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高中数学常用公式
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第一部分集合
1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的 取值？还
．．．．．
是因变量的取值？还是曲线上的点？…
2 .数形结合是解集 合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦
．．．．
恩图等工具，将抽象 的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想
方法解决
（3）集合
{a
1
,a
2
,L,a
n
}
的子集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
–1个；非空子集有
2
n
–1
个；
非空真子集有
2
–2个.
4．
?
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
n
第二部分 函数与导数
1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元
法 ；
a?b
⑥利用均值不等式
ab??
2
离、
a
2
?b
2
； ⑦利用 数形结合或几何意义（斜率、距
2
绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（
a
、
sinx
、
cosx
等）；⑨平方法；⑩ 导数法
3．复合函数的有关问题:
（1）复合函数定义域求法：
① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤
b解出
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的
值域.
（2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数
y?f[g(x)]
分解为 基本函数：内函数
u?g(x)
与外函数
y?f(u)

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性
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x

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③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.
4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5．函数的奇偶性:
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件
． ．．．
⑵
f(x)
是奇函数
?f(?x)??f(x)
；
f (x)
是偶函数
?f(?x)?f(x)
.
⑶奇函数
f(x)
在0处有定义，则
f(0)?0

⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性
⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性
6．函数的单调性:
⑴单调性的定义：
①
f(x)
在区间
M
上是增函数
??x
1
,x
2
?M,
当
x
1
?x2
时有
f(x
1
)?f(x
2
)
；
②
f(x)
在区间
M
上是减函数
??x
1
,x2
?M,
当
x
1
?x
2
时有
f(x< br>1
)?f(x
2
)
；
⑵单调性的判定：①定义法：一般要将 式子
f(x
1
)?f(x
2
)
化为几个因式作积或作商的形 式，
以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法
注：证明单调性主要用定义法和导数法。
7．函数的周期性：
(1)周期性的定义 ：对定义域内的任意
x
，若有
f(x?T)?f(x)
（其中
T< br>为非零常数），
则称函数
f(x)
为周期函数，
T
为它的一个 周期。所有正周期中最小的称为函数的
最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函数的周期：①
y?sinx:T?2
?
；②
y?cosx:T?2
?
；
③
y?tanx:T?
?
；
④
y?Asin(
?
x?
?
),y?Acos(
?
x?
?
):T?< br>(3)与周期有关的结论：
?
2
?
；⑤
y?tan
?
x:T?

|
?
|
|< br>?
|
f(x?a)?f(x?a)
或
f(x?2a)?f(x)(a? 0)

?
f(x)
的周期为
2a

8．基本初等函数的图像与性质：
x
㈠.⑴指数函数：
y?a(a?0,a ?1)
；⑵对数函数:
y?log
a
x(a?0,a?1)
；
⑶幂函数：
y?x
（
?
?R)
；⑷正弦函数:
y?sinx
；⑸余弦函数：
y?cosx
；
（ 6）正切函数：
y?tanx
；⑺一元二次函数：
ax?bx?c?0
（a≠ 0）；⑻其它常用函
数：
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2
?

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① 正比例函数：
y?kx(k?0)
；②反比例函数：
y?
㈡.⑴ 分数指数幂：
a
m
n
ka
③函数
y?x?(a?0)

(k?0)
；
xx
?
?a
；
a
nm
?
m
n
?
1
a
m
n
（以上
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
b
⑵.①
a?N?log
a
N?b
； ②log
a
?
MN
?
?log
a
M?loga
N
；
Mn
?log
a
M?log
a
N
； ④
log
a
m
b
n
?log
a
b
.
Nm
log
m
N
logN
⑶.对数的换底公式:
log< br>a
N?
.对数恒等式:
a
a
?N
.
log
m
a
③
log
a
9．二次函数：
2
⑴解析式：①一般式：
f(x)?ax?bx?c
；②顶点式：
f(x)? a(x?h)?k
，
(h,k)
为
2
顶点；
③零点式：< br>f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)
（a≠0）.
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
二次函数y?ax?bx?c
的图象的对称轴方程是
x??
2
b
，顶点坐 标是
2a
?
b4ac?b
2
?
?
?
?2a
，
4a
?
?
。
??
10．函数图象：
⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法
⑵图象变换：
① 平移变换：ⅰ)
y?f(x)?y?f(x?a)
，(a?0)
———左“+”右“－”；
ⅱ)
y?f(x)?y?f(x)?k,(k?0)

———上“+”下“－”； < br>??
y??f(?x)
；ⅱ)
y?f(x)
???
y??f( x)
； ② 对称变换：ⅰ)
y?f(x)
??
?
x?f(y)
； ⅲ)
y?f(x)
???
y?f(?x)
； ⅳ)
y?f(x)
???
③ 翻折变换：
ⅰ)
y?f(x)?y? f(|x|)
———（去左翻右）y轴右不动，右向左翻（
f(x)
在
y左侧图
象去掉）；
ⅱ)
y?f(x)?y?|f(x)|
———（留上 翻下）x轴上不动，下向上翻（|
f(x)
|在
x
下面
无图象）；
11．函数图象（曲线）对称性的证明：
x?0y?x
(0,0)y?0
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(1)证明函数
y?f(x)
图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）< br>的对称点仍在图像上；
（2）证明函数
y?f(x)
与
y?g(x)
图象的对称性，即证明
y?f(x)
图象上任意点关
于对称中心（对称轴）的 对称点在
y?g(x)
的图象上，反之亦然。
注*：①曲线C
1
: f(x,y)=0关于原点（0,0）的对称曲线C
2
方程为：f(－x,－y)=0; 曲线C
1
:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C
2
方程为：f (－x, y)=0;
曲线C
1
:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C
2
方程为：f(x, －y)=0;
曲线C
1
:f(x,y)=0 关于直线y=x的对称曲线C
2
方程为：f(y, x)=0
②f(a+x)=f(b－x) （x∈R）
?
y=f(x)图像关于直线x=
a?b
对称；
2
特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）
?
y=f(x)图像关于直线x=a对称.
③
y?f(x)的图象关于点
(a,b)
对称
?
f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
?2b
.
特别地：
y? f(x)
的图象关于点
(a,0)
对称
?
f
?
a? x
?
??f
?
a?x
?
.
④函数
y?f (x?a)
与函数
y?f(a?x)
的图象关于直线
x?a
对称;
函数
y?f(a?x)
与函数
y?f(a?x)
的图象 关于直线
x?0
对称。
12．函数零点的求法：
⑴直接法（求
f(x)?0
的根）；⑵图象法；⑶二分法.
(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在（a,b)内至少有
一个零点。
13．导数：
⑴导数定义：f (x)在点x
0
处的导数记作
y
?
x?x
0
?f< br>?
(x
0
)?lim
n?1
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)

?x
'
'
⑵常见函数的导数公式: ①
C
?0
；②
(x)?nx
x'x
n'
；③
(sinx)?cosx
；< br>'x'x
'
④
(cosx)??sinx
；⑤
(a)?aln a
；⑥
(e)?e
；⑦
(log
a
x)?
1
；
xlna
⑧
(lnx)?
'
1
。
x
u
v
u
?
v?uv
?
;
v
2

⑶导数的四则运算法则：
(u?v)
?
?u
?
?v
?
;(uv)
?
?u
?
v?uv
?
;()
?
?
（4）导数的应用：
①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点
的切线？
②利用导数判断函数单调性：i）
f
?
(x)?0?f(x)
是增函 数；ii）
f
?
(x)?0?f(x)
为减函数；iii）
f
?
(x)?0?f(x)
为常数；
③利用导数求极值：ⅰ）求导数
f< br>?
(x)
；ⅱ）求方程
f
?
(x)?0
的根；ⅲ）列 表得极值。
④利用导数求最大值与最小值：ⅰ）求极值；ⅱ）求区间端点值（如果有）；ⅲ）比较
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得最值。
第三部分 三角函数、三角恒等变换
与解三角形
1．⑴角度制与弧度制的互化：
?
弧度
?180
，
1?
⑵弧长公式：
l?
?
R
； 扇形面积公式：
S?
?
?
?
180
弧度，
1
弧度
?(
180
?
)
?
?57
?
18< br>'

11
lR?
?
R
2
。
22< br>2．三角函数定义:角
?
终边上任一点（非原点）P
(x,y)
,设< br>|OP|?r

则：
sin
?
?
yx
y,cos
?
?,
tan
?
?

rr
x
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c”）
4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”
5．⑴
y?Asin(
?
x?
?
)

对称 轴：令
?
x?
?
?k
?
?
?
2
， 得
x??;
对称中心：
(
k
?
?
?
,0)(k?Z)
；
?
⑵
y?Acos(
?
x?
?
)

对称轴：令
?
x?
?
?k
?
，得
x?
k
?
?
k
?
?
?
?
；对称中心：
?
2
?
?
(
?
,0)(k?Z)
；
⑶周 期公式:①函数
y?Asin(
?
x?
?
)
及
y? Acos(
?
x?
?
)
的周期
T?
为常数， 且A≠0).②函数
y?Atan
?
?
x?
?
?
的周期
T?
6．同角三角函数的基本关系：
sin
2
x?cos< br>2
x?1;
7．三角函数的单调区间及对称性：
⑴
y?sinx
的单调递增区间为
?
2k
?
?
2
?
? (A、ω、
?
?
(A、ω、
?
为常数，且A≠0).
?
sinx
?tanx

cosx
?
?
?
2
,2k
?
?
?
?
k?Z
,单调递减区间 为
?
2
?
?
3
?
?
?
?
2k
?
?,2k
?
?k?Z
x?k
?
?(k?Z )
,对称中心为，对称轴为
??
22
?
2
?
?k
?
,0
?
(k?Z)
.
⑵
y?cosx< br>的单调递增区间为
?
2k
?
?
?
,2k
?< br>?
k?Z
,单调递减区间为
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
k?Z
，
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对称轴为
x?k
?
(k?Z)
, 对称中心为
?
k
?
?
⑶
y?tanx
的单调递增区 间为
?
k
?
?
?
?
?
?
,0?
(k?Z)
.
2
?
?
?
?
2,k
?
?
?
?
?
k?Z
，对称中心为
2
?
?
k
?
?
,0
?
?
k?Z< br>?
.
?
?
2
?
8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
①
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?< br>?cos
?
sin
?
；
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
msin
?
sin?
；
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
.
1mtan
?
tan
?
2 222
②
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin
?
?sin
?
；
cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos
??sin
?

③
asin
?
?bcos
?=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(其中,辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
所在的象
限
决定,
tan
?
?
b
).
a
2
9．二倍角公式：①
sin2
?
?2sin
?
cos
?< br>.
(sin
?
?cos
?
)?1?2sin
?
cos
?
?1?sin2
?

②
cos2
??cos
?
?sin
2
?
?2cos
2
??1?1?2sin
2
?
（升幂公式）.
1?cos2
?
1?cos2
?
（降幂公式）.
cos< br>2
?
?,sin
2
?
?
22
2
10 ．正、余弦定理：
⑴正弦定理：
abc
）
???2R
（
2R
是
?ABC
外接圆直径
sinAsinBsinC
注：①
a:b:c?sinA:sinB:sinC
；②
a?2RsinA,b?2R sinB,c?2RsinC
；
③
abca?b?c
。
???sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC
222
b
2
? c
2
?a
2
⑵余弦定理：
a?b?c?2bccosA
等三 个；
cosA?
等三个。
2bc

111
ah
a
?bh
b
?ch
c
（
h
a
、h
b
、h
c
分别表示
222
111
a、b、c边上的高）；②< br>S?absinC?bcsinA?casinB
.③
222
uuuruuur
2
uuuruuur
2
1
S
?OAB
?(|OA| ?|OB|)?(OA?OB)

2
11.几个公式:⑴三角形面积公式：①
S?
⑵内切圆半径r=
2S
?ABC
； 外接圆直径2R=
a?b?c
abc
??;

sinAsinBsinC
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