高中数学公式完全总结归纳

均值不等式归纳总结

1. (1)若
a,b?R
，则
a?b?2ab

22
a
2
?b
2
(2)若
a,b?R
，则
ab?
2
*
（当且仅当
a?b
时取“=”）
2. (1)若
a,b? R
*
，则
a?b
?
2
(2)若
a,b?R
ab
，则
a?b?2ab
（当且仅当
a?b
时取“=”） a?b
?
(3)若
a,b?R
，则
ab?
?
? ?
?
2
?
*
2
(当且仅当
a?b
时取“=”）
3.若
x?0
，则
x??2
(当且仅当
x?1
时取“=”）
1
x
1
若
x?0
，则
x???2
(当且仅当
x??1
时取“=”）
x
若
x?0
，则
x?
1
x
ba
?2即x?
11
）
?2或x??-2
(当且仅当
a?b
时取“=”
xx
4 .若
ab?0
，则
a
?
b
?2
(当且仅当
a?b
时取“=”）
若
ab?0
，则
a
?
b
?2即
a
?
b
?2或
a
?
b
?-2
(当且仅当
a?b
时取“=”）
bababa
a?b
2
a
2
?b
2
5.若
a,b?R
，则
()?
22
（当且仅当
a?b
时取“=”）

『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的
和为定植时，可以 求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定
积最大”．
(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的 取值范围、证明不等式、解决
实际问题方面有广泛的应用』

应用一：求最值

例1：求下列函数的值域
（1）
y
＝3
x
2
＋
11
2
x
2
（2）
y
＝
x
＋
x

解：(1)y＝3x
2
＋
1
2x
2
≥23x
2
·
1
2x
2
＝6 [6 ，+∞）∴值域为

1
(2)当x＞0时，y＝x＋ ≥2
x
1
x· ＝2；
x
1
x· =－2
x
11
当x＜0时， y＝x＋ = －（－ x－ ）≤－2
xx
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

解题技巧
技巧一：凑项
例 已知
x?
5
，求函数
y?4x?2?
4
1
的最大值。
4x?5
解：因
4x?5?0
，所以首先要“调整”符号，又
(4x?2)
g
以对
4x?2
要进行拆、凑项，
1
不是常数，所
4x?5
5
11
??
Qx?,?5?4x?0
，
?y?4x?2???
?
5?4x??
?3
??2?3?1

4
4x?55?4x
??
当且仅当
5?4x?

技巧二：凑系数
1
，即
x?1
时，上式等号成立，故当
x ?1
时，
y
max
?1
。
5?4x
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
例1. 当时，求
y?x(8?2x)
的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必 须和为定值或积为
定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到
2x?(8?2x )?8
为定值，
故只需将
y?x(8?2x)
凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，
y?x(8?2x)
的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而
可利用均值不等式求最大 值。
变式：设
0?x?
，求函数
y?4x(3?2x)
的最大值。
2
3
2x?3?2x
?
9
?
解：∵
0?x ?
∴
3?2x?0
∴
y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2??
?

2
22
??
3
2
33
?
当且仅当
2x?3?2x,
即
x??
?
?
0,
?
时等号成立。
4
?
2
?

技巧三： 分离
x
2
?7x?10
(x??1)
的值域。 例3. 求
y?
x?1
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含 有（x＋1）的
项，再将其分离。

当,即时,
y?2（x?1)?
4
?5?9
（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
x?1
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分
离求最值。
(t?1)
2
?7(t?1）+10t
2
?5t?44
y? =?t??5

ttt
4
当,即t=时,
y?2t??5?9
（当t=2即x＝1时取“＝”号）。
t
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将 式子分开或将分母换元后将
式子分开再利用不等式求最值。即化为
y?mg(x)?
或 恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情 况，结合函数
f(x)?x?
的单调性。
例：求函数
y?
解：令< br>2
A
?B(A?0,B?0)
，g(x)恒正
g(x)
ax
x
2
?5
x?4
2
的值域。
x
2
?4?
1
?t?(t?2)

t
x< br>2
?4
1
2
x?5
?
x?4?t(t?2)
，则
y?
x
2
?4
因
t?0,t??1
，但
t?
解得
t??1
不在区间
?
2,??
?
，故等 号不成立，考虑单调性。
因为
y?t?
在区间
?
1,??
?
单调递增，所以在其子区间
?
2,??
?
为单调递增函数，故y?
5
。
2
5
?
2
?
1
t
1
t
1
t
?
,??
所以，所求函数的值域为
?
?
。
?
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

1
1
x
2
?3x?1
,x?(0,
?
)

,x?3
(3)
y?2sinx?
,(x?0)
（2）
y?2x?
（1）< br>y?
x
sinx
x?3
2
2．已知
0?x?1
，求函数
y?x(1?x)
的最大值.；3．
0?x?
，求函数
y ?x(2?3x)
3
的最大值.
条件求最值
1.若实数满足
a? b?2
，则
3
a
?3
b
的最小值是 .
分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且
3
a
?3
b
定值，因此考虑利用均
值定理求最小值，
解：
3
a
和3
b
都是正数，
3
a
?3
b
≥
23
a
?3
b
?23
a?b
?6

当
3
a?3
b
时等号成立，由
a?b?2
及
3
a
?3
b
得
a?b?1
即当
a?b?1
时，
3
a
?3
b
的
最小值是6．
11
变式：若
log4
x?log
4
y?2
，求
?
的最小值.并求x,y的 值
xy

技巧六：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。
2：已知x?0,y?0
，且
??1
，求
x?y
的最小值。
1 9
Q
x?0,y?0
错解：，且
??1
，
?
．．< br>xy
?
19
?
9
x?y?
?
?
?< br>?
x?y
?
?22xy?12
xyxy
??
1
x
9
y
故
?
x?y
?
min
?12
。
错因：解法中两次 连用均值不等式，在
x?y?2xy
等号成立条件是
x?y
，在
19 9
??2
xyxy
等号成立条件是
?
1
x
9
即
y?9x
,取等号的条件的不一致，产生错误。因
y

此， 在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而
且是检验转换是否有误的一种方 法。
19
?
正解：
Qx?0,y?0,
1
?
9< br>?1
，
?x?y?
?
x?y
?
?
?
?
?
?
xy
?
xy
?
y9x
??10?6 ?10?16

xy
当且仅当
?
y
x
19
9x
时，上式等号成立，又
??1
，可得
x?4,y?12
时，
?
x?y
?
min
?16
。
xy
y
xy
?
变式： （1）若
x,y?R
且< br>2x?y?1
，求
1
?
1
的最小值
(2)已知a,b,x,y?R
?
且
a
?
b
?1
，求x?y
的最小值
xy
技巧七
已知
x
，
y
为正实数，且
x
2
＋
y
2
2
＝1，求
x
1＋
y

2
的最大值.
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式
ab
≤
a
2
＋
b
2
2
。
1＋
y
2
2·
2
1
22
同时还应化简1＋
y
中
y
前面的系数为 ，
x
1＋
y

2
＝
x

2
＝2
x
·
下面将
x
，
1
y
2
＋
22
1
y
2
＋ 分别看成两个因式：
22
x
·
2
x＋(
1
y
2
＋ ≤
22
2
1y
2
y1
2 2
＋ )x＋ ＋
2222
3
＝ ＝ 即
x
1＋
y

2
＝
224
2 ·
x


技巧八：
1
y
2
3
＋ ≤ 2
224
已知
a
，
b
为正实数，2
b
＋
ab
＋
a
＝30，求函数
y
＝
1< br>ab
的最小值.
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消 元，转化

为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可< br>行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又
有积的形式，不能一 步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不
等式的途径进行。
30－2
b
30－2
b
－2
b

2
＋30
b
法一：
a
＝ ，
ab
＝ ·
b
＝
b
＋1
b
＋1
b
＋1
由
a
＞0得，0＜
b
＜15
－2
t

2
＋34
t
－311616
令< br>t
＝
b
+1，1＜
t
＜16，
ab
＝ ＝－2（
t
＋ ）＋34∵
t
＋ ≥
ttt
2
16
t
· ＝8
t
1
∴
ab
≤18 ∴
y
≥ 当且仅当
t
＝4，即
b
＝3，
a
＝6时，等号成立。 18
法二：由已知得：30－
ab
＝
a
＋2
b
∵
a
＋2
b
≥22
ab
∴ 30－
ab
≥
22
ab

令
u
＝
ab
则
u
2
＋22
u
－30≤0， －52 ≤u≤32
1
∴
ab
≤32 ，
ab
≤18，∴
y
≥
18
点评：①本题考查 不等式
a?b
的应用、不等式的解法及运算能力；
?ab
（a,b?R
?
）
2
（a,b?R
?
）
②如何由已知不等式
a b?a?2b?30
出发求得
ab
的范围，关键是寻找到
a?b与ab
之间的关系，由此想到不等式
a?b
，这样将已知条件转
?ab
（a,b? R
?
）
2
换为含
ab
的不等式，进而解得
ab的范围.
变式：1.已知
a
>0，
b
>0，
ab－(
a
＋
b
)＝1，求
a
＋
b
的最小 值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方
5、已知
x
，
y
为正实数，3
x
＋2
y
＝10，求函数W＝3
x
＋2
y
的最值.

解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，
很简单
a
＋
b
2
≤
a
2
＋
b
2
2
，本题
3
x
＋2
y
≤2 （3
x
）
2
＋（2
y
）
2
＝2 3
x
＋2
y
＝25
解法二：条 件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函
数式为积的形式，再向“和为定值”条 件靠拢。
W＞0，W
2
＝3
x
＋2
y
＋23x
·2
y
＝10＋23
x
·2
y
≤10＋(3
x
)
2
·(2
y
)
2
＝10＋(3
x
＋2
y
)＝20
∴ W≤20 ＝25
变式: 求函数
y?
15
2x?1?5?2x(?x?)
的最大值。
22
解析：注意到
2x?1
与
5?2x
的和为定值。 y
2
?(2x?1?5?2x)
2
?4?2(2x?1)(5?2x)? 4?(2x?1)?(5?2x)?8

又
y?0
，所以
0?y?22

当且仅当
2x?1
=
5?2x
，即
x?
时取等号。 故
y
max
?22
。
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了
条件。
总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时
还要注意一些变形技巧，积 极创造条件利用均值不等式。
应用二：利用均值不等式证明不等式
1．已知
a,b ,c
为两两不相等的实数，求证：
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca

1）正数
a
，
b
，
c
满足
a
＋
b
＋
c
＝1，求证：(1－
a
)(1－
b
)(1－
c
)≥8
abc

?????
例6：已知a、b、c
?R
?
，且
a?b?c?1
。求证：
?
?
?1
??
?1
??
?1
?
?8

?
a
??
b
??
c
?111
3
2
分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式 可得三个
“2”连乘，又
1
?1?
1?a
?
b?c
?
2
aaa
bc
a
，可由此变形入手。
bc
a< br>11?ab?c2
Q
a、
?
?1?
解：b、c
?R< br>?
，
a?b?c?1
。
??
aaa
。同理
? 1?
1
b
2ac
b
12
，
?1?
c
ab
c
。

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
1< br>?
1
??
1
??
1
?
2bc2ac2ab< br>。当且仅当
时取等号。
a?b?c?
?1?1?1?
gg
? 8
??????
3
abc
?
a
??
b
??
c
?
应用三：均值不等式与恒成立问题
例：已知
x?0,y?0< br>且
??1
，求使不等式
x?y?m
恒成立的实数
m
的 取值范围。
解：令
x?y?k,x?0,y?0,
??1
，
??1?
103
?2?
。
?k?16
，
m?
?
??,16
?

kk
1
x
9
y
x?y9x?9y10y9x
??1.????1

kxky kkxky
1
x
9
y
应用四：均值定理在比较大小中的应用：
例：若
a?b?1,P?lga?lgb,Q?(lga?lgb),R?lg(
是 .
分析：∵
a?b?1
∴
lga?0,lgb?0

Q?
1
（
lga?lgb)?lga?lgb?p

2
a?b1
R?lg()?lgab?lgab?Q
∴R>Q>P。
22
1
2
a?b
)
，则
P,Q,R
的大小 关系
2