高中数学公式大全高考必看

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高中数学常用公式及常用结论大全

1. 元素与集合的关系
x?A?x ?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
2.德摩根公式
C
U
(AIB)?C
U
AUC
U
B;C
U
(AUB)?C
U
AIC
U
B
.
3.包含关系
AIB?A?AUB?B
?A?B?C
U
B?C
U
A

?AIC
U
B???C
U
AUB?R

2．集合
{a,a,L,a}
的子集个数共有
2
个；真子集有
非空子集有
2
–1个；非空的真子集有
2
–1个；
2
–2个.

3.二次函数的解析式的三种形式
n
12n
nn
n
(1) 一般式
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
2
;
; (2)顶点式
f(x)?a(x?h)
1
?k(a?0)
2
(3)零 点式
f(x)?a(x?x)(x?x)(a?0)
.
4.充要条件
（1）充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
充分条件.
（2）必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
必要条件.
（3）充要条件：若
p?q
，且
q?p
，则
p
是< br>q
充
要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必
要条件；反之亦然.
5.若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得
到函数< br>y?f(x?a)?b
的图象；若将曲线
f(x,y)?0
的图象
右移
a
、上移
b
个单位，得到曲线
f(x?a,y?b)?0
的 图象.

2

6.分数指数幂
(1)
a
(2)
a
m
n
?
1
n
a
m< br>1
m
n
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
） .
?
?
m
n
?
（
a?0,m,n?N
， 且
n?1
）.
?
n
n
a
(a)
7．根式 的性质（1）
?a
；（2）当
n
为奇数时，
a
n
n
?a
；
当
n
为偶数时，
n
?
a,a?0
a
n
?|a|?
?
?
?a,a?0
.
8．有理指数幂的运算性质
(1)
a
(3)
(ab)
r
r
?a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?Q)
? a
rs
(a?0,r,s?Q)
.
(2)
(a)
rs
.
.
?a
r
b
r
(a?0,b?0,r?Q)
9.指数式与对数式的互化式

log
a< br>N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

10.对数的换底公式
log
a
N?
log
m
N
log
m
a
(
a?0
,且
a?1
,< br>m?0
,且
m?1
,

N?0
).
n
log
a
b
m
推论
log
,,
n
?
m
b
a
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1n?1

N?0
).
11．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)
log(MN)?log
aa
M?log
a
N
;
;
3
(2)
log

a
M
?log
a< br>M?log
a
N
N

(3)
log< br>a
M
n
?nlog
a
M(n?R)
.
12.数列的同项公式与前n项的和的关系
n?1
?
s
1
,
a
n
?
?
?
s
n
?s
n?1< br>,n?2
s
n
?a
1
?a
2
?L?a
n
( 数列
{a}
的前n项的和为
n
).
13.等差数列的通项公式
a?a?(n?1)d?dn?a?d(n?N)
；
其前n项和公式为
*
n11
s
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d1
?na
1
?d?n< br>2
?(a
1
?d)n
2222
.
a
1n
?q(n?N
*
)
q
14.等比数列的通项公式
a
其前n项的和公式为
?
a
1
?a
n
q
, q?1
?
s
n
?
?
1?q
?
na,q?1
?
1
n
?a
1
q
n?1
?
； < br>?
a
1
(1?q
n
)
,q?1
?
s
n
?
?
1?q
?
na,q?1
?
1
或
.
22
15.同角三角函数的基本关系式
sin
?
?cos
?
?1
；
tan
?
sin
?=
cos
。
?
16.和角与差角公式
sin(
?< br>?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?sin
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
msin
?
sin
?
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1
mtan
?
tan
?
；
；
。
(辅助角?
所在象限由
asin
?
?bcos
?

=< br>a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)4

点
(a,b)
的象限决定,
tan
?
?
b
).
a
17.二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
；
；
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?< br>?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
tan2< br>?
?
2tan
?
1?tan
2
?
.
18.三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,
?
ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T?
2
；函数
?
y?tan(
?
x?
?
)，
x?k
?
?
?
,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且A≠0，
2
?
ω＞0)的周期
T?
?
.
abc
19.正弦定理
sin
???2R
.
AsinBsinC
20.余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
c
2
?a
2
?b
2
? 2abcosC
；
；
.
（
h、h、h
分别表示a、b、
abc
21.三角形面积定理 ah
（1）
S?
1
2
a
11
?bh
b
?ch
c
22
c边上的高）.

5

11
（2）
S?
1
absinC?bcs inA?casinB
.
222
22.三角形内角和定理
在△ABC 中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)

?
C
?
A?B
?2C?2
?
?2(A?B)
??222
。
23.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
24.向量的数量积的运算律：
(1)
a
·b= b·
a
（交换律）;
(2)（
?
a
）·b=
?
（
a
·b）=
?
a
·b=
a
·（
?
b）;
(3)（
a
+b）·c=
a
·c +b·c.
25．向量平行的坐标表示
设a=
(x,y)
,b=
(x,y)
，且b
?
0，则
1122
aP
b(b
?
0)
?x
θ．
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.
26.
a
与b的数量积(或内积)
a
·b=|
a
||b|cos
27.平面向量的坐标运算
(1)设a=
(x,y)
,b=
(x,y)
，则a+b=
(x?x, y?y)
.
11221212
(2)设a=
(x,y)
,b=(x,y)
，则a-b=
(x?x,y?y)
.
11221212

6

(3)设A
(x ,y)
，B
(x,y)
,则
1122
uuuruuuruuurAB?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
(4)设a=
(x,y),
?
?R
，则< br>?
a=
(
?
x,
?
y)
.
(5) 设a=
(x,y)
,b=
(x,y)
，则a·b=
(xx
1 12212
?y
1
y
2
)
.
28.两向量的夹角公式
cos
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2
2
2
(
a
=
(x,y )
,b=
(x,y)
).
1122
29.平面两点间的距离公式
d
A,B
=
uuuruuuruuur
|AB|?AB?AB
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y1
)
2
(A
(x,y)
，B
(x,y)
).
1122
30.向量的平行与垂直
设a=
(x,y)
,b=(x,y)
，且b
?
0，则
1122
A||b
?
b=λa
?x
31.常用不等式：
（1）
a,b?R
?
a
“=”号)．
（2）
a,b?R
“=”号)．
(a
2
?
1y
2
?x
2
y
1
?0
12
.
. a
?
b(a
?
0)
?
a
·b=0?xx
2
?y
1
y
2
?0
?b
2?2ab
(当且仅当a＝b时取
(当且仅当a＝b时取
?
a?b
?ab
2
（3）柯西不等式
?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R.

2222
（4）
a?b?a?b
.
32.最值定理
已知
x,y
都是正数，则有

7

（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x ?y
有最
小值
2p
；
（2）若和
x?y
是定值< br>s
，则当
x?y
时积
xy
有最
大值
1
s
.
4
2
33.斜率公式
k?
y
x< br>?y
1
2
?x
1
2
（
P(x,y)
、
P(x,y)
）.
111222
34.直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截
距).
y
（3）两点式
y
y?
?y
2
1
11
?k(x?x
1
)
(直线
l
过点
P(x, y)
，
111
?
x?x
1
x
2
?x
1
(
y
1
?y
2
)(
P(x,y)
、< br>P(x,y)

111222
(
x?x
)).
12
xy
(4)截距式
a
??1
(
a、b分别为直线的横、纵
b
截距，
a、b?0
)
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为
0).
35.两条直线的平行和垂直
(1)若
l:y?kx?b
，
l< br>1112
:y?k
2
x?b
2

①
l||l
12
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
;
②
l

1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
8

(2)若
l:Ax?By?C
1111
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C2
?0
,且A
1
、A
2
、
B
1
、B
2
都不为零,
①
l||l
12
?
A
1
B
1
C
1
??
A
2
B
2C
2
；
； ②
l
1
?l
2
?A1
A
2
?B
1
B
2
?0
36.点到直 线的距离
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
(点
P(x,y)
,直线
l
：
Ax?By?C ?0
).
00
37. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程
(x?a)
（2）圆的一般方程
x
＞0).
38.椭圆
x
2
y
2
?
2
?1(a?b?0)
2
ab
2
2
?(y?b)
2
?r
2
.
(
D
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
?E
2
?4F
x?acos
?
的参数方程是
?
.
?
y?bsin
?
?
39．椭圆的的内外部
（1）点P(x,y)
在椭圆
00
x
2
y
2
??1(a ?b?0)
a
2
b
2
的内部
22
x
0y
0
?
2
?
2
?1
ab
.
00
（2）点
P(x,y)
在椭圆
22
x
0
y0
?
2
?
2
?1
ab
x
2
y
2
??1(a?b?0)
a
2
b
2
的外部
.
40.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?(x
1
?x
2< br>)
2
?(y
1
?y
2
)
2
或
9

AB?(1?k
2
)(x
2
?x
1
)
2
?|x
1
?x
2
| 1?tan
2
?
?|y
1
?y
2
|1?cot2
?
1122
（弦
y?kx?b
端点A
(x,y),B (x,y)
，由方程
?
消去y得到
?
F(x,y)?0
?
ax
2
?bx?c?0
，
??0
,
?
为直 线
AB
的倾斜角，
k
为直线的
的焦半径公式
，
a
2
PF
2
?|e(?x)|
c
斜率）.
41. 双曲线
a
2
PF
1
?|e(x?)|
c
.
的内部
的外部
42.双曲线的内外部
(1)点
P(x,y)
在双曲线
00
22
x
0
y
0
?
2
?
2
?1
ab
.
00
(2)点
P(x,y)< br>在双曲线
22
x
0
y
0
?
2
?2
?1
ab
.
22
43.双曲线的方程与渐近线方程的关系
xy
??1
?
渐近线方程：(1）若双曲线方程为
ab
22
x
2
y
2
b
??0?
y??x
22
ab
a
.
x
2
y
2
?
2
?1
2
ab
(2)若双曲线与
x
2
y
2
???
a
2
b
2
有公共渐近线，可设为
（
??0
，焦点在x轴上，
??0
，焦点在y轴
上）.

44.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．

10

(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
45.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b
?
存
在实数λ使a=λb．
46.共面向量定理
向 量p与两个不共线的向量a、b共面的
?
存
在实数对
x,y
,使p＝ xa＋yb．
47.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间< br>任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，
使p＝xa＋yb＋zc．
48.向量的直角坐标运算
设
a
＝
(a,a,a)
，b＝
(b,b,b)
则
123123
(1)
a
＋b＝
(a?b,a
112
?b
2
,a
3
?b
3
)
?b
2
, a
3
?b
3
)
3
；
； (2)
a
－b＝
(a?b,a
11
12
2
(3)λ
a
＝< br>(
?
a,
?
a,
?
a)
(λ∈R)； < br>(4)
a
·b＝
ab?ab
11
11122
22?a
3
b
3
2
；
uuuruuuruuur
AB?OB?OA
49.设A
(x,y,z)
，B
(x,y,z)
， 则
(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
, z
2
?z
1
)
=
。
，
r
b? (x
2
,y
2
,z
2
)
50．空间的线线平行或垂 直
设
r
a?(x
1
,y
1
,z
1
)
，则

11

?
x
1
?
?
x
2
rrrr
rr
?
a
P
b
?
a?
?
b(b?0)
?
?
y
1
?
?
y
2
?
z?
?
z
2
?1
；
.
rrrr
a?b
?
a?b?0
?< br>x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
?0
51.空间两点间的距离公式
若A
(x,y,z)
，B
(x,y,z)
，则
1112 22
d
A,B
=
uuuruuuruuur
|AB|?AB?AB< br>?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2.
52.球的半径是R，则
其体积
V?
4
?
R
,
3
3
其表面积
S?4
?
R
．
53．柱体、锥体的体积
柱体的体积V=
S
h

1
.
V?Sh
（
S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高）
3
2
锥体
54.分类计数原理（加法原理）
N?m?m
1
1
2
?L?m
n
n
.
55.分步计数原理（乘法原理）
N?m?m?L?m
.
2
56. 函数
y?f(x)
在点
x
处的导数的几何意义
0
函数
y?f(x)
在点
x
处的导数是曲线
y?f (x)
在
0
P(x
0
,f(x
0
))
处的 切线的斜率
f
?
(x)
，相应的切线方程是
0
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
'n?1
57.几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
（C为常数）。(2)
(x)?nx
n
(n?Q)
。(3)
(sinx)
?
?cosx
。
x
e
a
1
(loga)
?
?log
。 (4)
(cosx)
?
??sinx
。(5)
(lnx)
?
?
1
；
xx

12

(6)
(e)
?
?e
;
(a)
?
?a
xx
xx
lna
.
'''
58.导数的运算法则
（1）
(u?v)?u?v
.（2）
(uv)?uv?uv
.（3）
'''
u
'
u
'< br>v?uv
'
()?(v?0)
2
vv
0
.
59.判别
f(x)
是极大（小）值的方法
当函数
f(x)
在点
x
处连续时，
0
（1）如果 在
x
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，
0
则
f(x)
是极大值；
0（2）如果在
x
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧f
?
(x)?0
，
0
则
f(x)
是极小值.
0
60.复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d
.（
a,b,c,d?R
）
61.复数
z?a?bi
的模（或绝对值）
|z|
=
|a?bi|< br>=
62.复数的四则运算法则
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
?bdbc?ad
(4)
(a?bi)?(c?di)?
ac
?i(c?di ?0)
.
c?dc?d
2222
a
2
?b
2
.

63、含n个元素的集合的所有子集有
2
个
64、求
y?f(x)
的反函数：解出
x?f(y)
，
x,y
互换，写
出
y?f(x)
的定义域；函数图象关于y=x对称。
65、对数：①负数和零没有对数；②1的对数等
于0 ：
log1?0
；③ 底的对数等于1：
log
M
?logM?logN
n
?1
? 1
a
a
N
aa

13

，④、积的对数：
log(MN)?logM?logN
，商的
对数：
n
nlog
b
M
?
幂的对数：
logM?
lo g
；
logb
m
66.奇函数
f(-x)=-f(x)
， 函数图象关于原点对称；偶
函数
f(-x)=f(x)
，函数图象关于y轴对称。

必修二
一、直线 平面 简单的几何体
1、长方体的对角线长
l?a?b?c
；正方体的对角
线长
l?3a

4
V=pR
2、球的体积公式：球的表面积公式：
3
S?4
?　R

1
3、柱体
V?s?h
，锥体
V=s?h
3
4.点、线、面的位置关系及相关公理及定理：
（1）四公理三推论:
公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，
则该直线上所有的点都在这个平面内：
公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有
一个平面。
公理3：如果两个平面有 一个公共点，那么它们
还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一
条过这个公共点的直线。
推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且
只有一个平面。
推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；
（2）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对
应平行，那么这两个角相等或互补。
（3）空间线线，线面，面面的位置关系：
空间两条直线的位置关系：
loga
a?1
aaa
n
a
a
m
a
n
a
2222
3
2

14

相交直线——有且仅有一个公共点；
平行直线——在同一平面内，没有公共点；
异面直线——不同在任何一个平面内，没有公
共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。
直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共
点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）——用
两分法进行两次分类。
它们的图形分别 可表示为如下，符号分别可
表示为
a?
?
，
aI
?
?A
，
a
?
。
线面平行的判定定理：如果不在一个平面内
的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条
直线和这个平面平行。推理模式：
a?
?
,b?
?
,ab?a
?
．
线面平行的性质定理：如果一 条直线和一个
平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线和交线平行。推理 模式：
a
?
,a?
?
,
?
I
?
? b?ab
．
两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有
一条公共直线）、两平面平行（没有公共点） < br>（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平
面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线， 那么这两个平面互相
平行。
推论模式：

（2）两个平面平行的性质A.如 果两个平面
平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个
aIb?P,a?
?
,b?
?
,a
?
Ib
?
?P
?
,a?
?
?
,b
?
?
?
,aa
?
,bb
?
?
?

?

15

平面；B.如果两个平行平面同时和第三个平面相
交，那么它们的交线平行。
2）垂直：
1．线线垂直
判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直
线 垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另
一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它
和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和
这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理 ：在平面内的一条直线，
如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这
条斜线的射影垂直。
2．线面垂直
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线
和一个平面内的两条相交直 线都垂直，那么这条
直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线
同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
3．面面垂直
两平面垂直的判定定理：（线面垂直
?
面面垂直）如果一个平 面经过另一个平面的一条垂线，那么这两
个平面互相垂直。
两平面垂直的性质定理：（面面垂 直
?
线面垂
直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂
直于它们的交线的 直线垂直于另一个平面。

二、直线和圆的方程
y
k?
1、斜 率：
k?tan
?
，
k?(??,??)
；直线上两点
x< br>P(x,y),P(x,y)
，则斜率为
2、直线方程：（1）、点斜式：
y ?y?k(x?x)
；（2）、
斜截式：
y?kx?b
；
1112 22
11
?y
1
2
?x
1
2

16

A
（3）、一般式：
Ax?By?C?0
（A、
k??
B
B不
?
C
B
同时为0） 斜率
y
轴截距
3、两直线的位置关系
ABC
??
ll? k?k且b
A
?b
B
（1）、平行： ； 时 ，
C
ll
；
k?k??1?l?l
AA?BB

?0?l?l
垂直： ；



k ?k
tan
?
?
1?kk
角
?0
公
?0,
?
?
夹（2）夹角范围：
1?kk
?
(0,]
式 ： ；
k、k
都存在，
2

k?k
tan
?

?
夹角夹角范围：
1?k
公
k?
式
0
：
1?kk
k、k
都存在，

Ax?By?C
（3）、点到 直线的距离公式（直线方程必须化为
d?
A?B
一般式）
4、圆的方程：
（1）圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
，圆心为
C(a,b)< br>，
半径为
r

（2）圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F? 0
D?E?4F?0
表示
圆。
111
12121
2
2
22
12
1212
121212
21
21
12
12
21
12
21
12
00
22
222< br>22
22



17