高中数学常用公式汇总整理

高中数学常用公式汇总及结论
1 、元素与集合的关
系：
2 、集合 的子集个数共有

个；真子集有
个.
个；
非空子集有个；非空的真子集有
3 、二次函数的解析式的三种形式：
(1) 一般式：
(2) 顶点式 ：
坐标 时，设为此式）

（当已知抛物线的顶点
(3) 零点式：
点坐标为
（4）切线式：
直线
设为此式）
4、 真值表： 同真且真，同假或假
5 、常见结论的否定形式;
（当已知抛物线与轴的交
时，设为此式）
。（当已知抛物线与
相切且切点的横坐标为 时，

6 、四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；
逆命题与否命题同真同假.）

充要条件： (1)
条件；
（2） 且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件；
，则P是q的必要不充分条件；
则P是q的充分条件，反之，q是p的必要
(3) p ≠> p ，且
（4）p ≠> p ，且
7、 函数单调性:
则P是q的既不充分又不必要条件。
增函数：(1）文字描述是：y随x的增大而增大。
（2）数学符号表述是：设f（x）在
若对任意的
则就叫
，都有
上有定义，
成立，
在上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。
减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。
（2）、数学符号表述是：设f（x）在xD上有定义，
若对任意的 ，都有
成立，则就叫f（x）在上是减函数。D则就是f（x）
的递减区间。

单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数； （2）、减函数+减
函数=减函数；
(3)、增函数-减函数=增函数； (4)、减函数-增函
数=减函数；
注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左
边两个函数定义域的交集。
复合函数的单调性：
等价关系：
(1)设

是增函数；

数.
(2)设函数
增函数；如果
在某个区间内可导，如果
，则为减函 数.
，则 为
上是减函
，那么
上
8、函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必
须关于原点对称）
奇函数定义：在前提条件下，若有
则f（x）就是奇函数。
，

性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；
（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；
（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0 .

偶函数定义：在前提条件下，若有f（—x)=f(x)，则f（x）就是
偶函数。
性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；
（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；
奇偶函数间的关系：
(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=
偶函数；
(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=
奇函数（也有例外得偶函数的）
(5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非
奇非偶函数
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过
来，如果一个函数的图象关于原点对称 ，
那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那
么这个函数是偶函数．

9、函数的周期性： 定义：对函数f（x），若存在 ，使得f

（x+T）=f（x），则就叫f（x）是周期函数，
其中，T是f（x）的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式：
(1)、 f（x+T）= - f（x），此时周期为2T ；
（2）、 f（x+m）=f（x+n），此时周期为
(3)、

10、常见函数的图像：

此时期为2m 。
；


11、 对于函数
称轴是
对称.
恒成立,则函数的对
两个函数f=（x+a)与y=（b-x） 的图象关于直线
分数指数幂与根式的性质：

13 、指数式与对数式的互化
式: .
指数性质：




指数函数：
(1)、

（2）、 在定义域内是单调递减函数。注： 指
在定义域内是单调递增函数；
数函数图象都恒过点（0，1）
对数性质：
对数函数：

(1)、
（2）、
在定义域内是单调递增函数；
在定义域内是单调递减函数；注：
对数函数图象都恒过点（1，0）

（3）、


(4)、

14、 对数的换底公
式 :
对数恒等式
推论

15、对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则





16、 平均增长率的问题（负增长时）：如果原来产值的基础数
为N，平均增长率为p，则对于时间的总产值，
有 .

17 、等差数列：通项公式： （1）
首项，d为公差，n为项数，
（2）推广：
（3）
列都适用）


前n项和： （1）
末项。
（2）
（3）
列都适用）
（4）
列都适用）

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有
注：若
有 n、m、p成等差。

为末项。

，其中 为
（注：该公式对任意数
；其中为首项，n为项数，为
（注：该公式对任意数
（注：该公式对任意数
；
的等差中项，则
（2）、若
等差数列。
、为等差数列，则 为

（3）、
则
为等差数列，为其前n项和，
也成等差数列。


（4）、
（5）

等比数列：
通项公式：（1）
项数，q为公比。
（2）推广
（3）
列都适用）

前n项和：（1）
适用）
（2）
都适用）
：
，其中为首项，n为
（注：该公式对任意数
（注：该公式对任意数列都
（注：该公式对任意数列
（3）


常用性质： （1）、若m+n=p+q ，则有 ；

注：若
有 成等比。
的等比中项，则
（2）、若、
等比数列。
18、分期付款(按揭贷款) ：每次还款
清,每期利率为).
19、三角不等式：
（1）若
(2) 若
(3) .
，则
，则

为等比数列，则 为
元(贷款元,次还
.
.
20 、同角三角函数的基本关系式 ：
21、 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

22、 和角与差角公式


(辅助角 所在象限由点（a，b) 的象限决定
23、 二倍角公式及降幂公式
, ).

24、 三角函数的周期公式
函数 及函数
；
函数，(A,ω,为常数，且A≠
0)的周期

三角函数的图
像：
.
），x∈
R(A,ω,为常数，且A≠0)的周期
25 、正弦定理 ：
径）.
（R为 外接圆的半

26、余弦定
理：

27、面积定理：

（1）
上的高）.
分别表示a、b、c边

28、三角形内角和定理 ：
在△ABC中，
有


29、实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：

30、与的数量积(或内积)：
31、平面向量的坐标运算：
·

32 、两向量的夹角公
式：
33、 平面两点间的距离公

式：

34、 向量的平行与垂直 ：设=,=，
则：


零）
35 、线段的定比分公式 ：设
段
且

的分点,是 实数，
，则
，是线

，
（交叉相乘差为零）
（对应相乘和为

三角形的重心坐标公式：

为
三个顶点的坐标分别
36、

则的重心的坐标是
.



37、< br>三角形五“心”向量形式的充要条件：
设为所在平面上一点，角所对边长分别
为，则

38、常用不等式：



39、极值定理:已知都是正数，则有

（1）若xy积是定值P，则当x=y时和有最小值 ；

. （2）若x+y和是定值S，则当x=y时积有xy最大值

（3）已知 ，若 则有


（4）已知 ，若则有


，如果a
40、 一元二次不等式

与 同号，则其解集在两根之外；如果a与 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之
外，异号两根之间.即：

41 、含有绝对值的不等式 ：
当a> 0时，有

.




42、 斜率公式 ：

43 、直线的五种方程：

（1）点斜式： (直线 )．

（2）斜截式： (b为直线在y轴上的截距).


（3）两点式：
两点式的推广： （无任何限制条件！）

(4)截距式 ：
（5）一般式：
(分别为直线的横、纵截距，
(其中A、B不同时为0).
)


： 直线的 法向量： ，方向向量

44 、夹角公式：



45 、到的角公式：

46、 点到直线的距
离
：
47、 圆的四种方程：

(点,直线：).

（
1）圆的标准方程 ：


(＞0). （
2）圆的一般方程
：

（
3）圆的参数方程 ：


(圆的直径的端点 （
4）圆的直径式方程 ：



是
48、点与圆的位置关系：点
置关系有三种：
与圆 的位
若
49、直线与圆的位置关系：
直线
的位置关系有三种

与

圆



50 、两圆位置关系的判定方法:
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，
r2，， 则：




.


51 、椭圆

的参数方程是
离心
.

率 ，

，焦点到对应准线的距离(焦准距) 。 准线到中心的距离为

过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为
：.

52、

椭圆

焦半径公式
及两焦半径与焦距构成三角形的面积:


53、椭圆的的内外部 :



54、椭圆的切线方程:


55 、双曲线
的
离 心率
，
准线到中
。过焦心的距离为 ，焦点到对应准线的距离(焦准距)
点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：.
焦半径公式 ，

。


两焦半径与焦距构成三角形的面积

56 、双曲线的方程与渐近线方程的关系：


(1）若双曲线方程为

渐近线方
程：
(2)若渐近线方程为
为.

双曲线可设
(3)若双曲线
为
（

与有公共渐近线，可设
，焦点在x轴上， ，焦点在y轴上）.
(4) 焦点到渐近线的距离总是b。

57、双曲线的切线方程：


.

58、抛物线
抛物线
过焦点弦长
59、二次函数
线：
（1）顶点坐标为
为 ；

；（2）焦点的坐标
的焦半径公式:
焦半径

.

的图象是抛物
（3）准线方程是

60 、直线与圆锥曲线相交的弦长公
式 :

或

（弦端点
到
，由方程 消去y得
为直线的倾斜角， 为直线的斜率

61、证明直线与平面的平行的思考途径:
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；

（3）转化为面面平行.




62、证明直线与平面垂直的思考途径:

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。


63、证明平面与平面的垂直的思考途径：

（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直；


(3) 转化为两平面的法向量平行。


64、 向量的直角坐标运算：




65、 夹角公式：
设

则

66 、异面直线间的距离 ：

( 是两异面直线，其公垂向量为 ，C,D是 上任一点，d为 间的距离).


67、点到平面 的距离：

量，， 是的一条斜线段）.

（ 为平面的法向

,其表面积 ．

68、球的半径是R，则其体积
69、球的组合体：

(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
径是正方体的面对角线长,

(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直

正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

(3)球与正四面体的组合体: 棱长为 的正四面体的内切球的半径为

(正四面体高 ,外接球的半径为 (正四面体高


70 、分类计数原理（加法原理）：

分步计数原理（乘法原理）：


71、排列数公
式 ：

72 组合数公
式：



.
.

组合数的两个性
质:

73 、二项式定
理：
二项展开式的通项公式：



的展开式的系数关系：




74 、互斥事件A，B分别发生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
个互斥事件分别发 生的概率的和：P(A1＋A2＋…＋
An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

75 、独立事件A，B同时发生的概率：P(A·B)= P(A)·P(B).
n个独立事件同时发生的概率：
P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．


76、 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概
率
：

77、 数学期望：
数学期望的性质
（1）.
（2）若 则


.

(3) 若 服从几何分布,且

78、方差：
标准差：
方差的性质：
(1)；
(2）若
(3) 若 服从几何分布,且

方差与期望的关系：





79、正态分布密度函数：
式中的实数
标准差.
对于 ，取值小于x的概率：



是参数，分别表示个体的平均数与
.

80 、

处的导数（或变化率）：

.


在点

处的导数的几何意义：
在点处的导数是曲线
，相应的切线方程是
在处的切线的斜
.
81 、函数
函数
率

82、几种常见函数的导数：




83、导数的运算法则：




是极大（小）值的方法： 84、 判别
当函数f（x）在点处连续时，


85 、复数的相等：

86、 复数

87、 复平面上的两点间的距离公
式：

88、实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程

的模（或绝对值）

③若

，它在实数集内没有实数根；在复数集内有且
仅有两个共轭复数根.