高中数学公式大全(最整理新版)

设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b
?
0，则
a||b< br>?
b=λa
?x
1
y
2
?x
2
y< br>1
?0
.
?x
1
x
2
?y
1y
2
?0
. a
?
b(a
?
0)
?< br>a·b=0
4、线段的定比分公式
设
P
1
P
2
的分点,
?
是实数，且
PP
2
(x
2
,y
2
)
，
P(x,y)
是线段
P
1
(x1
,y
1
)
，
P
1
?
?
PP
2
，则
x
1
?
?
x
2
?
x?
?
?
1?
?
?
OP?
?
OP
2
1
?
y?
y
1
?
?
y
2OP?
1
t?
?
1?
?
?
?
?
OP?tOP
1?
?
1
?(1?t)OP
2
（
1 ?
?
）.
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐标是
5、三角形的重心坐标公式
△ABC 三个顶点的坐标分别为
G(
x
1
?x
2
?x
3y
1
?y
2
?y
3
,)
33
.
6、 三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为
?ABC
所在平面上一点，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
，则
（1）
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0
.
（3）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?O C?OC?OA
.
（4）
O
为
?ABC
的内心
? aOA?bOB?cOC?0
.
（5）
O
为
?ABC
的< br>?A
的旁心
?aOA?bOB?cOC
.
222
§直线和圆的方程
y?y
1
k?
2
x2
?x
1
（
P
2
(x
2
,y
2
)
）.
1
(x
1
,y
1
)
、
P
1、斜率公式

2、直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
?
y?y
1
x
2
?x
1
(
y
1
?y
2
)(
P
2
(x2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
1
(x
1
,y
1
)
、
P
（3）两点式
2
xy
??1
ab
(4)截距式 (
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
3、两条直线的平行和垂直 < br>(1)若
①
②
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
;

l
1
||l
2
?k
1
?k
2< br>,b
1
?b
2
l
1
?l
2
?k1
k
2
??1
.
(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
l
2
: A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,,且A1、A2、B 1、B2都不为零,
4 8

A
1
B
1
C
1
??
ABC
2
；
22
①
l?l2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
? 0
； ②
1
l
1
||l
2
?
d?
4、点到直线的距离

5、圆的四种方程
|Ax
0
?By
0
?C|
A
2
?B
2
(点
P(x
0,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By?C?0
).
222
(x?a)?(y?b)?r
（1）圆的标准方程 .
22
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D
2
?E
2
?4F
＞0). （2）圆的一般方程
?
x?a?rcos
?
?
y?b?rsin
?
. （3）圆的参数方程
?
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y ?y
1
)(y?y
2
)?0
(圆的直径的端点是
A(x1
,y
1
)
、（4）圆的直径式方程
B(x
2
,y
2
)
).
6、直线与圆的位置关系
222
Ax?By?C?0
(x?a)?(y?b)?r
直线与圆的位置关系 有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0d?r?相交???0
.
A?B
其中
7、圆的切线方程
其方程是
d?
Aa?Bb?C
22
.
22
x?y?Dx?Ey?F ?0
．①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上，则切 线只有一条，(1)已知圆
的切线方程可设为
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
??F?0
(x
0
,y
0
)
22
.当圆外时,
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
x
0
x?y
0
y???F?0
22
表示过两个切点的切点弦方 程．②过圆外一点
y?y
0
?k(x?x
0
)
x
0
x?y
0
y?
，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要
漏掉平行于y轴的切线．③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件求b，< br>必有两条切线．
222
P(x,y)
xx?y
0
y?r;②斜率为
k
x?y?r
(2)已知圆．①过圆上的
000
点的 切线方程为
0
2
2
y?kx?r1?k
的圆的切线方程为.

§圆锥曲线方程
?
x?acos
?
x
2
y
2
?
?
2
?1(a?b?0)
2
y?bsin
?
.
ab
1、椭圆的参数方程是
?
a
2
x
2
y
2
a
2
PF
1
?e(x?)
PF
2
?e(?x)?
2
?1(a?b?0)
2
c
，
bc
2、椭圆
a
焦半径公式 .
3、椭圆的切线方程
5 8

x
2
y
2
x
0
xy
0
y
??1(a?b?0)
?
2
?1
222
P(x,y)
ab
00
ab
(1)椭圆上一点处的切线方程是 .
x
2
y
2
?
2
?1(a?b?0)
2
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
ab
(2)过椭圆外一点
x
0
xy
0
y
?
2
?1
a
2
b
.
x
2
y
2?
2
?1(a?b?0)
22222
2
Ax?By?C?0Aa?Bb?c
ab
(3)椭圆与直线相切的条件是.
a
2
a
2
x
2
y
2
PF
1
?|e(x?)|< br>PF
2
?|e(?x)|
?
2
?1(a?0,b?0)
2
c
c
，
ab
4、双曲线的焦半径公式.
5、双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2
y
2
x
2
y
2
b
??1??0?
y??x
22
22ab
?
ab
a
(1）若双曲线方程为渐近线方程：.
x
2
y
2
xy
b
?
2
??
??0
y??x
2
?
?
ab
ab
a
(2)若渐近线方程为 双曲线可设为.
x
2
y
2
x
2
y
2?
2
?1?
2
??
22
bb
(3)若双曲线与
a
有公共渐近线，可设为
a
（
??0
，焦点在x轴上，??0
，焦点在y轴上）.
6、 双曲线的切线方程
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
??1(a?0,b?0)
?
2
?1
22
2
P(x,y)
00
ab
ab
(1)双曲线上一点处的切线方程是.
x
2
y
2
?
2
?1(a?0,b?0)
2
P(x
0
,y
0)
所引两条切线的切点弦方程是
ab
（2）过双曲线外一点
x
0
xy
0
y
?
2
?1
a
2
b.
x
2
y
2
?
2
?1(a?0,b?0)< br>2
b
(3)双曲线
a
与直线
Ax?By?C?0
相 切的条件是
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2
.
p
CF?x
0
?
2
2
2
.过焦点7、抛物线
y?2px
的焦半径公式：抛物线
y?2px(p?0 )
焦半径
pp
CD?x
1
??x
2
??x
1
?x
2
?p
22
弦长.
b
2
4ac? b
2
y?ax?bx?c?a(x?)?
2a4a
(a?0)
的图象 是抛物线：8、二次函数（1）顶点坐
2
b4ac?b
2
?1
b4a c?b
2
(?,)
(?,)
2a4a
2a4a
标为；（2） 焦点的坐标为；（3）准线方程是
4ac?b
2
?1
y?
4a
.
9、 抛物线的切线方程
6 8

2
y?2px< br>上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
. (1)抛物线
2
y?2 px
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点 弦方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
. （2）过抛物线22
Ax?By?C?0
y?2px(p?0)pB?2AC
. （3）抛物线与 直线相切的条件是
4
V?
?
R
3
2
3
1、 球的半径是R，则其体积,其表面积
S?4
?
R
．
2、柱体、锥体的体积
1
V
柱体
?Sh
3
（S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高）.
1
V
锥体?Sh
3
（
S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高）.

3、回归直线方程
nn
?
?
x
i
?x
??
y
i
?y
?
?
x
i
y< br>i
?nxy
?
?
?
b?
i?1
n
?
i?1
n
2
22
?
x?xx?nx
??
? ?
ii
?
i?1i?1
?
y?a?bx
，其中
?< br>a?y?bx
.
§极限

1、几个常用极限
11
1
n
lim
lim?0
lima?0
limx?x
0
x?x
0
x
?
x
|a|?1
0
. （1）
n??
n
，
n??
（）；（2）
x?x
0
，?
1
?
sinx
lim
lim?1
?
1??
?e
x??
?
x
?
（3）
x?0
x
；（4）(e=2.718281845…).
§导数
1、几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
（C为常数）.
'n?1
(x)?nx(n?Q)
.
n
(2)
x
?
(3)
(sinx)?cosx
.
?
(4)
(cosx)??sinx
.
1
1
e
(loga
x
)
?
?log
a
x
；
x
(5) .
xxx
?
x
?
(6)
(e)?e
;
(a)?alna
.
(lnx)
?
?
2、导数的运算法则
'''
(u?v)?u?v
（1）.
'''
(uv)?uv?uv
（2）.
u
'
u
'
v?uv
'
()?(v?0)
2
v
（3）
v
.
3、复合函数的求导法则
''
u?
?
(x)
， 函数
y?f(u)
在点
x
处的对应点U处有导数
u?
?(x)
x
x
设函数在点处有导数
7 8

'' '
y
u
'
?f
'
(u)
，则复合函数
y? f(
?
(x))
在点
x
处有导数，且
y
x
?y
u
?u
x
，或写作
f
x
'
(
?
(x))?f
'
(u)
?
'
(x)
.
§复 数
1、复数
z?a?bi
的模（或绝对值）
|z|
=
|a?bi|
=
a?b
.
2、复数的四则运算法则
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
22
(a?bi)?(c?di)?
(4)
3、复数的乘法的运算律
交换律:
结合律:
ac?bdbc?ad
?
2
i(c?di?0)
222
c?dc?d
.
z
1
?z
2
?z
2
?z
1
. < br>(z
1
?z
2
)?z
3
?z
1
?( z
2
?z
3
)
.
231213
. 分配律:
1
4、复平面上的两点间的距离公式
z?(z?z)?z?z?z?z< br>d?|z
1
?z
2
|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
5、向量的垂 直
（
z
1
?x
1
?y
1
i
，
z
2
?x
2
?y
2
i
）.
z< br>1
?a?bi
，
z
2
?c?di
对应的向量分别是< br>OZ
1
，
OZ
2
，则
OZ
1
?OZ
2
?
z
1
?z
2
z
2
222z
1
|z?z|?|z|?|z|
??
1212
的实部为零为纯 虚数
非零复数
222
|z?z|?|z|?|z|
?
12
?
|z
1
?z
2
|?|z
1
?z
2
|
?
ac?bd?0
?
z
1
?
?
iz< br>2
(λ为非
12
零实数).
6、实系数一元二次方程的解
2
实系数一元二次方程
ax?bx?c?0
，
?b?b
2
?4ac
x
1,2
?
2
??b?4ac?0
2a< br>①若,则;
b
x?x??
12
2
2a
; ②若??b?4ac?0
,则
2
③若
??b?4ac?0
，它在实数 集
R
内没有实数根；在复数集
C
内有且仅有两个共轭复数
?b??( b
2
?4ac)i
2
x?(b?4ac?0)
2a
根.

8 8