高中理科数学公式大全(精华版)

高中数学公式大全（理科）

§01. 集合与简易逻辑
集合
{a
1
,a
2
,,a
n
}
的子集个 数共有
2
n
个；真子集有
2
n
–1个；非空子集有
2
n
–1
个；非空的真子集有
2
n
–2个.
真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
常见结论的否定形式
原结论 反设词
是 不是
都是 不都是
大于 不大于
小于 不小于
对所有
x
，成立 存在某
x
，不成立
对任何
x
，不成立 存在某
x
，成立
原结论
至少有一个
至多有一个
至少有
n
个
至多有
n
个
p
或
q

反设词
一个也没有
至少有两个
至多有（
n?1
）个
至少有（
n?1
）个
?p
且
?q

p
且
q

?p
或
?q

§02. 函数
函数的单调性
（1）设
x
1
、x
2
?[a ,b],x
1
?x
2
那么
f(x
1
)?f(x< br>2
)?0?f(x)在[a,b]
上是增函数；
f(x
1
) ?f(x
2
)?0?f(x)在[a,b]
上是减函数.
（2）设函数y?f(x)
在某个区间内可导，若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数；若
f
?
(x)?0
，
则
f( x)
为减函数.
（3）对复合函数
y?f[g(x)]
：同增异减
函数的奇偶性
对于定义域内任意的
x
，都有
f(?x)?f(x )
，则
f(x)
是偶函数；
对于定义域内任意的
x
，都 有
f(?x)??f(x)
，则
f(x)
是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
函数的对称性
a?b
对称.
2
函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a?x)?f(a?x)

?f(2a?x)?f(x)
.
a?b
函数
y?f(mx?a)< br>与函数
y?f(b?mx)
的图象关于直线
x?
对称.
2m
?1
函数
y?f(x)
和
y?f(x)
的图象关于直线y= x对称.
函数
y?f(x?a)
与
y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
函数的周期性
若
f(x)??f(x?a)< br>或
f(x?a)??
1
则函数
y?f(x)
是周期为
2a
的周期函数.
f(x)
若
f(x?a)?f(x?b)(a?b)，则函数
y?f(x)
是周期函数，其中一个周期为
T?a?b


1

指数与对数函数

log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

log
m
N
log
a
N?
(
a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
log
m
a
n

lo g
a
m
b
n
?log
a
b
(
a? 0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1
,

N?0
).
m
M
?log
a
M?log
a
N

log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N

log
a
N

log
a
M
n
?nlog
a
M(n?R)

函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义
函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)< br>在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f
?
(x
0
)
，相应的切线方程是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.

几种常见函数的导数
C
'
?0

(x
n
)
'
?nx
n?1

(sinx)
'
?cosx

(coxs)
'
??sinx

(a
x
)
'
?a
x
lna

(e
x
)
'
?e
x
；
(log
a
x)
'
?
导数的运算法则
11
'

(lnx)?

xlnax
u< br>'
u
'
v?uv
'
(v?0)
. （1）
(u?v)?u?v
. （2）
(uv)?uv?uv
. （3）
()?
vv
2
''''''
（4）对复合函数，看整体，先求大再求小。
§03.三角函数
同角三角函数的基本关系式 ：
sin
?
?cos
?
?1

tan
?
=
22
sin
?

cos
?
正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
两角和差公式：

sin(
?
?
?
)?sin
?
c os
?
?cos
?
sin
?

cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
sin?
sin
?

tan(
?
?
?
)?
二倍角公式：
tan
?
?tan
?
.
1tan
?
tan
?
2tan
?

21?tan
?
cos2
?
?cos
2
?
?si n
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2?

sin2
?
?sin
?
cos
?

tan2
?
?

公式变形：
1?cos2
?1?cos2
?
cos
2
?
?;sin
2
?< br>?
22

三角函数的周期、最值、单调区间、图像变换
函数
y?sin(
?
x?
?
)
及函数
y?cos(
?< br>x?
?
)
的周期
T?
函数
y?tan(
?< br>x?
?
)
，
x?k
?
?
辅助角公式
2
?
?

?
2
,k?Z
的周期
T?
?

?
b

a
y?asinx?bcosx?

a?bsin(x?
?
)
其中
tan
?
?
2

22

abc
???2R
.
sinAsinBsinC
22222222 2
余弦定理：
a?b?c?2bccosA

b?c?a?2cacosB

c?a?b?2abcosC

111
三角形面积公式：
S?absinC?bcsinA?casinB
.
222
三角形内角和定理：在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)

正弦定理：
常见三角不等式:
若
x?(0,
若
x?(0,
?
2
)
，则
sinx?x?tanx

)
，则
1?sinx?cosx?2

|cxo?s

|

?
2
x?|

|sin
§04. 平面向量
?
?
?
?
a
与
b
的数量积(或内积)：
a?b?abcos
?
两向量的夹角公 式:
cos
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
22
x
1
2
?y
1
2?x
2
?y
2
?
?

a
=< br>(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)

平面两点间的距离公式:
d
A,B
=
|AB|?
向量的平行与垂直:
AB?AB
?(x
2< br>?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)2

?
?
?
设
a?(x
1
,y
1
)
b?(x
2
,y
2
)
，且
b?0< br>
?
?
?
?
a
∥
b?b?
?
a?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

?
?
?
?
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

§05. 数 列
数列的通项公式与前n项的和的关系:
n?1
?
s
1
,
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
?< br>a
n
?
?
?
s
n
?s
n?1
,n?2
等差数列的通项公式:
a
n
?a
1
?(n?1) d?dn?a
1
?d(n?N
*
)

前n项和公式:
s
n
?
?a
n
)
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d1
?na
1
?d?n< br>2
?(a
1
?d)n

2222
n?1
等比 数列的通项公式:
a
n
?a
1
q?
a
1
n
?q(n?N
*
)

q
?
a
1
( 1?q
n
)
?
a
1
?a
n
q
,q ?1
,q?1
?
?
s?
前n项的和公式:
n
?
1?q
或
s
n
?
?
1?q

?
na,q?1
?
na,q?1
?
1
?
1

常用公式：若
?
a
n
?
为等差（等比）数列，则
S
k
,S
2k
?S
k
,S
3k
?S
2k
也为等差（等比）数列




3

§06. 不等式
常用不等式：
a,b?R
?
a
2
?b
2
?2ab
(当且仅当a＝b时取“=”号) < br>a?b
a,b?R
?
?
?ab
(当且仅当a＝b时取“=”号 )
2
x?y
?xy
，当
x?y
时等号成立。 已知
x,y
都是正数，则有
2
（1）若积
xy
是定值p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p

1
2
（2）若和
x?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值
s

4
含有绝对值的不等式:
a?b?a?b?a?b

去绝对值：先讨论绝对值内的正负，若为正，则去掉绝对值后为本身；若为负，取相反数。
指数不等式与对数不等式：
当
a?1
时, 当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
; ?
f(x)?0
?
f(x)?0
??
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0

l og
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
f(x)?g(x)
??
§07. 直线和圆的方程
y?y
1
斜率公式：
k?
2
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2(x
2
,y
2
)
）
x
2
?x
1
直线的五种方程：
点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)
斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
(
y
1
?y
2
)(
P< br>?
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
))
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
截距式
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab
一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0)
两点式
两条直线的平行和垂直
（1）若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x ?b
2

①
l
1
||l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2

②< br>l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
（2）
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2< br>y?C
2
?0
,且A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零
①
l
1
||l
2< br>?
A
1
B
1
C
1

??
A
2
B
2
C
2
②
l
1
?l
2
?A

1
A
2?B
1
B
2
?0
点到直线的距离：
d?
圆的三种方程：
圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r

222
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
2 2
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By?C?0
)

4

圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
＞0)
圆的参数方程
?
22
?
x?a?rcos
?

?
y?b?rsin
?
直线与圆的位置关系：
直线
Ax? By?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种:
d?r?相离???0

d?r?相切???0

d?r?相交???0
弦长=
2r
2
?d
2

Aa?Bb?C
其中
d?

22
A?B
圆与圆的位置关系：
设两圆圆心分别为O
1
， O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1O
2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.

§08. 圆锥曲线方程
?
x?acos
?
c
x
2
y
2
222
椭圆：
2
?
2
?1(a?b ?0)
，
a?b?c
，离心率
e??1
，参数方程是
?
a
ab
y?bsin
?
?
a
?
c< br>x
2
y
2
?
x?
222
双曲线：
2
?
2
?1
(a>0,b>0)，
a?b?c
，离心率
e??1
，参数方程
?
cos
?

a
ab
?
?
y?btan
?
p
p
2
抛物线：
y ?2px
，焦点
(,0)
,准线
x??
。抛物线上的点到焦点距离等 于它到准线
2
2
?
x?2pt
2
的距离.参数方程
?

?
y?2pt
双曲线的方程与渐近线方程的关系：
x
2
y
2
b
若双曲线方程为
2
?
2
?1?
渐近线方程：
y??x
.
a
ab
x
2
y
2
b
若渐近线方 程为
y??x
?
双曲线可设为
2
?
2
??
.
a
ab
焦半径公式（曲线上一点到焦点的距离）：
b
2
椭圆、双曲线：
PF

2
?
1
?a?ex
0
，
PF
2
?a?ex
0
若垂直于x轴，则
PF
a
p
抛物线：
|PF|?x
0
?

2
过抛物线焦点的弦长：
AB?x?x?p

12
焦点三角形：

5

椭圆：周长2（a+c） 面积
S
?
PF
1
F
2
?btan
2
?
2
?cy
0

双曲线： 面积
S
?
PF
1
F
2
?
b
2tan
?
2

中点弦问题：
b
2
x
0
b
2
x
0
椭圆：
k??
2
双曲线：
k?
2

ay
0
ay
0
§09. 立体几何
证明直线与直线平行的方法：（1）三角形中位线 （2）平行四边形（一组对边平行且相等） 证明直线与平面平行的方法：（1）线线平行
?
线面平行（2）面面平行
?
线面平行
证明平面与平面平行的方法：线面平行（相交直线）
?
面面平行
证明直线与直线垂直的方法：（1）线面垂直
?
线线垂直（2）面面垂直
?
线线垂直（交线）
证明直线与平面垂直的方法：（1）线线垂直
?
线面垂直（相交直线）
（2）面面垂直
?
线面垂直
证明平面与平面垂直的方法：(1)线线垂直（相交）< br>?
面面垂直（2）线面垂直
?
面面垂直
??
a
?< br>n
??
线面角：
sin
?
?cosa,n?
??
an
??
n
1
?n
2
二面角：
co s
?
?cos
?
?
??

n
1
n
2
柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式： < br>圆柱侧面积=
2
?
rl
，表面积=
2
?
rl ?2
?
r

圆椎侧面积=
?
rl
，表面积=
?
rl?
?
r

V
柱体
?Sh
（
S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高）
2
2
1
V
锥体
?Sh
（
S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高）
3
4
3
2
球的半径是
R
，则其体积
V?< br>?
R
,其表面积
S?4
?
R

3
66
a
,外接球的半径为
a
棱长为
a
的正四面体的内切球的半径为
124
直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等 ，与底面垂直
正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心

§10. 排列组合、二项定理
分类计数原理（加法原理） 分步计数原理（乘法原理）
N?m
1
?m
2
??m
n

N?m
1
?m
2
??m
n

组合数公式：
C
m
n
=
A
n
m
n(n?1)?(n?m ?1)
*
n
=(∈N，
m?N
，且
m?n
) m
m!
A
m
m
组合数的两个性质：
C
n
=
C
n
n?m

C
n
+
Cn
rn?r
m
m?1
=
C
n?1
注:规定
C
n
?1
.
m0
0n1n?12n?22rn?rrnn
二项式定理：
(a?b)n
?C
n
a?C
n
ab?C
n
ab?
?
?C
n
ab?
?
?C
n
b

二项展开式的通项公式：
T
r?1
?C
n
a
n
1， 2?，n)

b
r
(r?0，
n?1
二项式系数和：
2
，奇数项（偶数项）的二项式系数和
2
各项系数和：赋值法（令x=1）


6

§11、12. 概率与统计
kkn?k
n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：
P.

n
(k)?C
n
P(1?P)
数学期望：
E
?
?x
1
P
1
?x
2
P
2
?
2
?x
n
P
n
?

E(a
?
?b)?aE(
?
)?b

2

方差：
D
?
?
?
x
1
?E
??
?p
1
?
?
x
2
?E
?
?
?p
2
?

D
?
a
?
?b
?
?aD
?
2
?
?
x
n
?E
?
?
?p
n
?
2

kkn?k
二项分布：若
P.
则
?
～
B(n,p)

n
(k)?C
n
P(1?P)

E
?
?np

D
?
?np(1?p)
.
1
2
e
26< br>,x?
?
??,??
?

?
~N(
?
,
?
2
)

2
?
6
2

E
?
?
?

D
?
?
?

正态分布曲线下方面积为1且
?
为对称轴。
正态分布：
f
?
x
?
?
回归直线方程
nn
?
?
x
i
?x
??
y
i
? y
?
?
x
i
y
i
?nxy
?
?< br>?
b?
i?1
n
?
i?1
n
2
y? a?bx
，其中
?
22
.
x?xx?nx
??
? ?
ii
?
i?1i?1
?
?
a?y?bx
2
x?
?
??
?
相关系数

r?
?
?
x?x
??
y?y
?
ii
i?1
n
?(x?x)
?
(y?y)
2
ii
i?1i?1
nn
?
2
?
?
x?x
??
y?y
?ii
i?1
n
(
?
x
i
2
?nx2
)(
?
y
i
2
?ny
2
)
i?1i?1
nn
.
|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程 度越小.若变量间可用一次函数
表示斜率为正，则相关系数r=1，否则r=-1。
§13极坐标与参数方程：
?
?
2
?x
2
?y< br>2
?
?
cos
?
?x
?
极坐标与直角坐标的 转化
?

?

y
?
?
sin
?
?y
?
tan
?
?(x?0)
x
?
?
x?x
0
?tcos
?
直线的参数方程
?
经过点< br>P
0
(x
0
,y
0
)
倾斜角为
?< br>，设P是直线上任一点，则
?
y?y
0
?tsin
?
t表示有向线段
P
0
P
的长度。

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