高中数学研讨活动记录-怎么理解高中数学
高中常用公式
函数基本性质与初等函数
I.函数的单调性（定义域内) <
br>1)
x
1
?x
2
,f(x
1
)?f(x2
)
则
f(x)
↑，若
x
1
?x
2
,f(x
1
)?f(x
2
)
则
f(x)
↓
.
2)若定义域内
f(x)
可导，
f
?
(x)?0
，
f(x)
↑；
f
?
(x)?0
，则
f(x)<
br>↓.
II．函数奇偶性（知一得二)
1)奇函数
?
f(?x)??f(x)
?
函数图像关于原点对称
2)偶函数
?
f(?x)?f(x)
?
函数图像关于y轴对称
III.分数指数幂
?
n
a<
br>m
（
a?0,m,n?N
?
，且
n?1
).
1
?n
2)
a?
n
（
a?0,m,n?N
?，且
n?1
).
a
1)
a
IV．有理指数幂的运算性质
1)
a
r
?a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?Q)
.
2)
(a
r
)
s
?a
rs
(a?0,r
,s?Q)
.
3)
(ab)
r
?a
r
b
r
(a?0,b?0,r?Q)
V.指数式与对数式的互化式
m
n
log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.
VI．对数运算(底数＞0且≠1，真数＞0).
M
?log
a
M?log
a
N
;
Nlog
m
N
n
n
3)
log
a
mb?log
a
b
4)换底公式:
log
a
N?
m
log
m
a
1
logN
5)恒等式:
a
a
?N
6)
log
a
b?
log
b
a
1)log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
; 2)
log
a
空间几何体
I.面积公式
1)
S
圆柱
?S
侧
?S
底
?2
?
rl?2
?
r
2
2)
S
圆锥
?S
侧
?
S
底
?
?
rl?
?
r
2
3)<
br>S
圆台
?S
侧
?S
上底
?S
下底
?
（
?
rl?
?
Rl）?
?
r
2
?
?
R
2
4)
S
球
?4
?
R
2
II.体积公式
1)
V
棱(圆)柱
?Sh
2)
V
棱(圆)锥
?
3
1
Sh
32
3)
V
棱(圆)台
?
1
（S
上
?S
上
S
下
?S
下
）h
（圆柱，锥，台中
S?
?
r
)
直线、圆与方程
y
2
?y
1
[
P
1
(x
1,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
].
x
2
?x
1
II.直线的五种方程（存在斜率
k
）
1)点斜式
y?y
0
?k(x?x
0
)
2)斜截式
y?kx?b
xy
y?y
1
x?x
1
?
3)两点式
（
y
2
?y
1
,x
2
?x
1
）
4)截距式
??1
（
ab?0
）
ab
y
2<
br>?y
1
x
2
?x
1
5)一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0)
III.两直线的位置关系： 若<
br>l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2<
br>:y?k
2
x?b
2
I.直线斜率
k
存在
?tan
?
?
1
①
l
1
||l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
;
②
l
1?l
2
?k
1
k
2
??1
.
IV.距离公式：
1)两点间的距离公式：
P
1
P
2?
2)点到直线的距离：
d?
(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
22
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
C
2?C
1
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By?C?0
).
3)两平行线间的距离：
d?
V.圆的方程
A?B
22
1)圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r2
.(圆心（a，b) 半径r)
D
2
?E
2
?4F
?
DE
?
2)圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
其中
D?E?4F
＞0，圆心为
?
?,?
?
半径
r
?
)
2
?
22
?
?
x?a?rcos
?
3)圆的参数方程
?
（
?
为参数
），圆心（a，b），半径为r
?
y?b?rsin
?
22
22
三角函数及其应用
I.同角三角函数的基本关系式
sin
2
?
?cos
2<
br>?
?1
，
tan
?
=
sin
?
cos
?
II.同角三角函数万能诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限)
kk
??
k
?
k
?
?
(?1)
2
Sin
?
(k为偶数)
?
(?1)
2
Cos
?(k为偶数)
Cos(
Sin(?
?
)?
?
?
?
)?
?
k?1k?1
22
?
(?1
)
2
Cos
?
（k为奇数）
?
(?1)
2
Sin
?
（k为奇数）
??
III.两角和差公式
1)
S
(
?
?
?
)
?S
?
C
?
?C
?
S
?
2)
C
(
?
??
)
?C
?
C
?
?S
?
S
?
3)
T
(
?
?
?
)
?
T
?
?T
?
1?
T
?
T
?
IV辅助角公式：
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(
(a,b)
决定
?
的象限,
tan
?
?
V.二倍角
公式
b
).
a
cos
?
. 2)
co
s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c
os
2
?
?1?1?2sin
2
?
. 1)
sin
2
?
?2sin
?
·
3)
tan2
?
?<
br>2tan
?
.
1?tan
2
?
2
?
；函数
y?tan(
?
x?
?
)
的周期
T?
VI.三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x?
?
)
及函数
y?cos(
?
x?
?
)
的周期
T?
VII.正弦定理
?
?
.
?
abc
???2R
.（R为外切圆半径）
sinAsinBsinC
VIII.余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
IX.三角形面积公式
111
ah
a
?bh
b
?
ch
c
（
h
a
、h
b
、h
c
分别
表示a、b、c边上的高).
222
111
2)
S?absinC?bcs
inA?casinB
.
222
1)
S?
平面向量
I.
a
与b的数量积
a
·b=|
a
||b|cosθ．
II.
平面向量的坐标运算，设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，
?
?R
1
)a+b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2<
br>)
. 2)
?
a=
(
?
x
1
,
?
y
1
)
. 3)a·b
?x
1
x
2
?y
1
y
2
2
III.两向量的夹角公式
cos
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
21
2
1
2
2
2
2
(
a
=(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y<
br>2
)
).
IV.平面两点间的距离公式
d
A,B
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(A
(x
1
,y
1
)
，
B
(x
2
,y
2
)
).
V.向量的平行与垂直
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b
?
0，则
ab
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.
a
?
b
?
a
·b=0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
数列
I.数列的通项公式与前n项的和的关系
n?1
?
s
1
,
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
??
?a
n
).
a
n
?
?
s?s,n?2
?
nn?1
II.等差数列
通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
前n项和：
s
n
?
III. 等比数列
通项公式
a
n
?a
1
q
n?1
；
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
?na
1
?d
.
22
?
a
1
(1?q
n
)?
a
1
?a
n
q
,q?1
,q?1
?
?
前n项的和公式
s
n
?
?
1?q
或s
n
?
?
1?q
?
na,q?1
?
na,q?1
?
1
?
1
基本不等式：
1)
a?b?2ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
2)
a,
b?R
?
?
?
22
a?b
?ab
(当且仅当a＝b
时取“=”号)．
2
a?ba
2
?b
2
3)
a,
b?R
?
?ab??
11
22
?
ab
2
圆锥曲线和方程 <
br>?
x?acos
?
x
2
y
2
I.椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的参数方程是
?
（
?
为参数）.
ab
y?bsin
?
?
c
2221)
焦点
(?c,0)
2)离心率：
e?(0?e?1,c?a?b)
a
x
2
y
2
II.双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
ab
c
222
1)焦点
(?c,0)
，
2)离心率
：
e?(e?1,c?a?b)
a
x
2<
br>y
2
b
3)渐近线方程
：
2
?
2
?
0?
y??x
.
ab
a
2
III.
抛物线
y?2px
（p>0)
p
1)
焦点
：
(,0)
2
3
2)空间向量与立体几何
I空间向量坐标运算设a=
(x
1
,y
1
,z
1
)
，b=
(x
2
,y
2
,z
2
)
，
?
?R
1)a
?
b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
)
2)
?
a=
(
?
x
1?
?
y
1
?
?
z
1
)
3)a·b=
x
1
x
2
?y
1
y
2<
br>?z
1
z
2
4)cos〈
a
，b〉=
II空间向量平行和垂直
a·b
a·b<
br>?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?
z
1
z
2
x?y?z·x?y?z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
x
1
y
1
z
1
???
?
，其中（
y
1
y
2
y
3
?0
)
x
1y
2
z
2
2)a
?
b
?
a·b=0<
br>?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?
z
1
z
2
?0
III.二面角
?
?l?
?
的平面角
??????
???
m?nm?n
??????
或
?
?arc
cos<
br>（
m
，
n
为平面
?
，
?
的法向量)
?
?arccos
|m||n||m||n|
1)ab（b
?
O)
?
a=
?
b
?
IV.空间两点间的距离公
????????????
d
A,B
=
|AB|?AB?AB
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2
导数及其应用
I.几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
（C为常数).(2)
(x
n
)
'
?nx
n?1
(n?Q)
.
(3)
(sinx)
?
?cosx
.(4)
(cosx)
?
??sinx
.
(5)
(ln
x)
?
?
11
e
x
；
(loga)
??log
a
.
xx
(6)
(e
x
)
?
?e
x
;
(a
x
)
?
?a
x
lna
.
''''''
.导数的运算法则
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
.
1)
(u?v)?u?v
. 2)
(uv)?uv?uv
.
3)
()?
2
vv
定积分基本性质：
bb
?
kf(x)dx?k
?
f(x)dx
2)
?
[f(x)?g(x)]dx?
?
f(x)dx?
?
g(
x)dx
3)
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx
其中
a?c?b
1)
a
ba
bb
a
b
aa
cb
aac
数系的扩与复数的
引入
I.复数
z?a?bi
的共轭复数：
z?a?bi
，模
|z|
=
|a?bi|
=
a?b
，
II.复数的代数运算
1)
i??1
，
i?1
，
a?bi?c?di?a?c,b?d
2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
4)
(a?bi)?(c?di)?
计数原理
I.排列数公式
m
=
n(n?1)?(n?m?1)
=
A
n
24
22
ac?bdbc?ad
?
2
i(c?di?0)
.
222
c?dc?d
n！
*
.(
n
，
m
∈N，且
m?n
)．注:规定
0!?1
.
(n?m)！
II.组合数公式
4
C
m
n
=
A
n
m
n(n?1)
?
(n?m?1)n！
*
0
==(
n
，
m
∈N，且
m?
n
).注:规定
C
n
?1
.
m
1?2?
?
?m
m！?(n?m)！
A
m
III.排列数与组合数的关系
mm
.
A
n
?m！?C
n
0n1n?1rn?
rrnn
IV.二项式定理
(a?b)
n
?C
n
a?C<
br>n
ab?
?
?C
n
ab?
?
?C
n
b
，
n?N
rn?rr
1，2?，n)
. 1
）二项展开式的通项公式
T
r?1
?C
n
ab
(r?0，<
br>*
V.二项式性质：
mn?m01n
0213
1）
C
n
2）
C
n
?C
n
?C
n
?...?C
n
?2<
br>n
3）
C
n
?C
n
?...?C
n
?C
n
...?2
n?1
离散型随机变量
I.
数学期望
E(X)?x
1
p
1
?x
2
p
2
?...?x
n
p
n
II数学期望的性质
1)
E(aX?b)?aE(x)?b
2)若X符合两点分布，
E
(X)?p
，若符合二项式分布
E
～
B(n,p)
,则
E(
x)?np
III.方差
D(X)?
IV.方差的性质
1)
D(aX?b)?aD(x)
2)若X符合两点分布，则
D(
X)?p(1?p)
，若符合两点分布
E
～
B(n,p)
，则
D(X)?np(1?p)
.
2
n
?
(x?E(X))
i
i?1
2
p
i
5