高中数学常用公式及常用结论

袁轲教学资料（高中数学）

高中数学常用公式及常用结论



1. 元素与集合的关系
x?A?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
2.德摩根公式
C
U
(AB)?C
U
AC
U
B;C
U
(AB)?C
U
AC
U
B
.
3.包含关系
AB?A?AB?B
?A?B?C
U
B?C
U
A

?AC
U
B??
?C
U
AB?R

4.容斥原理
card(AB)?cardA?cardB?card(AB)

card(ABC)?cardA?cardB?cardC?card(AB)

?card(AB)?card(BC)?card(CA)?card(ABC)
.
nnn
5．集合
{a
1
,a
2
,,an
}
的子集个数共有
2
个；真子集有
2
–1个；非空子集有
2
–1个；非空的真子集
有
2
n
–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;
(3)零点式f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
7.解连不等式
N?f(x)?M
常有以下转化形式
2
2
N?f(x)?M
?
[f(x)?M][f(x)?N]?0

f(x)?N
M?NM?N
?0

|?
?
|f(x )?
?
M?f(x)
22
11
?
.
?
f (x)?NM?N
8.方程
f(x)?0
在
(k
1
,k2
)
上有且只有一个实根,与
f(k
1
)f(k
2)?0
不等价,前者是后者的一个必要而不是
2
充分条件.特别地, 方程
ax?bx?c?0(a?0)
有且只有一个实根在
(k
1
,k
2
)
内,等价于
f(k
1
)f(k
2
)?0
,或
k?k
2
k?k
2
bb
f(k
1
)? 0
且
k
1
???
1
???k
2
. ,或< br>f(k
2
)?0
且
1
2a222a
9.闭区间上的二 次函数的最值
二次函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)
在闭区间?
p,q
?
上的最值只能在
x??
2
b
处及区 间的两端点处取得，具
2a
体如下：
(1)当a>0时，若
x??
b
b
?
?
p,q
?
，则
f(x)
min< br>?f(?),f(x)
max
?
max
?
f(p),f(q)
?
；
2a
2a
b
?
?
p,q
?
，
f(x)
max
?
max
?
f(p),f(q)
?
，
f(x)
min
?
min
?
f(p) ,f(q)
?
.
2a
bb
?
?
p,q
?
，则
f(x)
x???
?
p,q
?
，则(2)当a <0时，若
x??
，若
?minfp()f,q()
??
min2a2a
，
f(x)?ma()f,
?
q(f)(x)
min< br>?min
?
f(p),f(q)
?
.
?
xfp
max
x??
10.一元二次方程的实根分布

1

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依据：若
f(m)f(n) ?0
，则方程
f(x)?0
在区间
(m,n)
内至少有一个实根 .
设
f(x)?x
2
?px?q
，则
?
p2
?4q?0
?
（1）方程
f(x)?0
在区间
(m, ??)
内有根的充要条件为
f(m)?0
或
?
p
；
?
??m
?2
?
f(m)?0
?
f(n)?0
?
?
f(m)?0
?
2
（2）方程
f(x)?0
在区 间
(m,n)
内有根的充要条件为
f(m)f(n)?0
或
?
p?4q?0
或
?
或
af(n)?0
?
?
?m??
p
?n
?
?2
?
f(n)?0
； ?
?
af(m)?0
?
p
2
?4q?0
?（3）方程
f(x)?0
在区间
(??,n)
内有根的充要条件为
f(m)?0
或
?
p
.
?
??m
?2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间
(??,??)
的子区间
L
（形如
?
?
,
?
?
，
?
??,
?
?
，
?
?
,??
?
不同）上含参数的二次不等式
f(x,t)?0(
t
为参数)恒成立的充要条件是
f(x,t)
min
?0(x ?L)
.
(2)在给定区间
(??,??)
的子区间上含参数的二次不等式
f(x,t)?0
(
t
为参数)恒成立的充要条件是
f(x,t)< br>man
?0(x?L)
.
?
a?0
?
a?0
?
42
(3)
f(x)?ax?bx?c?0
恒成立的充要条件是
?
b?0
或
?
2
.
?
c?0
?
b?4ac?0
?
12.真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
13.常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论
是 不是 至少有一个
都是 不都是 至多有一个
大于 不大于 至少有
n
个
小于 不小于 至多有
n
个
对所有
x
， 存在某
x
，
成立 不成立
p
或
q

对任何
x
，
不成立
存在某
x
，
成立
p
且
q

反设词
一个也没有
至少有两个
至多有（
n?1
）个
至少有（
n?1
）个

?p
且
?q


?p
或
?q


14.四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ

2

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互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ

15.充要条件
（1）充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
充分条件.
（2）必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
必要条件.
（3）充要条件：若
p?q
，且
q?p
，则
p
是< br>q
充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
16.函数的单调性
(1)设
x
1
?x
2
??
a,b
?
,x
1
?x
2
那么
f( x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b< br>?
上是增函数；
x
1
?x
2
f(x
1)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?
x
1
?x2
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如果
f
?(x)?0
，则
f(x)
为增函数；如果
f
?
(x)? 0
，则
f(x)
为减
(x
1
?x
2
)?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
函数.
17.如果函数
f(x)
和
g(x)
都是减函数, 则在公共定义域内,和函数
f(x)?g(x)
也是减函数; 如果函数
y?f(u)
和
u?g(x)
在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数
y?f[g(x )]
是增函数.
18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的 图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那
么这个函数是奇函数；如果一个函数 的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
19.若函数
y?f(x)
是偶函数 ，则
f(x?a)?f(?x?a)
；若函数
y?f(x?a)
是偶函数，则
f(x?a)?f(?x?a)
.
20.对于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f(x?a)?f(b?x)
恒成立,则函数
f(x)< br>的对称轴是函数
x?
个函数
y?f(x?a)
与
y?f(b? x)
的图象关于直线
x?
a?b
;两
2
a?b
对称.
2
a
21.若
f(x)??f(?x?a)
,则函数
y?f(x)< br>的图象关于点
(,0)
对称; 若
f(x)??f(x?a)
,则函数
2
y?f(x)
为周期为
2a
的周期函数.
nn?122．多项式函数
P(x)?a
n
x?a
n?1
x??a
0
的奇偶性
多项式函数
P(x)
是奇函数
?
P(x)< br>的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数
P(x)
是偶函数
?
P(x)
的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数
y?f(x)
的图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a?x)?f(a?x)

?f(2a?x)?f(x)
.
a?b
(2)函数
y?f(x)< br>的图象关于直线
x?
对称
?f(a?mx)?f(b?mx)

2
?f(a?b?mx)?f(mx)
.
24.两个函数图象的对称性
3

袁轲教学资料（高中数学）
(1)函数
y? f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象关于直线
x?0
(即
y
轴)对称.
(2)函数
y?f(mx?a)
与函数
y?f(b? mx)
的图象关于直线
x?
(3)函数
y?f(x)
和
y? f
?1
a?b
对称.
2m
(x)
的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数
y?f( x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y?f(x? a)?b
的图象；若将曲线
f(x,y)?0
的图象右移
a
、上移< br>b
个单位，得到曲线
f(x?a,y?b)?0
的图象.
26．互为反函数的两个函数的关系
f(a)?b?f
?1
(b)?a
.
27.若函数
y?f (kx?b)
存在反函数,则其反函数为
y?
1
?1
[f(x)?b ]
,并不是
y?[f
k
?1
(kx?b)
,而函数
y?[f
?1
(kx?b)
是
y?
1
[f(x)?b]的反函数.
k
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数
f(x)?cx
,
f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c
.
( 2)指数函数
f(x)?a
,
f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0< br>.
(3)对数函数
f(x)?log
a
x
,
f(x y)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1)
.
?
(4)幂函数< br>f(x)?x
,
f(xy)?f(x)f(y),f(1)?
?
. < br>'
x
(5)余弦函数
f(x)?cosx
,正弦函数
g(x) ?sinx
，
f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)
，
f(0)?1,lim
x?0
g(x)
?1
.
x
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期T=a；
（2）
f(x)?f(x?a)?0
，
1
(f(x)?0)
，
f(x)
1
或
f(x?a)??
(f(x)?0)
, f(x)
1
2
或
?f(x)?f(x)?f(x?a),(f(x)?< br>?
0,1
?
)
,则
f(x)
的周期T=2a；
2
1
(f(x)?0)
，则
f(x)
的周期T=3a； ( 3)
f(x)?1?
f(x?a)
f(x
1
)?f(x
2< br>)
(4)
f(x
1
?x
2
)?
且
f (a)?1(f(x
1
)?f(x
2
)?1,0?|x
1
? x
2
|?2a)
，则
f(x)
的周期T=4a；
1?f( x
1
)f(x
2
)
(5)
f(x)?f(x?a)?f(x ?2a)f(x?3a)?f(x?4a)

?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x? 3a)f(x?4a)
,则
f(x)
的周期T=5a；
(6)
f( x?a)?f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期T=6a.
或
f(x?a)?
30.分数指数幂
(1)
a
(2)< br>a
m
n
?
?
1
n
?
m
n< br>a
m
1
m
n
（
a?0,m,n?N
，且n?1
）.
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
?
?
a
31．根式的性质
n
（1）
(
n
a)?a
.

4

袁轲教学资料（高中数学）
（2）当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
； < br>?
a,a?0
当
n
为偶数时，
a?|a|?
?
.
?a,a?0
?
n
n
32．有理指数幂的运算性质
(1)
a?a?a
rs
r
rs
rr
rsr?s
(a?0,r,s?Q)
.
(2)
(a)?a(a?0,r,s?Q)
.
(3)
(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q)
.
注： 若a＞0，p 是一个无理数，则a
p
表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式

log
a
N? b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

34.对数的换底公式
log
m
N
(
a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
log
m
a
n
n
推论 log
a
m
b?log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1,

N?0
).
m
log
a
N?
35．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)
log
a
(MN) ?log
a
M?log
a
N
;
M
?log
a
M?log
a
N
;
Nn
(3)
log
a
M?nlog
a
M(n?R)
.
(2)
log
a
2
2
36.设函数
f(x )?log
m
(ax?bx?c)(a?0)
,记
??b?4ac
. 若
f(x)
的定义域为
R
,则
a?0
，且
??0< br>;
若
f(x)
的值域为
R
,则
a?0
，且< br>??0
.对于
a?0
的情形,需要单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广
1
,则函数
y?log
ax
(bx)

a
11
(1)当
a?b
时,在
(0,)
和
(,??)
上
y?log
ax
(bx)
为增函数.
aa
11
，
(2)当
a?b
时,在
(0, )
和
(,??)
上
y?log
ax
(bx)
为减函 数.
aa
若
a?0
,
b?0
,
x?0
,
x?
推论:设
n?m?1
，
p?0
，
a ?0
，且
a?1
，则
（1）
log
m?p
(n?p)?log
m
n
.
（2）
log
a
mlog
a
n?log
a
38. 平均增长率的问题
2

m?n
.
2
x
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则对于时间
x
的总产值
y
，有
y?N(1?p)
.
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
n?1
?
s
1
,
a
n
?
?
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
s
n
?a1
?a
2
?
?
s
n
?s
n?1
,n?2
40.等差数列的通项公式

5
?a
n
).

袁轲教学资料（高中数学）
a
n
?a
1
? (n?1)d?dn?a
1
?d(n?N
*
)
；
其前n项和公式为
n(a
1
?a
n
)
n(n?1 )
?na
1
?d

22
d1
?n
2
?(a
1
?d)n
.
22
s
n
?
41.等比数列的通项公式
a
n?a
1
q
n?1
?
a
1
n
?q(n? N
*
)
；
q
其前n项的和公式为
?
a
1
(1?q
n
)
,q?1
?
s
n
?
?
1?q

?
na,q?1
?
1
?
a< br>1
?a
n
q
,q?1
?
或
s
n?
?
1?q
.
?
na,q?1
?
1
42.等比差数列
?
a
n
?
:
a
n?1
? qa
n
?d,a
1
?b(q?0)
的通项公式为
?
b?(n?1)d,q?1
?
a
n
?
?
bq
n< br>?(d?b)q
n?1
?d
；
,q?1
?
q?1
?
其前n项和公式为
?
nb? n(n?1)d,(q?1)
?
s
n
?
?
.
d1 ?q
n
d
?
(b?
1?q
)
q?1
?1?q
n,(q?1)
?
43.分期付款(按揭贷款)
ab(1?b )
n
每次还款
x?
元(贷款
a
元,
n
次还 清,每期利率为
b
).
(1?b)
n
?1
44．常见三角不等式
（1）若
x?(0,
(2) 若
x?(0,
?
2
)
，则
sinx?x?tanx
.
)
，则
1?sinx?cosx?2
.
2
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
45.同角三角函数的基本关系式
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，
tan
?
=
46.正弦、余弦的诱导公式
sin
?
，< br>tan
?
?cot
?
?1
.
cos
?
(n为偶数)

(n为奇数)
n
?< br>n
?
?
(?1)
2
sin
?
,
si n(?
?
)?
?

n?1
2
?
(?1)< br>2
cos
?
,
?

6

袁轲教学资料（高中数学）
n
?
(?1
2
)co
?
s,
n
?
?

cos(?
?
)

?
?
n?1
2
?
(?1)
2
si
?
n,
?
(n为偶数)

(n为奇数)
47.和角与差角公式

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?co s
?
cos
?
sin
?
sin
?
; tan
?
?tan
?
tan(
?
?
?
)?
.
1tan
?
tan
?
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin
2
?< br>?sin
2
?
(平方正弦公式);
cos(
?
?< br>?
)cos(
?
?
?
)?cos
2
?
?sin
2
?
.
asin
?
?bcos
?=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决定,
ta n
?
?
48.二倍角公式
b
).
a
sin2
?
?sin
?
cos
?
. < br>cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
??2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
2tan
?
.
tan2
?
?
2
1?tan
?
49. 三倍角公式
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
?4sin
?
sin(?
?
)sin(?
?
)
.
33
cos3
?
?4cos
3
?
?3cos
?
?4cos
?
cos(?
?
)cos(?
?
)
33
3tan
?
?tan
3
???
tan3
?
??tan
?
tan(?
?
)tan(?
?
)
.
1?3tan
2
?
33
50.三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T?
函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x?k
?
?
51.正弦定理
? ?
??
.
2
?
?
；
?
2
,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T?
?
.
?
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
52.余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
53.面积定理
111
ah
a
?bh
b
?ch< br>c
（
h
a
、h
b
、h
c
分别表示a 、b、c边上的高）.
222
111
（2）
S?absinC?bcsin A?casinB
.
222
1
(|OA|?|OB|)
2
?(OA?OB)
2
. (3)
S
?OAB
?
2
（ 1）
S?
54.三角形内角和定理

7

袁轲教学资料（高中数学）
在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)

?
C
?
A?B
?2C?2
?
?2(A?B)
.
??
222
k
55. 简单的三角方程的通解

sinx?a?x?k
?
?(?1)arcsina(k?Z,|a|?1)
.

cosx?a?x?2k
?
?arccosa(k?Z,|a|?1)
.
tanx?a?x?k
?
?arctana(k?Z,a?R)
.
特别地,有
sin
?
?sin
?
?
?
? k
?
?(?1)
k
?
(k?Z)
.
cos
?
?cos
?
?
?
?2k
?
?
?
(k?Z)
.
tan
?
?tan
?
?
?
?k
?
?
?
(k?Z)
.
56.最简单的三角不等式及其解集

sinx?a(|a|?1)?x?( 2k
?
?arcsina,2k
?
?
?
?arcsina) ,k?Z
.
sinx?a(|a|?1)?x?(2k
?
?
??arcsina,2k
?
?arcsina),k?Z
.
< br>cosx?a(|a|?1)?x?(2k
?
?arccosa,2k
?
?arccosa),k?Z
.

cosx?a(|a|?1)?x?(2 k
?
?arccosa,2k
?
?2
?
?arccosa) ,k?Z
.

tanx?a(a?R)?x?(k
?
?ar ctana,k
?
?
?
2
),k?Z
.
tanx ?a(a?R)?x?(k
?
?
?
2
,k
?
?ar ctana),k?Z
.
57.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积的运算律：
(1)
a
·b= b·
a
（交换律）;
(2)（
?
a
）·b=
?
（
a
·b）=
?
a
·b=
a
·（
?
b）;
(3)（
a
+b）·c=
a
·c +b·c.
59.平面向量基本定理
如果e
1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平 面内的任一向量，有且只有一对实数λ
1
、λ
2
，使得a=λ
1e
1
+λ
2
e
2
．
不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
60．向量平行的坐标表示
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b?
0，则ab(b
?
0)
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.
53.
a
与b的数量积(或内积)
a
·b=|
a
||b|cosθ．
61. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
62.平面向量的坐标运算
(1)设a=
(x
1
,y
1< br>)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a+b=(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(2)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a-b=
(x
1
? x
2
,y
1
?y
2
)
.
( 3)设A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2,y
2
)
,则
AB?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
(4)设a=
(x ,y),
?
?R
，则
?
a=
(
?
x,?
y)
.
(5)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a·b=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)
.
63.两向量的夹角公式

8

袁轲教学资料（高中数学）
cos
?
?
x
1
x
2
?y
1y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2< br>2
2
(
a
=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
).
64.平面两点间的距离公式

d
A,B
=
|AB|?AB?AB

?(x
2?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
).
65.向量的平行与垂直
设a=< br>(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b
?
0，则
A||b
?
b=λa
?x
1
y
2
?x< br>2
y
1
?0
.
a
?
b(a
?0)
?
a
·b=0
?x
1
x
2
?y< br>1
y
2
?0
.
66.线段的定比分公式
设< br>P
1
P
2
的分点,
?
是实数，且
PP
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，
P(x,y)
是线段
P1
?
?
PP
2
，则
x
1
?
?
x
2
OP?
?
OP
2
1?
?

?
OP?
1
y
1
?
?
y
2
1?
?
1?
?
1
（）.
t?
?(1?t)OP
?
OP?tOP
12
1?
?
?
x?
??
?
?
y?
?
?
67.三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、< br>B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐标是
G(
x
1
?x< br>2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
.
33
68.点的平移公式
''
??
?
x?x?h
?
x?x?h
''
?OP?OP?PP
?
?< br> .
?
''
?
y?y?k
?
??
y?y? k
注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形
F
上的对应点为
P(x ,y)
，且
PP
的坐标为
(h,k)
.
69.“按向量平移”的几个结论
（1）点
P(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到点
P(x?h,y?k)
.
(2) 函数
y?f(x)
的图象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,则
C
的函数解析式为
y?f(x?h)?k
.
(3) 图象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C< br>,若
C
的解析式
y?f(x)
,则
C
的函数解析式为
''
''
'
'
'''
'
y?f(x?h)?k.
(4)曲线
C
:
f(x,y)?0
按向量a=
(h ,k)
平移后得到图象
C
,则
C
的方程为
f(x?h,y? k)?0
.
(5) 向量m=
(x,y)
按向量a=
(h,k)< br>平移后得到的向量仍然为m=
(x,y)
.
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为
?ABC
所在平面上一 点，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
，则
（1）
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0
.
（3）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?O C?OC?OA
.
（4）
O
为
?ABC
的内心
? aOA?bOB?cOC?0
.
（5）
O
为
?ABC
的< br>?A
的旁心
?aOA?bOB?cOC
.
71.常用不等式： （1）
a,b?R
?
a?b?2ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．

9
22
222
''

袁轲教学资料（高中数学）
a?b
?ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
2
333
（3）
a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0).

（2）
a,b?R
?
?
（4）柯西不等式
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
,a,b,c,d?R.

（5）
a?b?a?b?a?b
.
72.极值定理
已知
x,y
都是正数，则有
（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值< br>2p
；
（2）若和
x?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值
推广 已知
x,y?R
，则有
(x?y)?(x?y)?2xy

（1）若 积
xy
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|x?y|
最大；
当
|x?y|
最小时,
|x?y|
最小.
（2）若和
|x?y|
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|xy|
最小；
当
|x?y|
最小时,
|xy|
最大.
2
73.一元二次不等式
ax?bx?c?0(或 ?0)(a?0,??b?4ac?0)
，如果
a
与
ax?bx?c
同号，则其解
22
1
2
s
.
4
22
集在 两根之外；如果
a
与
ax?bx?c
异号，则其解集在两根之间.简言之：同 号两根之外，异号两根之间.
x
1
?x?x
2
?(x?x
1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
；
2
x?x
1
,或x?x
2
?(x?x
1
) (x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
.
74.含有绝对值的不等式
当a> 0时，有
x?a?x
2
?a??a?x?a
.
2
x?a?x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
75.无理不等式
（1）
（2）
（3）
?
f(x)?0
?
. f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
.
f(x)? g(x)?
?
g(x)?0
或
?
g(x)?0
?
f (x)?[g(x)]
2
?
?
?
f(x)?0
?
.
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?[g(x)]< br>2
?
76.指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
; ?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?
(2)当
0?a?1
时,

10

袁轲教学资料（高中数学）
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0

?
f(x)?g(x)
?
77.斜率公式
k?
y
2
?y
1
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）.
x
2
?x
1
78.直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直 线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)< br>，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
?
(
y
1
?y
2
)(< br>P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
(4)截距式
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
（3）两点式
79.两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2

①
l
1
||l
2
? k
1
?k
2
,b
1
?b
2
;
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1< br>.
(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,且A
1
、A
2
、B< br>1
、B
2
都不为零,
A
1
B
1
C
1
；
??
A
2
B
2
C
2
②
l
1
?l
2?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
；
①
l
1
||l
2
?
80.夹角公式
k
2
?k
1
|
.
1?k
2
k< br>1
(
l
1
:y?k
1
x?b
1
，< br>l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1< br>k
2
??1
)
AB?A
2
B
1
|
. (2)
tan
?< br>?|
12
A
1
A
2
?B
1
B
2
(1)
tan
?
?|
(
l
1
:A1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A< br>1
A
2
?B
1
B
2
?0
). 直线
l
1
?l
2
时，直线l
1
与l
2
的夹角是
81.
l
1
到
l
2
的角公式
?
.
2
k
2
?k
1
.
1?k
2
k
1
(
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
??1
)
AB?A
2
B
1
(2)
tan
?
?
12
.
A
1
A
2
?B
1
B
2
(1)
tan
?
?
(
l
1
:A
1
x?B
1
y ?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
).
直线
l
1
?l
2
时，直线l
1
到l
2
的角是
82．四种常用直线 系方程

11
?
.
2

袁轲教学资料（高中数学）

(1)定点直线系方程：经 过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程 为
y?y
0
?k(x?x
0
)
(除直线
x?x0
),其中
k
是待定
的系数; 经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
A(x?x
0)?B(y?y
0
)?0
,其中
A,B
是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x? B
2
y?C
2
?0
的交点的直线系方程为
(A
1< br>x?B
1
y?C
1
)?
?
(A
2
x ?B
2
y?C
2
)?0
(除
l
2
)，其中 λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线
y?kx?b
中当斜率k一定而b变 动时，表示平行直线系方程．与直线
Ax?By?C?0
平行的直线系方程是
Ax?B y?
?
?0
(
?
?0
)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线
Ax?By?C?0
(A≠0，B≠0)垂直的直线 系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,λ
是参变量．
83.点到直线的距离
A?B
84.
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域
设直线
l: Ax?By?C?0
，则
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区 域是：
若
B?0
，当
B
与
Ax?By?C
同号时 ，表示直线
l
的上方的区域；当
B
与
Ax?By?C
异号时 ，表示直线
l
的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若
B?0，当
A
与
Ax?By?C
同号时，表示直线
l
的右方的 区域；当
A
与
Ax?By?C
异号时，表示直线
l
的左方的 区域. 简言之,同号在右,异号在左.
85.
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2)?0
或
?0
所表示的平面区域
设曲线
C:(A
1< br>x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
（
A
1
A
2
B
1
B
2
?0
），则
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
22
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By?C?0
).
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2y?C
2
)?0
或
?0
所表示的平面区域是：
(A< br>1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
所表示的平面区域上下两部分；
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2< br>y?C
2
)?0
所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.
22
（2）圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
＞0).
22
222
?
x?a?rcos
?
（3）圆的参数方程
?
.
y?b?rsin
?
?
（4）圆的直径式方程 (x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y< br>2
)?0
(圆的直径的端点是
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
).
87. 圆系方程
(1)过点
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
的圆系方程是
(x?x
1< br>)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)??
[(x?x
1
)(y
1
?y
2
)?(y?y
1
)(x
1
?x
2
)]?0

?(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2)?
?
(ax?by?c)?0
,其中
ax?by?c?0
是直 线
AB
的方程,λ是待定的
系数．
(2)过直线
l
:Ax?By?C?0
与圆
C
:
x?y?Dx?Ey?F?0
的交 点的圆系方程是
22
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
?
(Ax?By?C)?0
,λ是待定的系数．
22
22
(3) 过圆
C
1
:
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与圆
C
2
:
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
的交点的圆系方程是
x
2< br>?y
2
?D
?
(
2
x?
2
y?Dx ?
2
Ey?)?
,λ是待定的系数．
1
x?E
1
y?F
1
?
22
F0
88.点与圆的位置关系
点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种
若
d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
，则
22
222
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点< br>P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
89.直线与圆的位置关系

12

袁轲教学资料（高中数学）
直线
Ax?By?C?0
与圆< br>(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
222
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
其中
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
.
90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
，O
2，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
91.圆的切线方程
(1)已知圆
x?y?Dx?Ey?F?0
．
①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上，则切线只有一条， 其方程是
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
? ?F?0
.
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0
x?y
0
y???F?0
表示过两个切点的切点弦方程．
22< br>②过圆外一点的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)< br>，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不

x
0
x?y
0
y?
要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆
x?y?r
．
2
①过圆上的
P
0< br>(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
;
222
②斜率为
k
的圆的切 线方程为
y?kx?r1?k
2
.
?
x?acos
?x
2
y
2
92.椭圆
2
?
2
?1(a ?b?0)
的参数方程是
?
.
ab
y?bsin
?
?
x
2
y
2
93.椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
焦半径公式
ab
a
2
a
2
PF
1
?e(x?)
，
PF
2
?e(?x)
.
cc
94．椭圆的的内外部
x
2
y
2
（1）点< br>P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2< br>?1(a?b?0)
的内部
?
ab
x
2
y
2
（2）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2?
2
?1(a?b?0)
的外部
?
ab
95. 椭圆的切线方程
22
x
0
y
0
??1
. a
2
b
2
22
x
0
y
0
?< br>2
?1
.
2
ab
x
2
y
2
xxyy
(1)椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上一点< br>P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
0
2?
0
2
?1
.
ab
ab

13

袁轲教学资料（高中数学）
x
2
y
2
（2）过椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
外一点
P(x0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
ab
x0
xy
0
y
?
2
?1
.
a
2
b
x
2
y
2
22222
（3）椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
与直线
Ax?By? C?0
相切的条件是
Aa?Bb?c
.
ab
x
2
y
2
96.双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的焦半径公式
ab
a
2
a
2
PF
1
?| e(x?)|
，
PF
2
?|e(?x)|
.
cc
97.双曲线的内外部
x
2
y
2
(1)点< br>P(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的内部
?
ab
x
2
y2
(2)点
P(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的外部
?
ab
9 8.双曲线的方程与渐近线方程的关系
22
x
0
y
0
?
2
?1
.
2
ab
22
x
0
y
0
??1
.
a
2
b
2
x
2
y
2
x
2
y
2
b
(1）若双曲线方程为
2
?
2
?1
?
渐近线方程：
2
?
2
?0?
y??x
.
ab
ab
a
x
2
y
2
xy
b (2)若渐近线方程为
y??x
?
??0
?
双曲线可设 为
2
?
2
??
.
ab
ab
a
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线 与
2
?
2
?1
有公共渐近线，可设为
2
?
2
??
（
??0
，焦点在x轴上，
??0
，焦点在
abab
y轴上）.
99. 双曲线的切线方程
x
2
y
2
xxyy
(1)双曲线
2
?< br>2
?1(a?0,b?0)
上一点
P(x
0
,y
0< br>)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
（2）过双曲线< br>2
?
2
?1(a?0,b?0)
外一点
P(x
0,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
ab
x
0xy
0
y
?
2
?1
.
a
2
b
x
2
y
2
22222
（3）双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
与直线
Ax? By?C?0
相切的条件是
Aa?Bb?c
.
ab
2
100. 抛物线
y?2px
的焦半径公式
p2
抛物线
y?2px(p?0)
焦半径
CF?x
0
?< br>.
2
pp
过焦点弦长
CD?x
1
??x
2
??x
1
?x
2
?p
.
22
2
y
?
2
101.抛物线
y?2px
上的动点可设为P
(,y
?
)
或
P(2pt
2
,2pt)或
P
(x,y)
，其中
y
2
?2px
.
2pb
2
4ac?b
2
2
)?
(a?0)
的图象是 抛物线：102.二次函数
y?ax?bx?c?a(x?
（1）顶点坐标为
2a4a
b4ac?b
2
b4ac?b
2
?14ac?b
2
?1
(?,)
；
,)
；（2）焦点的坐标为
(?
（3）准线 方程是
y?
.
2a4a2a4a4a

14

袁轲教学资料（高中数学）
103.抛物线的内外部
2
( 1)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y?2px(p ?0)
的内部
?y?2px(p?0)
.
2
点
P(x0
,y
0
)
在抛物线
y?2px(p?0)
的外部?y?2px(p?0)
.
2
2
(2)点
P(x
0< br>,y
0
)
在抛物线
y??2px(p?0)
的内部
? y??2px(p?0)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y??2px(p?0)
的外部
?y??2px(p?0)
.
(3)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x?2py(p?0)
的内部
?x?2py(p?0)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x?2py(p?0)
的外部
?x?2py(p?0)
.
(4) 点
P(x
0
,y0
)
在抛物线
x?2py(p?0)
的内部
?x?2py(p? 0)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线< br>x??2py(p?0)
的外部
?x??2py(p?0)
.
104. 抛物线的切线方程
(1)抛物线
y?2px
上一点
P( x
0
,y
0
)
处的切线方程是
y
0
y?p (x?x
0
)
.
2
（2）过抛物线
y?2px外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
.
2
22
22
22
22
22
22
（3 ）抛物线
y?2px(p?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是pB?2AC
.
105.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线
f1
(x,y)?0
,
f
2
(x,y)?0
的交点的曲线 系方程是
22
f
1
(x,y)?
?
f
2
(x,y)?0
(
?
为参数).
x
2
y
2
?
2
?1
,其中
k?max{a
2
,b
2
}
.当
k?min{a
2
,b
2
}
时,表示椭( 2)共焦点的有心圆锥曲线系方程
2
a?kb?k
2222
圆; 当
min{a,b}?k?max{a,b}
时,表示双曲线.
106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?(x
1
?x
2)
2
?(y
1
?y
2
)
2
或
AB?(1?k
2
)(x
2
?x
1
)
2
?|x
1
?x
2
|1?tan
2
?
?|y
1
?y
2
|1?cot
2
?
（弦端点A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，由< br>方程
?
?
y?kx?b
2
消去y得到
ax?bx? c?0
，
??0
,
?
为直线
AB
的倾斜角，
k
为直线的斜率）.
?
F(x,y)?0
107.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线
F(x,y)?0
关于点
P(x
0
,y
0
)
成中心 对称的曲线是
F(2x
0
-x,2y
0
?y)?0
. （2）曲线
F(x,y)?0
关于直线
Ax?By?C?0
成轴对称的曲 线是
F(x?
2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C)
,y?)?0
.
A
2
?B
2
A
2
?B
2
222< br>108.“四线”一方程
2
对于一般的二次曲线
Ax?Bxy?Cy? Dx?Ey?F?0
，用
x
0
x
代
x
，用
y
0
y
代
y
，用
x
0
y?xy
0
代
xy
，
2
用
x
0
?xy?y
代
x
，用
0
代
y
即得方程
22
xy?xy
0
x?xy?y
Ax
0
x?B?
0
?Cy
0
y?D?
0
?E?
0
?F?0
，曲线的切线，切点弦，中 点弦，弦中点方程均是
222
此方程得到.
109．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.

15

袁轲教学资料（高中数学）
110．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
111．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.
112．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
114．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直.
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向 量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的
对角线所表示的向量.
117.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b
?
存在实数λ使a=λb．
P、A、B
三点共线
?AP||AB
?
AP?tAB
?
OP?(1?t)OA?tOB
.
AB||CD
?
AB
、
CD
共线且
AB、CD
不共线
?
AB?tCD
且
AB、CD
不共线.
118.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的
?
存在实 数对
x,y
,使
p?ax?by
．
推论 空间一点P位于平面M AB内的
?
存在有序实数对
x,y
,使
MP?xMA?yMB
，
或对空间任一定点O，有序实数对
x,y
，使
OP?OM?xMA?y MB
.
119.对空间任一点
O
和不共线的三点A、B、C，满足
OP?xOA?yOB?zOC
（
x?y?z?k
），则当
k?1
时 ，对于空间任一点
O
，总有P、A、B、C四点共面；当
k?1
时，若
O?
平面ABC，则P、A、B、C四点共面；
若
O?
平面ABC，则P、 A、B、C四点不共面．
A、B、 C、D
四点共面
?
AD
与< br>AB
、
AC
共面
?
AD?xAB?yAC
?

OD?(1?x?y)OA?xOB?yOC
（
O?
平面ABC）.
120.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存 在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋
yb＋zc．
推论 设O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使
OP?xOA?yOB ?zOC
.
121.射影公式

16

袁轲教学资料（高中数学）
已知向量
AB
=
a和轴
l
，e是
l
上与
l
同方向的单位向量.作A点在< br>l
上的射影
A
'
，作B点在
l
上的射影
B< br>'
，
则
A
'
B
'
?|AB|cos
〈
a
，e〉=
a
·e
122.向量的直角坐标运算
设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3
)，b＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
则 < br>(1)
a
＋b＝
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
；
( 2)
a
－b＝
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
；
(3)λ< br>a
＝
(
?
a
1
,
?
a
2< br>,
?
a
3
)
(λ∈R)；
(4)
a·b＝
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
；
123.设A
(x
1
,y
1
,z
1
)
，B
(x
2
,y
2< br>,z
2
)
，则
AB?OB?OA
=
(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
,z
2
? z
1
)
.
124．空间的线线平行或垂直
rr
设
a?(x
1
,y
1
,z
1
)
，
b?(x
2
,y
2
,z
2
)
，则
?
x< br>1
?
?
x
2
rrrr
rr
?
aPb
?
a?
?
b(b?0)
?
?
y
1
?
?
y
2
；
?
z?
?
z
2?
1
rrrr
a?b
?
a?b?0
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z< br>2
?0
.
125.夹角公式
设
a
＝
( a
1
,a
2
,a
3
)
，b＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
，则
cos〈
a，b〉=
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a?a?a
2
1
2
2
2
3
b?b?b
2222
推论
(a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
)? (a?a?a)(b
1
?b
2
?b
3
)
，此即三维 柯西不等式.
2
1
2
1
2
2
2
2
2
3
2
3
.
126. 四面体的对棱所成的角
四面体
ABCD
中,
AC
与
BD
所成的角为
?
,则
|(AB
2
?CD
2
)?(BC
2
?DA
2
)|
c os
?
?
.
2AC?BD
rr
cos
?
?|cosa,b|

rr
|x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
|
|a?b|
r?
=
r

222222
|a|?|b|
x
1
?y
1
?z1
?x
2
?y
2
?z
2
rr
oob
所成角，
a,b
分别表示异面直线
a,b
的方向向量） （其 中
?
（
0?
?
?90
）为异面直线
a,
1 28.直线
AB
与平面所成角
AB?m
(
m
为平面
?
的法向量).
?
?arcsin
|AB||m|
129.若
?ABC
所在平面若
?< br>与过若
AB
的平面
?
成的角
?
,另两边
AC
,
BC
与平面
?
成的角分别是
?
1
、127．异面直线所成角
?
2
,
A、B
为
?ABC
的两个内角，则
sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?(si n
2
A?sin
2
B)sin
2
?
.
特别地,当
?ACB?90
时,有

17

袁轲教学资料（高中数学）
sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?sin
2
?
.
130 .若
?ABC
所在平面若
?
与过若
AB
的平面
?< br>成的角
?
,另两边
AC
,
BC
与平面
?成的角分别是
?
1
、
?
2
,
A
'、B
'
为
?ABO
的两个内角，则
tan
2
?
1
?tan
2
?
2
?(sin
2
A'
?sin
2
B
'
)tan
2
?
.
特别地,当
?AOB?90
时,有
sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?sin
2
?
.
131.二面角
?
?l?
?
的平面角
?
?arc cos
m?nm?n
或
?
?arccos
（
m
，< br>n
为平面
?
，
?
的法向量）.
|m||n||m||n|
132.三余弦定理
设AC是α内的任一条直线，且BC ⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为
?
1
，AB与AC所成的角为
?
2
，
AO与AC所成的角为
?
．则
cos
??cos
?
1
cos
?
2
.
133. 三射线定理
若夹在平面角为
?
的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是< br>?
1
,
?
2
,与二面角的棱所成的角是
2222θ，则有
sin
?
sin
?
?sin
?
1?sin
?
2
?2sin
?
1
sin
?
2
cos
?

|
?
1
?
?
2
|?
?
?180?(
?
1
?
?
2
)
(当且仅当
?
?90
时等号成立).
134.空间两点间的距离公式
若A
(x
1
,y
1,z
1
)
，B
(x
2
,y
2
,z2
)
，则
AB?AB
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2
.
135.点
Q
到直线
l
距离
1
h?(|a||b |)
2
?(a?b)
2
(点
P
在直线
l
上 ，直线
l
的方向向量a=
PA
，向量b=
PQ
).
|a|

d
A,B
=
|AB|?
136.异面直线间的距离
|C D?n|
(
l
1
,l
2
是两异面直线，其公垂向量为
n
，
C、D
分别是
l
1
,l
2
上任一点 ，
d
为
l
1
,l
2
间的距离).
|n|
137.点
B
到平面
?
的距离
|AB? n|
（
n
为平面
?
的法向量，
AB
是经过面
?
的一条斜线，
A?
?
）.
d?
|n|
d?
138.异面直线上两点距离公式
d?h
2
?m
2
?n
2
2mncos
?
.
d ?h
2
?m
2
?n
2
?2mncosEA
'
,AF
.
d?h
2
?m
2
?n
2
?2 mncos
?
（
?
?E?AA
'
?F
）.
(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段
AA
的长度为h.在直线a、b上 分别取两点E、F，
'
A
'
E?m
,
AF?n
,< br>EF?d
).
139.三个向量和的平方公式

(a?b?c)
2
?a?b?c?2a?b?2b?c?2c?a

222
222
?a?b?c?2|a|?|b|cosa,b?2|b|?|c|cosb,c ?2|c|?|a|cosc,a

140. 长度为
l
的线段在三条两两互 相垂直的直线上的射影长分别为
l
1
、l
2
、l
3
，夹角分别为
?
1
、
?
2
、
?
3
,则
有

18

袁轲教学资料（高中数学）
l< br>2
?l
1
2
?l
2
2
?l
3
2
?cos
2
?
1
?cos
2
?
2?cos
2
?
3
?1
?sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?sin
2
?
3
?2
.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
141. 面积射影定理
S
'
S?
.
cos
?
(平面多边形及其射影的面 积分别是
S
、
S
，它们所在平面所成锐二面角的为
?
).
142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是
l
,侧面积和体积分别是
S
斜棱柱侧
和
V
斜棱柱
,它的直截面的周长和面积分别是< br>c
1
和
S
1
,
则
①
S
斜棱柱侧
?c
1
l
.
②
V
斜棱柱
?S
1
l
.
143．作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.
144．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相 似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面
距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的 多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应
边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比 等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．
145.欧拉定理(欧拉公式)
V?F?E?2
(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
（1）
E< br>=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为
n
的多边形，则面数F与棱数E 的关系：
'
1
E?nF
；
2
（2）若每个顶点引出的棱数 为
m
，则顶点数V与棱数E的关系：
E?
146.球的半径是R，则
1
mV
.
2
4
3
?
R
,
3
2
其表面积
S?4
?
R
．
其体积
V?
147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球
的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为
a
的正四面体的内切球的半径为
148．柱体、锥体的体积
66
a
,外接球的半径为
a
.
124
1
V
柱体
?Sh
（
S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高 ）.
3
1
V
锥体
?Sh
（
S
是锥体的底 面积、
h
是锥体的高）.
3
149.分类计数原理（加法原理）
N?m
1
?m
2
??m
n
.
150.分步计数原理（乘法原理）
N?m
1
?m
2
??m
n
.
151.排列数公式

19

袁轲教学资料（高中数学）
A
n
m
=
n(n?1)?(n?m?1)
=
注:规 定
0!?1
.
152.排列恒等式
mm?1
(1）
A
n
?(n?m?1)A
n
; < br>n！
*
.(
n
，
m
∈N，且
m?n
)．
(n?m)！
n
m
A
n?1
;
n?mmm?1
（3）
A
n
?nA
n?1
;
（2 ）
A
n
?
m
nn?1n
（4）
nA
n?A
n?1
?A
n
;
mmm?1
（5）
A< br>n?1
?A
n
?mA
n
.
(6)
1!?2?2!?3?3!?
153.组合数公式
m
n
?n?n!?(n?1)!?1
.
n！
A
n
m
n(n?1)
?
(n?m?1)
*
C
=
m
==(
n
∈N，
m?N
，且
m?n
).
m！?(n?m)！
1?2?
?
?m
A
m
154.组合数 的两个性质
(1)
C
n
=
C
n
m
mn?m

=
C
n?1
.
m
(2) C
n
+
C
n
m?1
0
注:规定
Cn
?1
.
155.组合恒等式
n?m?1
m?1
C
n
;
m
n
mm（2）
C
n
?C
n?1
;
n?m
n
m?1m
（3）
C
n
?C
n?1
;
m
（1）
C
n
?
m
（4）
?
C
r?0
r
r
n
r
n
=
2
; n
rrrr?1
（5）
C?C
r?1
?C
r?2
???C
n
?C
n?1
.
012rnn
(6)
C
n
?C
n
?C
n
???C
n
???C< br>n
?2
.
135024n?1
(7)
C
n
?C
n
?C
n
???C
n
?C
n
?Cn
??2
.
123nn?1
(8)
C
n
? 2C
n
?3C
n
???nC
n
?n2
.
r0r?110rrr
(9)
C
m
C
n
?C
mC
n
?
?
?C
m
C
n
?C
m ?n
.
021222n2n
(10)
(C
n
)?(Cn
)?(C
n
)???(C
n
)?C
2n
.
156.排列数与组合数的关系
mm
A
n
?m！?C
n
.
157．单条件排列
以下各条的大前提是从
n
个元素中取
m
个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”

20

袁轲教学资料（高中数学）
mm?1
m?11m?1
①某（ 特）元必在某位有
A
n?1
种；②某（特）元不在某位有
A
n
?A
n?1
（补集思想）
?A
n?1
A
n?1
（ 着眼位
m1m?1
置）
?A
n?1
?A
m?1
A< br>n?1
（着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴 ：
k(k?m?n)
个元在固定位的排列有
A
k
A
n?k< br>种.
②浮动紧贴：
n
个元素的全排列把k个元排在一起的排法有
A< br>n?k?1
A
k
种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分 别有k、h个（
k?h?1
），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有
A
h
A
h?1
种.
（3）两组元素各相同的插空
m
个大球
n
个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
n< br>A
m
n
?1
当
n?m?1
时，无解；当
n? m?1
时，有
n
?C
m?1
种排法.
A
n
hk
n?k?1k
km?k
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各 组元素分别相同的排列数为
C
m?n
.
158．分配问题
（1） (平均分组有归属问题)将相异的
m
、
n
个物件等分给
m
个 人，各得
n
件，其分配方法数共有
n
(mn)!
.
m(n!)
（2）(平均分组无归属问题)将相异的
m
·
n
个物体 等分为无记号或无顺序的
m
堆，其分配方法数共有
nnnnn
C
m n
?C
mn
(mn)!
?n
?C
mn?2n
... ?C
2n
?C
n
N??
.
m!m!(n!)
m< br>（3）(非平均分组有归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
++n
m
)
个物体分给
m
个人，物件必须被分完，分别得
nnnnn
N?C
mn
?C
mn?n
?C
mn?2n
?
?
?C
2n
?C
n
?
到
n
1
，
n
2
，…，
n
m
件，且
n
1< br>，
n
2
，…，
n
m
这
m
个数彼此不 相等，则其分配方法数共有
n
m
n
1
n
2
N?C< br>p
?C
p?n
1
...C
n
m
?m!?p!m!
.
n
1
!n
2
!...n
m
!
（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
++n
m
)
个物体分给
m
个人，物件必须被分完，分< br>别得到
n
1
，
n
2
，…，
n
m件，且
n
1
，
n
2
，…，
n
m
这
m
个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有
N?
+nm
)
个物体分为任意的
n
1
，
n
2
， …，
n
m
件无记号
p!
的
m
堆，且
n1
，
n
2
，…，
n
m
这
m
个 数彼此不相等，则其分配方法数有
N?
.
n
1
!n
2!...n
m
!
（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的
P(P= n
1
+n
2
+
p!m!
.
a!b!c!...< br>n
1
!n
2
!...n
m
!(a!b!c!...)
（5）(非平均分组无归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2+

?
n
m
n
1
n
2
Cp
?C
p?n
1
...C
n
m
?m!
+n
m
)
个物体分为任意的
n
1
，
n
2< br>，…，
n
m
件无
记号的
m
堆，且
n
1
，
n
2
，…，
n
m
这
m
个数中 分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有
N?
p!
.
n
1
!n
2
!...n
m
!(a!b!c!...)
+n
m
）个物体分给甲、乙、丙，……等
m
个人，物（7）(限定分组有归属问题)将相 异的
p
（
p?n
1
+n
2
+
异或不全相异 其分配方法数恒有
n
m
n
1
n
2
N?C
p
?C
p?n
1
...C
n
m
?
体必须被 分完，如果指定甲得
n
1
件，乙得
n
2
件，丙得
n
3
件，…时，则无论
n
1
，
n
2
，…，< br>n
m
等
m
个数是否全相
p!
.
n
1
!n
2
!...n
m
!
159．“错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信
n
封信与
n
个信封全部错位的组合数为

21

袁轲教学资料（高中数学）
1111
????(?1)
n
]
.
2!3!4!n!
推广:
n
个元素与
n
个位置,其中至少 有
m
个元素错位的不同组合总数为
f(n)?n![
1234
f( n,m)?n!?C
m
(n?1)!?C
m
(n?2)!?C
m(n?3)!?C
m
(n?4)!
??(?1)C(n?p)!?
pp< br>m
?(?1)C(n?m)!
p
C
m
?(?1)
p< br>?
A
n
p
mm
m

1234
Cm
C
m
C
m
C
m
?n![1?
1?
2
?
2
?
4
?
A
n
An
A
n
A
n
m
C
m
?(?1)
m
]
.
A
n
m
160．不定方程
x
1
+x
2
+
(1)方程
x
1
+x
2
+
(2) 方程
x
1
+x
2
+
(3) 方程
x
1
+x
2
+
n?1
个.
C
m?1
?(n?2)(k?1)
+x
n
?m
的解的个数
n?1
+x
n
?m
（
n,m?N
?
）的正整数解有
C
m
个.
?1
1
+x
n
?m
（
n,m?N
?
）的非负整数解有
C
n
n
?
?
个.
m?1
?
?< br>n,m?N
+x?m
（）满足条件
x
i
?k
(
k?N
,
2?i?n?1
)的非负整数解有
n
(4) 方程
x
1
+x
2
+
?
?
+x
（
n, m?N
）满足条件
x
i
?k
(
k?N
,
2 ?i?n?1
)的正整数解有
n
?m
11n?12n?1
C
n
n
?
?
?CC?CC?
m?1n?2m?n?k?2n?2m?n ?2k?3
2n?1
?(?1)
n?2
C
n
n
?< br>?
C
m?1?(n?2)k
个.
2
n0n1n?12n?22rn?rrnn
161.二项式定理
(a?b )?C
n
a?C
n
ab?C
n
ab?
?
? C
n
ab?
?
?C
n
b

二项展开式的通项公式
rn?rr
T
r?1
?C
n
ab
(r?0，1，2?，n)
.
162.等可能性事件的概率
P(A)?
m
.
n
163.互斥事件A，B分别发生的概率的和
P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
164.
n
个互斥事件分别发生的概率的和
P(A
1
＋A
2
＋…＋A
n
)=P(A
1
)＋P(A
2
)＋…＋P(A
n
)．
165.独立事件A，B同时发生的概率
P(A·B)= P(A)·P(B).
166.n个独立事件同时发生的概率
P(A
1
· A
2
·…· A
n
)=P(A
1
)· P(A
2
)·…· P(A
n
)．
167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
k k
P
n
(k)?C
n
P(1?P)
n?k
.

168.离散型随机变量的分布列的两个性质
)
; （1）
P
i
?0(i?1,2,
（2）
P
1
?P
2
?
169.数学期望
?1
.
?x
n
P
n
?

E
?
?x
1
P
1
?x
2
P
2
?
170.数学期望 的性质
（1）
E(a
?
?b)?aE(
?
)?b
. （2）若
?
～
B(n,p)
,则
E
?
?np< br>.
(3)

若
?
服从几何分布,且
P(
?
?k)?g(k,p)?q
171.方差

22
k?1
p
，则
E
?
?
1
.

p

袁轲教学资料（高中数学）
D
?
?
?< br>x
1
?E
?
?
?p
1
?
?
x
2
?E
?
?
?p
2
?
172.标准差
22
?
?
x
n
?E
?
?
?pn
?
2

??
=
D
?
.
173.方差的性质
(1)
D
?
a
?
?b
?
?a
2
D
?
；
(2）若
?
～
B(n,p)
，则
D
?
?np(1?p)
.
(3)
若
?
服从几何分布,且
P(
?
?k)?g (k,p)?q
k?1
p
，则
D
?
?
q
.

p
2
174.方差与期望的关系
D
?
?E?
2
?
?
E
?
?
.
175.正态分布密度函数
2
f
?
x
?
?
1
e
2
?
6
?
?
x?
?
?2
26
2
,x?
?
??,??
?
，式中的实数 μ，
?
（
?
>0）是参数，分别表示个体的平均数与标
准差.
176.标准正态分布密度函数
x
?
1
f
?
x< br>?
?e
2
,x?
?
??,??
?
.
2
?
6
2
177.对于
N(
?
,
?)
，取值小于x的概率
?
x?
?
?
F
?x
?
??
??
.
?
?
?
P
?
x
1
?x
0
?x
2
?
?P
?< br>x?x
2
?
?P
?
x?x
1
?
< br>2
?F
?
x
2
?
?F
?
x
1
?

?
x?
?
??
x
1
??
?
??
?
2
??
???
.

?
?
??
?
?
178.回归直线方程
nn< br>?
?
x
i
?x
??
y
i
?y
?
?
x
i
y
i
?nxy
?
?
?
b?
i?1
n
?
i?1
n
2
y?a?bx
，其中
?
22
.
x?xx?nx
??
??
ii
?
i?1i?1
?
?
a?y?bx
179.相关系数

r?
?
?
x?x
??
y?y
?
ii
i?1
n
?
(x?x)
?
(y?y)
2
ii
i?1i?1
nn

?
2
?
?
x? x
??
y?y
?
ii
i?1
n
(
?
x
i
2
?nx
2
)(
?
y
i
2
?ny
2
)
i?1i?1
nn
.
|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.
180.特殊数列的极限
?
0
?
n
（1）
li mq?
?
1
n??
?
不存在
?
|q|?1
q?1
|q|?1或q??1
.

23

袁轲教学资料（高中数学）
?
0(k?t)
?
a< br>k
n
k
?a
k?1
n
k?1
??a
0
?
a
t
（2）
lim?
?
(k?t)
.
n??
bn
t
?bn
t?1
??bb
tt?10< br>?
k
?
不存在 (k?t)
?
（3）
S?lima
1
1?q
n
??
?
a
1
n?1（
S
无穷等比数列
a
1
q
?
(
|q|?1
)的和）
.
?
n??
1?q1?q
181. 函数的极限定理
x
li m
?x
f(x)?a
?
lim
0
x?x
0
?
f(x)?
x
lim
?x
?
f(x)?a
.
0
182.函数的夹逼性定理
如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x
0
的附近满足：
（1）
g(x)?f(x)?h(x)
;
（2）
lim
x?x
g(x)?a,limh(x)?a
（常数）,
0
x?x
0
则
lim
x?x
f(x)?a
.
0
本定理对于单侧极限和
x??
的情况仍然成立.
183.几个常用极限
（1）
lim
1
n??
n
?0
，
lim
n??
a
n
?0
（
|a|? 1
）；
（2）
lim
x?x
x?x
11
0
，
lim
0
x?x
?
x
.
0
x
0
184.两个重要的极限
（1）
lim
sinx
x?0
x
?1
；
（2）
lim
?
x??
?
?
1?
1
?x
x
?
?
?e
(e=2.718281845…).
185.函数极限的四则运算法则
若
lim
x?x
f(x)?a
，
limg(x)?b
，则
0
x?x
0
(1)< br>lim
x?x
?
?
f
?
x
?
?g< br>?
x
?
?
?
?a?b
；
0
(2)
lim
x?x
?
0
?
f
?
x
?< br>?g
?
x
?
?
?
?a?b
;
(3 )
lim
f
?
x
?
x?x
g
?
x
?
?
a
b
?
b?0
?
.
0
186.数列极限的四则运算法则
若
lim
n??
a
n
?a,lim
n??
b
n
?b
，则
( 1)
lim
n??
?
a
n
?b
n
?
?a?b
；
(2)
lim
n??
?
a
n
?b
n
?
?a?b
；
(3)
lim
a
n
n??
b
?
a
?
b?0
?

n
b
(4)
n
lim
??
?
c?a
n
?
?
n
lim
??
c?
n
lim
??< br>a
n
?c?a
( c是常数).
187.
f(x)
在
x
0
处的导数（或变化率或微商）

24

袁轲教学资料（高中数学）
f
?
(x
0
)?y
?
x?x
0
?lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
188.瞬时速度 < br>?
?s
?
(t)?lim
a?v
?
(t)?lim< br>?ss(t??t)?s(t)
.
?lim
?t?0
?t
?t?0
?t
189.瞬时加速度
?vv(t??t)?v(t)
.
?lim
?t?0
?t
?t?0
?t
190.
f(x)
在
(a,b)
的导数
dydf?yf(x??x)?f(x)
.
f
?
(x)?y
?
???lim?lim
?x?0?x?0
dxdx?x?x
191. 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义
函数y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f
?
(x
0
)
，相应的切线方程
是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
192.几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
（C为常数）.
'n?1
(2)
(x
n
)?nx(n?Q)
.
(3)
(sinx)
?
?cosx
.
(4)
(cosx)
?
??sinx
.
(5)
(l nx)
?
?
11
e
x
；
(loga)
?< br>?log
a
.
xx
xxxx
(6)
(e)
?
?e
;
(a)
?
?alna
.
（1）
(u?v)?u?v
.
（2）
(uv)?uv?uv
.
'''
'''
193.导数的运算法则
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
. （3）
()?
vv
2
194.复合函数的求导法则
''
''
设函数
u?
?
(x)
在点
x
处有导数
u
x
?
?
(x)
，函数
y?f(u)
在点
x
处的对应点U处有导数
y
u
?f(u)
，则
''''' '
复合函数
y?f(
?
(x))
在点
x
处有导数， 且
y
x
?y
u
?u
x
，或写作
f
x
(
?
(x))?f(u)
?
(x)
.
195.常用的近似计算公式（当
x
充小时）
1
n
1
x
;
1?x?1?x
；
2n
1
?
?1?x
； (2)
(1?x)?1?
?
x(
?
?R)
；
1?x
x
(3)
e?1?x
；
(4)
l
n
(1?x)?x
；
(5)
sinx?x
（
x
为弧度）；
(6)
tanx?x
（
x
为弧度）；
(7)
arctanx?x
（
x
为弧度）
196.判别
f(x
0
)
是极大（小）值的方法
(1)< br>1?x?1?
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时，
（1）如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是极大值；

25

袁轲教学资料（高中数学）
（2） 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是极小值.
197.复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d
.（
a,b,c,d?R
）
198.复数
z?a?bi
的模（或绝对值）
|z|
=
| a?bi|
=
a
2
?b
2
.
199.复数的四则运算法则
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
(4)
(a?bi)?(c?di)?
ac?bdbc?ad
?
2
i (c?di?0)
.
222
c?dc?d
200.复数的乘法的运算律 < br>对于任何
z
1
,z
2
,z
3
?C
， 有
交换律:
z
1
?z
2
?z
2
?z1
.
结合律:
(z
1
?z
2
)?z
3
?z
1
?(z
2
?z
3
)
.
分配律:
z
1
?(z
2
?z
3
)?z
1< br>?z
2
?z
1
?z
3
.
201.复平面上的两点间的距离公式
d?|z
1
?z
2
|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y< br>1
)
2
（
z
1
?x
1
?y
1
i
，
z
2
?x
2
?y
2
i）.
202.向量的垂直
非零复数
z
1
?a?b i
，
z
2
?c?di
对应的向量分别是
OZ
1，
OZ
2
，则

OZ
1
?OZ
2
?
z
1
?z
2
的实部为零
?
z
2
222
为纯虚数
?
|z
1
?z
2
|?| z
1
|?|z
2
|

z
1
?
|z
1
?z
2
|
2
?|z
1
|
2?|z
2
|
2
?
|z
1
?z
2
|?|z
1
?z
2
|
?
ac?bd?0
?
z
1
?
?
iz
2

(λ为非零实数).
203.实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程
ax?bx?c?0
，
2
?b?b
2
?4ac
①若
??b?4ac?0
,则
x
1,2
?
;
2a
b
2
②若
??b?4ac?0
,则
x
1
?x
2
??
;
2a
2
③若
??b?4ac?0
，它在实数集
R
内没有实数根；在复数集
C
内 有且仅有两个共轭复数根
2
?b??(b
2
?4ac)i
2
x?(b?4ac?0)
.
2a


高中数学知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如：集合A?
?
x|y?lgx
?
，B?
?
y|y ?lgx
?
，C?
?
(x,y)|y?lgx
?
，A、B、 C

中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

26

袁轲教学资料（高中数学）
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A?x|x
2
?2x?3?0，B?
?
x|ax?1
?


若B?A，则实数a的值构成的集合为

（答：
?
?1，0，
?
）

3. 注意下列性质：

（1）集合a
1
，a
2
，……， a
n
的所有子集的个数是2
n
；


（2）若A?B?A?B?A，A?B?B；

（3）德摩根定律：


??
?
?
1
?
3
?< br>??
C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?
，
C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A< br>?
?
?
C
U
B
?

ax?5
?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a

x
2
?a
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于x的不等式
的取值范围。
（∵3?M，∴

a·3?5
?0
3
2
?a
a·5?5
?0
2
5?a
5
??
?a?
?
1，
?
?
?
9，25
?
）

3
?
?
∵5?M，∴

5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和

“非”(?).


若p?q为真，当且仅当p、q均为真


若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真


若?p为真，当且仅当p为假

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f： A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几
种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

27

袁轲教学资料（高中数学）
y?

例：函数
x
?
4?x
?
lg
?
x?3
?
2
的定义域是


（答：0，2?2，3?3，4）

10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，b??a ?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定

义域是_____________。

（答：a，?a）

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

如：f

令t?
??????
??
??
?< br>2
x?1?e
x
?x，求f(x).

x?1，则t?0

?

∴x?t?1


∴f(t)?e
t
2
?1
?t
2
?1

?x
2
?1
?
x?0
?

∴f(x)?e
x
2
?1
12. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
?
?
1?x

如：求函数f(x)?
?
2
?
?
?x
?1
?
x?0
?
的反函数

?
x?0
?
?
?< br>x?1
?
x?1
?
f(x)?
?
）

（答：
?
?
??x
?
x?0
?
13. 反函数的性质有哪些？
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A，b?C，则f(a)=b?f(b)?a


?f
?1
?1
?
f(a)
?
?f
?1
(b)?a，f
?
f
?1
(b)
?
? f(a)?b

14. 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？

（y?f (u)，u??(x)，则y?f
?
?(x)
?
（外层）（内层）


28