高中数学公式大全(最新整理版)

高中数学公式大全（最新整理版）

1、二次函数的解析式的三种形式
2
f(x)?ax?bx?c(a?0)
; (1)一般式
2
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
; (2)顶点式
12
(3)零点式.
2、四种命题的相互关系
原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否；
逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；
否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；
逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否
f(x)?a(x?x)(x?x)(a?0)
§ 函数
a
(,0)
1、若
f(x)??f(?x?a)
,则函数
y?f(x)
的图象关于点< br>2
对称;
若
f(x)??f(x?a)
,则函数
y ?f(x)
为周期为
2a
的周期函数.
2、函数
y?f(x)
的图象的对称性
(1)函数
y?f(x)< br>的图
x?a
象关于直线对称
?f(a?x)?f(a?x)

?f(2a?x)?f(x)
.
(2)函数
y?f(x)
的图象关 于直线
x?
a?b
2
对称
?f(a?mx)?f(b?mx)

?f(a?b?mx)?f(mx)
.
3、两个函数图象的对称性
( 1)函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象关于直线
x?0
(即
y
轴)对称.
(2)函数
y?f(mx?a)
与函数
y?f(b?mx)
的图象关于直线
x?
a?b
2m
对称.
y?f
(3)函数
y?f(x)
和
?1
(x)
的图 象关于直线y=x对称.
4、若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y?f(x?a)?b
的图象；
若将曲线
f(x,y)?0
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到曲线
f(x?a,y?b)?0
的图象.
?1
f(a)?b?f(b)?a
. 5、互为反函数的两个函数的关系：
( x)?b]
y?f(kx?b)
6、若函数存在反函数,则其反函数为,并不是
1y?[f(x)?b]
y?[f
?1
(kx?b)
,而函数
y? [f
?1
(kx?b)
是
k
的反函数.
7、几个常见的函数方程
(1)正比例函数
f(x)?cx
,
f( x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c
.
x
f(x)?a
(2)指 数函数,
f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0
.
f(x)?log
a
x
f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1)
y ?
1
[f
k
?1
(3)对数函数,.
?
'
f(x)?x
f(xy)?f(x)f(y),f(1)?
?
. (4)幂函数,< br>(5)余弦函数
f(x)?cosx
,正弦函数
g(x)?sinx
，
f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)
，

§ 数 列
1、数列的同项公式与前n项的和的关系
n?1
?
s
1
,
a
n
?
?
?
s
n
?s
n?1,n?2
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
?L?a
n
).
2、等 差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N
*
)
；其前n项和公式为
n(a
1
? a
n
)
n(n?1)d1
?na
1
?d?n
2?(a
1
?d)n
2222
.
a
a
n
?a
1
q
n?1
?
1
?q
n
(n?N< br>*
)
q
3、等比数列的通项公式；其前n项的和公式为
s
n
?
?
a
1
(1?q
n
)
,q?1
?
s
n
?
?
1?q
?
na,q?1
?1
4、等比差数列
?
a
n
?
:
a
n? 1
?qa
n
?d,a
1
?b(q?0)
的通项公式为 或
?
a
1
?a
n
q
,q?1
?
s
n
?
?
1?q
?
na,q?1
?
1< br>.
?
b?(n?1)d,q?1
?
a
n
?
?
bq
n
?(d?b)q
n?1
?d
,q?1
?< br>q?1
?
；其前n项和公式为
?
nb?n(n?1)d,(q?1)
?
s
n
?
?
d1?q
n
d
(b? )?n,(q?1)
?
1?qq?11?q
?
.
§ 三角函数
sin
?
22
1、同角三角函数的基本关系式
sin
?< br>?cos
?
?1
，
tan
?
=
cos
?
，
tan
?
?cot
?
?1
.
2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

n
?
n
?
?
(?1)
2
sin
?
,
sin(?< br>?
)?
?
n?1
2
?
(?1)
2
c os
?
,
?

(n为偶数)

(n为奇数)
(n为偶数)

(n为奇数)

3、和角与差角公式 < br>n
?
n
?
?
(?1)
2
cos
?< br>,
cos(?
?
)?
?
n?1
2
?
(?1)
2
sin
?
,
?

sin(
?< br>?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos?
cos
?
msin
?
sin
?
;
tan
?
?tan
?
1
m
tan
?
tan
?
.
sin(
?
?
?
)sin(
??
?
)?sin
2
?
?sin
2
?
( 平方正弦公式);
cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos
2
?
?sin
2
?
. < br>tan(
?
?
?
)?

asin
??bcos
?
=
b
tan
?
?
a
). 定,
4、二倍角公式
a
2
?b
2
sin(?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
. < br>2tan
?
tan2
?
?
1?tan
2
?< br>.
5、三倍角公式
sin3
?
?3sin
?
? 4sin
3
?
?4sin
?
sin(?
?
)sin (?
?
)
33
.
??
cos3
?
?4c os
3
?
?3cos
?
?4cos
?
cos(?< br>?
)cos(?
?
)
33
??
.
3tan< br>?
?tan
3
???
tan3
?
??tan
?
tan(?
?
)tan(?
?
)
1?3tan
2
?
33
.
6、三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω
T ?
＞0)的周期
2
?
?
；
x?k
?
?< br>?
函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
2
(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
abc
???2 R
7、正弦定理
sinAsinBsinC
.
8、余弦定理
,k?Z
T?
?
?
.
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
9、面积定理
111
ah
a
?bh
b
?chc
h、h、h
222
（
abc
分别表示a、b、c边上的高）. （1）
111
S?absinC?bcsinA?casinB
222
（2） .
uuuruuur
2
uuuruuur
2
1
S
?OAB
?(|OA|?|OB|)?(OA?OB)
2
(3).
S?
§平面向量
1、两向量的夹角公式
cos
?
?x
1
x
2
?y
1
y
2
22
x
1
2
?y
1
2
?x
2
?y
2(a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
).
2、平面两点间的距离公式
uuuruuuruuur
d
A,B
|AB|?AB?AB
= < /p>

?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
3、向量的平行与垂直
设a=
( A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
, y
2
)
).
(x
1
,y
1
)
, b=
(x
2
,y
2
)
，且b
?
0，则 < br>?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.
.
a||b
?
b=λa
a
?
b(a?
0)
?
a·b=0
4、线段的定比分公式
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
uuuruuur
P(x,y)P(x,y)
PP?
?
PP
2
，则
PP
设
111
，
222
，
P(x,y)
是线段12
的分点,
?
是实数，且
1
x
1
?
?
x
2
?
x?
?
?
1?
?
uuu ruuur
?
uuur
OP?
?
OP
2
uuuru uuruuur
t?
1
?
y?
y
1
?
?< br>y
2
OP?
1
?
1?
?
?
?
?
OP?tOP
1?
?
）.
1
?(1?t)OP
2
（
1?
?
5、三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐 标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2< br>,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
),则△ABC的重心的坐标是
G(
x
1
?x
2
?x3
y
1
?y
2
?y
3
,)
33
.
6、 三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为
?ABC
所在平面上一点，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
，则 < br>uuur
2
uuur
2
uuur
2
O
（1） 为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
uuuruuuruuu rr
（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0< br>.
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
（3）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC?OC?OA
.
uuu ruuuruuurr
（4）
O
为
?ABC
的内心
?aOA ?bOB?cOC?0
.
uuuruuuruuur
（5）
O
为< br>?ABC
的
?A
的旁心
?aOA?bOB?cOC
.
§直线和圆的方程
y?y
k?
21
x
2
?x1
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）. 1、斜率公式

2、直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
?
y?y
1
x
2
?x
1
(
y
1
?y
2
)(
P
1
(x1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
, y
2
)
(
x
1
?x
2
)). （3）两点式
2
xy
??1
ab
(4)截距式 (
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
3、两条直线的平行和垂直 < br>(1)若
①
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
;
l
1
||l
2
?k
1
?k
2
,b1
?b
2

②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
,,且A1、A2、B1、B2都不为零, (2)若
l
1
:A
1< br>x?B
1
y?C
1
?0l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
A
1
B
1
C
1
??
A
2
B
2
C
2
； ①< br>l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
l
1
||l
2
?
② ；
d?
4、点到直线的距离

5、圆的四种方程
|Ax
0
?By
0
?C|
A
2
?B
2
(点P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax? By?C?0
).
222
(x?a)?(y?b)?r
（1）圆的标准方程 .
22
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D
2
?E
2
?4F
＞0). （2）圆的一般方程
?
x?a?rcos
?
?
y?b?rsin
?
. （3）圆的参数方程
?
（4）圆的直径式方程
(x?x
1
)(x ?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
(圆的 直径的端点是
A(x
1
,y
1
)
、
).
6、直线与圆的位置关系
222
(x?a)?(y?b)?r
Ax?By? C?0
直线与圆的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0d?r?相交???0
. < br>B(x
2
,y
2
)
A?B
其中
7、圆的切线 方程
其方程是
d?
Aa?Bb?C
22
.
22
x?y?Dx?Ey?F?0
．①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上，则切线只有一条，(1)已知圆
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
??F?0
(x
0
,y
0
)
22
.当圆外时,
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
x
0
x?y
0
y???F?0
22
表示过两个切点的切点弦 方程．②过圆外一点
y?y
0
?k(x?x
0
)
x
0
x?y
0
y?
的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线 ，注意不要
漏掉平行于y轴的切线．③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利 用相切条件求b，
必有两条切线．
2
222
P
0
(x0
,y
0
)
xx?yy?r
x?y?r
00
( 2)已知圆．①过圆上的点的切线方程为;②斜率为
k
2
y?kx?r1?k
的圆的切线方程为.

§圆锥曲线方程
?
x?acos
?
x
2
y
2
?
?
2
?1(a?b?0)
2
y?bsin
?
.
b
1、椭圆
a
的参数方程是< br>?

x
2
y
2
a
2
a
2
?
2
?1(a?b?0)PF
1
?e(x?)PF
2?e(?x)
2
bc
，
c
2、椭圆
a
焦半径公 式 .
3、椭圆的切线方程
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
??1(a?b?0)
?
2
?1
22
2
P(x
0
,y
0
)
ab
ab
(1)椭圆上一点处的切线方程是.
x
2
y
2
?
2?1(a?b?0)
2
P(x
0
,y
0
)
b< br>(2)过椭圆
a
外一点所引两条切线的切点弦方程是
x
0
x y
0
y
?
2
?1
2
ab
.
x< br>2
y
2
?
2
?1(a?b?0)
2
2222 2
ab
(3)椭圆与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
Aa?Bb?c
. a
2
a
2
x
2
y
2
PF
1< br>?|e(x?)|PF
2
?|e(?x)|
?
2
?1(a?0 ,b?0)
2
c
，
c
b
4、双曲线
a
的焦 半径公式.
5、双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2
y
2x
2
y
2
b
??1??0?
y??x
2222
ab
?
ab
a
(1）若双曲线方程为渐近线方程：. x
2
y
2
xy
b
?
2
??
? ?0
y??x
2
?
双曲线可设为
ab
a
?
ab
(2)若渐近线方程为.
x
2
y
2
x
2y
2
?
2
?1?
2
??
22
abab
(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（
??0
，焦点在x轴上，
??0< br>，焦点在y轴上）.
6、 双曲线的切线方程
x
2
y
2< br>x
0
xy
0
y
??1(a?0,b?0)
?
2
?1
22
2
P(x
0
,y
0
)
ab
ab
(1)双曲线上一点处的切线方程是.
x
2
y
2
?
2
?1(a?0,b?0)
2
P(x
0
,y< br>0
)
b
（2）过双曲线
a
外一点所引两条切线的切点弦方程是
x
0
xy
0
y
?
2
?1
a
2
b
.
x
2
y
2
?
2
?1( a?0,b?0)
2
b
(3)双曲线
a
与直线
Ax?By ?C?0
相切的条件是
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2
.
p
CF?x?
2
2
0
y?2pxy?2px(p?0)
2
.过焦点7、抛物线的焦半径公式：抛物线焦半 径
pp
CD?x
1
??x
2
??x
1
?x
2
?p
22
弦长.
b
2
4ac?b
2< br>y?ax?bx?c?a(x?)?
2a4a
(a?0)
的图象是抛物线：8、 二次函数（1）顶点坐
2
b4ac?b
2
b4ac?b
2
? 1
(?,)(?,)
2a4a2a4a
标为；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是

4ac?b
2
?1
y?
4a
.
9、 抛物线的切线方程
2
y?2px
上一点
P(x
0< br>,y
0
)
处的切线方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
. (1)抛物线
2
y?2px
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
y
0
y ?p(x?x
0
)
. （2）过抛物线
22
y?2px(p?0)pB?2AC
.
Ax?By?C ?0
（3）抛物线与直线相切的条件是
4
V?
?
R
3
2
3
1、球的半径是R，则其体积,其表面积
S?4
?
R
．
2、柱体、锥体的体积
1
V
柱体
?Sh
3
（
S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高）.
1
V
锥体
?Sh
3
（
S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高）.

3、回归直线方程
nn
?
?
x
i
?x
??
y
i
?y
?
?
x
i
y< br>i
?nxy
?
?
?
b?
i?1
n
?
i?1
n
2
?
x?xx
i
2
?nx
2
??
??
i
?
i?1i?1
?
$$
y? a?bx
，其中
?
a?y?bx
.
§极

限

1、几个常用极限
11
1
n
lim
lim?0
lima?0
limx?x
0
x?x
0
x
?
x
n??
n
|a|?1
x
0
. （1），n??
（）；（2）
?x
0
，
?
1
?
sinx
lim
?
1?
?
?e
lim?1
x??< br>?
x
?
（3）
x?0
x
；（4）(e=2.7182 81845…).
§导 数
1、几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
（C为常数）.
'n?1
(x)?nx(n?Q)
.
n
(2)
x
?
(3)
(sinx)?cosx
.
?
(4)
(cosx)??sinx
.
11
e
(loga
x
)
?
?log
a
x
；
x (5) .
x
?
?e
x
(a
x
)
?
?a
x
lna
(e)
(6) .
(lnx)
?
?
2、导数的运算法则
'''
(u?v)?u?v
（1）.
'''
(uv)?uv?uv
（2）.

u
'
u
'
v?uv
'
()?(v?0)
2
v
（3）< br>v
.
3、复合函数的求导法则
''
u?
?
( x)
，函数
y?f(u)
在点
x
处的对应点U处有导数
u?
?
(x)
x
x
设函数在点处有导数
'''
y
u
'
?f
'
(u)
，则复合函数
y?f(
?(x))
在点
x
处有导数，且
y
x
?y
u?u
x
，或写作
f
x
'
(
?
(x)) ?f
'
(u)
?
'
(x)
.
§复 数
22
|z|
|a?bi|
a?b
z?a?bi
1、复数的模（或绝对 值）==.
2、复数的四则运算法则
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
(a?bi)?(c?di)?
z
1
?z
2
?z
2
?z
1
(4)
3、复数的乘法的运算律
交换律:
结合律:
.
ac?bdbc?ad
?
2
i(c?di?0)
222
c?dc?d
.
(z
1
?z< br>2
)?z
3
?z
1
?(z
2
?z
3
)
.
231213
. 分配律:
1
4、复平面上的两点间的距离公式
z?(z?z)?z?z?z?z< br>d?|z
1
?z
2
|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
5、向量的垂 直
（
z
1
?x
1
?y
1
i
，
z
2
?x
2
?y
2
i
）.
uu uur
uuuur
uuuuruuuur
z?a?biz
2
?c?d i
OZ
1
，
OZ
2
，则
OZ
1
? OZ
2
?
z
1
?z
2
非零复数
1
，对应的向量分别是
z
2
222
|z?z|?|z|?|z|
z??
1212
1
的实部为零为纯虚数
222
?
|z< br>1
?z
2
|?|z
1
|?|z
2
|
?
|z
1
?z
2
|?|z
1
?z
2
|
?
ac?bd?0
?
z
1
?
?
iz< br>2
(λ为非
零实数).
6、实系数一元二次方程的解
2
实系数一元二次方程
ax?bx?c?0
，
?b?b
2
?4ac
x
1,2
?
2
2a
①若
??b? 4ac?0
,则;
b
x?x??
12
2
2a
; ②若
??b?4ac?0
,则
2
③若
??b?4ac?0
， 它在实数集
R
内没有实数根；在复数集
C
内有且仅有两个共轭复数
? b??(b
2
?4ac)i
2
x?(b?4ac?0)
2a
根.