高一数学必修四公式全

高一数学必修四公式
基本三角函数
Ⅰ
?

?

2
?
?
Ⅰ
?
?
Ⅱ
?
?
Ⅲ
?
?
Ⅳ
Ⅱ ? 终边落在x轴上的角的集合：
?
2
?
Ⅰ、Ⅲ
?
Ⅰ、Ⅲ
?
Ⅱ、Ⅳ
?
Ⅱ、Ⅳ
?
2
?
2
?
2
?
??
?
??
,
?
?z
?< br> ? 终边落在y轴上的角的集合：
????
?
?
? 终边落在坐标轴 上的角的集合：
??
?
??
?,
?
?z
??
?
?
,
?
?z
????

22
????
? 基本三角函数符号记
1
?
?弧度
“一全，二正弦，三切，四
?

忆：
11
2
180
S?l r?
?
r
余弦”
22
180
1 弧度?度

?
180
?
?
?
弧度
l?
?
r
360度?2
?
弧度
?
.
tan
?
cot
?
?1
?倒数关系：
Sin
?
Csc
??1
正六边形对角线上对应的三角函数之积为1
Cos
?
Sec
?
?1

三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对
平方关系：
Sin
?
?Cos
?
?1

边对应的三角函数的平方
22
tan
2
?
?1?Sec< br>2
?
1?Cot
2
?
?Csc
2
?
乘积关系：
Sin
?
?tan
?
Cos
?
， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积

Ⅲ 诱导公式? 终边相同的角的三角函数值相等

Sin
?
?
?2k
?
?
?Sin
?
, k?z
Cos
?
?
?2k
?
?
?Cos
?
, k?z
tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
, k?z
?
角
?
与角?
?
关于x轴对称

Sin
?
?
?
?
??Sin
?
Cos
?
??
?
?Cos
?
tan
?
?
?
???tan
?

1 8

?
角
?
?
?
与角
?
关于y轴对称

Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
Cos< br>?
?
?
?
?
??Cos
?
tan
?
?
?
?
?
??tan
?

?
角
?
?
?
与角
?
关于原点对称
Sin
?
?
?
?
?
??Sin
?
Cos
?
?
?
?
?
??Cos
?
tan
?
?
?
?
?
?tan
?

?
角
?
2
?
?
与角
?
关于y?
?
?
?
?< br>?
?
Sin
?
?
?
?
?Cos
?< br>Sin
?
?
?
?
?Cos
?
?
2< br>?
?
2
?
?
x对称
?
?
?
?
?
?
Cos
?
?
?
?
?S in
?
Cos
?
?
?
?
??Sin
??
2
?
?
2
?
?
?
?
tan
?
?
?
?
?cot
?
?
2
??
?
?
tan
?
?
?
?
??cot< br>?
?
2
?
上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”
Ⅳ 周期问题
?
2
?
y?ACos
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
?
?
y?ASin
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
?
y?ACo s
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
y?ASin
?
?
x?
?
?
?b , A?0 ,
?
? 0 , b ?0 , T?
2
?
y?ASin
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
2
?

?
2
?
y?ACos
?
?
x?
?
?
?b , A?0 ,
?
? 0 , b?0 , T?
?
?< br>?
?
??
y?Acot
?
x?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
?
y?Atan
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?

?
?
?
y?Acot
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
Ⅴ 三角函数的性质

y?Atan
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
性 质
定义域
值 域
周期性
奇偶性
单调性
y?Sin x

R
y?Cos x

R
?
?1,1
?

2
?

奇函数
?
?1,1
?

2
?

偶函数
??
??
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
,k?z,增函数
2k
?
?,2k
?
?,k?z,增函数

?
22
???
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
,k?z,减函数
?
3
?
??
2k
?
?,2k< br>?
?,k?z,减函数
??
22
??
2 8

对称中心
?
k
?
,0
?
,k?z

x?k
?
?
?
??
?
k
?
?,0
?
,k ?z

2
??
x?k
?
,k?z

5
4
对称轴

图


像
?
2

,k?z

5
3
4
23
y
y
2
1
x
1
-8
-2π
-6
-3π 2
-4
-π
-2
-π 2Oπ 2
2
π
4
3π 2
6
2π
8
-π 2
-8
3π 2
O
-1
x
6
-1
-2π
-6
-3π 2
-4
-π
-2
π 2
2
π
4
2π
8
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5

-6





性 质
定义域
y?tan x
< br>??
?
xx?
??
?,
?
?z
??

2
??
R
?

奇函数
y?cot x

?
xx?
??
,
?
?z
?

R
?

奇函数
值 域
周期性
奇偶性
单调性
??
??
?
k
?
?,k
?
?
?
,k?z,增函数

22
??
?
k
?
,k
?
?
?
?
,k?z,增函数

?< br>??
,0
?
,k?z
?
k
?
?
2< br>??
对称中心
对称轴


图

像
?
k
?
,0
?
,k?z

无
10
8

无
y

6
4
y
2
x
-15-10-5
-3π 2-π -π 2Oπ 2π 3π 2
51015
-2
0
x
-4
-6
-8
-10

?
怎样由y?Sin x变化为y?ASin
?
?
x?
?
?
?k
？
3 8

振幅变化：
y?Sinx

y?ASinx
左右伸缩变化：

y?ASin
?
x
左右平移变化
y?ASin(
?
x?
?
)

上下平移变化
y?ASin(
?
x?
?
)?k

Ⅵ平面向量共线定理：一般地，对于两个向量
a,a?0,b,如果有
??
一个实数
?
,使得b?
?
a,a?0,则b与a是共线向量 ；反之如果b与a是共线向量

那么又且只有一个实数
?
,使得b?
?
a.

Ⅶ 线段的定比分点
点
P
分有向线段
P
1P
2
所成的比的定义式
P
1
P?
?
PP
2

.
线段定比分点坐标公式

线段定比分点向量公式
?

x?
?
x
2



x?
1

1?
?
OP
1
?
?
OP
2
.
OP?
y
1
?
?
y
2


y?
1?
?

1?
?


??
?
当
?
?1
时
?
当
?
?1
时

线段中点坐标公式 线段中点向量公式



x
1
?x
2
x?

2



OP
1
?OP
2
.

OP?


y?
y
1
?y
2

2
2


Ⅷ 向量的一个定理的类似推广
向量共线定理：
b?
?
a
?
a?0
?


?
推广
其中e
1
,e
2
为该平面内的两个
?
平面向量基本定理：
a?
?
e ?
?
e ,
?
??

1122
??
?
不共线的向量
?

?
推广
4 8

a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
?
?
3
e
3
,
空间向量基本定理：
??

其中e,e,e为该空间内的三个
123
??
?不共面的向量
?
??
Ⅸ一般地，设向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
且a?0,如果a
∥
b那么x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

反过来，如果
x
1y
2
?x
2
y
1
?0,则a
∥
b.
Ⅹ 一般地，对于两个非零向量
a,b
有
a?b?abCos
?
，其中θ为两向量的夹角。
Cos< br>?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
2
?
y
12
x
2
2
?
y
2
2

特别的，
a?a?a?a 或者 a?
Ⅺ
2
2
a?a


如果 a?
?
x
1
,y
1
?
, b?
?
x
2
,y
2
?
且a?0 , 则a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
特别的 , a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
Ⅻ
若正n边形A
1
A
2
???A
n
的中心为O , 则OA
1
?OA
2
?????OA
n
?0

三角形中的三角问题
A?B?C
?
A?B
?
C
?
A?B?C?
?
, ? , ? -
2 2222
?
A?B
??
C
?
Sin
?
A? B
?
?Sin
?
C
?
Cos
?
A?B
?
??Cos
?
C
?
Sin
??
?Cos
??

?
2
??
2
?

?
A?B
??< br>C
?
Cos
??
?Sin
??
?
2
??
2
?
? 正弦定理：
abca?b?c

???2R?
SinASinBSinCSinA?SinB?SinC
余弦定理：
a
2< br>?b
2
?c
2
?2bcCosA , b
2
?a
2
?c
2
?2acCosB
c?a?b?2abCosC
222

b
2
?c
2?a
2
a
2
?c
2
?b
2
CosA ? , CosB ?
2bc2ac
变形：
222
a?b?c
CosC ?
2ab
?
tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC

三角公式以及恒等变换
, S
(
?
?
?
)

? 两角的和与差 公式：
Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?Cos
?
?Cos
?
Sin
?

Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
Cos
?
?Cos
?
Sin
?
, S
(
?
?
?
)
5 8

Cos< br>?
?
?
?
?
?Cos
?
Cos
?< br>?Sin
?
Sin
?
, C
(
?
?
?
)
Cos
?
?
?
?
?
?Cos
?
Cos
?
?Sin
?
Sin
?
, C
(
?
?
?
)

tan
?
?tan
?
, T< br>(
?
?
?
)
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
tan
?
?
?
?
?
? , T
(
?
?
?
)
1?tan
?
tan
?
tan
?
?
?
?
?
?
? 二倍角公式：
Sin2
?
? 2Sin
?
Cos
?
变形：
tan
?
?t an
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?

tan
?
?tan
?
?tan
?
?tan
?
tan
?
tan
?
其中
?
,
?
,
?
为三角形的三个内角
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?< br>??
1?tan
?
tan
?
?
Cos2
?< br>?2Cos
2
?
?1?1?2Sin
2
?
?Cos< br>2
?
?Sin
2
?
tan2
?
?
2 tan
?
1?tan
2
?

? 半角公式：
S in
?
2
??
1?Cos
?
2
tan
?< br>2
??
1?Cos
?
Cos??
22
2
?< br>1?Cos
?
Sin
?
1?Cos
?

??
1?Cos
?
1?Cos
?
Sin
?
1?Cos2
?

? 降幂扩角公式：
Cos
2
?
?
1?Cos2
?
, Sin
2
?
?
2
1
?
Sin
?< br>?
?
?
?
?Sin
?
?
?
?
?
?
2
1
? 积化和差公式：
Cos
?
Sin< br>?
?
?
Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
?
?
?
?
?

2
1< br>Cos
?
Cos
?
?
?
Cos
?
?
?
?
?
?Cos
?
?
?
?
??
2
1
Sin
?
Sin
?
??
?Cos
?
?
?
?
?
?Cos
?
??
?
?
?
2
Sin
?
Cos
?
?
?
?
?
?
??
?
Sin
?
? Sin
?
?2Sin
??
Cos
?
?
2
? ?
?
?
?
?
??
?
Sin
?
?S in
?
?2Cos
??
Sin
?
? 和差化积公式：
?
2
??
S?S?2SC
（
S?S?2CS
）
C?C?2CC
?
?
?
???
?
?
?
?
Cos
?
?Cos
?< br>?2Cos
??
Cos
??
C?C??2SS
22
? ???
?
?
?
?
2
?
?
?
??
2
?
?
?
?
?
Cos
?
? Cos
?
??2Sin
?
?
2
2tan
Sin?
?
??
?
?
?
?
?
Sin
??
??
2
?
?
2
1?tan
2
?
2
? 万能公式:
1?tan
2
Cos
?
?< br>1?tan
2
?
?
2
2
(
S?T?C??
)
tan
?
?
2tan
?
2

2
1?tan
2
?
3
? 三倍角公式：
Sin3< br>?
?3Sin
?
?4Sin
?
3
3tan
?
?tan
?

tan3
?
?
2
1? 3tan
?
Cos3
?
?4Cos
3
?
?3Cos
?
“三四立，四立三，中间横个小扁担”
6 8

?
1. y?aSin
?
?bCos
?
?
b
a
a
2. y?aCos
?
?bSin
?
?a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
b
b
? a
2
?b
2
Cos
?
?
?
?
? 其中 , tan
?
?
a
b
3. y?aSin
?
?bCos
?
?a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
a
a
??a
2
?b
2
Cos
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
b
a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
4. y?aCos
??bSin
?
?a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?

a

b
b
?a
2
?b
2
Cos
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
a
注:不同的形式有不同的化归,相同的形式也有不同的化归,进而可以
??a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
求解最值问题. 不需要死记公式,只要记忆 1. 的推导即表达技巧,其它
的就可以直接写出.
一般是表达式第一项是正弦的就用两角和与差的正弦来靠,第一
项是余弦的就用两角和与差的与弦来靠. 比较容易理解和掌握.
tan
?
?tan
?
, T
(
?
?
?
)
? 补充： 1. 由公式 < br>1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
tan
?
?
?
?
?
? , T
(
?
?
?
)
1?tan
?
tan
?
tan
?
?
?
?
?
?

可以推导 ：
当
?
?
?
?
??
?
在有些题目中应用广泛。
?
4
时,
?
?z ,
?
1?tan
?
??
1?tan
?
?
?2

2.
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
?
tan
?
tan
?
?tan?
?
?
?
?

3. 柯西不等式
(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R.


补充
1．常见三角不等式：（1）若
x?(0,
(2) 若
x?( 0,
22222
?
2
)
，则
sinx?x?tanx
.
?
2
22
2.
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin
?
?sin
?
(平方正弦公式);
cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos
2
?
?sin
2
?< br>.
)
，则
1?sinx?cosx?2
. (3)
|sinx|?|cosx|?1
.
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决
b
定,
tan
?
?
).
a
3. 三倍角公式 ：
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
???
?4sin
?
sin(?
?
)sin(?
?
)
.
33
7 8

cos3
?
?4co s
3
?
?3cos
?
?4cos
?
cos(??
)cos(?
?
)
.
33
3tan
?
?tan
3
???
tan3
?
??tan
?
ta n(?
?
)tan(?
?
)
.
1?3tan
2< br>?
33
4.三角形面积定理：（1）
S?
??
111
ah
a
?bh
b
?ch
c
（
h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边
222
上的高）.
（2）
S?
111
absinC?bcsinA?casinB
.
222
uuuruuur
2
uuuruuur
2
1
(3)
S
?OAB
?(|OA|?|OB|)?(OA?OB)
.
2
C
?
A?B
??
?2C?2
?
?2(A?B)< br>.
222
k
?
?
5.三角形内角和定理 在△AB C中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)
?
?
2
6. 正弦型函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的对称轴为
x?
?
?
?
(k?Z)
；对称中心为
(
k
?
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；类似可得余 弦函数型的对称轴和对称中心；
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〈三〉易错点提示：
1. 在解三角问题时，你 注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函
数、余弦函数的有界性了吗？
2. 在三角中，你知道1等于什么吗？（
这些统称为1的代换) 常数 “1”
的种种代换有着广泛的应用．
3. 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出
现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）
4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？()
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