高中数学公式大全精简版

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一、集合模块
1、集合与集合的关系:
用
?
，
?
?
，=表示；
A是B的子集记为
?
；A是B的真子集记为
?
?
。
①任何一个集合是它本身的子集，记为
A?A
；
②空集是任何集合的子集，记为
?
?A
；空集是任何非空集合的真子集；
③如果
A?B
，同时
B?A
，那么A = B；如果
A?B，
那么A?C
；
B?C，
2、交集
AB?{x|x?A且x?B}
；
并集
AB?{x|x?A，或x?B}
；
｛x|x?U，且x?A｝
补集
C
U
A?
，集合U表示全集。


二、函数模块
（一）、函数的概念：
1、函数的定义：
y?f(x)，
x?A
，
y?B
；
2、函数概念的三要素：定义域、值域与对应法则；
3、函数相等的条件：定义域和对应法则相同；

（二）函数定义域的求法：
1、由函数的解析式确定函数的定义域（二次根式、分式、对数式）；
2、由实际问题确定的函数的定义域；
3、不给出函数的解析式，而由
f(x)的定义域确定函数
f[g(x)]
的定义域。

（三）函数值域的求法：
函数的值域是由函数的定义域与对应法则确定的，因此，要求函数的 值域，一般要从函
数的定义域与对应法则入手分析，常用的方法有：
（1）观察法；（2）图象法；（3）配方法；（4）换元法。

（四）函数图像的概念及画法：
1、函数图象的概念
将自变量的一个值
x
0
作为横坐标，相应的函数值
f
?
x
0
?
作为纵坐标，就得到坐标平面上
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的一个点
x
0,
f
?
x
0
?
．当自变量 取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的
点．所有这些点组成的集合（点集）为
??
?
?
x,f
?
x
?
?
x?A
?
,
即
?
?
x,y
?
y?f
?
x
?
,x?A
?
，所
有这些点组成的图形就是函数
y?f?
x
?
的图象．
2、函数图象的画法
画函数的图象，常用描 点法，其基本步骤是：⑴列表；⑵描点；⑶连线．在画图过程中，
一定要注意函数的定义域和值域．
3、分段函数
在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数;
注意：
①分段函数是一个函数,而不是几个函数;
②分段函数的定义域是
x
的不同取值范围的并集;其值域是相应的
y
的取值范围的并集

（五）函数的性质
1、单调性：定义：如果函数
y?f
?
x
?
对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变
量的值
x
1
、x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
（
），则称< br>f
?
x
?
在这个
?
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
）
区间上是增函数（或 减函数）；
判断单调性的方法：定义法、复合函数法、求导法.
特别注意：复合函数单调性，奇偶函数在对称区间内的单调性关系.

2、奇偶性：
函数的奇偶性的定义
如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；
如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有 f(－x)(x)，则称f(x)为偶函数.
函数的奇偶性的几个性质
（1）、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于
y
轴对称；
（2） 、
f(x)
为奇函数，定义域为
D
，若0
?D,
则必有f(0)?0
；

（六）、指数函数性质及其应用
1、常用的指数关系式：
（1）负数和零不能作为底数；
?x
(2)
a?1
.；
a?a
；
a?
01
1
．
a
x
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2、指数运算与指数函数
根式的性质1：
(
n
a)
n
＝
a
； ?
a(a?0)
根式的性质2：当
n
是奇数时，
a
＝< br>a
； 当
n
是偶数时，
a?|a|?
?
；
?a(a?0)
?
n
n
n
n

3、分数指数幂
正数的正分数指数幂的意义：
(a?0,m,n?N,n?1)

正数的负分数指数幂的意义：
(a?0,m,n?N,n?1)

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

4、实指数幂的运算性质
(a?0,b?0,s?R,r?R)

（1）
a
·
a?a

5、指数函数：函数
y?a( a?0,a?1)
叫做指数函数，其中指数
x
是自变量，函数的
定义域是R ；

6、指数函数的图象与性质：

x
*
*
r
sr?s
；（2）
(a)?a
；（3）
(ab)?aa
；
rsrs
rrr
a?1




0?a?1

图 象




定义域：

性 质
值域：
过点： ，即0时，1
在R上是 在R上是

7、掌握指数函数的图象和性质，特别要弄清
a?1
与
0?a?1
对于函数值变化的影响：
当
a?1
时，若
x?0,
则 ， 若
x?0,
则 ；
当
0?a?1
时，若
x?0,
则 ， 若
x?0,
则 。

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（七）、对数函数性质及其应用
1、对数的概念
对数定义：一般地，如果
a
（
a?0且a?1）的
b
次幂等于N, 就是
a
b
?N
，那么数 b
叫做以a为底 N的对数，记作
b?log
a
N
，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

2、常用的对数关系式：
（1）负数和零没有对数；
（2）
?

a?1
∴
log
a
1?___
.；（2）
?

a?a
∴
log
a
a?___
．

3、对数运算性质
指数运算性质
(a,b?0,r,s?R)
对数运算性质
(a?0,a?1,M?0,N?0)

01
a
r
?a
s
?a
r?s

a
r
r?s
?a

s
a
(a
r
)
s
?a
rs


3、对数函数的性质

3
2.5
log
a(M?N)?log
a
M?log
a
N

log
a
(
M
)?log
a
M?log
a
N

N
log
a
M
n
?nlog
a
M

a?1

3
2.5
2
2
0?a?1

1.5
1.5
图
-1
1
0
1
1
1
1
0.5
0.5
象
-0.5
1
2345678
-1
0
1
-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5

-2.5

定义域：（0，+∞）
值域：R
性
质
过点（1，0），即当
x?1
时，
y?0

x?(0,1)
时
y?0

x?(0,1)
时
y?0

x?(1,??)
时
y?0

x?(1,??)
时
y?0

在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数


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三、复数模块
（一）、复数的有关概念
1、复数的概念
形如a＋(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若 b＝0，则a＋为实
数，若b≠0，则a＋为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋为纯虚数．
2、复数相等：a＋＝c＋?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
3、共轭复数：a＋与c＋共轭?a＝c；b＝－d(a，b，c，d∈R)．

（二）、复数的四则运算
设z
1
＝a＋，z
2
＝c＋(a，b，c，d∈R)，则
1、加法：z
1
＋z
2
＝(a＋)＋(c＋)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
2、减法：z
1
－z
2
＝(a＋)－(c＋)＝(a－c)＋(b－ d)i；
3、乘法：
(a?bi)(c?di)?ac?bci?adi?bdi
2
?(ac?bd)?(ad?bc)i
；
4、除法：
(a?bi)?(c?di)?

a?bi(a?bi)(c?di)ac?bdbc?ad
???i
．
c? di(c?di)(c?di)c
2
?d
2
c
2
?d
2
（三）、复数的几何意义
1、复数z＝a＋(a，b∈R)的模＝，实际上就是指复平面 上的点Z到原点O的距离；
1
－z
2
|
的几何意义是复平面上的点Z
1
、Z
2
两点间的距离．
2、复数z、复平面上的点Z及向量 相互联系，即z＝a＋(a，b∈R)?Z(a，b)?.
注：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．

（四）两条性质
(1)i
4
n
＝1，i
4
n1
＝i，i
4
n
2
＝－1，i
4
n
3
＝－i，＋
1
＋
2
＋
3
＝0(各式中n∈N)．
(2)(1±i)
2
＝±2i，＝i，＝－i.


＋＋＋＋＋＋
四、概率统计模块
（一）、等可能事件概率公式
一般地，如 果一次试验中共有n种等可能出现的结果，随机事件A包含的结果数为m，
则事件A可能出现的概率为< br>P(A)?

m
；
n
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（二）、概率的性质
1、互斥事件
若事件A与事件B不可能同时发生，则称事件A与事件B互斥；
2、概率加法公式（互斥事件的概率）
若事件A与事件B互斥，则事件A或B发生的概率
P（A
概率的加法公式；
3、对立事件：若事件A与事件B不可能同时发生但二者必有一个发生，则称事件A与
事件B互为对立事 件；
4、对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则
P(A)?P(B)?1
；

，这就是
B）?P（A)+?P（B）
（三）古典概型的概率计算公式.
一般地，对于古典概型，基本事件共有n个,随机事件A包含的基本事件是m.由互斥事
件的概 率加法公式可得
P(A)?
m
, 所以在古典概型中
n
P(A)?

mA包含的基本事件数
?,
n总体的基本事件个数

（四）几何概型的概率计算公式.
一般地，在几何概型中试验的全部结果（即基本事件）所构 成的区域记为
D
，记事件“该
点落在其区域
D
内部一个区域
d
内”为事件
A
，则事件
A
发生的概率
P(A)
=

构成事件A的区域长度（面积或体积）

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
（五）样本方差与标准差
?，x
n
，样本的平均数为
x
， 设样本的元素为
x
1
，x
2
，
1、样本方差：
s?
2、样本标准差： 2
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x )
2
???(x
n
?x)
2
]
．
n
s?

1
[(x
1
?x)
2
? (x
2
?x)
2
???(x
n
?x)
2
]

n
（六）回归方程
1、最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法．
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2、回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：
(x
1
，y1
)，(x
2
，y
2
)，?，(x
n
，yn
)
，其回归方程为
y?bx?a
，则
nn
?
?
^
?
(x
i
?x)(y
i
?y)
?< br>x
i
y
i
?nxy
i?1i?1
?
b??< br>nn
?
2
22

?
(x?x)x?nx
??
ii
?
i?1i?1
?
^^
?
?
a?y? bx
^^^
其中，
b
是回归方程的斜率，
a
是在y轴上的截 距．


^^
五、三角函数的概念与三角变换公式
（一）、弧度制
1、角度制与弧度制的互化：
?
弧度
?180< br>?
，
1
?
?
?
180
弧度，
1弧度
?(
180
?
)
?
?57
?
18
'

2、弧长公式：
l?
?
R
；扇形面积公式：
S?

1
2
1
?
R?Rl
.
22
（二）、三角函数定义
角
?
终边上任意一点
P
为
(x,y)
，设
|OP|?r
，则：
sin
?
?
yx
y
,cos
?
?,
tan
?
?< br>x

rr
135

150

180

特殊角的三角函数值
角度
弧度
0

30

45

60

90

120

0
?

6
1

2
3

2
3

3
?

4
2

2
2

2
1
?

3
3

2
?

2
1
2
?

3
3

2
3
?

4
2

2
?
5
?

6
1

2
?

0
sin
?

cos
?

0
1
1

2
3

0
1
?

2
?3

23

?

22
?1

0
tan
?

0

无
?1

?
3

3
7 20