2020高中数学公式大全(最新最全版)

高中数学所有公式结论
（最新最全版）
目录
必修1 .................................................. .................................................. .................................................. ...... 2
第一章、集合 ............................... .................................................. .................................................. ............ 2
第二章、函数 ......................... .................................................. .................................................. .................. 4
第三章、基本初等函数 ............... .................................................. .................................................. ............ 7
必修二 ............................ .................................................. .................................................. ................................... 8
第一章、立体几何初步 .................................. .................................................. ........................................... 8
第二章、平面解析几何初步 ................................ .................................................. ................................... 18
必修三 .... .................................................. .................................................. .................................................. ....... 20
必修四 ................................ .................................................. .................................................. ............................. 20
第一章 基本初等函数II . .................................................. .................................................. ....................... 20
第二章 平面向量 .......... .................................................. .................................................. ....................... 22
必修五 ................ .................................................. .................................................. ............................................. 25
第一章 解三角形 .................................. .................................................. ................................................. 25
第二章 数列 .................................... .................................................. .................................................. ..... 27
第三章 不等式 ............................. .................................................. .................................................. ........ 27
选修2-1 ............................. .................................................. .................................................. .............................. 28
第一章 常用逻辑用语 . .................................................. .................................................. ........................ 28
第二章 圆锥曲线与方程 ...... .................................................. .................................................. ............... 30
第三章 空间向量与立体几何 ............. .................................................. .................................................. 33
选修2-2 ...................................... .................................................. .................................................. ..................... 36
第一章 导数及其应用 .......... .................................................. .................................................. ............... 36
第二章 推理与证明 ................. .................................................. .................................................. ............ 38
第三章 数系的扩充与复数 ................. .................................................. .................................................. 38
选修2-3 ...................................... .................................................. .................................................. ..................... 41
第一章 计数原理 第二章 概率 .................................................. ................................................ 41


























1

必修1
第一章、集合
定义1 一般地，一组确定的、互异的、无 序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；
集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示 ，元素
x
在集合
A
中，称
x
属于
A
，记为
x?A
，否
则称
x
不属于
A
，记作
x?A
。
例如，通常用
N
，
Z
，
Q
，
B
，
Q
+
分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含
任何元素的集合称为空集，用
?
来表示。集合分有限集和无限集两种。
< br>集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方
法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，
{xx?0}
分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合
A< br>与
B
，如果集合
A
中的任何一个元素都是集合
B
中的 元素，则
A
叫
做
B
的子集，记为
A?B
，例如N?Z
。规定空集是任何集合的子集，如果
A
是
B
的子集，B
也是
A
的子集，则称
A
与
B
相等。如果A
是
B
的子集，而且
B
中存在元素不属于
A
， 则
A
叫
B
的真子集。
便于理解：
A?B
包含两个意思：①
A
与
B
相等 、②
A
是
B
的真子集
定义3 交集，
A?B?{xx?A且x?B}.

定义4 并集，
A?B?{xx?A或x?B}.

定义5 补集，若
A?I,则C
1
A?{xx?I,且x?A}
称为
A
在
I
中的补 集。
定义6 集合
{xa?x?b,x?R,a?b}
记作开区间
(a,b)
，集合 {xa?x?b,x?R,a?b}
记作闭区间
[a,b]
，R记作
(? ?,??).

定义7 空集?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
补充知识点 对集合中元素三大性质的理解
（1）确定性
集合中的元素，必 须是确定的．对于集合
A
和元素
a
，要么
a?A
，要么a?A
，二者必居其一．比
如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确 定的．而“较大的整数”就不能构成
一个集合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高 的人”等都不能构成集合．
（2）互异性
对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不 同的．任何两个相同的对象在同一集合中时，只
能算作这个集合中的一个元素．如：由
a
，
a
2
组成一个集合，则
a
的取值不能是
0
或1 ．
（3）无序性
，2，3
组成一个集合，也可以写成
13，，2
组成一个集合， 集合中的元素的次序无先后之分．如：由
1
它们都表示同一个集合．
2

学习集合表示方法时应注意的问题
（1）注意
a
与
?
a
?
的区别．
a
是集合
?
a
?
的一个元素，而
?
a
?
是含有一个元素
a
的集合，二者的关 系
是
a?
?
a
?
．
（2）注意
?
与
?
0
?
的区别．
?
是不含任何元素的集合，而
?
0
?
是含有元素
0
的集合．
（3）在用列举法表示集合 时，一定不能犯用｛实数集｝或
?
R
?
来表示实数集
R
这一 类错误，因为
这里“大括号”已包含了“所有”的意思．
用特征性质描述法表示集合时， 要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，
从而准确地理解集合的意义．例如：
集合
(x，y)y?x
中的元素是
(x，y)
，这个集合表示二 元方程
y?x
的解集，或者理解为曲
线
y?x
上的点组成的点集；
??
??
集合
?
yy?x
?
中的元素是
y
，这个集合表示函数
y?
??
集合
xy?x
中的元 素是
x
，这个集合表示函数
y?x
中自变量
x
的取值范围；
x
中函数值
y
的取值范围；
集合
y?x
中的 元素只有一个（方程
y?x
），它是用列举法表示的单元素集合．
（4）常见题型方 法：当集合中有n个元素时，有2
n
个子集，有2
n
-1个真子集，有2n
-2个非空真
子集。




3

第二章、函数
定义1 映射，对于任意两个集合
A
，B
，依对应法则
f
，若对
A
中的任意一个元素
x
，在
B
中都有
唯一一个元素与之对应，则称
f
:
A
→
B
为一个映射。
定义2 函数，映射
f
:
A
→
B
中，若
A
，
B
都是非空数集，则这 个映射为函数。
A
称为它的定义域，
若
x
∈
A
,
y
∈
B
，且
f
(
x
)=
y
（即
x
对应
B
中的
y
），则
y
叫做x
的象，
x
叫
y
的原象。集合{
f
(
x
)|
x
∈
A
}叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定 义域就是使解析式有意义的未知数的取值
范围，如函数
y
=3
x
-1 的定义域为{
x
|
x
≥0,
x
∈R}.
定义3 反函数，若函数
f
:
A
→
B
（通常记作
y
=
f
(
x
)）是一一映射，则它的逆映射
f
-1
:
A
→
B
叫原函
数的反函数，通常写作
y
=f
-1
(
x
). 这里求反函数的过程是：在解析式
y
=
f
(
x
)中反解
x
得
x
=
f< br>-1
(
y
)，
1
然后将
x
,
y< br>互换得
y
=
f
-1
(
x
)，最后指出反函数 的定义域即原函数的值域。例如：函数
y
=的反
1?x
1
函数是y
=1-(
x
?
0).
x
补充知识点：
定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线
y
=
x
对称。
定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
定义4 函数的性质。
（1）单调性：设函数
f
(
x
)在区间
I< br>上满足对任意的
x
1
,
x
2
∈
I
并且
x
1
<
x
2
，总有
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
)(
f
(
x
-
)>
f
(
x
2
))，则称
f
(
x
)在区间
I
上是 增（减）函数，区间
I
称为单调增（减）区间。
（2）奇偶性：设函数
y< br>=
f
(
x
)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的
x
∈D，都
有
f
(-
x
)=-
f
(
x
)，则称
f
(
x
)是奇函数；若对任意的
x< br>∈D，都有
f
(-
x
)=
f
(
x
) ，则称
f
(
x
)是偶函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图 象关于
y
轴对称。
（3）周期性：对于函数
f
(
x
)，如果存在一个不为零的常数
T
，使得当
x
取定义域内每一个数时，f
(
x
+
T
)=
f
(
x
)总 成立，则称
f
(
x
)为周期函数，
T
称为这个函数的周期， 如果周期中存在最小的正数
T
0
，则这个正数叫做函数
f
(
x
)的最小正周期。
定义5 如果实数
a
<
b
，则数集 {
x
|
a
<
x
<
b
,
x
∈R}叫做开区间，记作（
a
,
b
），集合{
x
|
a
≤
x
≤
b
,
x
∈
R}记作闭区间[< br>a
,
b
]，集合{
x
|
a
<
x≤
b
}记作半开半闭区间（
a
,
b
]，集合{
x
|
a
≤
x
<
b
}记作半闭半开区
间[< br>a
,
b
)，集合{
x
|
x
>
a< br>}记作开区间（
a
, +∞），集合{
x
|
x
≤a
}记作半开半闭区间（-∞,
a
].
定义6 函数的图象，点集{(
x
,
y
)|
y
=
f
(
x
),
x
∈D}称为函数
y
=
f
(
x
)的 图象，其中D为
f
(
x
)的定义域。
通过画图不难得出函数
y
=
f
(
x
)的图象与其他函数图象之间的关系(
a
,
b
>0)；
（1）向右平移
a
个单位得到
y
=
f
(
x
-
a
)的图象；
（2）向左平移
a
个单位得到
y
=
f
(
x
+
a
)的图象；
（3）向下平移
b
个单位得到
y
=
f
(
x
)-
b
的图象；
（4）与函数
y
=
f
(-
x
)的图象关于
y
轴对称；
（5）与函数
y
=-
f
(-
x
)的图象关于原点成中心对称；
（6）与 函数
y
=
f
-1
(
x
)的图象关于直线
y
=
x
对称；（7）与函数
y
=-
f
(
x< br>)的图象关于
x
轴对称。
4

定理3 复合函数< br>y
=
f
[
g
(
x
)]的单调性，记住四个字 ：“同增异减”。例如
y
=
∞,2）上是减函数，
y
=
1< br>, u=2-
x
在（-
2?x
1
1
在（0，+∞）上 是减函数，所以
y
=在（-∞,2）上是增函数。
2?x
u
注：复 合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。
附：初中知识基础知识
1．二次函数：当
a?
0时，
y
=
ax
2
+
bx
+
c
或
f
(
x
)=
ax< br>2
+
bx
+
c
称为关于
x
的二次函数，其对 称轴为直线
bb
x
=-，另外配方可得
f
(
x
)=
a
(
x
-
x
0
)
2
+
f
(
x
0
)，其中
x
0
=-，下同。
2a 2a
2．二次函数的性质：当
a
>0时，
f
(
x
) 的图象开口向上，在区间（-∞，
x
0
]上随自变量
x
增大函数值减小（简称递减），在[
x
0
, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当
a
<0时，情况相
反。
3．当
a
>0时，方程
f
(
x
)=0即
ax
2
+
bx
+
c
=0…①和不等式
ax
2
+
bx
+
c
>0…②及
ax
2
+
bx+
c
<0…③与函数
f
(
x
)的关系如下（记△=b
2
-4
ac
）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根， 设
x
1
,
x
2
(
x
1
<
x
2
)，不等式②和不等式③的解集分别是{
x
|
x
<x
1
或
x
>
x
2
}和{
x
|
x
1
<
x
<
x
2
}，二次函数
f
(
x
)图象与
x
轴有两个不同的交点，
f
(
x
)还可写成
f
(
x
)=
a
(
x
-
x
1
)(
x
-
x
2
).
2 ）当△=0时，方程①有两个相等的实根
x
1
=
x
2
=x
0
=
?
{
x
|
x
??
b< br>,不等式②和不等式③的解集分别是
2a
b
}和空集
?
，f
(
x
)的图象与
x
轴有唯一公共点。
2a
3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和
?
.
f
(
x
)图象与
x
轴无公共点。
当
a
<0时，请读者自己分析。
4ac?b
2
b
4．二次函数的最值：若
a
>0，当
x
=
x
0
时，
f
(
x
)取最小值
f
(
x
0
)= ,若
a
<0，则当
x
=
x
0
=
?
时，
4a
2a
4ac?b
2
f
(
x
)取最 大值
f
(
x
0
)=.对于给定区间[m,
n
]上的 二次函数
f
(
x
)=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
>0)，当
x
0
∈[m,
n
]
4a
时，
f
(
x
)在[m,
n
]上的最小值为
f
(
x
0
); 当
x
0
f
(
x
)在[m,
n< br>]上的最小值为
f
(m)；当
x
0
>
n
时，
f
(
x
)在[m,
n
]上的最小值为
f
(
n
)（以上结论由二次函数图象即可得出）。
定义1 能判断真假的语句叫命题 ，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词
“或”、“且”、“非”的命题叫做简 单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。
一定注意： “
p
或q
”复合命题只有当
p
，
q
同为假命题时为假，否则为真命题； “
p
且
q
”复合命
题只有当
p
，
q
同时为真命题时为真，否则为假命题；
p
与“非
p
”即“
p
”恰好一真一假。
定义2 原命题：若
p
则
q
（
p< br>为条件，
q
为结论）；逆命题：若
q
则
p
；否命题： 若非
p
则
q
；逆
否命题：若非
q
则非
p< br>。
一定注意： 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。
一定注意： 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。
定义3 如果命题“若
p
则
q
”为真，则记为
p
?
q
否则记作
p
?
q
.在命题“若
p
则
q
” 中，如果已
知
p
?
q
,则
p
是
q
的充分条件；如果
q
?
p
，则称
p
是
q
的 必要条件；如果
p
?
q
但
q
不
?
p
，则称
5

p
是
q
的充分非必要条件；如果
p
不
?
q
但
p
?
q
，则
p称为
q
的必要非充分条件；若
p
?
q
且
q?
p
，
则
p
是
q
的充要条件。









6

第三章、基本初等函数
1．指数函数及其性质：形如
y
=
a
(
a
>0,
a
?
1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+
∞），当0<
a
<1时，
y
=
a
x
是减函数，当
a>1时，
y
=
a
x
为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。
2．分数指数幂：
a?a,a
1
n
n
m
n
x
?a,a
n
m?n
1
?
?
n
,a
n
?
a
m
1
n
a
m
。
3．对 数函数及其性质：形如
y
=
log
a
x
(
a
>0,
a
?
1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），
值域为 R，图象过定点（1，0）。当0<
a
<1，
y
=
log
a
x
为减函数，当
a
>1时，
y
=
log
a
x
为增函数。
4．对数的性质（M>0,
N
>0）；
1）
a
x
=M
?
x
=
log
a
M (
a
>0,
a
?
1)；
2）
log
a
(M
N
)=
log
a
M+
log
a

N
；
3）
log
a
（
M
）=
log
a
M-
log
a

N
；4）
log
a
M
n
=
n

log
a
M（万能恒等式）
N
5）
log
a

n
M
=
log
c
b
1
log
a
M；6）
a
loga
M
=M; 7)
log
a

b
=(
a
,
b
,
c
>0,
a
,
c
?
1).
n
log
c
a
a
5. 函数
y
=
x
+（
a
>0）的单调递增区间是
??,?a
和
x
（请同学自己用定义证明）
?
??
a,??
，单调递减区间为
?a ,0
和
0,a
。
?
?
??
?
6．连续函数 的性质：若
a
<
b
,
f
(
x
)在[
a
,
b
]上连续，且f
(
a
)·
f
(
b
)<0，则
f(
x
)=0在（
a
,
b
）上至
少有一个实根。
7

必修二
第一章、立体几何初步
（一）空间几何体的结构特征
（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.
围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱< br>的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形 成的封闭几何体。其中，这
条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征
1.棱柱
1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个 四边形的公共边都互相
平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：
E'
F'
侧面
A'
B'
l
D'
C'
?
斜棱柱
?
底面是正多形
棱柱
?
?正棱柱

?
棱垂直于底 面
?
?????
①
??????直棱柱
?
?
??
其他棱柱
L
?
②四棱柱
底面为平行四边形

平行六面体
侧棱垂直于底面

底面
侧棱
E
F
AB
D
C
直平行六面体
底面为矩形
长方体
底面为正方形
正四棱柱
侧棱与底面边长
相等
正方体
1.3棱柱的性质：
①侧棱都相等，侧面是平行四边形；
②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；
④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
补充知识点 长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平
方和；【如图】
AC
1< br>2
?AB
2
?AD
2
?AA
1
2

②（了解）长方体的一条对角线
AC
1
与过顶点A的三条棱
所成的角 分别是
?
，
?
，
?
，那么
cos
2
?
?cos
2
?
?cos
2
?
?1
，< br>sin
2
?
?sin
2
?
?sin
2
?
?2
；
A1
D1
D
B1
C
B
C1
A
8

③（了解）长方体的一条对角线
AC
1
与过顶点A的相邻三个 面所成的角分别是
?
，
?
，
?
，则
cos
2
?
?cos
2
?
?cos
2
?
?2，
sin
2
?
?sin
2
?
?sin
2
?
?1
.
1.4侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组 成的以底面周长和侧棱长为邻边的
矩形.
1.5面积、体积公式：
S
直棱柱 侧
?c?h
S
直棱柱全
?c?h?2S
底
，V
棱柱
?S
底
?h
（其中c为底面周长，h为棱柱的高）
注意:大多数省市在高考试卷会给出面积体积公式，因此考生可以不用刻意地去记
2.圆柱
2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余
边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫 圆柱.
2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等
过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.
2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母
长为邻边的矩形.
2.4面积、体积公式：
S圆柱侧=
2
?
rh
；S圆柱全 =
2
?
rh?2
?
r
2
，V圆柱=S底h=
?
r
2
h
（其中r为底面半径，h为圆柱高）
3.棱锥
3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是
一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几
体叫做棱锥。
正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多
形，并且顶点在底面的射影是底 面的中心，这
的棱锥叫做正棱锥。
3.2棱锥的性质：
①平行于底面的截面是与底 面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离
之比；
②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高 、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一
半，构成四个直角三角形。）（如上图：
VSOB,VSOH,VSBH,VOBH
为直角三角形）
3.3侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。
高
侧 棱
S
A'
B'
O'
C'
轴
轴截面
各
圆；
母线
A
B
O
C
侧面
底面
线
顶点
侧面
有
何
边
样
底面
D
O
A< br>B
H
C
斜高
111
3.4面积、体积公式：S正棱锥侧=ch
?
，S正棱锥全=
ch
?
?S
底
，V棱锥 =
S
底
?h
.（其中c为底面
223
周长，
h?
侧面斜高，h棱锥的高）
4.圆锥
4.1圆锥——以直角三角形的一直角边 所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的
几何体叫圆锥。
9

4.2圆锥的性质：
①平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等 于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离
之比；
②轴截面是等腰三角形；如右图：
VSAB

③如右图：
l?h?r
.
4.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，
母线长为半径的扇形。
4.4面积、体积公式：
母线
l
A
r
h
轴截面< br>O
S
顶点
轴
侧面
222
以
1
S圆锥 侧=
?
rl
，S圆锥全=
?
r(r?l)
，V圆锥=
?
r
2
h
（其中
3
r为底面半径，h为圆锥的高，l为母线长）
5.棱台
5.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们
把截面与底面之间的部分称为棱台.
5.2正棱台的性质：
①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；
②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边
形；
③ 如右图：四边形
O`MNO,O`B`BO
都是直角梯形
B
底面
S
上底面
高
A'
下底面
D
D'
O'
B'C'
M
侧棱
侧面
斜高
C
N
顶点
OA
B
④棱台经常补成棱锥研究.如右图：
VSO`M与VSON,VS`O`B` 与VSOB相似
，注意考虑相似比.
5.3棱台的表面积、体积公式：
S
全
＝S
上底
＋S
下底
＋S
侧，
V
棱台
＝（S＋SS`?S`)h
，（其中
S,S`
是上，下
底面面积，h为棱台 的高）
6.圆台
6.1圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.
6.2圆台的性质：
①圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；
②圆台的轴截面是等腰梯形；
③圆台经常补成圆锥来研究。如右图：
VSO`A与VSOB相似
，注意相似比的应用.
S
1
3
6.3圆台的侧面展开图是一个扇环；
6.4圆台的表面积 、体积公式：
S
全
＝
?
r?
?
R?
?(R?r)l
，
V圆台
＝（S＋SS`?S`)h＝（
?
r< br>2
?
?
rR?
?
R
2
)h
，（其中 r，R
1
3
1
3
22
Ar
O'
轴
母线
l
B
R
h
轴截面
O
上底面
D
侧面
C
下底面
10

为上下底面半径，h为高）
7.球
7.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.
或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球；
7.2球的性质：
①球心与截面圆心的连线垂直于截面；
②
r?R
2
?d
2
（其中，球心到截面的距离为d、
球的半径为R、截面的半径为r ）
7.3球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长
方体，球与正方体等的内接与外切.


注：球的有关问题转化为圆的问题解决.
4
7.4球面积、体 积公式：
S
球
?4
?
R,V
球
?
?
R
3
（其
3
中R为球的半径）
2
球面
球心轴
半径
O
R
A
D'
A'
O
B'
O
r
d
O1
C'
A'
B
C'
D
A
B
C
A
c

（二）空间几何体的三视图与直观图
根据最近几年高考形式上看，三视图的考察已经淡化，所以同学只需了解即可
1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；
正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；
侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；
正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；
注：（1）俯视图画在正视图 的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”
与正视图相等，“宽度”与俯视图 。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样
宽”.
（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。
3.直观图：
3.1直 观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投
影下画出的空间 图形。
3.2斜二测法：
step1：在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，（即取
?xoy?90?
）；
step2：画直观图时，把它画成对应的轴
o'x',o'y'
，取
?x'o'y'?45?(or135?)
，它们确定的平面表示
11

水平平面；
step3：在坐标系
x'o'y'
中画直观图 时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x
轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平 行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。
结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图 形面积的
解决两种常见的题型时应注意：
（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.
（2）由几何体的直观图画三 视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成
虚线。

二 点、直线、平面之间的位置关系
（一） 平面的基本性质
1.平面——无限延展，无边界
1.1三个定理与三个推论
公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
用途：常用于证明直线在平面内.
图形语言： 符号语言：

公理2：不共线的三点确定一个平面. 图形语言：
．．．
推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言：
推论2：两条相交直线确定一个平面. 图形语言：
推论3：两条平行直线确定一个平面. 图形语言：
用途：用于确定平面。
公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共 点，这些公共点的集合是一条直线（两个
平面的交线）.
用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.
图形语言： 符号语言：
形语言，文字语言，符号语言的转化：
2
倍.
4
12

（二）空间图形的位置关系
?
共面:aIb=A,ab
1.空间直线的位置关系：
?

?
异面:a与b异面
平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：< br>ab,bc?ac

等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；
（2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异
面直线。 P
a
图形语言：
?
A
P?
?
?
A?< br>?
?
?
符号语言：
?
?PA与a异面

a?
?
?
A?a
?
?
a'
a
b
?
异面直线所成的角：（1）范围：
?
?
?
0?,90?
?< br>；（2）作异面直线所
成的角：平移法.
?
b'
O
13 < /p>

如右图，在空间任取一点O，过O作
a'a,b'b
，则
a', b'
所成的
?
角为异面直线
a,b
所成的角。
特别地，找异 面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段
中点，端点等）上，形 成异面直线所成的角.
?
l?
?
?
2.直线与平面的位置关系：
?
?
l
I
?
?A

l?
?
?
?
?
l
?
?
图形语言：

?
平行：
?

?
?
3.平面与平面的位置 关系：
?
?
斜交：
?
I
?
=a

相交
?
?
?
垂直：
?
?
?
?
（三 ）平行关系（包括线面平行，面面平行）
1.线面平行：
①定义：直线与平面无公共点.
ab
?
?
②判定定理：
a?
?
?
?a?
（线线平行
?
线面平行）【如图】
b?
?
?
?
?
?
③性质定理：
a?
?
?
?ab
（ 线面平行
?
线线平行）【如图】
?
I
?
?b
?< br>?
a
?
④判定或证明线面平行的依据：（i）定义法（反证）：
lI< br>?
???l
?
（用于判断）；（ii）判
ab
?
?< br>
?
?
?
定定理：
a?
?
?
?a?
“线线平行
?
面面平行”（用于证明）；（iii）
?
?a< br>?
“面面
a?
?
?
b?
?
?
?b?a
?
?
平行
?
线面平行”（用于证明）；（4）
b ?
?
?
?a
?
（用于判断）；
a?
?
?
?
2.线面斜交：
lI
?
?A

①直线与平面所成 的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平
斜线与该斜线在平面内射影的夹角。【如图】
PO?
?
于O，则
是PA在平面
?
内的射影， 则
?PAO
就是直线PA与平面
?
所成
角。
P
A
?
?
面的
AO
的
O
14 < /p>

范围：
?
?
?
0?,90?
?
，注： 若
l?
?
或l
?
，则直线
l
与平面
?所成的角为
0?
；若
l?
?
，则直线
l
与平面
?
所成的角为
90?
。
3.面面平行：
①定义：
?
I
?
???
?

?
；
②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；
符号表述：
a,b?
?
,aIb?O,a
?
,b
?
?
?

?
【如下图①】
O
a
?
?
b
O
a
?
O
a'
?
b
b'

图① 图②
推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行
符号表述：
a,b?
?
,aIb?O,a',b'?
?
,aa', bb'?
?

?
【如上图②】
判定2：垂直于同一条直线的两个平 面互相平行.符号表述：
a?
?
,a?
?
?
?
?
.【如右图】
③判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；（2）判定定理
（常用）（3）判定2
?
?
a
及推论
?

?
?
④面面平行的性质 ：（1）行）；
?
?a
?
（面面平行
?
线面平
a?
?
?
?

?
?
?
（2）
?
I
?
?a
?
?ab
；（面面平行
?
线线平行）（3 ）夹在两个平行平面间的平行线段相等。
?
I
?
?b
?
?< br>【如图】

（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）
1.线面垂直
①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
符号表述： 若任意
a?
?
,
都有
l?a
，且
l?
?< br>，则
l?
?
.
a,b?
?
?
a
I
b?O
?
?
?
②判定定理：
l?
?
??l?
?
（线线垂直
?
线面垂直）
?
l?a
?
l?b
?
?
③性质：（1）
l?
?
,a?
?
?l?a
（线面垂直
?
线线垂直）；（2）
a?
?,b?
?
?ab
；
P
15
O
?
A
C
B

④证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（2）判定 定理（常用）；（3）
ab
?
?
?b?
?
a?
?< br>?
?
?
?
?
a
I
?
?b
?
?

?
?
?
（较常用）；（4）
?
?a?< br>?
（面面垂直
?
线面垂直）常用；
?
?a?
?；（5）
a?
?
a?
?
?
?
a?b
?
?
⑤三垂线定理及逆定理：
（I）斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段 与斜线段中，
PO?
?
（1）斜线相等
?
射
影相等；（2） 斜线越长
?
射影越长；（3）垂线段最短。【如图】
PB?PC?OB?OC
；
PA?PB?OA?OB

（II）三垂线定理及逆定理：已知
PO??
，斜线PA在平面
?
内的射影为OA，
a?
?
，
①若
a?OA
，则
a?PA
——垂直射影
?
垂 直斜线，此为三垂线定理；
②若
a?PA
，则
a?OA
——垂 直斜线
?
垂直射影，此为三垂线定理
的逆定理；
三垂线定理及逆定理的 主要应用：（1）证明异面直线垂直；（2）
作、证二面角的平面角；（3）作点到线的垂线段；【如图 】
3.2面面斜交
①二面角：（1）定义：【如图】
OB?l,OA?l??A OB是二面角
?
－l?
?
的平面角

A
?
P
a
O
范围：
?AOB?[0?,180?]

②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；
垂面法.
3.3面面垂直
（1）定义：若二面角
?
?l?
?
的平面 角为
90?
，则
?
?
?
；
（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这
两个平面互相垂直. a?
?
?
?
?
?
?
?
（线面垂直?
面面垂直）
a?
?
?
?
A
?
a< br>B
（3）
（3）性质：①若
?
?
?
，二面角的一个平 面角为
?MON
，则
?MON?90?
；
?
?
?
?
a
I
?
?AB
?
?
②
?
?a?
?
（面面垂直
?
线面垂直）；
a?
?
?
a?AB
?
?
?
a
B
?
A
16

③
?
?
?
?
A?
?
??
?
?a?
?
. ④
A?a
?< br>a?
?
?
?
?
?
?
?
?
? a?
?
或a
?
a?
?
?
?
A
a< br>

?
17

第二章、平面解析几何初步
1 ．解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建
立曲线 与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则
方程叫做这条 曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。如x
2
+y
2
=1是以原点为圆心的 单位圆的方程。
2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点 的集合；(3)用坐标表
示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合 方程的解的对应点都在
曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3． 直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x轴正方向所成的小于180
0
的正角，叫做它的倾斜 角。
规定平行于x轴的直线的倾斜角为0
0
，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该 直线的斜率。根
据直线上一点及斜率可求直线方程。
4．直线方程的几种形式：【必会】【必考】
（1）一般式：Ax+By+C=0；
（2）点斜式：y-y
0
=k(x-x
0
)；
（3）斜截式：y=kx+b；
（4）截距式：
（5）两点式：
xy
??1
；
ab
x?x
1
y?y
1
；
?
x
2
?x
1
y
2
?y
1
（6）法线式方程：xcos θ+ysinθ=p（其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；
?
?
x ?x
0
?tcos
?
（7）参数式：
?
（其中θ为该直线倾 斜角），t的几何意义是定点P
0
（x
0
, y
0
）到动< br>?
?
y?y
0
?tsin
?
点P（x, y）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P
0
P方向向上则取正，否则取负）。
5．到角与夹角：若直线l
1
, l
2
的斜率分别为k
1
, k
2
，将l
1
绕它们的交点逆时针旋转到与l
2
重合所转
过的最小正角叫l
1
到l
2
的角；l
1
与l
2
所成的角中不超过90
0的正角叫两者的夹角。若记到角为θ，
k?k
1
k?k
1
夹角为 α，则tanθ=
2
,tanα=
2
.
1?k
1
k
2
1?k
1
k
2
6．平行与垂直：若直线l
1< br>与l
2
的斜率分别为k
1
, k
2
。且两者不重合， 则l
1
l
2
的充要条件是k
1
=k
2
；< br>l
1
?
l
2
的充要条件是k
1
k
2
=-1。
7．两点P
1
(x
1
, y
1
)与P
2
(x
2
, y
2
)间的距离 公式：|P
1
P
2
|=
(x
1
?x
2)
2
?(y
1
?y
2
)
2
。
8．点P(x
0
, y
0
)到直线l: Ax+By+C=0的距离 公式：
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
。
9．直线系的方程：若已知两直线的方程是l
1
：A
1< br>x+B
1
y+C
1
=0与l
2
：A
2
x+B
2
y+C
2
=0，则过l
1
, l
2交
点的直线方程为A
1
x+B
1
y+C
1
+λ (A
2
x+B
2
y+C
2
=0；由l
1
与 l
2
组成的二次曲线方程为（A
1
x+B
1
y+C
1
）
（A
2
x+B
2
y+C
2
）=0；与 l
2
平行的直线方程为A
1
x+B
1
y+C=0(
C?C
1
).
18

10．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l方程为Ax+By+C=0. 若B> 0，则Ax+By+C>0表示
的区域为l上方的部分，Ax+By+C<0表示的区域为l下方的部分 。
11．解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x和y表示；（2）写出线性 约
束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。
12．圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，其参数方程为
?
x?a?rco s
?
（θ为参数）。
?
?
y?b?rsin
?
1
?
DE
?
13．圆的一般方程：x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0(D
2
+E
2
-4F>0)。其圆心为
?< br>?,?
?
，半径为
D
2
?E
2
?4F
。
2
?
22
?
若点P(x
0
, y
0
)为圆上一点，则过点P的切线方程为
?
x
0
?x< br>??
y
0
?y
?
??
x
0
x?y< br>0
y?D
?
?E
?
2
??
2
??
?F?0.
①
????
14．根轴：到两圆的切线长相等的点 的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两圆的根轴。
给定如下三个不同的圆：x
2< br>+y
2
+D
i
x+E
i
y+F
i
= 0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程分别为
(D
1
-D
2< br>)x+(E
1
-E
2
)y+(F
1
-F
2< br>)=0; (D
2
-D
3
)x+(E
2
-E
3
)y+(F
2
-F
3
)=0; (D
3
-D1
)x+(E
3
-E
1
)y+(F
3
-F1
)=0。不难证明这
三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。

19

（必修三）
略
必修四
第一章 基本初等函数II
定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针 方向，则角为正
角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心< br>L
角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其 中r是圆的
r
半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原 点，始边与x轴的正半轴重合，在角
的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y）， 到原点的距离为r,则正弦函数sin
x
yxyr
α=,余弦函数cosα=,正切函 数tanα=，余切函数cotα=，正割函数secα=,余割函数
y
rrxx
r< br>cscα=
.

y
定理1 同角三角函数的基本关系式：
倒数关系：tanα=
商数关系：tanα=
111
,sinα=，cosα=； < br>cot
?
csc
?
sec
?
sin
?
cos
?
；
,cot
?
?
cos
?
s in
?
乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；
平方关系：sin
2
α+cos
2
α=1, tan
2
α+1=sec
2
α, cot
2
α+1=csc
2
α.
定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）
sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cos
?
?
??
?
??
?
?
α, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin
?
?
?
?
=cosα, cos
?
?
?
?
=sinα, tan
?
?
?
?
=cot
?
2
??
2
??
2
?
α（记法：奇变偶不变，符号看象限）。
定理3（根据图像去记） 正弦函数的性质： 根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：
??
?
?
3< br>???
在区间
?
2k
?
?,2k
?
?
?
上为增函数，在区间
?
2k
?
?,2k
?
?< br>?
?
上为减函数，最小正周期为2
?
.
22
?
22
???
??
奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k
?
-时, y取最小值- 1。对
22
?
称性：直线x=k
?
+均为其对称轴，点（k
?
, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.
2
定理4 （根据图像去记） 余弦函数的性质：根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区
间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。
?
??
对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点
?
k
??,0
?
均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y
2
??< br>20

取最大值1；当且仅当x=2kπ- π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.
??
?
)在开区间(kπ-, kπ+)
222
?
上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。
2
定理5 （根据图像去记） 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(x
?
kπ+
定理6 两角和与差的 基本关系式：cos(α
?
β)=cosαcosβ
?
sinαsinβ,s in(α
?
β)=sinαcosβ
(tan
?
?tan
?
)
.

?
cosαsinβ; tan(α
?
β) =
(1?tan
?
tan
?
)
定理7 和差化积与积化和差公式:
?
?
?
?
sinα+sinβ=2si n
?
?
2
??
?
?
?
?
cos< br>?
??
2
??
?
?
?
?
,sinα -sinβ=2sin
?
??
2
??
?
?
?
?
cos
?
??
2
?
?
,
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
??
?
??
?
?
?
?
cosα+cosβ=2c os
??
cos
??
, cosα- cosβ=-2sin
??
sin
??
,
?
2
? ?
2
??
2
??
2
?
11
sinαcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)] ,
22
cosαcosβ=
口诀记忆：
11
[cos(α+β) +cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
221
积化和差：前系数：“有余为正，无余为负”“前和后差”“同名皆余，异名皆正”“余后为和，
2
正后为差” 和差化积：正弦之和正余弦、正弦之差余正弦、余弦之和得余弦、余弦之差负正弦
定理8 倍角公式（常考）:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos
2
α-sin< br>2
α=2cos
2
α-1=1-2sin
2
α,

tan2α=
2tan
?
.

(1?tan
2?
)
(1?cos
?
)(1?cos
?
)
?< br>?
??
?
?
定理9 半角公式:sin
??
=?
,cos
??
=
?
,
22
?
2< br>??
2
?
sin
?
(1?cos
?
)
(1?cos
?
)
?
?
?
?.
tan
??
=
?
=
2
(1?cos
?
)sin
?
(1?cos
?
)
??
?
?
??
?
?
2tan
??
1?tan
2
??
?
2
?
,
cos
?
?
?
2
?
, 定理10 万能公式:
sin
?
?
?
?
??
?
?< br>1?tan
2
??
1?tan
2
??
?
2< br>??
2
?
?
?
?
2tan
??
?< br>2
?
.

tan
?
?
?
?
?
1?tan
2
??
?
2
?
21

定理11 ****【必考】辅助角公式：如果a, b是实数且a
2
+b
2
?
0，则取始边在x轴正半轴，终边
ba
经过点(a, b)的一个角为β，则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.
2222
a?ba?basinα+bcosα=
(a
2
?b
2
)
sin(α +β).
定理12 正弦定理：在任意△ABC中有
的对边，R为△ABC外接圆半径。
定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a
2
=b
2
+c
2
-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。
定理14 图象之间的 关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+
?< br>)
1
的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin
?
x
(
?
?0
)的图象（周期变
abc
???2R< br>，其中a, b, c分别是角A，B，C
sinAsinBsinC
?
换）； 横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(
?x+
?
)(
?
>0)
的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标 变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；
?
y=Asin(
?x+
?
)(
?
,
?
>0)(|A|叫作振幅)的图象 向右平移个单位得到y=Asin
?
x的图象。
?
?
?
??
?
?
定义4 函数y=sinx
?
的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1]) ，函数y=cosx(x
x??,
?
?
??
?
?
2 2
?
??
?
?
??
?
?
∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx
?x? ?,
?
?
??
的反函数
?
22
??
??< br>叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作
y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).
定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+( -1)
n
arcsina, n∈Z}。方程
cosx=a的解集是{x|x=2kx
?
arccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。
??
恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.
22
?
?
?
定理16 若
x?
?
0,
?
，则sinx?
2
?
第二章 平面向量

定义1 既有大小又有方 向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。
向量的符号用两个大写字母上 面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，
如a. |a|表示向量的模，模为 零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，
模为1的向量称为单位向量【最近 几年常考】。
定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平
行和结合律。
定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律
和结合律。
定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数
?
?
0，使得a=
?
b.
f
22

定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯
一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。
定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，
任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。
定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为
?
，则a, b的数量积记作
a·b=|a|·|b|cos
?
=|a|·|b|cos，也称内积，其中|b|cos
?
叫做b在a上的投影（注：投影可能为
负值）。
定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x
1
, y
1
), b=(x
2
, y
2
)，
1．a+b=(x
1
+x
2
, y
1
+y
2
), a-b=(x
1
-x
2
, y
1
-y
2
)，
2．λa=(λx
1
, λy
1
), a·(b+c)=a·b+a·c，
3．a·b=x
1
x
2
+y
1
y
2
, cos(a, b)=
x< br>1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2
2
2
(a, b
?
0),
4. ab
?
x
1
y
2=x
2
y
1
, a
?
b
?
x1x2+y
1
y
2
=0.
定义5 若点P是直线P
1
P
2
上异于p
1
，p
2
的一点，则存在唯一实数λ，使
P
λ叫P分
P
1
P
2
1
P?
?
PP
2
，
所成的比，若O为 平面内任意一点，则
OP?
OP
1
?
?
OP
2。由此可得若P
1
，P，P
2
的坐标分别为(x
1
,
1?
?
?
x
1
?
?
x
2
x?
?
x?x
1
y?y
1
?
1?
?
y
1
), (x, y), (x
2
, y
2
)，则
?
.
?
??.

x
2
?xy
2
?y
?
y?
y
1
?
?< br>y
2
?
1?
?
?
定义6 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=
h2
?k
2
个单位得到图形
F'
，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到
F'
上对应的点为
?
x'?x?h
称为 平移公式。
p'(x',y')
，则
?
?
y'?y?k
定理5 对于任意向量a=(x
1
, y
1
), b=(x
2
, y
2
), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.
22
?y
2
)
-(x
1
x
2
+y
1< br>y
2
)
2
=(x
1
y
2
-x
2
y
1
)
2
≥0，
【证明】 因为|a|
2< br>·|b|
2
-|a·b|
2
=
(x
1
2?y
1
2
)(x
2
又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，
所以|a|·|b|≥|a·b|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x
1
, x
2
,…,x
n
)，b=(y
1
, y
2
, …, y
n
)，同样有
2222
???x
n
)(y
1
2
?y
2
???y
n
)? (x
1
y
1
+x
2
y
2
+…+x< br>n
y
n
)
2
≥0，
|a·b|≤|a|·|b|，化 简即为柯西不等式：
(x
1
2
?x
2
又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，
所以|a|·|b|≥|a·b|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x
1
, x
2
,…,x
n
), b=(y
1
, y
2
, …, y
n
)，同样有
2222
???x
n
)(y
1
2
?y
2
???y
n
)?(x
1
y
1
+x
2
y
2
+…+xn
y
n
)
2
。 |a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不 等式：
(x
1
2
?x
2
23

2）对于任意n个向量，a
1
, a
2
, …,a
n
，有| a
1
, a
2
, …,a
n
|≤| a
1
|+|a
2
|+…+|a
n
|。








24

必修五
第一章 解三角形

在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，
a?b?c
为半周长。
p?
2
1．正弦定理：
abc
=2R（R为△ABC外接圆半径）。
??
sinAsinBsinC
111
推论1：△ABC的面积为S
△
ABC
=
absinC?bcsinA?casinB.

222
推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.
推论3：在△AB C中，A+B=
?
，解a满足
ab
?
，则a=A.
sin asin(
?
?a)
正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推 论。先证推论1，由正弦函
1
数定义，BC边上的高为bsinC，所以S
△
ABC
=
absinC
；再证推论2，因为B+C=
?
-A，所以< br>2
sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘 以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论4，由
sinasin(
?
?a)< br>ab
?
正弦定理，所以，即sinasin(
?
-A)=sin(?
-a)sinA，等价于
?
sinAsin(
?
?A)
sinAsinB
11
?
[cos(
?
-A+a)-cos(?
-A-a)]=
?
[cos(
?
-a+A)-cos(?
-a-A)]，等价于cos(
?
-A+a)=cos(
?
- a+A)，因
22
为0<
?
-A+a，
?
-a+A<
?
. 所以只有
?
-A+a=
?
-a+A，所以a=A，得证。
b
2
?c
2
?a
2
2．余弦定理：a=b+c-2 bccosA
?cosA?
，下面用余弦定理证明几个常用的结论。
2bc
222
（1）斯特瓦特定理【了解】：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则
22
2
bp?cq
?pq.
（1） AD=
p?q
【证明】 因为c
2
=AB
2
=AD
2
+BD
2
-2AD·BDcos
?ADB
，
所以c< br>2
=AD
2
+p
2
-2AD·pcos
?ADB.< br> ①
同理b
2
=AD
2
+q
2
-2AD·qcos
?ADC
， ②
因为
?
ADB+
?
ADC=
?
，
所以cos
?
ADB+cos
?
ADC=0，
所以q×①+p×②得
b
2
p?c
2
q
?pq.
qc+pb=(p+q)AD+pq(p+q)，即AD=
p?q
2222
25

注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式
AD?
2
（2）海 伦公式：因为
S
?ABC
?
?
2b
2
?2c
2
?a
2
.

2
1
22
1
2< br>bcsinA=
4
4
bc (1-cosA)=
222
1
4
bc
22
?
(b
2
?c
2
?a
2
)
2
?
1
22 2
2
[(b+c)-a][a-(b-c)]=p(p-a)(p-b)(p-c).
?
?
1?
?
22
4bc
??
16
这里< br>p?
a?b?c
.

2
所以S
△
ABC=
p(p?a)(p?b)(p?c).









26

第二章 数列
定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两 种，
数列{a
n
}的一般形式通常记作a
1
, a
2
, a
3
,…，a
n
或a
1
, a
2
, a
3
,…，a
n
…。其中a
1
叫 做数列的首项，a
n
是关于n的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若Sn
表示{a
n
}的前n项和，则S
1
=a
1
, 当n>1时，a
n
=S
n
-S
n-1
.
定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a
n+1
-a
n
=d（常数），则{ a
n
}称为等差数列，d叫
做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d,
c=b+d.
定理2 *****【必考】等差数列的性质：1）通项公式a
n< br>=a
1
+(n-1)d；2）前n项和公式：
n(a
1
?a< br>n
)
n(n?1)
?na
1
?d
；S
n=3）a
n
-a
m
=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+ m=p+q，则a
n
+a
m
=a
p
+a-
22q
；5）对任意正整数p, q，恒有a
p
-a
q
=(p-q) (a
2
-a
1
)；6）若A，B至少有一个不为零，则{a
n
}是等差
数列的充要条件是Sn=An
2
+Bn.
定义3 等比数列， 若对任意的正整数n，都有
a
n?1
?q
，则{a
n
}称为 等比数列，q叫做公比。
a
n
n
a(1?q)
1
定理3 *****【必考】等比数列的性质：1）a
n
=a
1
q
n-1；2）前n项和S
n
，当q
?
1时，S
n
=；
1?q
当q=1时，S
n
=na
1
；3）如果a, b, c成等比数列，即b
2
=ac(b
?
0)，则b叫做a, c的等比中项；4 ）若
m+n=p+q，则a
m
a
n
=a
p
a
q
。
定义4 极限，给定数列{a
n
}和实数A，若对任意的
?
>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a
n
-A|<
?
，
则称A为n→+∞时数列{a
n
}的极限，记作
lima
n?A.

n??
定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a
n
}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其
a
前n项和S
n
的极限（即其所有项的和）为
1
（由极限的定义可得）。
1?q
定理4 数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n
0
)成立；（2）当p(n)时n=k成立 时能推出p(n)
对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n
0
成立。

【补充知识点】
定理5 第二数学归纳法：给定命题p( n)，若：（1）p(n
0
)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然
数n都成立 时（k≥n
0
）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数 n≥n
0
成立。
定理6 对于齐次二阶线性递归数列x
n
=ax
n-1
+bx
n-2
，设它的特征方程x
2
=ax+b的两 个根为α,β:(1)
若α
?
β，则x
n
=c
1
a
n-1
+c
2
β
n-1
，其中c
1
, c
2
由初始条件x
1
, x
2
的值确定；(2)若α=β， 则x
n
=(c
1
n+c
2
) α
n-1
，其中c
1
, c
2
的值由x
1
, x
2
的值确定。

第三章 不等式
27

***【必会】不等式的基本性质：
（1）a>b
?
a-b>0； （2）a>b, b>c
?
a>c；
（3）a>b
?
a+c>b+c； （4）a>b, c>0
?
ac>bc；
（5）a>b, c<0
?
acb>0, c>d>0
?
ac>bd;
（7）a>b>0, n∈N
+
?
a
n
>b
n
; （8）a>b>0, n∈N
+
?
n
a?
n
b
;
（9）a>0, |x|?
-aa
?
x>a或x<-a;
（10）a, b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;
（11）a, b∈R，则(a-b)< br>2
≥0
?
a
2
+b
2
≥2ab;
（12）x, y, z∈R
+
，则x+y≥2
xy
, x+y+z
?3
3
xyz.

因为前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。
（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；
再证性质（8），用反证法，若
n
a?
n
b
，由性质（7）得(
n
a)
n
?(
n
b)
n
，即a≤b ，与a>b矛盾，所
以假设不成立，所以
n
a?
n
b
；由绝 对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|，所以
-(|a|+|b| )≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a +b-b|≤|a+b|+|b|，所以
|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显 然成立；下证（12），因为x+y-2
xy?(x?y)
2
≥0，所
以x+ y≥
2xy
，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令
3
x?a,
3
y?b,
3
z?c
，因为
x
3
+b3
+c
3
-3abc =(a+b)
3
+c
3
-3a
2
b-3ab
2
-3abc
=(a+b)
3
+c
3
-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)
2
-(a+ b)c+c
2
]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca)=
1
(a+b+c)[(a-b)
2
+(b-c)
2
+
2











选修2-1
第一章 常用逻辑用语
28

1.充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若
A?B
，则
x?
A 是
x?
B的充分条件；若
A?B
，
则
x?
A是x?
B的必要条件；若
A?B
且
A?B
即
A?B
，则
x?
A是
x?
B的充要条件.
2.充要条件的问题要十分细 心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意
区分：“甲是乙的充分条件（甲< br>?
乙）”与“甲的充分条件是乙（乙
?
甲）”，是两种不同形式
的问题 .
3.掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据 条
件与结论判断出命题的真假. 有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”
等价转换去判定也很方便.
4. 会用集合的子集的方法判断充要条件：
①A是B的充分条件（或B是A的必要条件）即A
?B?A?B

②A是B的充分不必要条件
A?B?A?B


?

③A是B的充要条件
A?B?A?B


?


29

第二章 圆锥曲线与方程
1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）
的点的 轨迹，即|PF
1
|+|PF
2
|=2a (2a>|F
1
F
2
|=2c).
第二定义：平面上到一个定点的 距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0（其中定点不在定直线上）， 即
|PF|
?e
(0d
第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c
1
: x
2
+y
2
=a
2
, c
2
: x
2
+y
2
=b
2
, a, b∈R
+
且 a≠b。从原点出发的射
线交圆c
1
于P，交圆c
2
于Q，过P引y 轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线的交点的轨迹
即为椭圆。
2．椭圆的方程，如果以 椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得
它的标准方程，若焦点在x轴上 ，列标准方程为
x
2
y
2
??1
(a>b>0)，
a
2
b
2
?
x?acos
?
参数方程为< br>?
（
?
为参数）。
?
y?bsin
?
若焦点在y轴上，列标准方程为
y
2
y
2
?
2
?1
(a>b>0)。
2
ab
3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆
x
2
y
2
?
2
?1
，
2
ab
a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(± a, 0),
a
2
(0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第 二定义中的定直线）为
x??
，与右焦点对应的
c
a
2
c< br>准线为
x?
；定义中的比e称为离心率，且
e?
，由c
2+b
2
=a
2
知0c
a
椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。
x
2
y2
4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆
2
?
2
?
1(a> b>0), F
1
(-c, 0), F
2
(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是
ab
椭圆上的任意一点，则|PF
1
|=a+ex, |PF
2
|=a-ex.
5.补充知识点：
几个常用结论：
1）过椭圆上一点P(x
0
, y
0
)的切线方程为
30

x
0
xy
0
y
?
2
?1< br>；
2
ab
2）斜率为k的切线方程为
y?kx?a
2
k
2
?b
2
；
3）过焦点F
2
(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为
2ab
2
l?
2
。
a?c
2
cos
2
?
6．双曲线的定义，第一定义： 满足||PF
1
|-|PF
2
||=2a(2a<2c=|F
1
F
2
|, a>0)的点P的轨迹；
第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。
7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为
x
2
y
2
?
2
?1
，
2
ab
?
x?asec
?
参数方程为
?
（
?
为参数）。
?
y?btan
?
焦点在y轴上的双曲线的标准方程为
y
2
x
2
??1
。
a
2
b2
8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线
x
2
y
2
??1
(a, b>0),
a
2
b
2
a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F
1
(-c,0),
a
2
a
2
c
.
离心率
e?
，由a
2
+b
2
=c
2
知e>1。两条渐F
2
(c, 0)，对应的左、右准线 方程分别为
x??,x?
cc
a
x
2
y
2
x
2
y
2
k
近线方程为
y??x
，双曲线
2
?
2
?1
与
2
?
2
??1
有相 同的渐近线，它们的四个焦点在同一
ab
a
ab
个圆上。若a=b，则称为等 轴双曲线。
9．补充知识点：
双曲线的常用结论，
x
2
y2
1）焦半径公式，对于双曲线
2
?
2
?1
，F
1
（-c,0）, F
2
(c, 0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线< br>ab
上的任一点，若P在右支上，则|PF
1
|=ex+a, |PF
2
|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF
1
|=-ex-a，|PF2
|=-ex+a.
2ab
2
2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是
2
。
22
a?ccos
?
1 0．抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，
直线 l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以
31

p
线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标 为
(,0)
，准线方程为
2
p
x??
，标准方程为y
2
=2px(p>0)，离心率e=1.
2
11．补充知识点
抛物线常用结论：若P(x
0
, y
0
)为抛物线上任一点，
1）焦半径|PF|=
x?
p
；
2
2）过点P的切线方程为y
0
y=p(x+x
0
)；
3）过焦点倾斜角为θ的弦长为
2p
。
2
1?cos
?< br>12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建
立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位< br>置，（ρ，θ）称为极坐标。
13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比 为常数e的点P，若0P的轨迹为椭圆；若e>1，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e =1，则点P的轨迹为抛物线。这三
ep
种圆锥曲线统一的极坐标方程为
?
?
。
1?ecos
?



32

第三章 空间向量与立体几何
公理1 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内．则这条直线在这个平面内，记作：a
?
a．
公理2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一的直线m，使得α∩β=m,且P∈m。
公理3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面．
推论l 直线与直线外一点确定一个平面．
推论2 两条相交直线确定一个平面．
推论3 两条平行直线确定一个平面．
公理4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行．
定义1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过90
0
的角叫做两条异面直线成 角．与两
条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度 叫
做两条异面直线之间的距离．
定义2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直 线在平面外．直线与平面相交和直线与
平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线 在平面外．
定义3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直．
定理1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直．
定理2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．
定理3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直．
定理4 平面外一点到平面的 垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线
上每一点到平面的距离都相等，这个 距离叫做直线与平面的距离．
定义4 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线．由斜线 上每一点向平面引垂线，垂
足叫这个点在平面上的射影．所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜 线在平面内的射影．斜
线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角．
结论1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角．
定理4 ******【常考】(三垂线 定理)若d为平面。的一条斜线，b为它在平面a内的射影，c为平
面a内的一条直线，若c
?
b，则c
?
a．逆定理：若c
?
a，则c
?
b．
定理5 直线d是平面a外一条直线，若它与平面内一条直线b平行，则它与平面a平行
定理6 若直线。与平面α平行，平面β经过直线a且与平面a交于直线6，则ab．
结论2 若直线。与平面α和平面β都平行，且平面α与平面β相交于b，则ab．
定理7 (等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等．
定义5 平面与平面的位置关系有两种：平行或相交．没有公共点即平行，否则即相交．
定理8 平面a内有两条相交直线a，b都与平面β平行，则αβ.
33

定理9 平面α与平面β平行，平面γ∩α=a，γ∩β=b，则ab．
定义6 (二面角)，经过同一条直 线m的两个半平面α,β(包括直线m，称为二面角的棱)所组成的
图形叫二面角，记作α—m—β，也 可记为A—m一B，α—AB—β等．过棱上任意一点P在两个
半平面内分别作棱的垂线AP，BP，则 ∠APB(≤90
0
)叫做二面角的平面角．
它的取值范围是[0，π]．
特别地，若∠APB＝90
0
，则称为直二面角，此时平面与平面的位置关系称为垂直，即α
?
β.
定理10 如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
定理11 如果两个平面垂直，过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内．
定理12 如果两个平面垂直，过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直．
定义7 有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边(称为侧棱)都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．两个互相平行的面叫做底面．如果底面
是 平行四边形则叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做
正棱柱． 底面是矩形的直棱柱叫做长方体．棱长都相等的正四棱柱叫正方体．
定义8 有一个面是多边形(这 个面称为底面)，其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面体叫棱
锥．底面是正多边形，顶点在底面的 射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．
定理13 【了解】(凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则
V+F-E=2．
定义9 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面．球面所围成的几何体叫做
球．定长叫做球的半径，定点叫做球心．
定理14 如果球心到平面的距离d小于半径R，那么 平面与球相交所得的截面是圆面，圆心与球
心的连线与截面垂直．设截面半径为r，则d
2+r
2
＝R
2
．过球心的截面圆周叫做球大圆．经过球面两
点的 球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离．
定义10 【了解】 (经度和纬度)用平行于赤道 平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线．纬
线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做 这点的纬度．用经过南极和北极的平面去截地
球所得到的截面半圆周(以两极为端点)叫做经线，经线所 在的平面与本初子午线所在的半平面所成
的二面角叫做经度，根据位置不同又分东经和西经．
定理15 【了解】(祖 原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任 意
平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
定理16 【了解】 (三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角．其
中任意两个 角之和大于另一个，三个角之和小于360
0
．
定理17 【了解】（面积公式 ）若一个球的半径为R，则它的表面积为S
球面
=4πR
2
。若一个圆锥的母线长为l，底面半径为r，则它的侧面积S
侧
=πrl.
4
定理18 【了解】（体积公式）半径为R的球的体积为V
球
=
?
R
3
；若棱柱（或圆柱）的底面积
3
1
为s，高h，则 它的体积为V=sh；若棱锥（或圆锥）的底面积为s，高为h，则它的体积为V=
sh.

3
定理19 如图12-1所示，四面体ABCD中，记∠BDC=α，∠ADC=β，∠A DB=γ，∠BAC=A，∠ABC=B，
∠ACB=C。DH
?
平面ABC于H。
34

（1）射影定理：S
ΔABD
?cosФ=S
ΔABH
，其中二面角D—AB—H为Ф。
（2）正弦定理：
sin
?sin
sinA
?
?
sinB
?
sin
?sinC
.

（3）余弦定理：cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.
cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosα.
（4）四面体的体积公式V?
1
3
DH?S
ΔABC

=
1
6
abc1?cos
2
?
?cos
2
?
?cos2
?
?2cos
?
cos
?
cos
?

?
1
6
aa
1
dsin
?
（其中d是a< br>1
, a之间的距离，
?
是它们的夹角）
?
2
3a
S
ΔABD
?S
ΔACD
?sinθ(其中θ为二面角B—AD—C 的平面角)。




35

选修2-2
第一章 导数及其应用
1．极限定义：（1）若数列{u
n
}满足，对任 意给定的正数ε，总存在正数m，当n>m且n∈N时，恒
有|u
n
-A|<ε成立（ A为常数），则称A为数列u
n
当n趋向于无穷大时的极限，记为
limf(x),l imf(x)
，
x???x???
另外
lim
?
f(x)< br>=A表示x大于x
0
且趋向于x
0
时f(x)极限为A，称右极限。类 似地
lim
?
f(x)
表示x小
x?x
0
x?x< br>0
于x
0
且趋向于x
0
时f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果
lim
f(x)=a,
lim
g(x)=b，那么
lim
[f(x)±g(x)]=a±b, x?x
0
x?x
0
x?x
0
x?x
0
lim
[f(x)?g(x)]=ab,
lim
x?x
0
f(x)a
?(b?0).
g(x)b< br>x?x
0
x?x
0
3.连续：如果函数f(x)在x=x
0< br>处有定义，且
lim
f(x)存在，并且
lim
f(x)=f(x0
)，则称f(x)在x=x
0
处连续。
4．最大值最小值定理：如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小
值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x在x
0
处取得一个增量Δx时（Δ x充分小），
?y
因变量y也随之取得增量Δy(Δy=f(x
0
+Δx)- f(x
0
)).若
lim
存在，则称f(x)在x
0
处可导 ，此极
?x?0
?x
dy
限值称为f(x)在点x
0
处的导 数（或变化率），记作
f'
(x
0
)或
y'x?x
0
或，即
dx
x
0
f(x)?f(x
0
)
。由定义 知f(x)在点x
0
连续是f(x)在x
0
可导的必要条件。若f(x)在区
f'(x
0
)?lim
x?x
0
x?x
0
间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x
0
处导
数
f'
(x
0
)等于曲线y=f(x)在点P(x
0
,f(x
0
))处切线的斜率。
6．【必背】八大常用函数的导数：
（1）
(c)'
=0（c为常数）；
（2）
(x
a
)'?ax
a?1
（a为任意常数）；
（3）
(sinx)'?cosx;

(4)
(cosx)'??sinx
;
(5)
(a
x
)'?a
x
lna
;
(6)
(e
x
)'?e
x
;
（7）
(l og
a
x)'
?
（8）
(lnx)'?
1
log< br>a
x
；
x
1
.

x
36

7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)≠0,则
（1）
[u(x)?v(x)]'?u'(x)?v'(x)
；（2）
[u(x)v (x)]'?u'(x)v(x)?u(x)v'(x)
；（3）
[cu(x)]'?c?u' (x)
（c
1?u'(x)u(x)u(x)v'(x)?u'(x)v(x)
]'?
2
]'?
为常数）；（4）
[
；（5）
[
。 2
u(x)u(x)
u(x)u(x)
8．****【必会】复合函数求导法：设 函数y=f(u),u=
?
(x)，已知
?
(x)在x处可导，f(u)在对 应
的点u(u=
?
(x))处可导，则复合函数y=f[
?
(x)] 在点x处可导，且（f[
?
(x)]
)'
=
f'[
?
(x)]
?
'(x)
.
9.导数与函数的性质：单调性：（1）若f(x )在区间I上可导，则f(x)在I上连续；（2）若对一
切x∈(a,b)有
f'(x)?0
，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x∈(a,b)有
f'(x)?0
，则f(x)
在(a,b)单调递减。
10．极值的必要条件：若函数f(x)在x
0
处可导，且在x
0
处取得极值，则
f'(x
0
)?0.

11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x
0
邻域(x< br>0
-δ,x
0
+δ)内可导，（1）若当x∈(x-
δ,x
0
)时
f'(x)?0
，当x∈(x
0
,x
0
+δ) 时
f'(x)?0
，则f(x)在x
0
处取得极小值；（2）若当x∈(x< br>0
-
δ，x
0
)时
f'(x)?0
，当x∈(x0
,x
0
+δ)时
f'(x)?0
，则f(x)在x
0
处取得极大值。
12．极值的第二充分条件：设f(x)在x
0
的某领域( x
0
-δ,x
0
+δ)内一阶可导，在x=x
0
处二阶可导 ，
且
f'(x
0
)?0,f''(x
0
)?0
。（ 1）若
f''(x
0
)?0
，则f(x)在x
0
处取得极小 值；（2）若
f''(x
0
)?0
，
则f(x)在x
0处取得极大值。
13．【了解】罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b )上可导，且f(a)=f(b)，则存在
ξ∈(a,b)，使
f'(
?
)? 0.

[证明] 若当x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x∈(a,b)，< br>f'(x)?0
.若当x∈(a,b)时，f(x)≠
f(a)，因为f(x)在[a, b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，
不妨设最大值 m>f(a)且f(c)=m，则c∈(a,b)，且f(c)为最大值，故
f'(c)?0
， 综上得证。

37

第二章 推理与证明
综合法：“执因导果” 分析法“执果导因” 反证法:倒着推【不常考】
1.
归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点：特殊→一般.
2.
不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法
3.
完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法
完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做
枚举法. 与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不
多时，采用完全 归纳法
4.
数学归纳法:对于某些与自然数
n
有关的命题常常采用下面的方 法来证明它的正确性：先证明当
n
取第一个值
n
0
时命题成立；然后 假设当
n?k
(
k?N
*
，
k
≥
n
0
)时命题成立，证明当
n?k?1
命题
也成立这种证明方法就叫做数学归 纳法.
即先验证使结论有意义的最小的正整数
n
0
，如果当
n?n
0
时，命题成立，
5.
数学归纳法的基本思想：
再假设当
n ?k
(
k?N
*
，
k
≥
n
0
)时 ，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，
n
0
?2
， 如能推出当
n?k?1
时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于
n
0
的正整数
n
0
?1
，…，
命题都成立.
6.
用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
?
1
?< br>证明：当
n
取第一个值
n
0
结论正确；
?
2
?
假设当
n?k
(
k?N
*
，
k
≥
n
0
)时结论正确，证明当
命题对于从
n
0
开始 的所有正整数
n
都正确.数学归纳法被用
n?k?1
时结论也正确由
?
1
?
，
?
2
?
可知，
来证明与自然数有 关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
7.
?
1
?
用数学归纳法证题时，两步缺一不可；
?
2
?
证题时要注意两凑： 一凑归纳假设，二凑目标.








第三章 数系的扩充与复数
1．复数的定义：设i为方程x
2
=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。
便产生形如a+bi（a,b∈ R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。
2．复数的几种形式。对任意 复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai
38

称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作 为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标
平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的 点构成的集合之间的一一映射。
因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴， y轴去掉原点称为虚轴，
点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一 一个向量。因此坐标平
面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点 Z，见图15-1，
连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsinθ, 所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三
角形式。若z=r(cosθ+isinθ)， 则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记
作θ=Arg(z). r称为z的模 ，也记作|z|，由勾股定理知|z|=
a
2
?b
2
.如果用eiθ
表示cosθ+isin
θ，则z=re
iθ
，称为复数的指数形式 。
3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则
z?
a-bi称为z的共轭 复数。模与共轭的性质有：（1）
?
z
1
?
z
1
（ 2）
z
1
?z
2
?z
1
?z
2
； （3）
z?z?|z|
2
；（4）
?
；（5）
|z
1
?z
2
|?|z
1
|?|z
2
|
；z
1
?z
2
?z
1
?z
2
；
?
z
?
?
?
?
2
?
z
2
z|z|
（6）
|
1
|?
1
；（7）||z
1|-|z
2
||≤|z
1
±z
2
|≤|z
1< br>|+|z
2
|；（8）|z
1
+z
2
|
2< br>+|z
1
-z
2
|
2
=2|z
1
|
2
+2|z
2
|
2
；
z
2
|z< br>2
|
1
（9）若|z|=1，则
z?
。
z
4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果
可以 通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法
则；（3） 按三角形式，若z
1
=r
1
(cosθ
1
+isinθ1
), z
2
=r
2
(cosθ
2
+isin θ
2
)，则z
1?
?z
2
=r
1
r
2
[cos(θ
1
+
zr
θ
2
)+isin(θ
1
+θ
2
)]；若
z
2
?0,
1
?
1
[cos(θ
1
-θ
2
)+isin(θ
1< br>-θ
2
)]，用指数形式记为z
1
z
2
=r
1
r
2
e
i(θ
z
2
r
2
1+θ 2)
,
z
1
r
1
i(
?
1
??
2
)
?e.

z
2
r
2
5 .【部分省市考】棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]
n
=r
n
( cosnθ+isinnθ).
6.开方：若
w
n
?
r(cosθ +isinθ)，则
w?
n
r(cos
?
?2k
?
n
?isin
?
?2k
?
n
)
，k=0,1,2, …,n-1。
2
?
2
?
，则全
?isin
nn< br>k
2n?1
部单位根可表示为1,
Z
1
,
Z
1
,?,Z
1
.单位根的基本性质有（这里记
Z
k
?Z1
，k=1,2,…,n-1）：（1）
7．单位根：若w
n
=1，则称 w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z
1
=
cos
对任意整数k，若k =nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Z
nq+r
=Z
r
；（2）对任意 整数m，当n≥2时，有
?
0,当n|m,
mm
1?Z
1
m
?Z
2
???Z
n
=特别1+Z
1
+Z
2
+…+Z
n-1
=0；（3）x
n-1
+x
n-2
+…+x+1=(x-Z
1
)(x-Z
2
)…
?
?1
?
n,当n|m,
(x-Z
n-1
)=(x-Z
1
)(x -
Z
1
2
)…(x-
Z
1
n?1
). < br>8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角主值分别相等
9．复数z是实数的充要条件是z=
z
;z是纯虚数的充要条件是：z +
z
=0（且z≠0）.
10.代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。
11．实系数方程虚根成 对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程
的一个根，则
z
=a-bi也是一个根。
39

12．若a,b,c∈R,a≠ 0，则关于x的方程ax
2
+bx+c=0，当Δ=b
2
-4ac<0时方程 的根为
x
1,2
?










?b???i
.

2a
40

选修2-3
本书重点：排列组合、概率
第一章 计数原理 第二章 概率
1．加法原理：做一件事有n类办法，在第 1类办法中有m
1
种不同的方法，在第2类办法中有m
2
种不同的方法，…… ，在第n类办法中有m
n
种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m
1
+m
2
+…+m
n
种不同的方法。
2．乘法原理：做一件事，完成它需 要分n个步骤，第1步有m
1
种不同的方法，第2步有m
2
种不同
的 方法，……，第n步有m
n
种不同的方法，那么完成这件事共有N=m
1
×m
2
×…×m
n
种不同的方法。
3．排列与排列数：从n个不同元素 中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的一个排列 ，从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列个数，
n!
叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用
A
n
m
表示，
A
n
m
=n(n-1)…(n-m+1)=,其中
(n?m)!
m,n∈N,m≤n,
0
注：一般地
A
n
=1，0！=1，
A
n
n
=n!。
A
n
n
4．N个不同元素的圆周排列数为=(n-1)!。 n
5．组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个 不同
元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的< br>m
组合数，用
C
n
表示：
m
C
n
?
n(n?1)?(n?m?1)n!
?.

m!m!(n?m)!
n
k?1
mn?mmmn?1
k
?C
n
6．【了解】组合数的基本性质：（1）
C
n
；（2）
C
n
（3）
C
n
（4）
?C
?1
?C
n
?C
n
；
?1n
；
k
?1kmn?k
k
C?C???C?
?
C
n
?2
n
；（5）
C
k
k
?C
k
k
?1
???C
k
k
?m
?C
k
k
?m?1
；（6）
C
n
C
k
?C
n?m
。
0
n
1
n< br>n
n
n
k?0
7．定理1：不定方程x
1
+x
2
+…+x
n
=r的正整数解的个数为
C
r
n
?
?
1
1
。
[证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构 成的集合为A，不定方程x
1
+x
2
+…+x
n
=r的正< br>整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解
也不同，因此为单射。反之B中每一个解(x
1
,x
2
,…,x
n< br>),将x
i
作为第i个盒子中球的个数，
i=1,2,…,n，便得到A的一个 装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，
每种装法相当于从r-1个空格中 选n-1个，将球分n份，共有
C
r
n
?
?
1
1< br>种。故定理得证。
r
推论1 不定方程x
1
+x
2
+…+x
n
=r的非负整数解的个数为
C
n?r?1
.

推论2 从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合，其组合数为
C
n
m
?m?1
.

41