高中必备数学公式

高中必备数学公式
包含代数、三角、初等几何、导数和微分、不定积分、定积分
一．代数
1．绝对值与不等式
绝对值定义：
|a|?
?
⑴
a
2
?
a, a?0
?
?a,a?0

?|a|
，
|?a|?|a|

⑵
?|a|?a?|a|

⑶ 若
|a|?b (b?0)
，则
?b?a?b

⑷ 若
|a|?b (b?0)
，则
a?b
或
a??b

⑸ （三角不等式）
|a?b|?|a|?|b|
，
|a?b|?|a|?|b|

⑹
|ab|?|a|?|b|

⑺
|
a
b
|?
|a|
|b|
(b?0)

2．指数运算
⑴
a?a?a
xyx?y
⑵
a
a
x
y
?a
x?y

⑶
(a
x
)
y
?a
xy
⑷
(ab)
x
?a
x
b
x

⑸
( )
x
?
b
aa
b
1
a
x
x
x
x
⑹
a
y
?
y
a

x
⑺
a
?x
?
⑻
a
0
?1

3．对数运算（
a?0,a?1
）
⑴ 零和负数没有对数 ⑵
log
a
a?1

⑶
log
a
1?0
⑷
log
a
(xy)?log
a
x?log
a
y

⑸
log
a
x
y
?log
a
x?log
a
y
⑹
log
a
x?blog
a
x

log
b
y
log
b
a
b
⑺ 对数恒等式
a
log
a
y
?y
⑻ 换底公式
log
a
y?

⑼
e?2.718 281 828 459??????

- 1 -

⑽
lge?log
10
e?0.434 294 481 903??????

⑾
ln10?log
e
10?2.30 258 509 299??????

4．乘法及因式分解公式
⑴
(x?a)(x?b)?x?(a?b)x?ab

⑵
(x?y)
2
?x
2
?2xy?y
2

⑶
(x?y)
3
?x
3
?3x
2
y?3xy
2
?y
3

⑷
(x?y?z)
2
?x
2
?y
2
?z
2
?2xy?2yz?2xz

⑸ < br>(x?y?z)
3
?x
3
?y
3
?z
3?3x
2
y?3xy
2
?3y
2
z?3yz
2
?3x
2
z?3xz
2
?6xyz

⑹
x
2
?y
2
?(x?y)(x?y)

⑺
x
3
?y
3
?(x?y)(x
2
?xy?y
2< br>)

⑻
x
n
?y
n
?(x?y)(xn?1
?x
n?2
y?x
n?3
y
2
???? ?xy
n?2
?y
n?1
)

⑼
x
n< br>?y
n
?(x?y)(x
n?1
?x
n?2
y?x< br>n?3
y
2
?????xy
n?2
?y
n?1
)
（n为偶数）
⑽
x
n
?y
n
?(x?y) (x
n?1
?x
n?2
y?x
n?3
y
2
?????xy
n?2
?y
n?1
)
（n为奇数）
⑾ < br>x
3
?y
3
?z
3
?3xyz?(x?y?z)(x
2
?y
2
?z
2
?xy?yz?xz)

⑿
x
4
?x
2
y
2
?y
4?(x
2
?xy?y
2
)(x
2
?xy?y
2
)

5．数列
⑴ 等差数列
通项公式
a
n?a
1
?(n?1)d
（
a
1
为首项，d为公差）
前n项和
S
n
?
特例：
1?2?3?????(n?1) ?n?
n(n?1)
2
(a
1
?a
n
)n
2
?na
1
?
n(n?1)
2
d


2
1?3?5?????(2n?3)?(2n?1)?n

2?4?6?????(2n?2)?2n?n(n?1)

⑵ 等比数列
通项公式
a
n
?a
1
q
n?1
（
a
1
为首项，q为公比，
q?1
）
前n项和
S
n
?

a
1
(1?q)
1?q
n
?
a
1
?a
n
q
1?q

- 2 -

⑶
1
2
?2
2
?3
2
?????n
2
?
⑷
1?2?3?????n?< br>3333
222
1
6
2
n(n?1)(2n?1)

2
n(n?1)
4
2

2
⑸
1?3?5?????(2n?1)?
n(4n?1)
3

⑹ 1
3
?3
3
?5
3
?????(2n?1)
3
?n
2
(2n
2
?1)

?
1
(n?1), n为奇数
?
?
⑺
1?2?3?????(?1)
n?1
n?
?
2

?
?
n
, n为偶数
?
?2
⑻
1?2?2?3?3?4?????n(n?1)?
6．牛顿二项公式
(a?b)? a?na
nnn?1
1
3
n(n?1)(n?2)

b?< br>n(n?1)
2!
a
n?2
b?
2
n(n?1)(n ?2)
3!
n?1
a
n?3
b????

3
?
n(n?1)???(n?k?1)
k!
n
a
n?k
b ?????nab
k
?b?
n
?
C
k?0
k
n
a
n?k
b
k

二、三角
1．基本关系式
⑴
tan
?
?
⑶
tan
?
?
⑸
csc
?
?
sin
?
cos
?
1
cot
?
1
sin
? ⑵
cot
?
?
⑷
sec
?
?
cos
?
sin
?
1
cos
?


⑹
sin
2
?
?cos
2
?
?1

⑺
1?tan
2
?
?sec
2
?
⑻
1?cot
2
?
?csc
2
?

2．诱导公式
角A
函数
sinA
A?
?
2
?
?

A?
?
?
?

A?
3
2
?
?
?

A?2
?
?
?
?sin
?


cos
?

?sin
?

?cot
?
?sin
?

?cos
?

?sin
?
?cot
?

cosA

tanA
?cos
?

?tan
?


cos
?

?tan
?



- 3 -

cotA

?tan
?

?cot
?

?tan
?

?cot
?

3．和差公式
⑴
sin(
??
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

⑵
cos(
?
?
?
)?c os
?
cos
?
?sin
?
sin
?

⑶
tan(
?
?
?
)?
⑷
cot(< br>?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1 ?tan
?
?tan
?
cot
?
cot
?
?
1
cot
?
?cot
?


?
?
?
2
⑸
sin
?
?sin
?
?2sin
⑹
sin
?
?sin
?
?2cos
?
?
?
2
co s




?
?
?
2
sin?
?
?
2
⑺
cos
?
?cos
?
?2cos
⑻
cos
?
?cos
?
??2sin
⑼
sin
?
cos
?
?
⑽
cos
?
sin
?
?
⑾
cos
?
cos
?
?
1
2
1
2
?
?
?< br>2
cos
?
?
?
2
?
?
?
2
sin
?
?
?
2
?
sin(
?
?
sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?< br>)
?

?
?
)?sin(
?
?
?
)
?

1
2
?
cos(
?
?
?
)?cos(?
?
?
)
?

⑿
sin
?
sin
?
??
?
cos(
?
?
?
)?co s
?
?
?
?
?
?

2
1
4．倍角和半角公式
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?

⑶
tan2
?
?
⑸
sin
?2
2tan
?
1?tan
?
2
⑷
cot2
?
?
⑹
cos
⑻
cot
?
2
cot
?
?1
2cot
?
2



??
1?cos
?
2
1 ?cos
?
1?cos
?
??
1?cos
?
21?cos
?
1?cos
?
⑺
tan
?
2
??
?
2
??
三、初等几何
- 4 -

在下列公式中，字母R、r表示半径，h表示高，l表示斜高，s表示弧长。
1．圆；圆扇形
圆周长
?2
?
r
；圆面积
??
r
2

圆扇形：
圆弧长
s?r
?
（圆心角
?
以弧度计）
?
?
r
?
180
1
2
（圆心角
?
以度计）
1
2
r
?
2
扇形面积
?rs?

2．正圆锥；正棱锥
正圆锥：体积
?
1
3
?
rh

2
侧面积
?
?
rl

全面积
?
?
r(r?l)

正棱锥：体积
?
1
3
?底面积?高
1
2

侧面积
?
3．圆台：体积
?
4．球：体积
?
4< br>3
?斜高?底周长
?
h
3
3
(R?r?Rr)
；侧面积
?
?
l(R?r)
22
?
r
；表面积
?4
?
r
2

四、导数和微分
1．基本求导公式
⑴
(C)
?
?0
（C为常数）
⑵
(x
n
)
?
?nx
n?1
；一般地，
(x
?
)
?
?
?
x
?
?1
。
特别地：
(x)
?
?1
，
(x
2
)
?
?2x
，
()
?
??
x
11
x
2
，
(x)
?
?
1
2x
。
⑶
(e
x
)
?
?e
x
；一般地，
(a
x
)
?
?a
x
lna (a?0,a?1)
。
⑷
(lnx)
?
?
1
x
；一般地，
(log
a
x)
?
?< br>1
xlna
(a?0,a?1)
。
⑸
(sinx)< br>?
?cosx
，
(cosx)
?
??sinx
，(tanx)
?
?sec
2
x
，
- 5 -

(cotx)
?
??cscx
，
(secx)
?
?tanxsecx
2
，
(cscx)
?
??cotxcs cx
。
1
1?x
2
⑹
(arcsinx)
?< br>?
1
1?x
2
1
1?x
2
，
(ar ccosx)
?
??
1
1?x
2
，
(arcta nx)
?
?
，
(arccotx)
?
??
， 1
(arcsecx)
?
?
x
1
x?1
2，
(arccscx)
?
??
xx?1
2
。
2．求导法则
⑴ 四则运算法则
设f(x)，g(x)均在点x可导，则有： < br>（Ⅰ）
(f(x)?g(x))
?
?f
?
(x)?g
?
(x)
；
（Ⅱ）
(f(x)g(x))
?
?f
?
(x)g(x)?f(x)g
?
(x)
，
特别
(Cf( x))
?
?Cf
?
(x)
（C为常数）；
（Ⅲ）
(
特别
(
1
g(x)
f(x)
g(x)
)
?
?
f
?
(x)g(x)?f(x)g
?
(x)
g (x)
g
?
(x)
g(x)
2
2
, (g(x)?0)
，
)
?
??
。
⑵ 复合函数求导法则
设函数y = f(u)，则
y?f(
?
(x))
关于x的导数恰为 f(u)及
?
(x)u?
?
(x)
均可导，
的导数的乘积：
dy
dx
?
df(
?
(x))
dx
?dydu
??f
?
(u)
?
?
(x)
dudx
?
?u
?
（
y
?
x
?y
u
。
x
）
推广 若
y?f(u),u?g(v),v?h(x)
，则：
dy
dx
?
dydudv
?
?u
v
?
?v
?
???f
?
(u)?g
?
(v)?h
?
(x)
（
y
?
?y
u
。
xx
）
dudvdx
3．微分
⑴ 函数
y?f(x)在点x处的微分：
dy?y
?
dx?f
?
(x)dx

⑵ 微分规则
设函数u = u(x)， v = v(x)均可微，C为常数，则有
（Ⅰ）
d(Cu)?Cdu
；
d(u?v)?du?dv
；
（Ⅱ）
d(uv)?vdu?udv
；
- 6 -

（Ⅲ）
d()?
v
uvdu?udv
v
2
(v?0)
。
若函数
y?f(u),u?
?
(x)
均可微 ，则复合函数
y?f(
?
(x))
也可微，且有
dy?f
?
(u)du?f
?
(u)
?
?
(x)dx
。
五、不定积分
1．常用的不定积分公式
⑴
⑵
⑶
?
0dx
?
?
?C
；
1
x
?< br>?1
xdx?
1
?
?1
?C (
?
??1)
；
?
x
dx?ln|x|?C
；
⑷
?
e
x
dx?e
x
?C
；
⑸
?
a
x
dx?
a
x
lna
?C (a?0,a?1)
；
⑹
?
cosxdx?sinx?C
；
⑺
?
sinxdx??cosx?C
；
⑻
?
sec
2
xdx?tanx?C
；
⑼
?
csc
2
xdx??cotx?C
；
⑽
?< br>1
1?x
1
2
dx?arcsinx?C??arccosx?C；
⑾
?
1?x
2
dx?arctanx?C??arccotx?C
．
2．不定积分的性质和法则
⑴
(
?
f(x)dx)
?< br>?f(x)
或
d
?
f(x)dx?f(x)dx

⑵
?
F
?
(x)dx?F(x)?C
或
?
dF(x) ?F(x)?C

f(x)dx?
⑶
?
(f(x)?g(x))dx?
⑷
??
g(x)dx

?
kf(x)dx?k
?
f(x)dx
（k为常数）
⑸ 凑微分法
设F(u)是f(u)的原函数，u =
?
(x)
可导，则
F[
?
(x)]
是
f[
?
(x)]
?
?
(x)
的原函数。
- 7 -

即若
?
f(x)dx?F(x)?C
，则
?
f[
?
(x)]
?
?
(x)dx?
?
f[
?
(x)]d
?
(x)?F[
?
(x)]?C

⑹ 换元积分法
设
x?
?
(t)
可导，且
??
(t)?0
，又
f[
?
(t)]
?
?
(t)
有原函数F(t)，则
?
f(x)dx?
?
f[
?
(t)]
?
?
(t)dt?F(t)?C?F[
?
?1< br>(x)]?C

其中
t?
?
?1
(x)
是< br>x?
?
(t)
的反函数。
⑺ 分部积分法
?
u( x)v
?
(x)dx?u(x)v(x)?
?
v(x)u
?
(x)dx

或简写成
?
udv?uv?
?
vdu

六、定积分
1．定积分性质和运算
⑴
?
b
a
[k
1
f(x)?k
2
g(x)]dx?k
1
?
f (x)dx?k
2
?
g(x)dx

aa
bb
其中
k
1
,k
2
为任意常数。
⑵
?
b
a
f(x)dx?
?
c
a
f(x)dx?
?
b
c
f(x)dx

b
⑶ 若
f(x)?g(x),x?[a,b]
，则
?
f(x)dx?
a?
b
a
g(x)dx

b
⑷ 若
m?f(x)?M,x?[a,b]
，则
m(b?a)?
⑸ 定积中值定理
?
a
f(x)dx?M(b?a)

设f(x)在区间[a，b]上连续，则在[a，b]上至少存在一点
?
，使
?
b
a
f(x)dx?f(
?
)?(b?a)

1
b?a
由上式，得
f(
?
)?
值。
2．牛顿-莱布尼兹公式
?
b
a
f(x)dx
，此值称为 函数f(x)在区间[a，b]上的平均
若函数f(x)在区间[a，b]上连续，F(x)是f(x) 的一个原函数，即
F
?
(x)?f(x)
，
则
?

b
a
f(x)dx?F(x)|
a
?F(b)?F(a)

- 8 -
b

3．积分法
⑴ 换元积分法
设函 数f(x)在区间[a，b]上连续，作变换
x?
?
(t)
，如果
①
?
?
(t)
在区间
[
?
,
?
]
上连续；
② 当t从
?
变到
?
时，
?
(t)
从
?
(
?
)?a
单调地变到
?(
?
)?b
，则有
?
⑵ 分部积分法
b
a
f(x)dx?
?
?
?
f[
?
(t)]
?
?
(t)dt

设u(x)，v(x)在[a，b]上具有连续导数
u
?
(x),v
?
(x)
，则
?
b
a< br>u(x)dv(x)?u(x)v(x)
b
a
?
?
b
a
v(x)du(x)

- 9 -