届高考必备高中数学公式大全

必修1数学
知识点

第一章、集合与函数概念
§1.1.1、集合
1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三 要素：
确定性、互异性、无序性。
2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。
3、常见集合：正整数集合：或，整数集合：，有理数集合：，实数
集合：.
4、集合的表示方法：列举法、描述法.
§1.1.2、集合间的基本关系
1、一 般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的
元素，则称集合A是集合B的子 集。记作.
2、如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集.
记作：AB.
3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的
子集.
4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有个子集.
§1.1.3、集合间的基本运算
1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B
的并集.记作：.
2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B
的交集.记作：.
3、全集、补集？
§1.2.1、函数的概念
1、设A、B是非空的数集，如果按 照某种确定的对应关系，使对于集合A中
的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就 称
为集合A到集合B的一个函数，记作：.
2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、 值域.如果两个函数的定义
域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.
§1.2.2、函数的表示法
1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
§1.3.1、单调性与最大（小）值
1、注意函数单调性证明的一般格式：
解：设且，则：=…
§1.3.2、奇偶性
1、一般地，如果对于函数的定义域内 任意一个，都有，那么
就称函数为偶函数.偶函数图象关于轴对称.

2、一般 地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有
么就称函数为奇函数.奇函数图象关于原点对称.
第二章、基本初等函数（Ⅰ）
§2.1.1、指数与指数幂的运算
1、一般地，如 果，那么叫做的次方根。其中
2、当为奇数时，
当为偶数时，
3、我们规定：
⑴
；
⑵
4、运算性质：
⑴
⑵
；
；
；
；
.
，那
.
⑶.
§2.1.2、指数函数及其性质
1、记住图象：
§2.2.1、对数与对数运算
1、
2、
3、
4、当
⑴
⑵
⑶
5、换底公式 ：
.
6、
.
.

；
.
，.
时：
；
；

§2..2.2、对数函数及其性质
1、记住图象：
§2.3、幂函数
1、几种幂函数的图象：
第三章、函数的应用
§3.1.1、方程的根与函数的零点
1、方程有实根
函数的图象与轴有交点
函数有零点.
2、性质：如果函数在区间上的图象是连续不 断的一条曲线，并且
有，那么，函数在区间内有零点，即存在，
使得，这个也就是方程的根.
§3.1.2、用二分法求方程的近似解
1、掌握二分法.
§3.2.1、几类不同增长的函数模型
§3.2.2、函数模型的应用举例
1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.
必修2数学
知识点

1、空间几何体的结构
⑴
常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的
多面体叫做棱柱。

⑶棱台：
用一个平行于棱锥底面的平 面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投 影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，
平行投影的投影线是平行的。
3、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积；
⑵圆锥侧面积：
⑶圆台侧面积：
⑷体积公式：
；；



⑸球的表面积和体积：
.

第二章：点、直线、平面之间的位置关系
1、公理1：
如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
2、公理2：
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
4、公理4：
平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
6、线线位置关系：
平行、相交、异面。
7、线面位置关系：
直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。
8、面面位置关系：
平行、相交。
9、线面平行：
⑴判定：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

⑵性质：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
10、面面平行：
⑴判定：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
⑵性质：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
11、线面垂直：
⑴定义：
如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就 说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
⑶性质：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
12、面面垂直：
⑴定义：
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定：
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

⑶性质：
两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
第三章：直线与方程
1、倾斜角与斜率：
2、直线方程：
⑴点斜式：
⑵斜截式：
⑶两点式：
⑷一般式：
3、对于直线：



有：

⑴
⑵和相交
⑶和重合
；
；
；
⑷.
4、对于直线：
有：
⑴
⑵和相交
⑶和重合
⑷.
5、两点间距离公式：
6、点到直线距离公式：
第四章：圆与方程
1、圆的方程：
⑴标准方程 ：
⑵一般方程：
2、两圆位置关系：
⑴外离：
⑵外切：
⑶相交：⑷内切：；
；
；
；


.
；
；
；
⑸内含：.
3、空间中两点间距离公式：
必修3数学
知识点
第一章：算法
1、算法三种语言：
自然语言、流程图、程序语言；
2、算法的三种基本结构：

顺序结构、选择结构、循环结构
3、流程图中的图框：
起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；
4、循环结构中常见的两种结构：
当型循环结构、直到型循环结构
5、基本算法语句：
①赋值语句：“=”（有时也用“←”）
②输入输出语句：“INPUT”“PRINT”
③条件语句：
If…Then
…
Else…
EndIf
④循环语句：“Do”语句
Do
…
Until…
End
“While”语句
While…
…
WEnd
⑹算法案例：辗转相除法—同余思想
第二章：统计
1、抽样方法：
①简单随机抽样（总体个数较少）
②系统抽样（总体个数较多）
③分层抽样（总体中差异明显）
注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机
会（概率）均为。
2、总体分布的估计：
⑴一表二图：
①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观

③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：
①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、
众位数等。
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的药重复写。
3、总体特征数的估计：
⑴平均数：；
取值为的频率分别为，则其平均数为
注意：频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差与标准差：一组样本数据
方差：；

；
标准差：
注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。
⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：（最小二乘法）
注意：线性回归直线经过定点。
第三章：概率
1、随机事件及其概率：
⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；
⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；
⑶随机事件A的概率：；
2、古典概型：
⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；
⑵古典概型的特点：
①所有的基本事件只有有限个；
②每个基本事件都是等可能发生。

⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可 能基本事件共有n个，事件A包
含了其中的m个基本事件，则事件A发生的概率
3、几何概型：
⑴几何概型的特点：
①所有的基本事件是无限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑵几何概型概率计算公式：；
其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。
4、互斥事件：
⑴不能同时发生的两个事件称为互斥事件；
⑵如果事件任意两个都是互斥事件，则称事件彼此互斥。
⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概
率的和，
即：
⑷如果事件彼此互斥，则有：
⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。
①事件的对立事件记作
②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。
必修4数学
知识点

第一章、三角函数
§1.1.1、任意角
1、正角、负角、零角、象限角的概念.
2、与角终边相同的角的集合：
.
§1.1.2、弧度制
1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2、.
.
.
。
3、弧长公式：
4、扇形面积公式：
§1.2.1、任意角的三角函数

1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
.
为角终边上任意一点，那么：（设
，那么：
2、设点）
，，.
3、，，在四个象限的符号和三角函数线的画法.
4、诱导公式一：
（其中：）
5、特殊角0°，30°，45°，60°，
90°，180°，270°的三角函数值.
















§1.2.2、同角三角函数的基本关系式
1、平方关系：.
2、商数关系：.
§1.3、三角函数的诱导公式
1、诱导公式二：
2、诱导公式三：
3、诱导公式四：
4、诱导公式五：
5、诱导公式六：
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象
1、记住正弦、余弦函数图象：
2、能够对 照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小
值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调 性、周期性.
3、会用五点法作图.
§1.4.2、正弦、余弦函数的性质
1. 周期函数定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义
域内的每一个值时，都有，那么函数 就叫做周期函数，非

零常数T叫做这个函数的周期.
§1.4.3、正切函数的图象与性质
1、记住正切函数的图象：
2、能够对照图 象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、
对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
§1.5、函数的图象
1、能够讲出函数的图象和函数的图
象之间的平移伸缩变换关系.
2、对于函数：
有：振幅A，周期，初相，相位，
频率.
§1.6、三角函数模型的简单应用
1、要求熟悉课本例题.
第二章、平面向量
§2.1.1、向量的物理背景与概念
1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.
2、既有大小又有方向的量叫做向量.
§2.1.2、向量的几何表示
1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长
度.
2 、向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作；长度为零的
向量叫做零向量；长度等于1个单位的 向量叫做单位向量.
3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量
与任意向量平行.
§2.1.3、相等向量与共线向量
1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
§2.2.1、向量加法运算及其几何意义
1、三角形法则和平行四边形法则.
2、≤.
§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.
§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、规定：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：
，它的长度和方向规 定如下：
⑴,

⑵当
反.
时,的方向与的方向相同；当时,的方向与的方向相
2、平面向量共线定理：向量
.
§2.3.1、平面向量基本定理
1、平面向量基本定理：如果
与共线，当且仅当有 唯一一个实数，使
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于
，使. 这一平面内任一向量，有且只有一对实数
§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示
1、.
§2.3.3、平面向量的坐标运算
1、设
⑴
⑵
⑶
⑷
2、设
，
.
，则：
，则：
，
，
.
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示
1、设，则
⑴线段AB中点坐标为，
⑵△ABC的重心坐标为.
§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、.
. 2、在方向上的投影为：
3、.
4、.
5、.
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、设
⑴
⑵

，则：

⑶
2、设

，则：
.
§2.5.1、平面几何中的向量方法
§2.5.2、向量在物理中的应用举例
第三章、三角恒等变换
§3.1.1、两角差的余弦公式
1、
2、记住15°的三角函数值：








§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、
2、
3、
4、.
5、.
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、，
变形：.
2、
，
变形1：
变形2：
，
.
3、.
§3.2、简单的三角恒等变换
1. 注意正切化弦、平方降次.
必修5数学
知识点
第一章：解三角形
1、正弦定理：
.

2、余弦定理：
3、三角形面积公式：
第二章：数列
1、数列中与之间的关系：
2、等差数列：
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每 一项与它的前一项的差等于同一个常
数，那么这个数列就叫做等差数列。
⑵通项公式：
⑶求和公式：
3、等比数列
⑴定义：如果一个数列从第2项 起，每一项与它的前一项的比等于同一个常
数，那么这个数列就叫做等比数列。
⑵通项公式：
⑶求和公式：
第三章：不等式
1、
2、
3、变形：






数学必修1-5常用公式及结论
必修1
：一、集合1、含义与表示：（1）集合中元 素的特征：确定性，互异性，
无序性
（2）集合的分类；有限集，无限集（3）集合的表示法：列举法，描述法，
图示法
2、集合间的关系：子集：对任意，都有，则称A是B的子集。记作

真子集：若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属于A，则A是B的
真子集，
记作AB集合相等：若：,则
3.元素与集合的关系：属于不属于：空集：
4、集合的运算：并集：由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，
记为
交集：由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为

补集：在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，
记为
5．集合的子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有–
1个；
6.常用数集：自然数集：N正整数集：整数集：Z有理数集：Q实数集：R
二、函数的奇偶性
1、定义：奇函数<=>
f
(–x)=–
f(x)，偶函数<=>
f
(–x)=
f
(x)（注意定义域）
2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；
（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；
（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
二、函数的单调性 1、定义：对于定义域为D的函数
f
(
x
)，若任意的x
1,x
2
∈D，且x
1
2

①
f< br>(x
1
)<
f
(x
2
)<=>
f
( x
1
)–
f
(x
2
)<0<=>
f
(x
)是增函数
②
f
(x
1
)>
f
( x
2
)<=>
f
(x
1
)–
f
(x
2
)>0<=>
f
(
x
)是减函数
2、复合函数的单调性:同增异减
2
三、二次函数
y
=
a x
+
bx
+
c
（）的性质
1、顶点坐标公式：，对称轴：，最大（小）值：
2.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式;(2)顶点式;
(3)两根式.
四、指数与指数函数
1、幂的运算法则：
mnm+nmnmnnnn
（1）
a
?
a
=
a
，（2），（3）(
a
)=
a
（4）(< br>ab
)=
a
?b
（5）（6）a=1(a≠0)（7）
2、根式的性质
（1）.
.
0

（8）（9）
（2）当为奇数时，；当为偶数时，
x
4、指数函数
y
=
a
(
a
>0且
a
≠1) 的性质：
（1）定义域：R；值域：(0,+∞)（2）图象过定点（0，1）

Y

Y

a
>1

5.指数式与对数式的互化：
.

0<
a
<1

1

五、对数与对数函数
1

X

0

X

0

1对数的运算法则：
bblog
a
N
（1）
a
=N<=>b=log
a
N（2）log
a
1=0（3）log
a
a
=1（4）lo g
a
a
=b（5）
a
=N
（6）log
a
(MN)=log
a
M+log
a
N（7）log
a
(< br>b
)=log
a
M--log
a
N

,且,,).
（8）log
a
N
=blog
a
N
（9）换底公式：log
a
N
=
（10）推论(,且,
（1 1）log
a
N
=（12）常用对数：lgN=log
10
N
（13）自然对数：lnA=log
e
A
（其中e=2.71828…）2、对数函 数y=log
a
x(
a
>0且
a
≠1)的性质：
（1）定义域：(0,+∞)；值域：R（2）图象过定点（1，0）

Y

a
a
>1

Y

六、幂函数y=x的图象:（1）根据
a
的取值画出函数在第一象限的简图.
0<
a
<1


X

X

0

1

0
1

a<0
a>1

0

2
例如：y=x
七.图象平移：若将函数的图象右移、上移个单位，
得到函数的图象；规律：左加右减，上加下减
八.平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有
.
九、函数的零点：1.定义：对于，把使的X叫的零点。
即
的图象与X轴相交时交点的横坐标。
2.函数零点存在性定理：如果函数
的一条
在区间上的图象是连续不断
， 曲线，并有，那么在区间内有零点，即存在
使得，这个C就是零点。
3.二分法求函数零点的步骤：（给定精确度）
（1）确定区间
（3）计算
，验证
③若
（4）判断是否达到精确度，若
则重复（2）到（4）
;(2)求
，则零点
的中点
；

，则零点 ①若，则就是零点；②若
，则零点为或或内任一值。否

必修2：
一、 直线与圆1、斜率的计算公式：k=tanα=（α≠90°，
x
1
≠x
2< br>）
2、直线的方程（1）斜截式y=kx+b,k存在；（2）点斜式y–y
0
=k(x–x
0
)，k
存在；
（3）两点式（）；4）截距式（）
（5）一般式
3、两条直线的位置关系：

l
1
：y=k
1
x+b
1

l
1
：A
1
x+B
1
y+C
1
=0
l
2
：y=k
2
x+b
2

l
2
：A
2
x+B
2
y+C
2
=0
重合 k
1
=k
2
且b
1
=b
2

平行 k
1
=k
2
且b
1
≠b
2

垂直 k
1
k
2
=–1 A
1
A
2
+B
1
B
2
=0
4、 两点间距离公式：设P
1
(x
1
,y
1
)、P
2< br>(x
2
,y
2
)，则|P
1
P
2
| =
5、点P(x
0
,y
0
)到直线
l
：Ax+B y+C=0的距离：
7、圆的方程

圆的方程 圆心 半径
标准方程
x
2
+y
2
=r
2
（0，0） r
(x–
a
)
2
+(y–b)
2
=r
2
（
a
，b） r
一般方程 x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0

8.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种若，则
点在圆外;点在圆上;点在圆内.
9.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d)
直线与圆的位置关系有三种:
;;.
10.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
， O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，

;
;
;
;
.
11.圆的切线方程
(1)已知圆
①若已知切点
．
在圆上，则切线只有一条，其方程是
.
当圆外时,表示过两个切点的切点
弦方程．
②过圆外一点的切线方程可 设为，再利用相切条件求k，
这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条
切线．
(2)已知圆．
①过圆上的点的切线方程为;
②斜率为的圆的切线方程为
二、立体几何（一）、线线平行判定定理：1、平行于同一条直线的两条直线
互相平行。 2、垂直于同一平面的两直线平行。3、如果一条直线和一个平面平行，经过
这条直线的平面和这个 平面相交，那么这条直线和交线平行。
4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（二）、线面平行判定定理
1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
2、若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。
（三）、面面平行判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平
行。
（四）、线线垂直判定定理：
若一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。
（五）、线面垂直判定定理
1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于
这个平面。

2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于
另一个 平面。
（六）、面面垂直判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
（七）．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线
平行；
（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.
（八）．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面
面平行.
（九）．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.
（十）．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）利用三垂线定理或逆
定理；
（十一）．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相
交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另
一个平行平面；
（十二）．证明平面与平面的垂直的思考途径
P

（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.
三、空间几何体
（一）、正三棱锥的性质
A

C

O

1、底面是正三角形，若设底面正三角形的边长为a，则有
D

B

外接圆半内切圆半

图形 面积
径 径
正三
角形

2、正三棱锥的辅助线作法一般是：
作PO⊥底面ABC于O，则O为△ABC的中心，PO为棱锥的高，
取AB的中点D，连结PD、CD，则PD为三棱锥的斜高，CD为△ABC的AB边上
的高，
且点O在CD上。∴△POD和△POC都是直角三角形，且∠POD=∠POC=90°
（二）、正四棱锥的性质

1、底面是正方形，若设底面正方形的边长为a，则有

图形
正方
形

外接圆半内切圆半
径 径
OB=
OA=
P

面积
S=
a
2
C

O

A

D

E

B

2、正四棱锥的辅助线作法一般是：
作PO⊥底面ABCD于O，则O 为正方形ABCD的中心，PO为棱锥的高，取AB的
中点E，连结PE、OE、OA，则PE为四棱锥 的斜高，点O在AC上。∴△POE和
△POA都是直角三角形，且∠POE=∠POA=90°
（三）、长方体
长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长、宽、高的平方和。
特殊地，若正方体的棱长为
a
，则这个正方体的一条对角线长为
a
。
（四）、正方体与球
1、设正方体的棱长为a，它的外接球半径为R
1
，它 的内切球半径为R
2
，则
D
1

C
1


A
1

（五）几何体的表面积体积计算公式
B
1

O

1、圆柱:表面积:2π+2πRh体积:πR2h
D

C

2、圆锥:表面积:πR2+πRL体积:πR2h3(L为母线长)
A

B

3、圆台：表面积:体积：V＝πh(R2＋Rr＋r2)3
4、球：S
球面
=4πRV
球
=πR（其中R为球的半径）
5、正方体：a－边长，S＝6a2，V＝a3
6、长方体a－长,b－宽,c－高S＝2(ab+ac+bc)V＝abc
7、棱柱：全面积=侧面积+2X底面积V＝Sh
8、棱锥：全面积=侧面积+底面积V＝Sh3
9、棱台：全面积=侧面积+上底面积+下底面积
四、三视图1.投影：把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影。
把在一束平行光线照射 下形成的投影，称为平行投影。平行投影按照投射方
向是否正对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种 。
2、光线从几何体的前面向后面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的
正视图(也 叫主视图)；光线从几何体的上面向下面正投影,得到投影图,这种投
影图叫做几何体的俯视图；光线从 几何体的左面向右面正投影,得到投影图,这
种投影图叫做几何体的侧视图(或左视图)
3、“长对正,高平齐,宽相等”是三视图之间的投影规律,是画图和读图的重
23

要依据.
画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和
棱用虚线表示。
必修3:第一章算法初步
1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计 算机来解
决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且
能够在有限 步之内完成.
2、构成程序框的图形符号及其作用
程序框 名称
起止框
功能
表示一个算法的起始和结束，是
任何流程图不可少的。
表示一个算法输入和输出的信


输入、输出框 息，可用在算法中任何需要输
入、输出的位置。
赋值、计算，算法中处理数据需

处理框 要的算式、公式等分别写在不同
的用以处理数据的处理框内。
判断某一条件是否成立，成立时

判断框 在出口处标明“是”或“Y”；
不成立时标明“否”或“N”。
3、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。(结构图请看
教材)
4、（1）、辗转相除法：用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构
成新的一对数，继续做上 面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就
是最大公约数。
（2）、更相减损术。以较 大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差
比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数 相等为止，则这个数
（等数）就是所求的最大公约数。

（3）进位制①以k为基数的k进制换算为十进制：
②十进制换算为k进制：除以k取余，倒序排列
第二章统计1．
总体和样本：
在统计学中,把研究对象的全体叫做总体．
把每个研究对象叫做个体．把总体中个体的总数叫做总体容量．
为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，，
研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．
2、简单随机抽样，也叫纯随机抽样 。就是从总体中不加任何分组、划类、排
队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中 的可能性相
同。
（总体个数较少）

3、简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟
法；
4 、系统抽样（等距抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然
后按照这一固定的抽样距离抽 取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法
抽取。
（总体个数较多）

K（抽样距离）=N（总体规模）n（样本规模）
5、分层抽样：先将总体中的所有单位按照 某种特征或标志（性别、年龄等）
划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样 或系
统抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。
先以分层变量 将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽
取。
（总体中差异明显）

6、总体分布的估计：⑴一表二图：①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋
势
注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：①茎叶图适用于数据较少的情况 ，从中便于看出数据的分布，以
及中位数、众位数等。②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到 大
书写，相同的数重复写。
7、用样本的数字特征估计总体的数字特征（s为标准差）

（1）、平均值：（2）、


8、两个变量的线性相关（1）、概念:（1）回归直线方程：
（2）回归系数：，
（3）．应用直线回归时注意：回归分析前,最好先作出散点
图；
第三章概率
一、概念1、事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事
件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不
可能事件；
（3）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S
的随机事件；
2、古典概型：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；
⑵古典概型的特点：基本事件可列举；每个基本事件都是等可能发生
⑶概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中
的m个基本事
件，则事件A发生的概率
3、几何概型：⑴特点：①所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等
可能发生。
⑵几何概型概率计算公式：。
4、若A∩B=ф，即不可能同时发生的两个事件，那么称事件A与事件B互斥；
5、若A∩ B为不可能事件，A∪B为必然事件，即不能同时发生且必有一个发生
的两个事件，那么称事件A与事件 B互为对立事件；
二、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此
0≤P(A)≤1；

2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)； 3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以
P(A∪B)=P(A)+P(B)=1 ，于
是有P(A)=1—P(B)；
4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指 事件A与事件B在一
次试验中不会同时发生，具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事
件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时
不发生，而对立事件是指事 件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情
形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件 A不发生，对立事件
是互斥事件的特殊情形。
必修4一、
三角函数与三角恒等变换
1、三角函数的图象与性质
函数 正弦函数 余弦函数 正切函数
图象

定义域
值域
周期性
奇偶性
R
[-1,1]
2π
奇函数
R
[-1,1]
2π
偶函数
{x|x≠
+kπ,k∈Z}
R
π
奇函数

单调性
增区间[-
+2kπ]
减区间[
+2kπ]
+2kπ,
+2kπ,
增区间[-
增区间
π+2kπ,2kπ]
减区间[2kπ,π+2kπ]
(-+kπ,+kπ)
(k∈Z)
(k∈Z)
对称轴
对称中
心
x=+kπ(k∈Z)
(kπ,0)(k∈Z)
22
x=kπ(k∈Z)
无
(+kπ,0)(k∈Z) (k,0)(k∈Z)
2、同角三角函数公式sinα+cosα=1tanαcotα=1
3、二倍角的三角函数公式
2222
sin2α=2sinαcosαcos2α= 2cosα-1=1-2sinα=cosα-sinα

4、降幂公式
2225、升幂公式1±sin2α=(sinα±cosα)1+cos2α=2cosα1-cos2α=2s inα
6、两角和差的三角函数公式
sin(α±β)=sinαcosβ土cosαsi nβcos(α±β)=cosαcosβ干
sinαsinβ
7、两角和差正切公式的变形：
tanα±tanβ=tan(α±β)(1干tanαtanβ)
==tan(+α)=
8、两角和差正弦公式的变形（合一变形）
（其中）
=tan(-α)
9、半角公式：
10、三角函数的诱导公式“奇变偶不变，符号看象限。”
sin(π－α)=sinα，cos(π－α)=－cosα，tan(π－α)=－tanα；
sin(π+α)=－sinαcos(π+α)=－cosαtan(π+α)=tanα
sin(2π－α)=－sinαcos(2π－α)=cosαtan(2π－α)=－tanα
sin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα
sin(－α)=cosαcos(－α)=sinαtan(－α)=cotα

sin(+α)=cosαcos(+α)=－sinαtan(+α)=－cotα
11.三角函数的周期公式
函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,
A≠0，ω＞0 )的周期；函数，
为常数，且
(A,ω,为常数，
且A≠0，ω＞0)的周期.
二、平面向量（一）、向量的有关概念
1、向量的模计算公式：（1）向量法：||=；
（2）坐标法：设=（x，y），则||=
2、单位向量的计算公式：
（1）与向量=（x，y）同向的单位向量是；
（2）与向量=（x，y）反向的单位向量是；
3、平行向量
规定：零向量与任一 向量平行。设=（x
1
，y
1
），=（x
2
，y
2
），λ为实数
向量法：∥（≠）<=>=λ
坐标法：∥（≠）<=>x
1
y
2
–x
2
y
1
=0<=>（y
1
≠0，y
2
≠0）
4、垂直向量
规定：零向量与任一向量垂直。设=（ x
1
，y
1
），=（x
2
，y
2
） 向量法：⊥<=>·=0坐标法：⊥<=>x
1
x
2
+y
1y
2
=0
5.平面两点间的距离公式
=(A，B).
（二）、向量的加法
（1）向量法：三角形法则（首尾相接首尾连），平行四边形法则（起点相同
连对角）
（2）坐标法：设=（x
1
，y
1
），=（x
2
，y2
），则+=（x
1
+x
2
，y
1
+y
2
）
（三）、向量的减法
（1）向量法：三角形法则（首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量）
（2）坐标法： 设=（x
1
，y
1
），=（x
2
，y
2
） ，则-=（x
1
-x
2
，y
1
-y
2
）
（3）、重要结论：|||-|||≤|±|≤||+||

（四）、两个向量的夹角计算公式：（1）向量法：cos=
（2）坐标法： 设=（x
1
，y
1
），=（x
2
，y
2
） ，则cos=
（五）、平面向量的数量积计算公式：（1）向量法：·=||||cos
（ 2）坐标法：设=（x
1
，y
1
），=（x
2
，y
2
），则·=x
1
x
2
+y
1
y
2

（3）a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ
的乘积．
（六）.1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么
(1)结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的数量积的运算律：(1)
a
·b=b·
a
（交换律）;
(2)（
a
）·b=（
a
·b）=
a
·b=
a
·（b）;(3)（
a
+b）·c=
a
·c+b·c.
3.平面向量基本定理：如果e
1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量， 那么
对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ
1
、λ
2
，使 得
a=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
．不 共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
（七）.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的
坐
标是
必修5 一
、解三角形：ΔABC的六个元素A,B,C,
a
,b,c满足下列关系：
1、角的关系：A+B+C=π，
特殊地，若ΔABC的三内角A,B,C成等差数列，则∠B=60o，∠A+∠C=120o
2、诱导公式的应用：sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=--cosC,
sin()=cos,cos()=sin
3、边的关系：
a
+b>c,< br>a
–b4、边角关系：（1）正弦定理：（R为ΔABC外接圆半径）
a
:b:c=sin A:sinB:sinC分体型
a
=2RsinA,
b
=2RsinB
,c
=2RsinC,
222222
（2）余弦定理：
a
=b+ c–2bc?cosA,
b
=
a
+c–2
a
c?cosB,
c
2
=
a
2
+b
2
–2
a
b?cosC
,,
5、面积公式：S=
a
h=
a
bs inC=bcsinA=
a
csinB

二、数列（一）、等差数列{
a
n
}
1、通项公式 ：
a
n
=
a
1
+(n–1)d，推广：
a
n
=
a
m
+(n–m)d(m,n∈N)
2、前n项和公式：S
n
=n
a
1
+n(n–1)d=
3、等差数列的主要 性质
②若m+n=p+q，则
a
m
+
a
n
=a
p
+
a
q
(m,n,p,q∈N)
③
S< br>n
,
S
2n
--
S
n
,
S
3n
–S
2n
组成等差数列，公差为nd。
（二）、等比数列{
a
n
}1、通项公式：
a
n
=
a
1
q
2、等比数列的前n项和公式：
当q≠1时，
S
n
==
3、等比数列的主要性质
2
n–1

①若m+n=2p，则
a
m
+
a
n
=2
a
p
（等差中项）(m,n∈N)
，推广：
a
n
=
a
m
q(m,n∈N)
n–m
，当q=1时，
S
n
=n
a
1
< br>①若m+n=2p，则
a
p
=
a
m
?
an
（等比中项）(m,n∈N)
②若m+n=p+q，则
a
m
?
a
n
=
a
p
?
a
q
(m,n, p,q∈N)
③
S
n
,
S
2n
--
S< br>n
,
S
3n
–S
2n
组成等比数列，公比为q。 < br>（三）、一般数列{
a
n
}的通项公式：记
S
n
=< br>a
1
+
a
2
+…+
a
n
，则恒有< br>
三、不等式
（一）、均值定理及其变式（1）
a
,b∈R,
a
+b≥2ab < br>（2）
a
,b∈R,
a
+b≥2
+
22
n< br>（3）
a
,b∈R,
a
b≤
+

（4），以上当且仅当
a
=b时取“=”号。
（二）.一元二次不等式，如 果与
同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两
根之间.简言之：同号两根之外， 异号两根之间.设
；
（三）.含有绝对值的不等式：当a>0时，有
.或.