高中数学48条秒杀公式

注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段
上)，用该公式; 如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为
(x+1)(x-1)，其他不变。

2.函数的周期性问题(记忆三个)：

(1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k；
(2)若f(x)=m(x+k)(m不为0)，则T=2k；
(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。

注意点：a.周期 函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：
常数函数。c.周期函数加周期函数未必是周期 函数，如：y=sinxy=sin
派x相加不是周期函数。

3.关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：

(1)若在R上(下同)满足 ：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)2;

(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)2对称;

(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称

4.函数奇偶性：

(1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;

(2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项

(3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空

5.数列爆强定律：

(1)等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);

(2)等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4，等比
数列爆强公式：S(n+ m)=S(m)+q?mS(n)可以迅速求q

6.数列的终极利器，特征根 方程。(如果看不懂就算了)。首先介绍公式：
对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角 标)，a1已知，那么特征根
x=q(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p?(n-1) +x，这是一阶特征根
方程的运用。二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记
上 述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数)

7.函数详解补充：

(1)复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外

(2)复合函数单调性：同增异减

(3)重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知 道三次函数曲线其实是中
心对称图形。它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为
中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过
该中心的直线与两旁相切。

8.常用数列bn=n×(2?n)求和Sn=(n-1)×(2?(n+1))+2记忆方法：前 面
减去一个1，后面加一个，再整体加一个2

9.适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式：

k椭=-{(b?)xo｝{(a?)yo｝k双={(b?)xo｝{(a?)yo｝

k抛=pyo

注：(xo，yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。
< br>10.强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技：已知直线L1：
a1x+b1y+c1=0直线 L2：a2x+b2y+c2=0若它们垂直：(充要条
件)a1a2+b1b2=0；
若它们平行：(充要条件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[这个条件为了防止两
直线重 合)

注：以上两公式避免了斜率是否存在的麻烦，直接必杀!

11.经典中的经典：相信邻项相消大家都知道。下面看隔项相消：对于
Sn=1(1×3)+1( 2×4)+1(3×5)+…+1[n(n+2)]=12[1+12-1(n+1)-
1(n+2)]
注：隔项相加保留四项，即首两项，尾两项。自己把式子写在草稿纸上，
那样看起来会很清爽以 及整洁!

12.爆强△面积公式：S=12∣mq-np∣其中向量AB=(m，n)，向量 BC=(p，
q)注：这个公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题！

13.你知道吗空间立体几何中，以下命题均错：

(1)空间中不同三点确定一个平面；

(2)垂直同一直线的两直线平行；

(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

(4)如果一条直线与平面内无数条直线垂直，则直线垂直平面；

(5)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；

(6)有一个 面是多边形，其余各面都是三角形的几何体都是棱锥注：对初
中生不适用。

14.一个小知识点：所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。

15.求f( x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n为正整数)的最小
值。
< br>答案为：当n为奇数，最小值为(n?-1)4，在x=(n+1)2时取到;当n
为偶数时，最 小值为n?4，在x=n2或n2+1时取到。

16.√〔(a?+b?)〕2≥(a+b) 2≥√ab≥2ab(a+b)(a、b为正数，是
统一定义域)

17.椭圆中焦点三角形面积公式：S=b?tan(A2)

在双曲线中：S=b?tan(A2)
说明：适用于焦点在x轴，且标准的圆锥曲线。A为两焦半径夹角。

18.爆强定理：空间向量三公式解决所有题目：

cosA=|{向量a.向量b｝[向量a的模×向量b的模]|

A为线线夹角；A 为线面夹角(但是公式中cos换成sin)；A为面面夹角
注：以上角范围均为[0，派2]。

19.爆强公式1?+2?+3?+…+n?=16(n)(n+1)(2n+1)；

1?3+2?3+3?3+…+n?3=14(n?)(n+1)?

20.爆强切线方程记忆方法：写成对称形式，换一个x，换一个y。

举例说明：对 于y?=2px可以写成y×y=px+px再把(xo，yo)带入其中一
个得：y×yo=pxo+ px

21.爆强定理：(a+b+c)?n的展开式[合并之后]的项数为：Cn+22，n +2
在下，2在上
22.[转化思想]切线长l=√(d?- r?)d表示圆外一点到圆心得距离，r
为圆半径，而d最小为圆心到直线的距离。

23.对于y?=2px，过焦点的互相垂直的两弦AB、CD，它们的和最小为
8p。
爆强定理的证明：对于y?=2px，设过焦点的弦倾斜角为A.那么弦长可
表示为2p〔(sin A)?〕，所以与之垂直的弦长为2p[(cosA)?]，所以
求和再据三角知识可知。(题目的意思 就是弦AB过焦点，CD过焦点，且
AB垂直于CD)

24.关于一个重要绝对值不 等式的介绍爆强：∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤
∣a∣+∣b∣

25.关于解决证明含ln的不等式的一种思路：

举例说明：证明1 +12+13+…+1n>ln(n+1)把左边看成是1n求和，右
边看成是Sn。

解：令an=1n，令Sn=ln(n+1)，则bn=ln(n+1)-lnn，那么只需证an>bn即可，根据定积分知识画出y=1x的图。an=1×1n=矩形面积>曲线下面
积=bn。当然前 面要证明1>ln2。

注：仅供有能力的童鞋参考!!另外对于这种方法可以推广，就是把左 边、
右边看成是数列求和，证面积大小即可。说明：前提是含ln。

26.爆强简洁 公式：向量a在向量b上的射影是：〔向量a×向量b的数
量积〕[向量b的模]。记忆方法：在哪投影 除以哪个的模

27.说明一个易错点：若f(x+a)[a任意]为奇函数，那么得到的结论 是
f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右边不是-f(-x-a)〕，同理如果f(x+a)为偶函
数，可得f(x+a)=f(-x+a)牢记！

28.离心率爆强公式：e=sin A(sinM+sinN)注：P为椭圆上一点，其中A
为角F1PF2，两腰角为M，N
< br>29.椭圆的参数方程也是一个很好的东西，它可以解决一些最值问题。比
如x?4+y?=1求 z=x+y的最值。解：令x=2cosay=sina再利用三角有
界即可。比你去=0不知道快多少 倍！

30.[仅供有能力的童鞋参考]]爆强公式：
和差化积
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)2]cos[(θ-φ)2]sinθ-sinφ=2co s[(θ+
φ)2]sin[(θ-φ)2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)2]cos[ (θ-φ)2]c
osθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)2]sin[(θ-φ)2]
积化和差
sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]2cosαcosβ =[cos(α+β)+cos
(α-β)]2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α- β)]2cosαsinβ=[sin(
α+β)-sin(α-β)]2

31.爆强定理：直观图的面积是原图的√24倍。
32.三角形垂心爆强定理：

(1)向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O为三角形外心，H为垂心)

( 2)若三角形的三个顶点都在函数y=1x的图象上，则它的垂心也在这个
函数图象上。
33.维维安尼定理(不是很重要(仅供娱乐))，正三角形内(或边界上)任一
点到三边的距离之 和为定值，这定值等于该三角形的高。

34.爆强思路：如果出现两根之积x1x2=m，两 根之和x1+x2=n，我们应当
形成一种思路，那就是返回去构造一个二次函数，再利用△大于等于0 ，
可以得到m、n范围。

35.常用结论：过(2p，0)的直线交抛物线y?=2 px于A、B两点。O为原
点，连接。必有角AOB=90度

36.爆强公式：ln(x+1)≤x(x>-1)该式能有效解决不等式的证明问题。
举例说明：ln(1(2?)+1)+ln(1(3?)+1)+…+ln(1(n?)+1)<1(n≥2 )。
证明如下：令x=1(n?)，根据ln(x+1)≤x有左右累和右边再放缩得：
左和< 1-1n<1证毕!

37.函数y=(sinx)x是偶函数。在(0，派)上它单调递减， (-派，0)上单
调递增。利用上述性质可以比较大小。

38.函数y=(lnx) x在(0，e)上单调递增，在(e，+无穷)上单调递减。另
外y=x?(1x)与该函数的单调性一 致。

39.几个数学易错点：

(1)f`(x)<0是函数在定义域内单调递减的充分不必要条件；

(2)在研究 函数奇偶性时，忽略最开始的也是最重要的一步：考虑定义域
是否关于原点对称！

(3)不等式的运用过程中，千万要考虑号是否取到！

(4)研究数 列问题不考虑分项，就是说有时第一项并不符合通项公式，所
以应当极度注意：数列问题一定要考虑是否 需要分项！

40.提高计算能力五步曲：

(1)扔掉计算器；

(2)仔细审题(提倡看题慢，解题快)，要知道没有看清楚题目，你算多少
都没用；

(3)熟记常用数据，掌握一些速算技巧；

(4)加强心算，估算能力；

(5)[检验]！

41.一个美妙的公式：爆强!已知三角形中AB=a，AC=b ，O为三角形的外
心，则向量AO×向量BC(即数量积)=(12)[b?- a?]强烈推荐！证明：
过O作BC垂线，转化到已知边上。
42.(1)函数单调性的含义 ：大多数同学都知道若函数在区间D上单调，
则函数值随着自变量的增大(减小)而增大(减小)，但有 些意思可能有些
人还不是很清楚，若函数在D上单调，则函数必连续(分段函数另当别论)
这也 说明了为什么不能说y=tanx在定义域内单调递增，因为它的图像被
无穷多条渐近线挡住，换而言之 ，不连续。

还有，如果函数在D上单调，则函数在D上y与x一一对应。这个可以
用 来解一些方程。至于例子不举了。

(2)函数周期性：这里主要总结一些函数方程式所要表达 的周期设f(x)
为R上的函数，对任意x∈R：

①f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(加绝对值，下同)

②f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a)

③f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a

④设T≠0，有 f(x+T)=M[f(x)]其中M(x)满足M[M(x)]=x,且M(x)≠x则
函数的周期为 2

43.奇偶函数概念的推广：

(1)对于函数f(x)，若存在常数a ，使得f(a-x)=f(a+x)，则称f(x)为广
义(Ⅰ)型偶函数，且当有两个相异实数a，b 满足时，f(x)为周期函数
T=2(b-a)

(2)若f(a-x)=-f(a+ x)，则f(x)是广义(Ⅰ)型奇函数，当有两个相异实
数a，b满足时，f(x)为周期函数T=2 (b-a)

(3)有两个实数a，b满足广义奇偶函数的方程式时，就称f(x)是广义(Ⅱ )
型的奇，偶函数。

且若f(x)是广义(Ⅱ)型偶函数，那么当f在[a+b2， ＋∞)上为增函数
时，有f(x1)x2-(a+b)=

44.函数对称性：

(1)若f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c则函数关于(a+b2，c2)成中心对称

(2)若f(x)满足f(a+x)=f(b-x)则函数关于直线x=a+b2成轴对称

柯西函数方程：若f(x)连续或单调：

(1)若f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0),则f(x)=㏒ax

(2)若f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0),则f(x)=x?u(u由初值给出)

(3)f(x+y)=f(x)f(y)则f(x)=a?x

(4)若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,则f(x)=ax2+bx

(5)若f(x+y)+f(x-y)=2f(x),则f(x)=ax+b

特别的若f(x)+f(y)=f(x+y)，则f(x)=kx

45.与三角形有关的定理或结论中学数学平面几何最基本的图形就是三
角形

(1)正切定理(我自己取的，因为不知道名字)：在非Rt△中，有
tanA+tanB+tanC =tanAtanBtanC

(2)任意三角形射影定理(又称第一余弦定理)：在△ABC 中
a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA

(3)任意三角形内切圆半径r=2Sa+b+c(S为面积)，外接圆半径应该都知
道了吧< br>
(4)梅涅劳斯定理：设A1,B1，C1分别是△ABC三边BC，CA，AB所在直
线的上的点，则A1，B1，C1共线的充要条件是
CB1B1A·BA1A1C·AC1C1B=1

46.易错点：

(1)函数的各类性质综合运用不灵活，比如奇偶性与单 调性常用来配合解
决抽象函数不等式问题。

(2)三角函数恒等变换不清楚，诱导公式不迅捷。

(3)忽略三角函数中的有界性 ，三角形中角度的限定，比如一个三角形中，
不可能同时出现两个角的正切值为负。

(4)三角的平移变换不清晰，说明：由y=sinx变成y=sinwx的步骤是将
横坐标变成原来的 1∣w∣倍。
(5)数列求和中，常常使用的错位相减总是粗心算错，规避方法：在写第
二步 时，提出公差，括号内等比数列求和，最后除掉系数。

(6)数列中常用变形公式不清楚，如：an=1[n(n+2)]的求和保留四项。
(7)数列未考虑a1是否符合根据sn-sn-1求得的通项公式。

(8)数列并不是简单的全体实数函数，即注意求导研究数列的最值问题过
程中是否取到问题。
(9)向量的运算不完全等价于代数运算。

(10)在求向量的模运算过程中平方之 后，忘记开方。比如这种选择题中
常常出现2，√2的答案…，基本就是选√2，选2的就是因为没有开 方。

(11)复数的几何意义不清晰。

47.关于辅助角公式：asin t+bcost=[√(a?+b?)]sin(t+m)其中
tanm=ba[条件：a>0]

说明：一些的同学习惯去考虑sinm或者cosm来确定m，个人觉得这样
太容易出错最 好的方法是根据tanm确定m.(见上)。举例说明：
sinx+√3cosx=2sin(x+m) ，因为tanm=√3，所以m=60度，所以原式
=2sin(x+60度)

、B 为椭圆x?a?+y?b?=1上任意两点。若OA垂直OB，则有1∣OA
∣?+1∣OB∣?=1a ?+1b?