高中数学能力提升培训心得-高中数学必修四人教版课后答案解析
高中数学学考常用公式及结论
必修1
:
一、集合
1、含义与表示:(1)集合中元素的特征:确定性,互异性,无序性
(2)集合的分类;有限集,无限集
(3)集合的表示法:列举法,描述法,图示法
2、集合间的关系:
子集:对任意
x?A
,都有
x?B
,则称A是B的子集。记作
A?B
真子集:若A是B的子集,且在B中至少存在一个元素不属于A,则A是B的真子集,记作A?
B
?
集合相等:若:
A?B,B?A
,则
A?B
3. 元素与集合的关系:属于
?
不属于:
?
空集:
?
4、集合的运算:并集:由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集,记为
AB
交集:由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集,记为
AB
补集:在全集U中,由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集,记为
C
U
A
5.集合
{a
1
,a
2
,,a
n
}<
br>的子集个数共有
2
n
个;真子集有
2
n
–1个;非空子集有
2
n
–1个;
*
6.常用数集:自然数集:N 正整数集:
N
整数集:Z
有理数集:Q 实数集:R
二、函数的奇偶性
1、定义: 奇函数 <=>
f
(– x
) = –
f
( x
) ,
偶函数 <=>
f
(–x
)
=
f
( x
)(注意定义域)
2、性质:(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形;
(2)偶函数的图象关于y轴成轴对称图形;
(3)如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
二、函数的单调性
1、定义:对于定义域为D的函数
f
(
x
),若任意的x
1
, x
2
∈D,且x
1
<
x
2
①
f
( x
1
) <
f
( x
2
) <=>
f
( x
1
) –
f
( x
2
) < 0 <=>
f
(
x
)是增函数
②
f
(
x
1
) >
f
( x
2
) <=>
f
( x
1
) –
f
( x
2
) > 0 <=>
f
(
x
)是减函数
2、复合函数的单调性: 同增异减
2
三、二次函数
y
=
ax
+
bx
+
c
(
a?0
)的性质
?
b4ac?b
2
?
4ac?b
2
b
1、
顶点坐标公式:
?
?
?
2a
,
4a
?
?<
br>, 对称轴:
x??
2a
,最大(小)值:
4a
??
2.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;
(3)两根式f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
资料
2
2
四、指数与指数函数
1、幂的运算法则:
m nm + n
(1)
a
?
a
=
a
,
(2)
a?a?a
m n
(6)a = 1 ( a≠0)
(7)
a
(8)
a
?n
0
mnm?n
,
?
1
n
a
m
n
(3)(
a
) =
a
nnn
(4)(
ab
)
=
a
? b
(5)
??
?
m n
n
m
?a
(9)
a
?
n
m
?
1<
br>m
?
a
?
?
b
?
n
a
b
n
n
a
n
2、根式的性质
n
(1)
(
n
a)?a
.
(2)当
n
为奇数时,
n
a
n
?a
;
当
n
为偶数时,
n
a
n
?|a|?
?
?<
br>a,a?0
.
?
?a,a?0
x
4、指数函数
y
=
a
(
a
> 0且
a
≠1)的性质:
(1)定义域:R ; 值域:( 0 , +∞)
(2)图象过定点(0,1)
Y
Y
a > 1
0 < a < 1
1
1
X
0
X
0
5.指数式与对数式的互化:
l
og
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.<
br>
五、对数与对数函数
n
1对数的运算法则:
n
(10)推论
logb?log
a
b
(
a?0
,且
b
a
m
(1)
a
= N <=> b =
log
a
N
m
(2)log
a
1 = 0 a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1
,<
br>
N?0
).
(3)log
a
a
=
1
blog
a
N
(4)log
a
a
= b(5)
a
= N
1
(6)log
a
(MN) = log
a
M + log
a
N
(11)log
a
N
=
M
(7)log
a
() = log
a
M -- log
a
N
N
log
b
N
log
b
a
log
N
a
(12)常用对数:lg
N = log
10
N
(13)自然对数:
b
(8)log
a
N
= b log
a
N
ln A = log
e
A (其中 e = 2.71828…)
(9)换底公式:log
a
N
=
2、对数函数y
= log
a
x (
a
> 0且
a
≠1)的性质:
(1)定义域:( 0 , +∞) ; 值域:R
(2)图象过定点(1,0)
Y
Y
a >1
0
< a < 1
X
0
1
1
0
资料
X
a
六、幂函数y = x
的图象:(1) 根据
a
的取值画出函数在第一象限的简图 .
0
< a < 1 a < 0
a > 1
例如: y = x
y?
2
x?x
y?
1
2
1
?x
?1
x
七.图
象平移:若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单
位,
得到函数
y?f(x?a)?b
的图象; 规律:左加右减,上加下减
八. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为
p
,则
对于时间
x
的总产值
y
,有
y?N(1?p)
.
九、函数的零点:
1.定义:对于
y?f(x)
,把使
f(x)?
0
的X叫
y?f(x)
的零点。即
y?f(x)
的图象与X轴相交时交点的横坐标。
2.函数零点存在性定理:如果函
数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一
条曲线,并有
x
f(a)?f(b)?0
,那么
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点,即存在
c?
?
a,b
?
,使得
f(c)?0
,这个C就是零
点。
3.二分法求函数零点的步骤:(给定精确度
?
)
(1)确定区间
?
a,b
?
,验证
f(a)?f(b)?0
;(2)求
?
a,b
?
的中点
x
1
?
a?b
2
(3)计算
f(x
1
)
①若
f(x
1
)?0
,则
x
1
就是零点;②若
f(a)?f(x
1
)?0
,则零点
x
0
?
?
a,x
1
?
③若
f(
x
1
)?f(b)?0
,则零点
x
0
?
?
x
1
,b
?
;
(4)判断是否达到精确度
?<
br>,若
a?b?
?
,则零点为
a
或
b
或
?
a,b
?
内任一值。否则重复(2)到(4)
资料
必修2:
一、直线与圆
1、斜率的计算公式:k = tanα=
y
2
?y
1
(α ≠ 90°,x
1
≠x
2
)
x
2
?x
1
2、直线的方程(1)斜截式
y = k x + b,k存在 ;
(2)点斜式 y – y
0
= k (
x – x
0
) ,k存在;
(3)两点式
y?y
1
x?x
1
?
(
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
) ;
y
2
?y
1
x
2
?x
1
(4)截距式
xy
??1
(
a?0,b?0
)
ab
(5)一般式
Ax?By?c?0(A,B不同时为0)
3、两条直线的位置关系:
l
1
:y =
k
1
x + b
1
l
2
:y = k
2
x + b
2
重合
平行
垂直
k
1
= k
2
且b
1
= b
2
k
1
= k
2
且b
1
≠ b
2
k
1
k
2
= – 1
l
1
:
A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
l
2
: A
2
x + B
2
y +
C
2
= 0
A
1
BC
?
1
?
1
A
2
B
2
C
2
A
1
B
1
C
1
??
A
2
B
2
C
2
A
1
A
2
+ B
1
B
2
= 0
4、两点间距离公式:设P
1
( x
1
, y
1
) 、P
2
( x
2
, y
2
),则
| P
1
P
2
| =
5、点P ( x
0
, y
0
)到直线
l
:A
x + B y
+ C = 0的距离:
d?
7、圆的方程
标准方程
圆的方程
x + y = r
(x –
a
) + ( y – b ) =
r
2
x + y +D x + E y + F =
0
22
2 2
222
?
x
1
?x
2
?
2
?
?
y
1
?y
2
?
2
2
Ax
0
?By
0
?C
A?B
2
圆心
(0,0)
(
a
,b)
半径
r
r
一般方程
?
DE
?
?
?,?
?
?
22<
br>?
1
D
2
?E
2
?4F
2
8.点与圆的位置关系
点
P(x
0
,y
0)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种
若
d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
,则
d?r?
点
P
在圆外;
22
222
d?r?
点
P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
9.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d)
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
222
资料
p>
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r
?相交???0
.
10.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
,O
2
,半径分别为r
1
,r
2
,
O1
O
2
?d
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
11.圆的切线方程
(1)已知圆
x?y?Dx?Ey?F?0
.
①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上,则切线只有一条,
其方程是
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
?
?F?0
.
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0
x?y
0
y???F?0
表示过两个切点的切点弦方程.
22
x
0
x?y
0
y?
②过圆外一点的
切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
,再利用相切条
件求k,这时必有两条切线,注
意不要漏掉平行于y轴的切线.
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
,再利用相切条件求b,必有两条切线.
(2)已知圆
x?y?r
.
2
①过圆上的
P
0<
br>(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
;
222
②斜率为
k
的圆的切
线方程为
y?kx?r1?k
2
二、立体几何
(一)、线线平行判定定理:
1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2、垂直于同一平面的两直线平行。
3、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
(二)、线面平行判定定理
1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
2、若两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。
(三)、面面平行判定定理:
资料
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
(四)、线线垂直判定定理:
若一直线垂直于一平面,则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。
(五)、线面垂直判定定理
1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。
2、如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
(六)、面面垂直判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
(七).证明直线与直线的平行的思考途径
(1)转化为判定共面二直线无交点;(2)转化为二直线同与第三条直线平行;
(3)转化为线面平行;(4)转化为线面垂直;(5)转化为面面平行.
(八).证明直线与平面的平行的思考途径
(1)转化为直线与平面无公共点;(2)转化为线线平行;(3)转化为面面平行.
(九).证明平面与平面平行的思考途径(1)转化为判定二平面无公共点;
(2)转化为线面平行;(3)转化为线面垂直.
(十).证明直线与直线的垂直的思考途径
(1)转化为相交垂直;(2)转化为线面垂直;(3)利用三垂线定理或逆定理;
(十一).证明直线与平面垂直的思考途径
(1)转化为该直线与面内任一直线垂直;(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;
(十二).证明平面与平面的垂直的思考途径
P
(1)转化为判断二面角是直二面角;(2)转化为线面垂直.
三、空间几何体
(一)、正三棱锥的性质
1、底面是正三角形,若设底面正三角形的边长为a,则有
A
O
D
B
图形 外接圆半径
内切圆半径 面积
正三角形
B
A
O
D
C
OA?
3
a
3
OD?
3
a
6
S?
3
2
a
4
2、正三棱锥的辅助线作法一般是:
作PO⊥底面ABC于O,则O为△ABC的中心,PO为棱锥的高,
取AB的中点D,连结PD、CD,则PD为三棱锥的斜高,CD为△ABC的AB边上的高,
且点O在CD上。∴△POD和△POC都是直角三角形,且∠POD =∠POC = 90°
(二)、正四棱锥的性质
1、底面是正方形,若设底面正方形的边长为a,则有
P
图形 外接圆半径 内切圆半径 面积
C
O
资料
B
E
A
D
正方形
O
A
B
OB =
2
a
2
OA =
a
2
S
=
a
2
2、正四棱锥的辅助线作法一般是:
作P
O⊥底面ABCD于O,则O为正方形ABCD的中心,PO为棱锥的高,取AB的中点E,连结PE、OE、O
A,则
PE为四棱锥的斜高,点O在AC上。∴△POE和△POA都是直角三角形,且∠POE
=∠POA = 90
(三)、长方体
长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长、宽、高的平方和。
特殊地,若正方体的棱长为
a
,则这个正方体的一条对角线长为
3
a
。
(四)、正方体与球
1、设正方体的棱长为a,它的外接球半径为R
1
,它的内切球半径为R
2<
br>,则
3a?2R
1
,
a?2R
2
O
(五)几何体的表面积体积计算公式
2
D
1
A
1
D
A B
B
1
C
1
C
1、圆柱:
表面积:2π
R
+2πRh 体积:πR?h
2、圆锥:
表面积:πR?+πRL 体积: πR?h3 (L为母线长)
3、圆台:表面积:
?
r?
?
R?
?
(r?R)l
体积:V=πh(R?+Rr+r?)3
4、球:S
球面
= 4πR
2
22
V
球
=
4
3
πR (其中R为球的半径)
3
5、正方体: a-边长, S=6a? ,V=a?
6、长方体 a-长
,b-宽 ,c-高 S=2(ab+ac+bc) V=abc
7、棱柱:全面积=侧面积+2X底面积 V=Sh
8、棱锥:全面积=侧面积+底面积 V=Sh3
9、棱台:全面积=侧面积+上底面积+下底面积
V?
1
(s
1
?s
1
?s
2
?s
2
)h
3
四、三视图
1.投影:把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影。
把在一束平行光线照射下形成的投
影,称为平行投影。平行投影按照投射方向是否正对着投影面,可以分
为斜投影和正投影两种。
2、光线从几何体的前面向后面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的正视图(也叫主视图
);光线
从几何体的上面向下面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的俯视图;光线从几何体的
左面向右面
正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的侧视图(或左视图)
3、“长对正,高平齐,宽相等”是三视图之间的投影规律,是画图和读图的重要依据.
画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。
资料
必修3:
第一章 算法初步
1、算法概念:在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步
骤,
这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成.
2、构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
起止框
功能
表示一个算法的起始和结束,是任何流程图不
可少的。
表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法
中任何需要输入、输出的位置。
赋值、
计算,算法中处理数据需要的算式、公
式等分别写在不同的用以处理数据的处理框
内。
判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明
“是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N”。
输入、输出框
处理框
判断框
3、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。(结构图请看教材)
4、(1)、辗转相除法:用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数,继续做上面的除
法,直到大数被小数除尽,这个较小的数就是最大公约数。
(2)、更相减损术。以较大的数
减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续
这个操作,直到所得的数相等为
止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。
(3)进位制
①以k为基数的k进制换算为十进制:
a
na
n?1
...a
1
a
0(k)
?a
n
k?a
n?1
k
nn?1
?a
1
k
1
?
a
0
k
0
②十进制换算为k进制:除以k取余,倒序排列
第二章 统计
1.
总体和样本:
在统计学中 ,
把研究对象的全体叫做总体.
把每个研究对象叫做个体.把总体中个体的总数叫做总体容量.
为了研究总体的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分:, , ,
研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.
2、简单随机抽样,也叫纯随机抽样
。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随机地抽取调查单
位。特点是:每个样本单位被抽中
的可能性相同。
(总体个数较少)
3、简单随机抽样常用的方法:(1)抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;
4、系统抽
样(等距抽样):把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离抽
取样本。
第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
(总体个数较多)
K(抽样距离)=N(总体规模)n(样本规模)
5、分层抽样:先将总体中的所有单位按照
某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次,然后
再在各个类型或层次中采用简单随机抽样
或系统抽样的办法抽取一个子样本,最后,将这些子样本合起来
资料
构成总体
的样本。先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
(总体
中差异明显)
6、总体分布的估计:⑴一表二图:①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图:①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据的分布,以及中位数、众位数等。
②
个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大书写,相同的数重复写。
7、用样本的数字特征估计总体的数字特征(s 为标准差)
(1)、平均值:
x?
x
1
?x
2
?
?
?x
n
n
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2<
br>?
(2)、
s?
n
?(x
n
?x)
2
???
8、两个变量的线性相关(1)、概念:(1)回归直线方程:
y?a?b
x
?
(2)回归系数:
b?
i?1
n
?x
i
y
i
?nxy
i?1
n
?x?nx
2
i
2
,
a?y?bx
??
(3).应用直线回归时注意:回归分析前,最好先作出散点图;
第三章
概率
一、概念 1、事件:试验的每一种可能的结果,用大写英文字母表示;
(1)必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件;
(2)不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件;
(3)随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件;
2、古典概型:⑴基本事件:一次试验中可能出现的每一个基本结果;
⑵古典概型的特点:基本事件可列举;每个基本事件都是等可能发生
⑶概率计算公式:一次试验的等可能基本事件共有n个,事件A包含了其中的m个基本事
件,则事件A发生的概率
p(A)?
m
n
3、几何概型:⑴特点:①所有的基本事件是无限个;②每个基本事件都是等可能发生。
构成事件A的区域长度(面积或体积)
⑵几何概型概率计算公式:
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
。
4、若A∩B=ф,即不可能同时发生的两个事件,那么称事件A与事件B互斥;
5、若A∩
B为不可能事件,A∪B为必然事件,即不能同时发生且必有一个发生的两个事件,那么称事件A
与事件
B互为对立事件;
二、概率的基本性质:1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1;
2)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);
3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+
P(B)=1,于
是有P(A)=1—P(B);
4)互斥事件与对立事件的区别与
联系,互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,具
体包括三种不同的情形:(1)事件
A发生且事件B不发生;(2)事件A不发生且事件B发生;(3)事件A
与事件B同时不发生,而对立
事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形;(1)事件A
发生B不发生;(2)事件
B发生事件A不发生,对立事件是互斥事件的特殊情形。
资料
必修4 一、
三角函数与三角恒等变换
1、三角函数的图象与性质
函数 正弦函数 余弦函数 正切函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
增区间[-
单调性
R
[-1,1]
2π
奇函数
R
[-1,1]
2π
偶函数
增区间[-π+2kπ, 2kπ]
减区间[2kπ,π+2kπ]
( k∈Z
)
增区间
(-
{x| x≠
?
+kπ,k∈Z}
2
R
π
奇函数
对称轴
对称中心
?
?
+2kπ,+2kπ]
22
3
?
?
减区间[+2kπ, +2kπ]
2
2
?
x = + kπ( k∈Z )
2
( kπ,0
) ( k∈Z )
??
+kπ,+kπ)
22
无
( k∈Z
)
x = kπ ( k∈Z )
(
??
+ kπ,0 )( k∈Z
) ( k,0 ) ( k∈Z )
22
sin
?
22
2、同角三角函数公式 sin α+
cos α= 1
tan
?
?
tanαcotα=1
cos
?
3、二倍角的三角函数公式
sin2α= 2sinαcosα
2222
cos2α=2cosα-1 = 1-2 sinα= cosα- sinα
tan2
?
?
2tan
?
2
1?tan
?
2
4、降幂公式
cos
?
?
1?cos2
?
1?cos2
?
2
sin
?
?
22
2
5、升幂公式
1±sin2α= (sinα±cosα)
2
1 + cos2α=2
cosα
2
1- cos2α= 2 sinα
6、两角和差的三角函数公式
sin (α±β) =
sinαcosβ土cosαsinβ
cos (α±β) =
cosαcosβ干sinαsinβ
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1
?
tan
?
tan
?
7、两角和差正切公式的变形:
tanα±tanβ= tan (α±β) (1干tanαtanβ)
资料
1?tan
?
tan45??tan
?
?
== tan (+α)
1?tan
?
1?tan45?tan
?
41?tan
?
tan45??tan
?
?
== tan (-α)
1?tan
?
1?tan45?tan
?
4
8、 两角和差正弦公式的变形(合一变形)
asin
?
?bcos
?
? a
2
?b
2
sin
?
?
?
?
?< br> (其中
tan
?
?
9、半角公式:
sin
b
) < br>a
?
2
??
1?cos
?
?
1?cos?
cos??
222
1?cos
?
sin
?
1?cos
?
??
1?cos
?
1?cos
?
sin
?
tan
?
2
??
10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变,符号看象限。”
sin (π-α) = sinα, cos (π-α) = -cosα, tan (π-α) = -tanα;
sin (π+α) = -sinα cos (π+α) = -cosα tan (π+α) = tanα
sin (2π-α) = -sinα cos (2π-α) = cosα tan (2π-α) = -tanα
sin (-α) = -sinα cos (-α) = cosα tan (-α) = -tanα
???
-α) = cosα cos (-α) = sinα tan (-α) = cotα
222
???
sin (+α) = cosα cos (+α) = -sinα tan (+α) = -cotα
222
sin (
11.三角函数的周期公式
函数
y ?sin(
?
x?
?
)
,x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
,x∈R(A,ω,
?
为常数,且A≠0,ω >0)的周期
T?
2
?
?
;函数
y?tan(
?< br>x?
?
)
,
x?k
?
?
?
2
,k?Z
(A,ω,
?
为常数,且A≠0,ω>0)的周期
T?
?
.
?
二、平面向量
(一)、向量的有关概念
1、向量的模计算公式:(1)向量法:|
a
| =
a?a?a
;
22
2
(2)坐标法:设
a
=(x,y),则|
a
| =
x?y
2、单位向量的计算公式:
?
xy
(1) 与向量
a
=(x,y)同向的单位向量是
?
,
22
?
x
2
?y
2
x?y
?
?
x
(2)与向量
a
=(x,y)反向的单位向量是
?
?,
22
?
x ?y
?
3、平行向量
?
?
;
?
?
y
?
?
;
?
x
2
?y
2
?
?
规定:零向量与任一向量平行。设
a
=(x1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2),λ为实数
向量法:
a
∥
b
(
b
≠
0
)<=>
a
=λ
b
资料
坐标法:
a
∥
b
(
b
≠
0
)<=>
x
1
y
2
– x
2
y
1
= 0
<=>
4、垂直向量
x
1
x
2
?
(y
1
≠0 ,y
2
≠0)
y
1
y
2
规定:零向量与任一向量垂
直。设
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(x<
br>2
,y
2
)
向量法:
a
⊥
b
<=>
a
·
b
= 0
坐标法:
a
⊥
b
<=> x
1
x
2
+ y
1
y
2
= 0
5.平面两点间的距离公式
d
A,B
=
|AB|?AB?AB
?(x
2
?x<
br>1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(A
(x
1
,y
1
)
,B
(x
2
,y
2
)
).
(二)、向量的加法
(1)向量法:三角形法则(首尾相接首尾连),平行四边形法则(起点相同连对角)
(2)
坐标法:设
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(
x
2
,y
2
),则
a
+
b
=(x
1
+ x
2
,y
1
+ y
2
)
(三)、向量的减法
(1)向量法:三角形法则(首首相接尾尾连,差向量的方向指向被减向量)
(2)坐标法:
设
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2
),则
a
-
b
=(x
1
- x
2
,y
1
- y
2
)
(3)、重要结论:| |
a
| - |
b
| | ≤
|
a
±
b
| ≤ |
a
| + |
b
|
(四)、两个向量的夹角计算公式:(1)向量法:cos
?
=
a?b
|a||b|
(2)坐标法:设
a
=(x<
br>1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2<
br>),则cos
?
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x?y
2
2
2
2
(五)、平面向量的数量积计算公式:(1)向量法:
a
·
b
=
|
a
| |
b
| cos
?
(2)坐标法:设
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2
),则
a
·
b
= x
1
x
2
+ y
1
y
2
(3)
a·b的几何意义:
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
(六).1、实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,那么
(1)
结合律:λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的数量积的运算律:
(1)
a
·b= b·
a
(交换律);
(2)(
?
a
)·b=
?
(
a
·b)=
?
a
·b=
a
·(
?
b);
(3)(
a
+b)·c=
a
·c +b·c.
3.平面向量基本定理:如果e
1
、e 那么对于这
一平面内的任一向量,
2
是同一平面内的两个不共线向量,
有且只有一对实数λ
1
、λ
2
,使得a=λ
1
e
1
+λ
2<
br>e
2
.不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内
所有向量的一组
基底.
(七).三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标
分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐
资料
标是
G(
x<
br>1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
33
必修5
一
、解三角形:ΔABC的六个元素A, B, C,
a
, b,
c满足下列关系:
1、角的关系:A + B + C = π,
特殊地,若ΔABC的三内角A, B, C成等差数列,则∠B = 60?,∠A +∠C =
120?
2、诱导公式的应用:sin ( A + B ) = sinC , cos
( A + B ) = --cosC ,
sin
(
ABAB
CC
?
) = cos , cos (
?
)
= sin
2222
22
3、边的关系:
a
+ b
> c ,
a
– b < c(两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。)
4、边角关系:(1)正弦定理:
abc
???2R
(R为ΔABC外接圆半径)
sinAsinBsinC
a
:
b : c = sinA : sinB : sinC 分体型
a
= 2R
sinA ,
b
= 2R sinB
, c
= 2R sinC ,
22 2
(2)余弦定理:
a
= b + c – 2bc?cosA
,
22 2
b
=
a
+
c – 2
a
c?cosB ,
22 2
c
=
a
+ b – 2
a
b?cosC
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
cosA?
,
cosB?
,
cosC?
2bc2ac2ab
5、面积公式:S =
1111
a
h =
a
b sinC = bc sinA =
a
c sinB
2222
二、数列
(一)、等差数列{
a
n
}
1、通项公式:
a
n
=
a
1
+ ( n – 1 ) d , 推广:
a
n
=
a
m
+ ( n – m ) d ( m
, n∈N )
2、前n项和公式:
S
n
= n
a
1
+
n(a
1
?a
n
)
1
n ( n – 1 )
d =
2
2
3、等差数列的主要性质
① 若m + n = 2
p,则
a
m
+
a
n
=
2
a
p
(等差中项)( m , n∈N
)
② 若m + n = p + q,则
a
m
+
a
n
=
a
p
+
a
q
( m , n , p , q∈N )
③
S
n
,
S
2 n
--
S
n
,
S
3 n
–
S
2 n
组成等差数列,公差为n d。
(二)、等比数列{
a
n
}
n 1n
m
1、通项公式:
a
n
=
a
1
q
–
, 推广:
a
n
=
a
m
q
–
( m
, n∈N )
2、等比数列的前n项和公式:
a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
当q≠1时,
S
n
= =, 当q = 1时,
S
n
= n
a
1
1?q
1?q
3、等比数列的主要性质
2
① 若m + n = 2 p,则
a
p
=
a
m
?
a
n
(等比中项)(
m , n∈N )
② 若m + n = p + q,则
a
m
?
a
n
=
a
p
?
a
q
( m , n , p , q∈N )
n
③
S
n
,
S
2 n
--
S
n
,
S
3 n
–
S
2 n
组成等比数列,公比为q。
资料
(三)、一般数列{
a
n
}的通项公式:记
S
n
=
a
1
+
a
2
+ …
+
a
n
,则恒有
a
n
?
?
三、不等式
2 2
(一)、均值定理及其变式(1)
a
, b ∈ R ,
a
+ b ≥ 2 a b
?
?
S
n
?S<
br>n?1
?
n?2,n?N
?
S
1
?
n?1<
br>?
?
a?b
?
+ +
(2)
a
, b ∈ R ,
a
+ b ≥ 2
ab
(3)
a
, b ∈ R ,
a
b ≤
??
2
??
2
a?ba
2
?b
2
(4)
,以上当且仅当
a
= b时取“ = ”号。
?ab??
11
22
?
ab
2
2
(二).一元二次不等式
ax?bx?c?
0(或?0)(a?0,??b?4ac?0)
,如果
a
与
ax?bx?c<
br>同号,
22
则其解集在两根之外;如果
a
与
ax?bx?c<
br>异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两
根之间.
设
x
1
?x
2
2
(x?x
1
)
(x?x
2
)?0?x
1
?x?x
2
;
(x?x
1
)(x?x
2
)?0?x?x
1
,或x?x<
br>2
(三).含有绝对值的不等式:当a> 0时,有
x?a?x
2
?a??a?x?a
.
x?a?x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
2
(四).指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
; ?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?
(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
(五).
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域: 直线定界,特殊点定域。
资料
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