高中数学重要公式

高中数学重要公式
1、 集合
含n个元素的集合的所有子集有2个，真子集有2–1个。
2、 对数
积的对数：log
a
（MN）= log
a

M + log
a
N

M
nn
商的对数：log
a
— = log
a
M–log
a
N
N

n

n


n
幂的对数：log
a
M = nlog
a
M log
a
m
b = — log
a
b


m
log
m
N
对数的换底公式：log
a
N = ——— （a＞0，且a≠1，m＞0，且m≠1，N＞0）
log
m
a
3、 等差数列
⑴通项公式：a
n
= a
1
+ （n–1）d （其中a
1
是首项，d是公差）
n（a
1
+ a
n
）

n（n–1）
⑵前n项和公式：S
n
= ————— = na
1
+ ———— d
2 2
a + b
⑶等差中项：A是a与b的等差中项：A = ———
2
4、 等比数列
⑴通项公式：a
n
= a
1
q
n-1
（其中a
1
是首项，q是公比）
n
na
1
（q = 1）
⑵前n项和公式：S
n
=

a
1
–a
n
q

a
1
（1–q）
———— = ————— （q ≠ 1）
1–q 1–q


G

b
2
⑶等比中项：G是a与b的等比中项：— = —，即G = ab或G =± ab
a

G
5、 平面向量
a(x
1
，y
1
)，b(x
2
，y
2
) A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)
a+b=(x
1
+x
2
，y
1
+y
2) AB= (x
2
–x
1
，y
2
–y
1
)
a·b=x
1
x
2
+y
1
y
2

|AB|= √ ( x
2
–x
1
)
2
+( y
2
–y
1
)
2

a∥b x
1
y
2
–x
2
y
1
= 0 AB–AC = AB+CA=CA+AB=CB

1

a⊥b x
1
x
2

+ y
1
y
2

= 0 ( 即：a·b=0 ) 图示 C a D
a、b方向相同 a·b=|a| |b|，a·a=|a|
2

a-b
a、b方向相反 a·b=–|a| |b| b a+b b
a·b x
1
x
2

+ y
1
y
2
a
cosθ = ——— = —————————— A B
2222
|a|· |b| √ x
1
+
y
1

· √ x
2
+
y
2

6、 同角三角函数基本关系式
sinα
sin
α + cosα = 1

tanα = —— tanα cotα = 1
cosα
22
7、 两角和与差的正弦、余弦、正切
sin（α + β）= sin α cos β + cos α sin β sin（α–β）= sin α cos β–cos α sin β
cos（α + β）= cos αcos β–sin α sin β

cos（α–β）= cos αcos β + sin α sin β
tan α + tan β tan α–tan β
tan（α + β）= ——————— tan（α–β）= ———————
1–tan α tan β 1+ tan α tan β
8、 二倍角公式
sin2α = 2sin α cos α
cos2α = cos
α–sinα = 1–2sinα = 2cosα–1
2tanα
tan2α = ————
2
1–tan
α
9、 万能公式
2tanα 1–tan
α 2tanα
sin2α = ———— cos2α = ———— tan2α = ————
222
1 + tan
α

1 + tanα 1–tanα
10、 积化和差公式
1

1
sinα·cosβ = —[sin(α+β)+sin (α–β)] cosα·sinβ = —[sin(α+β) –sin (α–β)]
2

2
1

1
cosα·cosβ = —[cos (α+β)+ cos (α–β)] sinα·sinβ =–—[cos (α+β) –cos (α–β)]
2



2
11、 和差化积公式


α+β

α–β α+β

α–β
sinα+ sinβ = 2sin——cos—— sinα–sinβ = 2 cos——sin——
2 2 2 2

2
2222
2

α+β

α–β α+β

α–β
cosα+ cosβ = 2cos——cos—— cosα–cosβ =–2sin——sin——
2 2 2 2
12、 诱导公式
公式一： 公式二：
sin（2kπ + α）= sin α （k∈Z） sin（360
o
–α）=–sin α
cos（2kπ + α）= cos α （k∈Z）


cos（360
o
–α）= cos α
tan（2kπ + α）= tan α （k∈Z） tan（360
o
–α）=–tan α
公式三： 公式四：
sin（180
o
+ α）=–sin α sin（180
o
–α）= sin α
cos（180
o
+ α）=–cos α cos（180
o
–α）=–cos α
tan（180
o
+ α）= tan α

tan（180
o
–α）=–tan α
公式五： 公式六：
sin（90
o
+ α）= cos α sin（90
o
–α）= cos α
cos（90
o
+ α）=–sin α

cos（90
o
–α）= sin α
tan（90
o
+ α）=–cot α tan（90
o
–α）= cot α
公式七： sin

+ y sin +
sin（–α）=–sin α

cos –

cos
+

cos（–α）= cos α

tan –

tan +
tan（–α）=–tan α sin –

o sin – x
口诀：奇变偶不变，符号看象限； cos – cos

+
正弦上为正；余弦右为正；正切一三为正

tan +

tan –
13、 正余弦定理及三角形面积
a b c
—— = —— = —— = 2R
sinA sinB sinC
a = b+c
–
2bc cosA b = c+a
–
2ca cosB c = a+b
–
2ab cosC
1 1 1 abc 1
S
△ABC
= —absinC = —acsinB = —bcsinA = —— = —r(a+b+c) = pr
2 2 2 4R

2


1
= √ p(p-a)(p-b)(p-c) = —∣x
1
y
2
–
x
2
y
1
∣（AB =(x
1
,y
1
)，AC=( x
2
,y
2
)）


2

3
222222222

（R为外接圆半径，r为内切圆半径，2p=a+b+c）
14、 辅助角公式
a b
22
asin x + bcos x = √ a + b
（——— sin x + ———— cos x）

2222
√ a + b √ a + b
= √ a + b
（sin x cos
φ +
cos x sin
φ
）
= √ a + b
a

（tan
φ = —）


b
15、 特殊角的三角函数值
α的角度
α的弧度
sinα
cosα
tanα
0
o

0
30
o
45
o
60
o
90
o
120
o
135
o
150
o
180
o
270
o
360
o

π
—
6
1
—
2

3
—
2

3
—
3
π
—
4

2
—
2

2
—
2
1
π
—
3

3
—
2
1
—
2


3
π
—
2
1
0
–
2π 3π 5π
— —
—
3 4 6

1
3 2
—
— —
2
2 2
1


2

3
–—
–— –—
2
2 2



3
- 3 –1
–—
3
π
0
–1
0
3π
—
2
–1
0
–
2π
0
1
0
2222
sin（x
+ φ
）
0
1
0
16、 三角函数
函数
定义
域
值域
周期性
奇偶性 递增区间
π π
[–— +2kπ,— +2kπ] (k∈Z)
2 2
[(2k-1)
π，2kπ
]
(k∈Z)

递减区间
π

3π
[— +2kπ,— +2kπ] (k∈Z)
2

2

[
2kπ，
(2k + 1)
π
]
(k∈Z)

y=sinx x∈R
y=cosx
[-1，1] T=2π
[-1，1] T=2π
且
R π
值域
[-A，A]
奇函数
偶函数
奇函数
振幅
A
x∈R
x∈R
Y=tanx
x≠kπ+π2
π π
(–— +kπ, — +kπ)(k∈Z)
2 2

周期



函数
y=Asin(ωx+φ)
定义域
频率 相位
ωx+φ
初相
φ
图象
五点法
x∈R
2π 1


ω
T=

— f = — = —
|ω| T

2π
4

17、 空间几何体的面积、体积
面积：

⑴圆柱的表面积：S
表
= S
侧
+S
底
= 2πrh+2πr
⑵圆锥的表面积：S
表
= S
侧
+S
底
= πrl+πr ( l为母线长)
⑶圆台的表面积：S
表
= S
侧
+S
底
= π(r
1
+r
2
)l+πr
1
+πr
2
( l为母线长)
⑷球的表面积： S
球
= 4πr
体积：

⑴柱体的体积：V
柱体
=Sh ( S为柱体的底面面积，h为高)
1
⑵锥体的体积：V
锥体
= —Sh ( S为锥体的底面面积，h为高)



3
1
⑶台体的体积：V
台体
= —h（S + SS’ +S’）
3
(S、S’分别为台体上、下底面的面积，h为高)
4
3
⑷球的体积： V
球
= —πr



3
18、 均值不等式


a + b
2
a+b
22
⑴a + b ≥ 2ab 【ab ≤（——） ≤ ——— 】
2 2


a + b a + b
⑵a＞0，b＞0， ab ≤ —— ≤ ———
2 2
⑶| |a| – |b| | ≤ | a±b | ≤ |a| + |b|
⑷| a
1
+a
2
+…+a
n
| ≤ |a
1
|+|a
2
|+…+|a
n
|
⑸| x – a | ≤ m a–m ≤ x ≤ a + m ( m＞0 )
⑹| x – a | ≥ m x ≥ a + m 或 x ≤ a–m
19、 几种常见函数的导数
⑴ C ′ = 0 （C为常数） ⑵（x）′ = nx
nn-1
22
22
2
22
2
2
（n
∈
N< br>+
）

⑶（sin x）′ = cos x

⑷（cos x）′ =–sin x
1 1
⑸（ln x）′ = —

⑹（log
a
x）′ = — log
a
e（a＞0且a ≠ 1）
x x
⑺（e）′ = e ⑻（a）′ = alna （a＞0且a ≠ 1）


5
xxxx

20、基本公式
（a+b） = a+3ab+3ab+b
（a–b） = a
–3a
b+3ab
–b


33223
33223

6