高中文科数学公式大全(精华版)-2

精选
高中数学公式及知识点速记

一、函数、导数
1、函数的单调性
(1)设
x
1
、x
2
?[a, b],x
1
?x
2
那么
f(x
1
)?f(x2
)?0?f(x)在[a,b]
上是增函数；
f(x
1
)?f (x
2
)?0?f(x)在[a,b]
上是减函数.
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，若
f
?
(x)?0
，则
f (x)
为增函数；若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为减
函数.
2、函数的奇偶性
对于定义域内任意的
x
，都有f(?x)?f(x)
，则
f(x)
是偶函数；
对于定义域内任意的< br>x
，都有
f(?x)??f(x)
，则
f(x)
是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
3、函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x )
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率f
?
(x
0
)
，相应的切线方
程是
y?y0
?f
?
(
x
0
)(
x?x
0
)
.
b4ac?b
2
b4ac?b
2
?1
,)
；
,)

*二次函数： （1）顶点坐标为
(?
（2） 焦点的坐标为
(?
2a4a
2a4a
n'n?1''
'
4、 几种常见函数的导数①
C
?0
；②
(x)?nx
； ③
(sinx)?cosx
；④
(cosx)??sinx
；
1< br>1
x'xx'x
'
'
⑤
(
a
)?
a
ln
a
；⑥
(e)?e
； ⑦
(log
a
x)?
；⑧
(lnx)?

x
xlna
u
'
u
'
v?uv
'
''''''(v?0)
. 5、导数的运算法则（1）
(u?v)?u?v
. （2）
(uv)?uv?uv
. （3）
()?
vv
2
6 、7、求函数
y?f
?
x
?
的极值的方法是：解方程
f?
?
x
?
?0
．当
f
?
?
x
0
?
?0
时：
(1) 如果在
x
0
附近 的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0< br>?
是极大值；
(2) 如果在
x
0
附近的左侧
f< br>?
?
x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是 极小值．
(1)
a
(2)
a
m
n
?
n< br>a
m
（
a?0,m,n?N
?
，且
n?1
） .
?
m
n
?
1
a
m
n
?
1
n
a
m
（
a?0,m,n?N
，且
n?1）.
?

．根式的性质
n
n
n
n
n
（1）
(
n
a
)
?a
. （2）当
n
为奇数时，
a?a
； 当
n
为偶数时，
a?|a|?
?
?
a,a?0
.
?a,a?0
?
．有理指数幂的运算性质(1)
a?a?a
rr r
rsr?s
(
a?
0,
r
,
s?Q
)< br>.(2)
(a
r
)
s
?a
rs
(a?0, r,s?Q)
.
(3)
(
ab
)
?ab
(
a?
0,
b?
0,
r?Q
)
.
注： 若a＞0 ，p是一个无理数，则a
p
表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
.指数式与对数式的互化式:

log
a
N? b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.
.

精选
.对数的换底公式 :
log
a
N?
对数恒等式：
a

常见的函数图象
y
y
log
a
N
log
m
N
(
a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
log
m
a
n
?N
(
a?0
,且
a?1
,

N?0
).推论 log
a
m
b
n
?
log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,

N?0
).
m
y
y
y
k<0
o
k>0
x
o
a <0
x
2
-1
o
1
y=x+
-2
1
x
x
y=a
x
01
o
x
y=l og
a
x
0a>1
y=kx+b
a>0
o
1
a>1
x
y=ax
2
+bx+c




二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
8、同角三角函数的基本关系式
sin
?
?cos
?
?1
，
tan
?
=
10、和角与差角公式

s in(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?c os
?
sin
?
;
22
sin
?
. < br>cos
?
cos(
?
?
?
)?cos
?cos
?
sin
?
sin
?
;
tan
?
?tan
?
tan(
?
?
?
)?
.
1tan
?
tan
?
sin(
?
?
?)sin(
?
?
?
)?sin
2
?
?sin< br>2
?
(平方正弦公式);
cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos
2
?
?sin
2
?
.
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅 助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决定,
tan
??
11、二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
12、
cos2
?
?cos
2
b
).
a
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1? 1?2sin
2
?
.
tan2
?
?
2tan
?
.
2
1?ta n
?
1?cos2
?
;
2
公式变形：

1?cos2
?
2sin
2
?
?1?cos2
?
, sin
2
?
?;
2
12、三角函数的周期 函数
y?si n(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?< br>x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠
2< br>?
?
?
0)的周期
T?
；函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x?k
?
?,k?Z
(A, ω,
?
为常数，且A≠0)的周期
T?
.
|
?
| |
?
|
2
2cos
2
?
?1?cos2
?
,cos
2
?
?
三角函数的图像：
y=sinx
-π2
-2π
-3π2
-π
y
1
y=cosx
π2
π
3π2
2π
y
1
o
-1
x
-2 π
-3π2
-π
-π2
o
-1
π2
π
3π 2
2π
x
14、辅助角公式
y?a
sin
x?b
c os
x?a
2
?b
2
sin(
x?
?
)< br> 其中
tan
?
?
b
a

.

精选
15.正弦定理 ：
abc
???
2
R
（R为
?ABC
外接圆的半径）.
sinAsinBsinC
? a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
?a:b:c?sinA:sinB:sin C

16.余弦定理
a?b?c?2bccosA
;
b?c?a?2 cacosB
;
c?a?b?2abcosC
.
17.面积定理（1）S?
222222222
111
ah
a
?bh
b
?ch
c
（
h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边上的高）.
222
1111
（2）
S?absinC ?bcsinA?casinB
. (3)
S
?OAB
?(|OA|?|O B|)
2
?(OA?OB)
2
.
2222
在△ABC中， 有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)
?
18、 三角形内角和定理
C
?
A?B
??
?2C?2
?
?2(A?B)
.
222
19、
a
与
b
的数量积(或内积)
a?b?|a|?|b|cos
?

20、平面向量的坐标运算
(1)设A
(x
1
,y
1)
，B
(x
2
,y
2
)
,则
AB?O B?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
(2)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，则< br>a?b
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
.
(3)设
a
=
(x,y)
，则
a?
21、两向量的夹角公式
设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，且
b?0
，则
x
2
?y
2

cos
?
?
a?b
?
|a|?|b|
x
1
x2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2
2
2
(
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y< br>2
)
).
22、向量的平行与垂直
设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，且
b
?
0

ab
?
b?
?
a

?x
1
y2
?x
2
y
1
?0
.
a?b(a?0)

?
a?b?0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
*平面向量的坐标运算
(1)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，则
a+
b
=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(2)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，则
a
-
b
=
(x
1
?x2
,y
1
?y
2
)
.
(3)设 A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
, y
2
)
,则
AB?OB?OA?(x
2
?x
1,y
2
?y
1
)
.
(4)设
a
=< br>(x,y),
?
?R
，则
?
a
=
(
?
x,
?
y)
.
(5)设
a
=
(x1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
, y
2
)
，则
a
·
b
=
(x
1x
2
?y
1
y
2
)
.
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d1
?na
1
?d?n
2
?(a
1
?d)n
.
2222
a
nn ?1*
26、等比数列的通项公式
a
n
?a
1
q?
1
?q(n?N)
；
q
25、等差数列其前n项和公式为
s
n
?
?
a
1
(1?q
n
)
?
a
1
?a
n
q
,q?1
,q?1
?
?
27、等比数列前n项的和公式为
s
n
?
?
1?q
或
s
n
?
?
1?q
.
?
na,q?1?
na,q?1
?
1
?
1
.

精选
28、已知
x,y
都是正数，则有
x?y?
xy
，当
x?y
时等号成立。
2
（1）若积
xy
＝
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值2p
；
1
2
（2）若和
x?y
是定值
s，则当
x?y
时积
xy
有最大值
s
.
4
29、直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
?
(
y
1
?y
2
)(< br>P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
(4)截距式
??
1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
（3）两点式
30、两条直线的平行和垂直
若
l
1
: y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2x?b
2

①
l
1
||l
2
?k1
?k
2
,b
1
?b
2
;

②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
31、平面两点间的距离公式
d
A,B
?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
(
A
(x
1
,y
1
)
，
B
(x
2
, y
2
)
).
32、点到直线的距离
d?
22
| Ax
0
?By
0
?C|
22
A?B
222
（1）圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.
22
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By ?C?0
).
22
（2）圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
＞0).
* 点与圆 的位置关系：点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a) ?(y?b)?r
的位置关系有三种
若
d?(a?x
0
)?(b? y
0
)
，则
d?r?
点
P
在圆外;
d?r ?
点
P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
34、直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a )?(y?b)?r
的位置关系有三种:
222
222
22
d?r ?相离???0
;
d?r?相切???0
;
=
2r?d
其中
d?
22
d?r?相交???0
. 弦长
Aa?Bb?C
A?B
22
.
x
2
y
2
cb
2
222
椭圆：
2
?
2
?1(a ?b?0)
，
a?c?b
，离心率
e??1?
2

ab
aa
x
2
y
2
c
b
222
双 曲线：
2
?
2
?
1
(a>0,b>0)，
c?a? b
，离心率
e??1
，渐近线方程是
y??x
.
a
ab
a
pp
2
抛物线：
y
?
2px
，焦 点
(,0)
,准线
x??
。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.
2
2
x
2
y
2
x
2
y
2
b
(1）若双曲线方程为
2
?
2
?
1
?< br>渐近线方程：
2
?
2
?0?
y??x
.
a b
ab
a
x
2
y
2
xy
b
(2)若渐近线方程为
y??
x
?
??0
?
双曲线可设为< br>2
?
2
??
.
ab
ab
a
.

精选
x
2
y
2
x
2
y
2
( 若双曲线与
2
?
2
?
1
有公共渐近线，可设为
2< br>?
2
??
（
??0
，焦点在
x
轴上，
??0
，焦
abab
点在
y
轴上）.
2

37、抛物线
y
?
2px
的焦半径公式 抛物线
y? 2px(p?0)
焦半径
|PF|?x
0
?
2
p
. （抛物线上的点到
2
焦点距离等于它到准线的距离。）
38、过抛物线焦点的弦长< br>AB?x
1
?
pp
?x
2
??
x
1
?
x
2
?
p
.
22
2
45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
圆柱侧面 积=
2
?
rl
，表面积=
2
?
rl?2
?
r

圆椎侧面积=
?
rl
，表面积=
?
r l?
?
r

2
11
V
柱体
?Sh
（
S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高）.
V
锥体
? Sh
（
S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高）.
33
4
3
2
球的半径是
R
，则其体积
V?
?
R
,其表面积
S?4
?
R
．
3
46、若点A(x
1
,y
1
,z
1
)
，点B
(x< br>2
,y
2
,z
2
)
，则
d
A,B< br>=
|AB|?AB?AB
?(x
2
?x
1
)?(y< br>2
?y
1
)?(z
2
?z
1
)

47、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）
48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。
正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
222
1[(
x
1
?x
)
2
?
(
x
2
?x
)
2
??
(
x
n
?x
)2
]

n
1
[(
x
1
?x
)
2
?
(
x
2
?x
)
2
??
(
x
n
?x
)
2
]

标准差:
s?
n
nn
?
?
x
i
?x
??
y
i
?y
?
?
x
i
y
i
?nxy< br>?
?
?
b?
i?1
n
?
i?1
n< br>2
y?a?bx
，其中
?
22
.
x?xx?nx< br>??
??
ii
?
i?1i?1
?
?
a?y? bx
n(ac?bd)
2
2
51、独立性检验
K?

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
49、 方差:
s?
2
52、古典概型的计算（必须要用列举法、列表法、树状图的方法把
．．．．．．．．．
所有基 本事件表示出来，不重复不遗漏）
54、复数
z?a?bi
的模
|z|=
|a?bi|
=
a
2
?b
2
.
5 5、复数的相等：
a?bi?c?di?a?c,b?d
.（
a,b,c,d?R）
56、复数
z?a?bi
的模（或绝对值）
|z|
=
|a?bi|
=
a?b
.
57、复数的四则运算法则
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
22
ｐ ｑ 非ｐ
真 真 假
真 假 假
假 真 真
假 假 真
原 命题
若p则q
互
否
否命题
若┐p则┐q
互
逆
互
为
为
互
逆
ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真
真
真
假
逆命题
若q则p
否
互
否
逆否命题
若┐q则┐p
假
假
假
(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
逆
否.
互
逆

精选
ac?bdbc?ad
?i(c?di?0)
...
c
2
?d
2
c
2
?d
2
充要条件（记
p
表示条 件，
q
表示结论）
（1）充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
充分条件.
（2）必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
必要条件.
（3）充要条件：若
p?q
，且
q?p
，则
p
是< br>q
充要条件.
(4)
(a?bi)?(c?di)?
注：如果甲是乙 的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.










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