高中数学处理根式-高中数学 人教版和北师大版
高中数学常用公式及常用结论
1.元素与集合的关系
x?A?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
2.德摩根公式
C
U
(AIB)?C
U
AUC
U
B;C
U
(AUB)?C
U
AIC
U
B
.
3.包含关系
4.集合
{a
1
,a
2
,L,a
n
}的子集个数共有
2
n
个;真子集有
2
n
–1个; 非空子集有
2
n
–1个;非空的真子集有
2
n
–2个.
5.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)
2
?k(a?0)
;
(3)零点式
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
6.闭区间上的二次函数的最值
二次函数
f(x)?ax
2<
br>?bx?c(a?0)
在闭区间
?
p,q
?
上的最值只能在<
br>x??
区间的两端点处取得,具体如下:
(1)
b
?
?p,q
?
,
2a
b
b
x???
?
p,
q
?
;若
f(x)
min
?f(?),f(x)
max?
max
?
f(p),f(q)
?
2a
2a
f
(x)
max
?
max
?
f(p),f(q)
?
,
f(x)
min
?
min
?
f(p),f(q)
?
.
b
处及
2a
当a>0时,若
x??
则
,
(2)当a<0时,若
x??
若
x??
b
?
?<
br>p,q
?
,则
f(x)
min
?min
?
f
(p),f(q)
?
,
2a
b
?
?
p,q
?
,则
f(x)
max
?max
?
f(p),f(q)<
br>?
,
f(x)
min
?min
?
f(p),f(q)
?
.
2a
7.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(
1)在给定区间
?
?
,
?
?
上含参数的二次不等式
f(x,t)?0
(
t
为参数)恒成立的充要
条件是
f(x,t)<
br>min
?0(x?L)
(2)在给定区间
?
?
,<
br>?
?
上含参数的二次不等式
f(x,t)?0
(
t
为
参数)恒成立的充要
条件是
f(x,t)
man
?0(x?L)
.
?
a?0
?
a?0
?
(3)
f(x)?ax
4
?bx
2
?c?0
恒成立的充要条件是
?
b?0
或
?
2
.
?
c?0
?
b?4ac?0
?
8.四种命题的相互关系
原命题 互逆 逆命题
若p则q
若q则p
互 互
互 为 为
互
否 否
逆 逆
否 否
否命题
逆否命题
若非p则非q 互逆 若非q则非p
9.充要条件
(1)充分条件:若
p?q
,则
p
是
q
充分条件.
(2)必要条件:若
q?p
,则
p
是
q
必要条件.
(3)充要条件:若
p?q
,且
q?p
,则
p
是<
br>q
充要条件.
注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
10.函数的单调性
(1)设
x
1
?x
2
??
a,b
?
,x
1
?x
2
那么
f(
x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b<
br>?
上是增函数;
x
1
?x
2
f(x
1)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?
x
1
?x2
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导,如果
f
?(x)?0
,则
f(x)
为增函数;如果
f
?
(x)?
0
,则
f(x)
为减函数.
11.奇偶函数的图象特征
奇函数的
图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一
个函数的图象关于原点对称,那么这个
函数是奇函数;如果一个函数的图象关
于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
12.对于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f(x?a)?f(b?x)
恒
成立,则函数
f(x)
的对称轴
a?ba?b
是函数
x?
;
两个函数
y?f(x?a)
与
y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
22
对称.
13.两个函数图象的对称性
(1)函数
y?f(x
)
与函数
y?f(?x)
的图象关于直线
x?0
(即
y轴)对称.
a?b
(2)函数
y?f(mx?a)
与函数
y?
f(b?mx)
的图象关于直线
x?
对称.
2m
(3)函数
y?f(x)
和
y?f
?1
(x)
的图象关于直线y=x对称.
14.若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位,得到函数
y?f(x?a)?b
的图象;若将曲线
f(x,y)?0
的图象右移
a
、上移
b
个单位,得到曲线
f(x?a,y?b)?
0
的图象.
15.几个常见的函数方程
(1)正比例函数
f(x)?cx
,
f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c
.
(2)指数函数<
br>f(x)?a
x
,
f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0
.
(3)对数函数
f(x)?log
a
x
,
f(xy)
?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1)
.
(x
1
?x<
br>2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
(4)幂函数
f(x)?x
?
,
f(xy)
?f(x)f(y),f
'
(1)?
?
.
16.有理指数幂的运算性质
(1)
a
r
?a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?Q)
.
(2)
(a
r)
s
?a
rs
(a?0,r,s?Q)
.
(3)
(ab)
r
?a
r
b
r
(a?0,b?
0,r?Q)
.
注:若a>0,p是一个无理数,则a
p
表示一个确定的实
数.上述有理指数
幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.
17.指数式与对数式的互化式
log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)<
br>.
18.对数的换底公式
log
m
N
log
a<
br>N?
(
a?0
,且
a?1
,
m?0
,且m?1
,
N?0
).
log
m
a
n
推论
log
a
m
b
n
?log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1<
br>,
n?1
,
N?0
).
m
19.对数的四则运算法则
若a>0,a≠1,M>0,N>0,则
(
1)
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
;
M
(2)
log
a
?log
a
M?l
og
a
N
;
N
(3)
log
a
M
n
?nlog
a
M(n?R)
.
20.等差数列的通项公式 <
br>a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?
N
*
)
;
其前n项和公式为
d1
?n
2
?(a
1
?d)n
.
22
21.等比数列的通项公式
a
a
n
?a
1<
br>q
n?1
?
1
?q
n
(n?N
*
)
;
q
其前n项的和公式为
22.常见三角不等式
(1)若
x?(0,)
,则
sinx?x?tanx
.
2
(2)若
x?(0,)
,则
1?sinx?cosx?2
.
2
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
23.同角三角函数的基本关系式
sin
?
sin
2
?<
br>?cos
2
?
?1
,
tan
?
=,
tan
?
?cot
?
?1
.
cos
?
24.正弦、余弦的诱导公式
奇变偶不变符号看象限
25.和角与差角公式
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
c
os(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
ms
in
?
sin
?
;
?
?
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
s
in(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决
b
定,
tan
?
?
).
a
26.二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
co
s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c
os
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
2tan
?
.
tan2
?
?
1?tan
2
?
.
27.三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x?
?<
br>)
,x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
,x∈R(A,ω,
?
为常数,
2
?
且A≠0,ω>0)的周期T?
;
?
?
函数
y?tan(
?
x?
?
)
,
x?k
?
?,k?Z
(A,ω,
?
为常数,且A≠0,ω>0)
2
?
的周期
T?
.
?
28.正弦定理?
abc
???2R
.(R是外接圆的半径)
sinAsinBsinC
29.余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
30.面积定理
111
(1)
S?ah
a
?bh
b
?ch
c
(
h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边上的高).
222
111
(2)
S?abs
inC?bcsinA?casinB
.
222
31.三角形内角和定理
在△ABC中,有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)
C
?
A?B
???
?2C?2
?
?2(A?B)<
br>.
222
32.向量的数量积的运算律:
(1)
a
·b=b·
a
(交换律);
(2)(
?
a
)·b=
?
(
a
·b)=
?
a
·b=
a
·(
?
b);
(3)(
a
+b)·c=
a
·c+b·c.
33.平面向量基本定理?
如果e
1
、e
2
是同一平面内
的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一
向量,有且只有一对实数λ
1
、λ2
,使得a=λ
1
e
1
+λ
2
e
2<
br>.
不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
34.
a
与b的数量积(或内积)
a
·b=|
a
||b|cosθ.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影
|b|cosθ的乘积.
35.平面向量的坐标运算
(1)设a=
(x
1
,
y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
,
则a+b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2<
br>)
.
(2)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
,则a-b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
uuuruuuruuur
(3)设A(x
1
,y
1
),B
(x
2
,y
2
)
,则
AB?OB?OA?(x
2<
br>?x
1
,y
2
?y
1
)
.
(4)
设a=
(x,y),
?
?R
,则
?
a=
(
?
x,
?
y)
.
(5)设a=
(x
1
,
y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
,
则a·b=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)
.
36.两向量的夹角公式
x
1
x
2
?y
1
y
2
(
a
=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
). cos
?
?
2222
x
1
?y
1
?x
2
?y
2
37.平面两点间的距离公式
uuuruuuruuur
d
A,B
=
|AB|?AB?AB
?(x
2?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(A
(x
1
,y
1
)
,B
(x
2
,y
2
)
).
38.向量的平行与垂直
设a=(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y<
br>2
)
,且b
?
0,则
a||b
?
b=λa
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0.
a
?
b(a
?
0)
?
a
·b=0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0.
39.线段的定比分点公式?
uuuruuur
设P
?
?
PP
2
,
1
P
2
的分点,
?
是实
数,且
PP
1
(x
1
,y
1
),P
2(x
2
,y
2
),
P(x,y)
是线段
P1
则
uuuruuuruuur
1
().
t?
?(
1?t)OP
?
OP?tOP
12
1?
?
40.三角形的重
心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重
x?x?xy?y?y
3<
br>心的坐标是
G(
123
,
12
)
.
33<
br>uuuruuuruuurr
O
为
?ABC
的重心
?OA?O
B?OC?0
.
41.点的平移公式
uuur
uuu
r
r
uuu
?
x
'
?x?h
?
x?x
'?h
??
''
?OP?OP?PP
?
?
.
?
''
??
?
y?y?k
?
y?y?k
注:图形F上
的任意一点P(x,y)在平移后图形
F
'
上的对应点为
P
'
(x
'
,y
'
)
,
uuur
且
PP'
的坐标为
(h,k)
.
42.“按向量平移”的几个结论
(1)点
P(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到点
P
'
(x?h,y?k)
.
(2)函数
y?f(x)
的图象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
'
,则
C
'
的函数
解析式为
y?f(x?h)?k
.
(3)图
象
C
'
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,
若
C
的解析式
y?f(x)
,则
C
'
的函数解析式
为
y?f(x?h)?k
.
(4)曲线
C
:
f(x,y)
?0
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
'
,则
C
'
的方程为
f(x?h,y?k)?0
.
(5
)向量m=
(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到的向量仍然为m=<
br>(x,y)
.
43.常用不等式:
(1)
a,b?R
?<
br>a
2
?b
2
?2ab
(当且仅当a=b时取“=”号). <
br>a?b
(2)
a,b?R
?
?
?ab
(当且仅当a=
b时取“=”号).
2
(3)
a
3
?b
3
?c<
br>3
?3abc(a?0,b?0,c?0).
(4)柯西不等式:
(
a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?
bd)
2
,a,b,c,d?R.
(5)
a?b?a?b?a?b
.
44.最值定理(积定和最小)
已知
x,y
都是正数,则有
(1)若积
xy
是定值
p
,则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
; <
br>1
(2)若和
x?y
是定值
s
,则当
x?y
时积
xy
有最大值
s
2
.
4
22
推广已
知
x,y?R
,则有
(x?y)?(x?y)?2xy
(1)若积
xy
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|x?y|
最大;
当
|x?y|
最小时,
|x?y|
最小.
(2)若和|x?y|
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|xy|
最小;
当
|x?y|
最小时,
|xy|
最大.
45.指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?
(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
46.斜率公式
y?y
k?
21
(
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2<
br>,y
2
)
).
x
2
?x
1
47.直线的五种方程
(1)点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)
,且斜率为
k
).
(2)斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距). y?y
1
x?x
1
?
(3)两点式(
y
1?y
2
)(
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(<
br>x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1<
br>x
2
?x
1
xy
(4)截距式
??1
(a、b
分别为直线的横、纵截距,
a、b?0
)
ab
(5)一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
48.两条直线的平行和垂直
若
l
1
:y?k
1
x?b
1
,
l
2
:y?k
2
x?b
2
①
l
1
||l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
;
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
49.
l
1
到
l
2
的倒角公式
k?k
(1)
tan
?
?
21
.
1?k
2
k
1
(
l
1
:y?k
1
x?b
1
,
l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
??1
)
50.两种常用直线系方程
(1)平行直线系方程:与直线
Ax?By?C?0
平行的直线系方程是
Ax
?By?
?
?0
(
?
?0
),λ是参变量.
(2
)垂直直线系方程:与直线
Ax?By?C?0
(A≠0,B≠0)垂直的直线系方
程
是
Bx?Ay?
?
?0
,λ是参变量.
51.点到直线的距离 <
br>|Ax
0
?By
0
?C|
d?
(点
P(x<
br>0
,y
0
)
,直线
l
:
Ax?By?C?0
).
22
A?B
52.
Ax?By?C?0
或
?
0
所表示的平面区域
设直线
l:Ax?By?C?0
,则
Ax?B
y?C?0
或
?0
所表示的平面区域是:
(1)若
B?0
,当
B
与
Ax?By?C
同号时,表示直线
l
的上方的区域
;当
B
与
Ax?By?C
异号时,表示直线
l
的下方的区域
.简言之,同号在上,异号在下.
(2)若
B?0
,当
A
与
Ax?By?C
同号时,表示直线
l
的右方的区域;当
A
与
Ax?By?C
异号时,表示直线
l
的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.
53.圆的四种方程
(1)圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b
)
2
?r
2
.
(2)圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
(
D
2
?E
2
?4F
>0).
?
x?a?rcos
?
(3)圆的参数方程
?
.
?
y?b?rsin
?
(4)圆的直径式方程
(x?x
1
)
(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
(
圆的直径的端点是
A(x
1
,y
1
)
、
B(x2
,y
2
)
).
54.直线与圆的位置关系
直线<
br>Ax?By?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
Aa?Bb?C
其中
d?
.
22
A?B
?
x?acos
?
x
2
y
2
??1(a?b?0)
55.椭圆
2
的参数方程是
?
.
ab
2
y?bs
in
?
?
x
2
y
2
椭圆
2
?2
?1(a?b?0)
焦半径公式
ab
a
2
a
2
PF
1
?e(x?)
,
PF
2
?e(?x)<
br>.
c
c
椭圆的的内外部
22
x
0
y
0
x
2
y
2
(1)点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0
)
的内部
?
2
?
2
?1
.
abab22
x
0
y
0
x
2
y
2
(2
)点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的外部
?
2
?
2
?1.
abab
x
2
y
2
56.双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的焦半径公式
ab
a
2<
br>a
2
PF
1
?|e(x?)|
,
PF
2?|e(?x)|
.
c
c
双曲线的内外部
22
x<
br>0
y
0
x
2
y
2
(1)点
P(x<
br>0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(
a?0,b?0)
的内部
?
2
?
2
?1
.
ab
ab
22
x
0
y
0
x
2
y
2
(2)点
P(x
0
,y
0
)
在双曲线<
br>2
?
2
?1(a?0,b?0)
的外部
?
2
?
2
?1
.
ab
ab
双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2
y
2
x
2
y
2
b
(
1)若双曲线方程为
2
?
2
?1
?
渐近线方程:
2
?
2
?0?
y??x
.
ab
ab
ax
2
y
2
xy
b
(2)若渐近线方程为
y??
x
?
??0
?
双曲线可设为
2
?
2
??<
br>.
ab
ab
a
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线与
2
?
2
?1
有
公共渐近线,可设为
2
?
2
??
(
??0
,焦点在
x
ab
ab
轴上,
??0
,焦点在y轴上).
57.抛物线
y
2
?2px
的焦半径公式
p
抛物
线y
2
?2px(p?0)焦半径
CF?x
0
?
.
2
pp
过焦点弦长
CD?x
1
??x
2
??x<
br>1
?x
2
?p
.
22
58.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
?
y?kx?b
(弦端
点A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2<
br>)
,由方程
?
消去y得到
ax
2
?bx?c?0,
?
F(x,y)?0
??0
,
?
为直线
AB
的倾斜角,
k
为直线的斜率).
59.证明直线与直线的平行的思考途径
(1)转化为判定共面二直线无交点;
(2)转化为二直线同与第三条直线平行;
(3)转化为线面平行;
(4)转化为线面垂直;
(5)转化为面面平行.
证明直线与平面的平行的思考途径
(1)转化为直线与平面无公共点;
(2)转化为线线平行;
(3)转化为面面平行.
证明平面与平面平行的思考途径
(1)转化为判定二平面无公共点;
(2)转化为线面平行;
(3)转化为线面垂直.
证明直线与直线的垂直的思考途径
(1)转化为相交垂直;
(2)转化为线面垂直;
(3)转化为线与另一线的射影垂直;
(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.
证明直线与平面垂直的思考途径
(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;
(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;
(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;
(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
证明平面与平面的垂直的思考途径
(1)转化为判断二面角是直二面角;
(2)转化为线面垂直.
60.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量
之和,等于以这三个向量为棱的
平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
61.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0),a∥b
?
存在实数λ使a=λb.
uuuruuur
uuuruuuruuur
OP?(1?t)OA?tOB
AP?t
AB
.
P、A、B
三点共线
?
AP||AB
??
r
uuuruuur
uuur
uuu
AB||CD
?
AB<
br>、
CD
共线且
AB、CD
不共线
?
AB?tCD且
AB、CD
不共线.
62.共面向量定理
向量p与两个不共线的向
量a、b共面的
?
存在实数对
x,y
,使
p?ax?by
.
推论:空间一点P位于平面MAB内的
?
存在有序实数对
x,y
,使
uuuruuuruuur
MP?xMA?yMB
,或对空间任一定点O,有序实数对
x,y
,使
uuuruuuuruuuruuur
OP?OM?xMA?yM
B
.
uuuruuuruuuruuur
63.对空间任一点
O
和
不共线的三点A、B、C,满足
OP?xOA?yOB?zOC
(
x?y?z?k),则当
k?1
时,对于空间任一点
O
,总有P、A、B、C四点共面;当
k?1
时,若
O?
平面ABC,则P、A、B、C四点共面;若<
br>O?
平面ABC,则
P、A、B、C四点不共面.
r
uuuruuur
uuu
uuuruuuruuur
A、B、
C、D
四点共面
?
AD
与
AB
、
AC
共
面
?
AD?xAB?yAC
?
uuuruuuruuuruuur
OD?(1?x?y)OA?xOB?yOC
(
O?
平面ABC).
64.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个
唯一的有
序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc.
推论设O、A、B、C是不共面的
四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三
uuuruuuruuuruuur
个有序实数x,
y,z,使
OP?xOA?yOB?zOC
.
65.向量的直角坐标运算
设
a
=
(a
1
,a
2
,a
3
)<
br>,b=
(b
1
,b
2
,b
3
)
则
(1)
a
+b=
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
;
(2)
a
-b=
(a
1
?b
1
,a
2?b
2
,a
3
?b
3
)
;
<
br>(3)λ
a
=
(
?
a
1
,
?
a
2
,
?
a
3
)
(λ∈R);
(4)
a
·b=
a
1
b
1
?a
2
b2
?a
3
b
3
;
设A
(x
1
,y
1
,z
1
)
,B
(x
2
,y
2
,z
2
)
,则
uuuruuuruuur
AB?OB
?OA
=
(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
)
.
66.空间的线线平行或垂直
rr
设
a?(x
1
,y1
,z
1
)
,
b?(x
2
,y
2,z
2
)
,则
?
x
1
?
?
x
2
rrrr
?
a||b
?
a?
?
b(b
?0)
?
?
y
1
?
?
y
2
; <
br>?
z?
?
z
2
?
1
rr
rr
a?b
?
a?b?0
?
x
1
x
2
?y<
br>1
y
2
?z
1
z
2
?0
.
67.夹角公式
设
a
=
(a
1
,a
2<
br>,a
3
)
,b=
(b
1
,b
2
,b
3
)
,则
a
1
b
1
?a
2b
2
?a
3
b
3
cos〈
a
,b〉=
.
222222
a
1
?a
2
?a
3
b<
br>1
?b
2
?b
3
22
?a
3
)(b
1
2
?b
2
2
?b
3
2
)
,此即三维柯西不等式. 推论
(a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
)
2
?(a
1
2
?a
2
68.异面直线所成角
rr
|x
1x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
|
|a?b|
=
rr
?
222222
|
a|?|b|
x
1
?y
1
?z
1
?x
2<
br>?y
2
?z
2
oo
rr
b
所成角,
a,b
分别表示异面直线
a,b
的方(其中
?
(
0?
?
?90
)为异面直线
a,
向向量)
69.直线
AB
与平面所成角
uuurur
AB?m
ur
rur
(
m
为平面
?
的法向量).
?
?
arcsin
uuu
|AB||m|
70..二面角
?
?l?
?
的平面角
urrurr
urr
m?nm?n
rr
或<
br>?
?arc
cos
urr
(
m
,
n
为平面
?
,
?
的法向量).
?
?arccos
u
|m||n||m||n|
71.空间两点间的距离公式
若A
(x
1
,y
1
,z
1
)
,B
(x
2
,
y
2
,z
2
)
,则
uuuruuuruuur
d
A,B
=
|AB|?AB?AB
?(x
2
?x
1<
br>)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z<
br>2
?z
1
)
2
.
72.点
Q
到直线
l
距离
uuur
1
2
2
h?(|a||b|)?(a?b)
(点
P
在直线
l
上,
直线
l
的方向向量a=
PA
,向量
|a|
uuur
b=
PQ
).
73.异面直线间的距离
uuuruur
r
|CD?n|
r
(
l
1
,l
2
是两异面直线,其
公垂向量为
n
,
C、D
分别是
l
1
,l
2
上任一
d?
|n|
点,
d
为
l
1
,l
2
间的距离).
74.点
B
到平面
?
的距离
uuuruur
|AB?n|
r
r
(
n为平面
?
的法向量,
AB
是经过面
?
的一条斜线,A?
?
).
d?
|n|
75.异面直线上两点距离公式 uuur
uuur
222'
d?h?m?n?2mncosEA,AF
.
(两条异面直线a、b所成的角为θ,其公垂线段
AA
'
的长度为h.在直线
a、b上
分别取两点E、F,
A
'
E?m
,
AF?n
,
EF?d
).
76.三个向量和的平方公式
77.面积射影定理
S
'
S?
.
cos
?
(平面多边形及其射影的面
积分别是
S
、
S
'
,它们所在平面所成锐二面角的为
?).
78.欧拉定理(欧拉公式)
V?F?E?2
(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
(1)
E<
br>=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为
n
的多边形,则面
1<
br>数F与棱数E的关系:
E?nF
;
2
1
(2)若每个顶点引
出的棱数为
m
,则顶点数V与棱数E的关系:
E?mV
.
2
79.球的半径是R,则
4
其体积
V?
?
R
3
,
3
其表面积
S?4
?
R
2
.
1
V
锥体
?Sh
(
S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高
).
3
.
80.组合数公式
A
n
m
n(n?
1)?(n?m?1)
n!
m
=(
n
∈N
*
,m?N
,且
m?n
).
C
n
=
m
=
m!?(n?m)!
1?2???m
A
m
m
n?m
性质:(1)
C
n
=
C
n
;
m
m
m?1
(2)
C
n
+
C
n
=
C
n?1
.
0
注:规定
C
n
?
1
. 012rn
?C
n
?C
n
???C
n
???C
n
?2
n
.
(3)
C
n
81.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
82.离散型随机变量的分布列的两个性质
(1)
P
i
?0(i?1,2,L)
;
(2)
P
1
?P
2
?L?1
.
83.数学期望
数学期望的性质:
(1)
E(a
?
?b)?aE(
?
)?b
.
p>
(2)若
?
~
B(n,p)
,则
E
?<
br>?np
.
(3)若
?
服从几何分布,且
P(
??k)?g(k,p)?q
k?1
p
,则
E
?
?
222
1
.
p
84.方差
D
?
?
?<
br>x
1
?E
?
?
?p
1
?
?
x
2
?E
?
?
?p
2
?L?
?
x
n
?E
?
?
?p
n
?L
标准差
??
=
D
?
.
方差的性质:(1)
D
?
a
?
?b
?
?a
2
D
?<
br>;
(2)若
?
~
B(n,p)
,则
D
?<
br>?np(1?p)
.
(3)若
?
服从几何分布,且
P(?
?k)?g(k,p)?q
k?1
p
,则
D
?
?
方差与期望的关系:
D
?
?E
?
2
?
?
E
?
?
.
85.
f(x)
在
x
0
处的导数(或变化率)
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
f
?
(x
0
)?y
?
x?x
0
?lim?
lim
?x?0
?x
?x?0
?x
函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义
函数
y?f(x)
在点<
br>x
0
处的导数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜
率
f
?
(x
0
)
,相应的切线方程是
y?y
0
?f
?
(x<
br>0
)(x?x
0
)
.
86.几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
(C为常数).
(2)
(xn
)
'
?nx
n?1
(n?Q)
.
(3)
(sinx)
?
?cosx
.
(4)
(cosx)
?
??sinx
.
11
e<
br>(5)
(lnx)
?
?
;
(loga
x
)<
br>?
?log
a
.
xx
xxx
(6)
(e)
?
?e
;
(a)
?
?a
x
lna
.
87.导数的运算法则
(1)
(u?v)
'
?u
'
?v
'
.
(2)
(uv)
'
?u
'
v?uv
'
.
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
.
(3)
()?
2
vv
88.复合函数的求导法则
设函数
u
?
?
(x)
在点
x
处有导数
u
x
'
?
?
'
(x)
,函数
y?f(u)
在点
x
处的对应点
'''
U处有导数
y
u
'
?f
'(u)
,则复合函数
y?f(
?
(x))
在点
x
处有导数,且
y
x
,
?y
u
?u
x
2<
br>q
.
2
p
或写作
f
x
'
(
?
(x))?f
'
(u)
?
'
(x)
.
89.判别
f(x
0
)
是极大(小)值的方法
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时,
(1)如果
在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,则
f(x
0
)
是极大值; (2)如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,则
f(x
0
)
是
极小值.
90.复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d
.(
a,
b,c,d?R
)
22
复数
z?a?bi
的模(或绝对值)
|z|
=
|a?bi|
=
a?b
.
91.复数的四则运算法则
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
ac?bdbc?ad
(4)
(a?bi)?(c?di)?
2
?i(c?d
i?0)
.
c?d
2
c
2
?d
2
92.
实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
,
?b?b<
br>2
?4ac
①若
??b?4ac?0
,则
x
1,2<
br>?
;
2a
b
②若
??b
2
?4ac?0<
br>,则
x
1
?x
2
??
;
2a
③若
??b
2
?4ac?0
,它在实数集
R
内没有实数根;在复
数集
C
内有且仅
2
?b??(b
2
?4ac)i
2
有两个共轭复数根
x?(b?4ac?0)
.
2a
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