高三文科数学公式

1·集合
{a
1
,a
2
,?,a
n
}
的子集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
–1个；非空子集有
2
n
–1个；
非空的真子集有
2
n
–2个.
2.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)
2
?k(a?0)
;
(3)零点式
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)

3.真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
4.常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论
是 不是 至少有一个
都是 不都是 至多有一个
大于 不大于 至少有
n
个
小于 不小于 至多有
n
个
对所有
x
， 存在某
x
，
p
或
q

成立 不成立
对任何
x
，
不成立
存在某
x
，
p
且
q

成立
反设词
一个也没有
至少有两个
至多有（
n?1
）个
至少有（
n?1
）个

?p
且
?q


?p
或
?q

5·充要条件
（1）充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
充分条件.
（2）必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
必要条件.
（3）充要条件：若
p?q
，且
q?p
，则
p
是< br>q
充要条件.
6.函数的单调性
(1)设
x
1
? x
2
?
?
a,b
?
,x
1
?x
2
那么
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)< br>?
?0?
f(x
1
)?f(x
2
)
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
x< br>1
?x
2
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是 增函数；
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
( 2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如果
f
?
(x)?0< br>，则
f(x)
为增函数；如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为减函数.
7·
f(?x)?f(x)
则
f(x)
是偶函数；
f(?x)??f(x)
，则
f(x)
是奇函数
8·对于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f(x?a)?f (b?x)
恒成立,则函数
f(x)
的对称轴是函数
x?
a?b2

a
9.若
f(x)??f(?x?a)
,则函数
y ?f(x)
的图象关于点
(,0)
对称; 若
2
f(x)??f(x ?a)
,则函数
y?f(x)
为周期为
2a
的周期函数.
10 .函数
y?f(x)
的图象的对称性
(1)函数
y?f(x )
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a?x)?f(a?x)

?f(2a?x)?f(x)
.

(2)函数
y?f(x)< br>的图象关于直线
x?
?f(a?b?mx)?f(mx)
.
a?b
2
对称
?f(a?mx)?f(b?mx)

11. 函数的导数
①
C
'
?0
；②
(x
n
)< br>'
?nx
n?1
； ③
(sinx)
'
?co sx
；④
(cosx)
'
??sinx
；
⑤
(a
x
)
'
?a
x
lna
；⑥
(e
x
)
'
?e
x
； ⑦
(log
导数的运算法则
（1）
(u?v)?u?v
. （2）
(uv)?uv?uv
. （3）
()?
v
函数
y?f
?
x
?
的极值 ，
f
?
?
x
?
?0
．当
f
??
x
0
?
?0
时：
(1) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧< br>f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是极大值；
(2) 如果在
x
0
附近的 左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0?
是极小值．

12 .若将函数
y?f(x)
的图象右移< br>a
、上移
b
个单位，得到函数
y?f(x?a)?b
的图象；
若将曲线
f(x,y)?0
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到曲线
f(x?a,y?b)?0
的图象.
13.互为反函数的两个函数的关系
f(a)?b?f
?1
''''''< br>a
x)?
'
1
xlna
；⑧
(lnx)
'< br>?
1
x

u
'
uv?uv
v
2
''
(v?0)

(b)?a

14.几个常见的函数方程
(1)正比例函数
f(x)?cx
,
f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c
.
(2)指数函数
f(x)?a
x
,
f(x?y)?f(x)f(y),f(1 )?a?0
.
(3)对数函数
f(x)?log
a
x
,< br>f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1)
.
(4)幂函数
f(x)?x
?
,
f(xy)?f(x)f(y),f
'
( 1)?
?
.
(5)余弦函数
f(x)?cosx
,正弦函数
g(x)?sinx
，
f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)
，
f(0)?1,lim
g(x)
x
x?0
?1
.
15.分数指数幂
m
(1)
a
n
?
(2)a
?
m
n
1
n
a
m
?
（a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
?
1
m
?
（
a?0,m,n?N
且
n?1
）.
a
n
根式的性质
n
（1）
(
n
a)?a
.
（2）当
n
为奇数时，
a?a
；
当
n
为偶数时，
a?|a|?
?
有理指数幂的运算
1)
a?a?a
rsr?s
n
n
n
n
?
a,a?0
?
?a,a?0

(a?0,r,s?Q)
.

(2)
(a
r
)
s
?a
rs(a?0,r,s?Q)
.
(3)
(ab)
r
?a
r
b
r
(a?0,b?0,r?Q)


16.指数式与对数式的互化式

log
a
N?b?a?N
(a?0,a?1,N?0)
.

b
对数的换底公式
log
a
N?
log
mN
log
m
a
m
(
a?0
,且
a? 1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
n
m
log
a
b
(
a?0
,且
a ?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1
,

N?0
). 推论
log
a
b
n
?
对数的四则运算
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)
log
a
(MN) ?log
a
M?log
a
N
;
(2)
log< br>a
M
N
n
?log
a
M?log
a
N
;
?nlog
a
M(n?R)
. (3)
log
a
M

对数换底不等式及其推广
若
a?0
,
b?0
,
x?0
,
x?
(1)当
a?b
时,在
(0,)
和
(
，
1
a
1
a
1
a
,则函数
y?log
ax
(b x)

,??)
上
y?log
ax
(bx)
为增函数.
,??)
上
y?log
ax
(bx)
为减函数.
1
a
1
a
(2)当
a?b
时,在
(0,)
和
(
推论:设
n?m?1
，
p?0
，a?0
，且
a?1
，则
（1）
log
m?p
(n?p)?log
m
n
.
（2）
log
a
mlog
a
n?log
a
2
m?n
2
.

数列的同项公式与前n项的和的关系
n ?1
?
s
1
,
a
n
?
?
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
s
n
?a
1?a
2
???a
n
).
s?s,n?2
n?1
?
n
17.**等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N)
；
*
其前n项和公式为
s
n
?
?
d< br>2
n(a
1
?a
n
)
2
n?(a
1
?
2
?na
1
?
d)n
.
n(n?1)
2
d

1
2
**等比数列的通项公式

q
其前n项的和公式为
a
n
?a
1
q
n?1
?
a
1
n*
?q(n?N)
；
?
a
1
(1?q
n
)
?
a
1
? a
n
q
,q?1
,q?1
?
?
s
n
?
?
1?q
或
s
n
?
?
1?q
.
?
na,q?1
?
na,q?1
?
1
?
1
***等比差数列
?
a
n
?
:
a
n? 1
?qa
n
?d,a
1
?b(q?0)
的通项公式为 ?
b?(n?1)d,q?1
?
a
n
?
?
bq
n
?(d?b)q
n?1
?d
；
,q?1
?q?1
?
?
nb?n(n?1)d,(q?1)
?
n
其 前n项和公式为
s
n
?
?
.
d1?qd
(b?) ?n,(q?1)
?
1?qq?11?q
?
18.常见三角不等式
?
（1）若
x?(0,)
，则
sinx?x?tanx
.
2
?
(2) 若
x?(0,)
，则
1?sinx?cosx?2
.
2
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
同角三角函数的基本关系式
sin
?
?cos
?
?1< br>，
tan
?
=
22
sin
?
cos
?
，
tan
?
?cot
?
?1
.
和角与差角公式

sin(
?
?
?
)?s in
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?< br>?sin
?
sin
?
;
tan(
?
??
)?
tan
?
?tan
?
1
?
ta n
?
tan
?
2
.
2
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin
?
? sin
?
(平方正弦公式);
cos(
?
?
?
) cos(
?
?
?
)?cos
?
?sin
?
.
asin
?
?bcos
?
=
22
a?bsin (
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a ,b)
的象限决
22
定,
tan
?
?
b
a
).
.二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
22 22
cos2
?
?cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1?1?2sin
?
.
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
?
2
2cos
?
?1?c os2
?
,cos
?
?
22
1?cos2
?
2
1?cos2
?
2
;
;
.
2sin
?
?1?cos2
?
,sin
?
?
22

三倍角公式
sin3
?
?3sin
?
?4sin
??4sin
?
sin(
3
?
3
?
?
) sin(
?
3
?
?
)
.

cos3
?
?4cos
?
?3cos
?
?4cos
?
cos(
3
?
3
?
?
)cos(
?
3< br>?
?
)
.
tan3
?
?
3tan
?
?tan
?
1?3tan
?
2
3
?tan
?
tan(
?
3
?
?
)tan(
?
3?
?
)
.
.三角函数的周期公式
函数
y?sin (
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0，
ω ＞0)的周期
T?
2
?
?
；函数
y?tan(
?< br>x?
?
)
，
x?k
?
?
?
?
?
2
且
,k?Z
(A,ω,
?
为常数，
A ≠0，ω＞0)的周期
T?
.正弦定理
a
sinA
2
.
?
b
sinB
2
?
c
sinC
?2R.
余弦定理
a?b?c?2bccosA
;
b?c?a?2caco sB
;
c?a?b?2abcosC
.
2222
222
.面积定理
（1）
S?
（2）
S ?
1
2
1
2
ah
a
?
1
2
bh
b
?
1
2
1
2
ch
c
（< br>h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边上的高）.
1
2
casinB
.
absinC?bcsinA?
.三角形内角和定理
在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)

?
C2
?
?
2
?
A?B
2
?2C?2
?< br>?2(A?B)
.

19.向量平行的坐标表示
设a=< br>(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，
ab
?x
1
y
2
?x2
y
1
?0

设a=
(x
1
,y1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，
a?b(a?0)
a·b=
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0


cos
?
?
20.不等式
a?b?2ab

a?b
?ab

2
a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0).

333
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?
2< br>1
2
1

2
2
x?y
2
2
22
已知
x,y
都是正数，则有
x?y
2
?xy
， 当
x?y
时等号成立。
（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2
（2）若和
x ?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值当a> 0时，有
x?a?x?a
2
2
p
；
s
.
2
1
4
??a?x?a
.

x?a?x?a?x?a
或
x??a

22

21..斜率公式
k?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
（
P
1
(x
1
,y
1< br>)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）.
.直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
（3）两点式
(4)截距式
y?y
1
y
2
?y
1
x
?
y
?
x?x
1
x
2
?x
1(
y
1
?y
2
)(
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y< br>2
)
(
x
1
?x
2
)).
?1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
.两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1
:y?k
1x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2

①
l
1
||l
2
?k
1
?k< br>2
,b
1
?b
2
;
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
? 0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,且A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零,
①
l
1
||l
2
?
A< br>1
A
2
?
B
1
B
2
?
C< br>1
C
2
；
②
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0

.夹角公式
tan
?
?|
.点到直线的距离
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
A
1
B
2
?A
2
B
1
A
1
A
2
?B
1
B
2
|

(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By?C?0

22.圆的四种方程
（1）圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.
（2）圆的一般方程
x?y?Dx?Ey ?F?0
(
D
2
?E
2
?4F
＞0).
（3）圆的参数方程
?
?
x?a?rcos
?
?
y?b?rsin
?
22
222
.
)?(y?y)(y?
2
y)?
(
0
圆的直径的端点是（4）圆的直径式方程
(x?x< br>1
)(x?x
21
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
).

222
点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种
若
d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
，则
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点
P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内
22
直线
Ax?By?C? 0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
222

d?r?相交???0
.
其中
d?

Aa?Bb?C
A?B
22
.
设两圆圆心分别为O
1，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
23椭圆
x
a
2
2
?
y
b
2
2
?1(a?b?0)
，
a?c?b
，离心率
e?
x
a
2
2
222
c
a
?1

c< br>a
?1
，渐近线方程是24.双曲线：
y??
b
a
x

?
y
b
2
2
?1
(a>0,b>0)，
c?a?b
，离心率
e?
222
25. 抛物线：
y
2
?2px
，焦点
(
26.组合数公式 C
m
n
p
2
,0)
,准线
x??
p< br>2

=
A
n
m
m
A
m
=< br>n(n?1)
?
(n?m?1)
1?2?
?
?m
=(
n
∈N
*
，
m?N
，且
m?n
).
m！?(n?m)！
n！
排列数公式
A
n
=
n (n?1)?(n?m?1)
=
m
.(
n
，
m
∈N
*
，且
m?n
)．
(n?m)！
2
n！
平均数:
x?
标准
s?
K
2
x
1
?
x
2
??
x
n
n
1
n
2
方差:
s?
2
1
n
[(x
1
?x)?(x
2
?x)??(x
n
?x)]

2
222
[(x< br>1
?x)?(x
2
?x)??(x
n
?x)]

n(ac?bd)
2
?
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)

27.复数的除法运算
a?bi(a?bi)(c?di)(ac?bd)?(bc?ad)i
.
??
22
c?di(c?di)(c?di)
c?d
22
复数
z?a?bi
的模
|z|
=
|a?bi|
=
a ?b