有效年利率公式第二章 3 课时1

3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
课时1 位移与时间的关系式
知识内容 位移与时间的关系
考试要求
d
课时要求
1.经历位移公式的探究过程，理解公式的意义及正负号的含义．
2.能运用位移公式解决简单问题.


一、匀速直线运动的位移
1．位移公式：x＝vt.
2.位移在v－t图象中的表示：对于匀速直线运动，物体的位移 在数值上等于v－t图线与对应
的时间轴所包围的矩形的面积.图1所示阴影图形的面积就等于物体在t
1
时间内的位移．

图1
二、匀变速直线运动的位移
某质点做匀变速直线运动，已知初速度为v
0
，在t时刻的速度为v，加速度为a.
(1)把匀变速直线运动的v－t图象分成几个小段，如图2所示．每段位移≈每段起始时刻速度
×每段的时间＝对应矩形的面积．故整个过程的位移约等于各个小矩形的面积之和．

图2
(2)把运动过程划分为更多的小段，如图3所示，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体
在整个过程的位移．

图3
(3)把整个运动过程分得非常细，很多小矩形合在一 起形成了一个梯形OABC，如图4所示，
梯形面积就代表物体在相应时间间隔内的位移．

图4
(4)v－t图线下面梯形的面积
1
S＝(OC＋AB)·OA
2
把面积及各条线段换成其所代表的物理量，上式变成
1
x＝(v
0
＋v)t
2
又因为v＝v
0
＋at
①
②
由①②式可得匀变速直线运动的位移公式为：
1
x＝v
0
t＋at
2
.
2

1．判断下列说法的正误．
1
(1)位移公式x＝v
0
t＋at< br>2
仅适用于匀加速直线运动．( × )
2
(2)初速度越大，时间越长，做匀变速直线运动的物体的位移一定越大．( × )
(3)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关．( √ )
(4)匀变速直线运动的x－t图象是一条倾斜的直线．( × )
2．某质点的位移随时间的变化关系是x＝(4t＋4t
2
) m，则质点的初速度是v
0
＝______ ms，加
速度a＝______ ms
2
，2 s内的位移为________ m.
答案 4 8 24



一、匀变速直线运动的位移时间关系式
1
1．公式的适用条件 ：位移公式x＝v
0
t＋at
2
只适用于匀变速直线运动．
21
2．公式的矢量性：x＝v
0
t＋at
2
为矢量公式，其中x 、v
0
、a都是矢量，应用时必须选取统一
2
的正方向．一般选v
0
的方向为正方向．
(1)a：匀加速直线运动中，a与v
0
同向，a取正值 ；匀减速直线运动中，a与v
0
反向，a取负
值．
(2)若位移的计算结果 为正值，说明位移方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，
说明位移方向与规定的正方向相 反．
3．两种特殊形式
1
(1)当v
0
＝0时，x＝at
2
，即由静止开始的匀加速直线运动，位移x与t
2
成正比．
2
(2)当a＝0时，x＝v
0
t，即匀速直线运动的位移公式．
例1 一物体做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝2 ms
2
，求：
(1)第5 s末物体的速度多大？
(2)前4 s的位移多大？
(3)第4 s内的位移多大？
答案 (1)10 ms (2)16 m (3)7 m
解析 (1)第5 s末物体的速度由v
1
＝v
0
＋at
1

得v
1
＝0＋2×5 ms＝10 ms.
1
(2)前4 s的位移由x
1
＝v
0
t＋at
2

2
1
得x
1
＝0＋
×2×4
2
m＝16 m.
2
(3)物体第3 s末的速度v
2
＝v
0
＋at
2
＝0＋2×3 ms＝6 ms
11
则第4 s内的位移x
2
＝v
2
t
3< br>＋
at
3
2
＝6×1 m＋
×2×1
2
m＝7 m.
22
针对训练1 一质点做匀变速直线运动，第3 s内的位移为12 m，第5 s内的位移为20 m，
则该质点运动过程中( )
A．初速度大小为零
B．加速度大小为4 ms
2

C．5 s内的位移为50 m
D．第4 s内的平均速度为8 ms
答案 B
解析 第3 s内的位移等于前3 s内位移与前2 s内位移之差，即Δx
3
＝x
3
－x
2
＝12 m， 11
代入数据得v
0
×3＋a×3
2
－(v
0
×2＋a×2
2
)＝12
22
11
同理可得：v
0×5＋a×5
2
－(v
0
×4＋a×4
2
)＝20
22
联立①②解得v
0
＝2 ms，
a
＝4 ms
2
.
1
故A错误，B正确；5 s内的位移为x＝v
0
t
5
＋
at
5
2
＝60 m，C错误；第4 s内的位移 为Δx
4
＝
2
11
x
4
－x
3
＝ v
0
t
4
＋
at
4
2
－(v
0< br>t
3
＋
at
3
2
)＝16 m，
22
则第4 s内的平均速度v＝
二、刹车问题分析
例2 一辆汽车正在平直的公路上以72 kmh的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下
制动器，此后， 汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 ms
2
，求：
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离．
答案 (1)30 m (2)40 m
解析 汽车的初速度v
0
＝72 kmh＝20 ms，末速度v＝0，加速度a＝－5 ms
2
；汽车运动的总
v－v
0
0－20 ms
时间t＝＝＝4 s.
a
－5 ms
2
(1)因为t
1
＝2 s11
故x
1
＝v
0
t
1
＋
at
1
2
＝(20×2－
×5×2
2
) m＝30 m.
22
(2)因为t
2
＝5 s>t，所以汽车5 s时早已停止运动
11
故x
2
＝v
0
t＋at
2
＝(20×4－< br>×5×4
2
) m＝40 m.
22

刹车类问题的处理思路
实际交通工具刹车后在摩擦力作用下可认为是做匀减速直线运动，当速 度减小到零时，车辆
就会停止．解答此类问题的思路是：
Δx
4
16
＝
ms＝16 ms，D错误．
t1








①
②
(1)先求出它们从刹车到停止的刹车时间；
(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解．
针对训练2 汽车以20 ms的速度做匀速直线运动，某时刻关闭发动机而做匀减速直线运动，
加速度大小为5 ms
2
，则它关闭发动机后通过37.5 m所需时间为( )
A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s
答案 A
1
解析 根据x＝v
0
t＋at
2
，将v
0
＝20 ms，
a
＝－5 ms
2
，x＝37.5 m，代入得：t
1
＝3 s，t
2
＝5 s
2
0－v
0
但因刹车时间t
0
＝＝4 s，所以t
2
＝5 s应舍去．故只有选项A正确．
a
三、逆向思维法解题
在处理末速度为零的匀减速直线运动时，为了方便解题，可以采用逆向思维法，将该运动对
称地 看做逆向的加速度大小相等的初速度为零的匀加速直线运动．
例3 物体做匀减速直线运动，初速度为10 ms，加速度大小为1 ms
2
，则物体在停止运动
前1 s内的平均速度为( )
A．5.5 ms
C．1 ms
答案 D
v－v
0
0－10
解析 物体减速时间t
0
＝＝
s＝10 s
a
－1
该匀减速直线运动的逆运动为：初速度为零、加速度为a′＝1 ms
2
的匀加速直线运动，则原
11
运动物体停止运动前1 s内的位移与逆运动第1 s内的位移相等．由x＝
a′t
2
＝
×1×1
2
m
22
x
＝0.5 m，故物体停止运动前1 s内的平均速度v＝＝0.5 ms，选项D正确．
t

对于末速度为0的匀减速直线运动，采用逆向思维法后，速 度公式和位移公式变为v＝at，x
1
＝
at
2
，计算更为简洁.
2
B．5 ms
D．0.5 ms

1．(位移与时间的关系) 一个做匀变速直线运动物体的位移与时间的关系为x＝5t－5t
2
(位移以
米为单位 ，时间以秒为单位)，下列说法中错误的是( )
A．这个物体的初速度大小是5 ms
B．这个物体的加速度大小是10 ms
2

C．这个物体的加速度方向与初速度方向相反
D．经过1 s后，物体的速度变为零
答案 D
1
解析 根据x＝v
0
t＋at
2
＝5 t－5t
2
得，物体的初速度v
0
＝5 ms，加速度a＝－10 ms2
，故A、
2
B正确．物体的初速度为正值，加速度为负值，可知加速度方向与初 速度方向相反，故C正
0－v
0
－5
确．物体速度减为零的时间t＝＝
s＝0.5 s，故D错误．
a
－10
2．(位移与时间的关系)一个物体从静 止开始做匀加速直线运动，第1秒内的位移为2 m，则
下列说法正确的是( )
A．物体运动的加速度为2 ms
2

B．物体第2秒内的位移为4 m
C．物体在第3秒内的平均速度为8 ms
D．物体从静止开始通过32 m的位移需要4 s的时间
答案 D
12x
1
2×2
解析 根据x
1＝
at
1
2
得，物体运动的加速度a＝
2
＝ ms
2
＝4 ms
2
，故A错误．物体在
2t
1
1
111
第2 s内的位移x
2
＝
at
2
2
－
at
12
＝
×4×(4－1)m＝6 m，故B错误．物体在第3 s内的位移
222< br>111
x
3
＝
at
3
2
－
at2
2
＝
×4×(9－4) m＝10 m，则第3 s内的平均速度为10 ms，故C错误．物体
222
从静止开始通过32 m的时间t＝
2x
＝
a
2×32
s＝4 s，故D正确．
4
3．(逆向思维法的应用)(多选)用相同材料做成的A、B两木块的初速度之比为2∶3，它们以
相同 的加速度在同一粗糙程度相同的水平面上沿直线滑行直至停止，则它们滑行的( )
A．时间之比为1∶1
C．距离之比为4∶9
答案 BC
v－v
0
v
0
解析 由匀变速直线运动的速度公式v＝v
0
＋at，得t＝＝－，因为加速度相同，因此
aa
运动时间之比就等于初速度之比，选 项A错误，B正确；将其看成逆向的初速度为零的匀加
1
速直线运动，根据位移公式x＝
at
2
，知位移之比等于运动时间的平方之比，选项C正确，D
2
B．时间 之比为2∶3
D．距离之比为2∶3
错误．
4．(刹车问题)(2018·浙江 9＋1高中联盟联考)汽车在平直公路上以v
0
＝10 ms的速度做匀速
直线运动，发现前面有情况紧急刹车，获得的加速度大小为2 ms
2
，求：
(1)汽车刹车后3 s末的速度；
(2)汽车刹车后6 s内的位移．
答案 见解析
v
0
10
解析 汽车刹车共经历时间t
0
＝＝
s＝5 s，
a2
(1)v＝v
0
－at＝(10－2×3)ms＝4 ms，方向与v
0
方向相同
1
(2)汽车刹车后6 s内的位移x＝v0
t
0
－
at
0
2
＝25 m，方向与v
0
方向相同.
2

一、选择题
1
1．根据匀变速直线运动的位移公式x＝v
0
t＋at
2
和x＝vt，关于做 匀加速直线运动的物体在
2
t时间内的位移，下列说法正确的是( )
A．加速度大的物体位移大
B．初速度大的物体位移大
C．末速度大的物体位移大
D．平均速度大的物体位移大
答案 D
解析 由x＝vt知，t一定时平均速度大的物体位移大，选项D正确．
2．(多选)一质点以一定的初速度 向东做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为x＝10t－
t
2
(m)，则( )
A．质点初速度为10 ms
B．质点的加速度大小是1 ms
2

C．2 s末的速度为6 ms
D．在2 s末，质点在出发点西边，距出发点24 m
答案 AC
3．一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为x，则它从出 发开始经过
4x的位移所用的时间为( )
tt
A. B. C．2t D．4t
42
答案 C
11
解析 由x＝at
2
和4x＝
at′
2
，得：t′＝2t，故C对．
22
4．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s内的位移是1 m，物体在第3 s内的位移
是( )
A．2 m B．3 m C．5 m D．8 m
答案 C
1
解析 根据x
1
＝
at
1
2
得物体的加速度为：
2
2x
1
2×1
a＝
2
＝
2
ms
2
＝2 ms
2
，
t
1
1
则物体在第3 s内的位移为：
111
x′＝at
3
2
－
at
2
2
＝
×2×(9－4) m＝5 m.
222
5．一物体做初速度为零的匀加速直线运动，将其运动时间顺次分成1∶ 2∶3的三段，则每段
时间内的位移之比为( )
A．1∶3∶5
C．1∶8∶27
答案 C
1
解析 根据x＝at
2
可得：
2
1
物体通过的第一段位移为：x
1
＝
at
2

2
又前3t时间内的位移减去前t时间内的位 移就等于第二段的位移，故物体通过的第二段位移
111
为：x
2
＝
a(3t)
2
－
at
2
＝
a×8t
2
，又 前6t时间内的位移减去前3t时间内的位移就等于第三段
222
111
的位移，故物 体通过的第三段位移为：x
3
＝
a×(6t)
2
－
a(3t )
2
＝
a×27t
2
.
222
故每段时间内的位移之比为：1∶8∶27.
6．(多选)由静止开始做匀加速直线运动的火车，在第10 s末的速度为2 ms，下列叙述中正
确的是( )
A．前10 s内通过的位移为10 m
B．每秒速度变化0.2 ms
C．前10 s内平均速度为1 ms
B．1∶4∶9
D．1∶16∶81
D．第10 s内的位移为2 m
答案 ABC
11
解析 由v＝at，得a＝0.2 ms
2
，故前10 s内的位移x＝
at
2
＝
×0.2×10
2
m＝10 m，选项A、
22
x101
B正确．前10 s内平均速度v＝
＝
ms＝1 ms，选项C正确．第10 s内的位移x
10
＝
at
2
t102
1
－
a(t－1)
2
＝1.9 m，选项D错误．
2
7．交通规则规定：在路口通行的汽车，当红灯亮起时，车头已越过停车线的汽车允许继续通
行．在交通高峰期，某十字路口的汽车排成笔直的长队，假设相邻两车车头最前边缘之间的
距离均为6 m，汽车启动时的加速度均为2.0 ms
2
，当速度增加到8 ms后都做匀速运动．现在，如果最前面一辆汽车前端刚好与停车线相齐，绿灯亮起所有司机同时启动汽车，则在绿
灯亮的3 6 s时间内最多可以通过的汽车数为( )
A．44辆 B．45辆 C．46辆 D．47辆
答案 C
v
8
解析 汽车加速时间为：t
1
＝＝
s＝4 s,36 s时间，汽车能行驶的位移为： < br>a2.0
11
x＝at
1
2
＋v(t－t
1
)＝×2.0×4
2
m＋8×32 m＝272 m.
22
x272所以有：n＝＝
≈45.3.根据题意，能有46辆汽车通过路口，故选项C正确，选项A、B、< br>L6
D错误．
8．一列火车从静止开始做匀加速直线运动，一人站在第一节车厢前端的 旁边观测，第一节车
厢通过他历时2 s，整列车厢通过他历时6 s，则这列火车的车厢有( )
A．3节 B．6节 C．9节 D．12节
答案 C
11
解析 设一节车厢长为L，则L＝at
1
2
，nL＝
at
2
2
22
将t
1
＝2 s，t
2
＝6 s代入上面两式解得：n＝9，选项C正确．
9．一辆汽车以20 ms的速度沿平直公路匀速行驶，突然发现前方有障碍物，立即刹车，汽
车以大小为5 ms
2
的加速度做匀减速直线运动，那么刹车后2 s内与刹车后6 s内汽车通过的
位移大小之比为( )
A．1∶1 B．3∶4 C．3∶1 D．4∶3
答案 B
20
解析 汽车的刹车时间t
0
＝
s＝4 s，故刹车后2 s内及6 s内汽车的位移大小分别为
5
11
x
1
＝v
0
t
1
＋
at
1
2
＝20 ×2 m＋
×(－5)×2
2
m＝30 m，
22
1
x
2
＝20×4 m＋
×(－5)×4
2
m＝40 m，
2
x
1
∶x
2
＝3∶4，B正确．
10．一辆汽车做匀速直线运动，某时刻遇到紧急情况需刹车，刹车后的第1秒内运动了8 m，
第2秒内运动了4 m，关于汽车的运动和刹车过程，下列说法正确的是( )
A．汽车匀速运动时的速度是8 ms
B．汽车刹车时的加速度大小是2 ms
2

C．汽车刹车后3秒末的加速度为0
D．汽车刹车后运动的距离是16 m
答案 C
解析 由位移时间公式可知，
1
v
0
×1＋a×1
2
＝8
2
1
v
0
×2＋a×2
2
－8＝4
2








①
②
由①②联立得v
0
＝10 ms，
a
＝－4 ms
2
，A、B错误．
0－v
0
0－10
刹车减速到零所需时间t＝＝
s＝2.5 s，故刹车后3 s末的速度为零，故C正确．刹
a
－4
11
车后的运动距离 为x＝v
0
t＋at
2
＝10×2.5 m－
×4×2.5
2
m＝12.5 m，故D错误．
22
二、非选择题
11．一物体由静止开始做匀加速直线运动，前4 s内的位移是64 m，求：
(1)物体在前一半时间内所通过的位移大小．
(2)经过后一半位移所需的时间．
答案 (1)16 m (2)(4－22) s
12x641
解析 (1)由x＝at
2
，得a＝
2
＝2× ms
2
＝8 ms
2
，则物体在前一半时间内的位移x
1
＝
at
1
2
2t162
1
＝
×8×2
2 m＝16 m.
2
1
(2)根据x′＝at′
2
，得t′＝
2
－t′＝(4－22) s.
12．汽车以v
0
＝10 ms的速度在水平路面上匀速运动，刹车后经过2 s速度变为6 ms，若将
2x′
＝
a
2×32
＝22 s，经过后一半位移所需时间t″＝t
8
刹车过程视为匀减速直线运动，求：
(1)从开始刹车起，汽车在6 s内发生的位移大小；
(2)汽车停止前2 s内通过的位移大小．
答案 (1)25 m (2)4 m
v－v
0
6－10
解析 (1)汽车刹车时的加速度：a＝
＝
ms
2
＝－2 ms
2
，则汽车速度减为零所需的
t2
0－v
0
－10
1
时间： t
0
＝＝
s＝5 s＜6 s．则6 s内的位移等于5 s内的位移：x＝v0
t
0
＋
at
0
2
＝10×5
a2
－2
1
m－×2×5
2
m＝25 m.
2
11
(2)采用逆向思维，汽车在停止前2 s内的位移：x′＝a′t′
2
＝
×2×2
2
m＝4 m.
22