高中文科数学重要公式及知识点速记

高中数学公式及知识点速记
一、函数、导数
1、函数的单调性
( 1)设
x
1
、x
2
?[a,b],x
1
?x
2
那么
f(x
1
)?f(x
2
)?0?f(x)在[a ,b]
上是增函数；
f(x
1
)?f(x
2
)?0?f( x)在[a,b]
上是减函数.
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可 导，若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数；若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为减函数.
2、函数的奇偶性
对于定义域内任意的
x
，都有
f(?x)?f( x)
，则
f(x)
是偶函数；
对于定义域内任意的
x
，都 有
f(?x)??f(x)
，则
f(x)
是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
3、函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x )
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率f
?
(x
0
)
，相应的切线方程是
y?y
0< br>?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
4、几种常见函数的导数
'
n'n?1''
①
C
?0；②
(x)?nx
； ③
(sinx)?cosx
；④
(cosx)??sinx
；
⑤< br>(a
x
)
'
?a
x
lna
；⑥
(e
x
)
'
?e
x
； ⑦
(log
a
x)?
5、导数的运算法则
'
11
'
；⑧
(lnx)?

xlnax
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
. （1）
(u?v)?u?v
. （2）
(uv)?uv?uv
. （3）
()?
2
vv
''''''
6、会用导数求单调区间、极值、最值
7、求函数
y?f
?
x
?
的极值的方法是：解方程
f
?
?
x
?
?0
．当
f
?
?x
0
?
?0
时：
(1) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧
f< br>?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是极大值；
(2) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?是极小值．

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
8、同角三角函数的基本关系式
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，
tan
?
=
sin
?
.
cos
?
9、正弦、余弦的诱导公式
k
?
?
?< br>的正弦、余弦，等于
?
的同名函数，前面加上把
?
看成锐角时该函数的 符号；
k
?
?
?
2
?
?
的正弦、余弦， 等于
?
的余名函数，前面加上把
?
看成锐角时该函数的符号。
10、和角与差角公式

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;
tan
?
? tan
?
tan(
?
?
?
)?
.
1
?
tan
?
tan
?
11、二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
co s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c os
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
第1页（共5页）

tan2
?
?
2tan
?
.
1? tan
2
?
1?cos2
?
;
2
公式变形： < br>1?cos2
?
2sin
2
?
?1?cos2
?,sin
2
?
?;
2
2cos
2
?
? 1?cos2
?
,cos
2
?
?
12、三角函数的周期 < br>函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T?
数
y?tan(
?
x??
)
，
x?k
?
?
2
?
?
； 函
?
2
,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0) 的周期
T?
?
.
?
13、 函数
y?sin(
?
x?
?
)
的周期、最值、单调区间、图象变换


14、辅助角公式
y?asinx?bcosx?a
2
?b
2sin(x?
?
)
其中
tan
?
?
15、正弦定理
b

a
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
16、余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
17、三角形面积公式
S?
111
absinC?bcsinA?casinB
.
222
18、三角形内角和定理
在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)

19、
a
与
b
的数量积(或内积)
a?b?|a|?|b|cos
?

20、平面向量的坐标运算
? ???????????
(1)设A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
,则
AB?OB?OA?( x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
(2)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，则
a?b
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
.
（3）设
a
=
(x,y)
，则
a?
21、两向 量的夹角公式
x
2
?y
2

设
a
=(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，且
b?0
，则
cos
?< br>?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y1
y
2
x
1
?y
1
?x
2
? y
2
2222

22、向量的平行与垂直
ab
?
b?
?
a

?x
1
y2
?x
2
y
1
?0
.
a?b(a?0)

?
a?b?0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.

三、数列
23、数列的通项公式与前n项的和的关系
第2页（共5页）

n?1
?
s
1
,
( 数列
{an
}
的前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
???a
n
).
a
n
?
?
s?s,n ?2
?
nn?1
24、等差数列的通项公式
a
n
?a1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N
*
)
；
25、等差数列其前n项和公式为
s
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d1
?na
1
?d?n
2
?(a
1
?d)n
.
2222
26、等比数列的通项公式
a
n
?a
1
q
n?1
?
a
1n
?q(n?N
*
)
；
q
27、等比数列前n项的和公式为
?
a
1
(1?qn
)
?
a
1
?a
n
q
,q?1
,q?1
?
?
s
n
?
?
1?q
或
s
n
?
?
1?q
.
?
na,q?1?
na,q?1
?
1
?
1

四、不等式
x?y
?xy
，当
x?y
时等号成立。
2
（1） 若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
；
1
2
（2）若和
x?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值
s
.
4

五、解析几何
28、已知
x,y
都是正数，则有
29、直线的五种方程
k
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距). < br>y?y
1
x?x
1
(
y
1
?y
2< br>)(
P
?
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
(4)截距式
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
（3）两点式
30、两条直线的平行和垂直
若
l
1
: y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2x?b
2

①
l
1
||l
2
?k1
?k
2
,b
1
?b
2
;
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
31、平面两点间的距离公式
d
A,B
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2(A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2,y
2
)
).
32、点到直线的距离
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
(点
P( x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By?C ?0
).
222
33、 圆的三种方程
（1）圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.
第3页（共5页）

（2）圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx? Ey?F?0
(
D?E?4F
＞0).
（3）圆的参数方程
?
22
?
x?a?rcos
?
.
?
y?b?rsin
?
34、直线与圆的位置关系
直线
A x?By?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r< br>2
的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
. 弦长=
2r
2
?d
2

Aa?Bb?C
其中
d?
.
22
A?B
35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
?
x?acos
?
c
x
2
y
2
222< br>椭圆：
2
?
2
?1(a?b?0)
，
a?c?b，离心率
e??1
，参数方程是
?
.
a
ab
?
y?bsin
?
c
x
2
y
2
b
222
双曲线：
2
?
2
?1
(a>0,b>0)，
c?a?b
，离心率
e??1
，渐近线方程是
y??x
.
a
a
ab
pp
抛物线：
y
2
?2px
，焦 点
(,0)
,准线
x??
。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.
2
2
36、双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2
y2
x
2
y
2
b
(1）若双曲线方程为
2
?
2
?1
?
渐近线方程：
2
?
2
?0?
y??x
.
a
ab
ab
xy
x
2
y
2
b
(2)若渐近线方程为
y??x
?
?? 0
?
双曲线可设为
2
?
2
??
.
ab< br>a
ab
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线与
2
?
2
?1
有公共渐近线，可 设为
2
?
2
??
（
??0
，焦点在x轴上，
??0
，焦点在y轴
abab
上）.
37、抛物线
y
2
?2px
的焦半径公式
p
.（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。）
2
pp
3 8、过抛物线焦点的弦长
AB?x
1
??x
2
??x
1?x
2
?p
.
22

六、立体几何
抛物 线
y
2
?2px(p?0)
焦半径
|PF|?x
0
?
39、证明直线与直线平行的方法
（1）三角形中位线 （2）平行四边形（一组对边平行且相等）
40、证明直线与平面平行的方法
（1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行）
（2）先证面面平行
41、证明平面与平面平行的方法
平面与平面平行的判定定理（一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行）
．．．．
42、证明直线与直线垂直的方法
转化为证明直线与平面垂直
43、证明直线与平面垂直的方法
（1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交直线垂直）
．．．．
（2 ）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面）
44、证明平面与平面垂直的方法
平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直）
第4页（共5页）

45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
圆柱侧面积=2
?
rl
，表面积=
2
?
rl?2
?
r

圆椎侧面积=
?
rl
，表面积=
?
rl??
r

2
2
1
V
柱体
?Sh
（
S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高）.
3
1
V
锥体
?Sh
（
S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高） .
3
4
3
2
球的半径是
R
，则其体积
V ?
?
R
,其表面积
S?4
?
R
．
3
46、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算
47、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）
48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。
正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
七、概率统计
49、平均数、方差、标准差的计算
x
1
?
x
2
??
x
n
1
2222
方差:
s?[(x
1< br>?x)?(x
2
?x)??(x
n
?x)]

nn
1
标准差:
s?[(x
1
?x)
2
?(x< br>2
?x)
2
??(x
n
?x)
2
]

n
平均数:
x?
50、回归直线方程
nn
?
?
x
i
?x
??
y
i
?y
?
?< br>x
i
y
i
?nxy
?
?
i?1i?1
?
b??
nn
?
2
y?a?bx
，其中
?
22
.
x?xx?nx
??
??
ii
?
i?1 i?1
?
?
a?y?bx
n(ac?bd)
2
2
5 1、独立性检验
K?

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
52、 古典概型的计算（必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗漏）
．．．．．．．．．

八、复数
53、复数的除法运算
a?bi(a?bi)(c?di)(ac?bd)?(bc?ad)i
??
. 22
c?di(c?di)(c?di)
c?d
54、复数
z?a?bi
的模
|z|
=
|a?bi|
=
a
2
?b< br>2
.

九、参数方程、极坐标化成直角坐标
?
?
2
?x
2
?y
2
?
?
cos
?
? x
?
55、
?

?

y
?
?
sin
?
?y
?
tan
?
?(x?0)
x
?
第5页（共5页）