?
，
tan
?
?cot
?
?1
.
cos
?
(n为偶数)

(n为奇数)
(n为偶数)

(n为奇数)
n
?n
?
?
(?1)
2
sin
?
,
sin (?
?
)?
?

n?1
2
?
(?1)2
cos
?
,
?

n
?
n< br>?
?
(?1)
2
cos
?
,

co s(?
?
)?
?
n?1
2
?
(?1)
2< br>sin
?
,
?
47.和角与差角公式

si n(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?co s
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
msin
?
sin
?;
tan
?
?tan
?
tan(
?
?
?
)?
.
1
m
tan
?
tan
?sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
) ?sin
2
?
?sin
2
?
(平方正弦公式);
cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?c os
2
?
?sin
2
?
.
asin
?< br>?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)< br>的象限决
b
定,
tan
?
?
).
a
48.二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
co s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c os
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
2tan
?
.
tan2
?
?
1?tan
2
?
49. 三倍角公式
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
?4sin
?
sin(?
?
)sin(?
?
)
.
33
cos3
?
?4cos
3
?
?3cos
?
?4cos
?
cos(?
?
)cos(?
?
)
33
3tan
?
?tan
3
???
tan3
?
??tan
?
tan(?
?
)tan(?
?
)
.
1?3tan
2
?
33
50.三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0，
ω＞0)的周期
T?
??
??
.
2< br>?
?
；函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x?k
?
?
?
2
,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且A
≠0，ω＞0)的周期
T?
?
.
?

51.正弦定理
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
52.余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
53.面积定理
111
ah
a
?bh
b
?ch< br>c
（
h
a
、h
b
、h
c
分别表示a 、b、c边上的高）.
222
111
（2）
S?absinC?bcsin A?casinB
.
222
uuuruuur
2
uuuruuur
2
1
(3)
S
?OAB
?(|OA|?|OB|)?(OA ?OB)
.
2
（1）
S?
54.三角形内角和定理
在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)

?
C
?
A?B
?2C?2
?
?2(A?B)
.
??
222
k
55. 简单的三角方程的通解
< br>sinx?a?x?k
?
?(?1)arcsina(k?Z,|a|?1)
.

cosx?a?x?2k
?
?arccosa(k?Z,|a|?1)
.
tanx?a?x?k
?
?arctana(k?Z,a?R)
.
特别地,有
sin
?
?sin
?
?
?
? k
?
?(?1)
k
?
(k?Z)
.
cos
?
?cos
?
?
?
?2k
?
?
?
(k?Z)
.
tan
?
?tan
?
?
?
?k
?
?
?
(k?Z)
.
56.最简单的三角不等式及其解集

sinx?a(|a|?1)?x?( 2k
?
?arcsina,2k
?
?
?
?arcsina) ,k?Z
.
sinx?a(|a|?1)?x?(2k
?
?
??arcsina,2k
?
?arcsina),k?Z
.
< br>cosx?a(|a|?1)?x?(2k
?
?arccosa,2k
?
?arccosa),k?Z
.

cosx?a(|a|?1)?x?(2 k
?
?arccosa,2k
?
?2
?
?arccosa) ,k?Z
.

tanx?a(a?R)?x?(k
?
?ar ctana,k
?
?
?
2
),k?Z
.
tanx ?a(a?R)?x?(k
?
?
?
2
,k
?
?ar ctana),k?Z
.
57.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积的运算律：
(1)
a
·b= b·
a
（交换律）;
(2)（
?
a
）·b=
?
（
a
·b）=
?
a
·b=
a
·（
?
b）;
(3)（
a
+b）·c=
a
·c +b·c.
59.平面向量基本定理
如果e
1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平 面内的任一向量，有且

只有一对实数λ
1
、λ
2
，使 得a=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
．
不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．