高中文科数学公式大全(完美)教学文案

高文科数学公式大
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高中数学公式及知识点速记
一、函数、导数
1、函数的单调性
(1)设
x
1
、x
2
?[a, b],x
1
?x
2
那么
f(x
1
)?f(x2
)?0?f(x)在[a,b]
上是增函数；
f(x
1
)? f(x
2
)?0?f(x)在[a,b]
上是减函数.
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数；若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为减函数.
2、函数的奇偶性
对于定义域内任意的
x
，都有
f (?x)?f(x)
，则
f(x)
是偶函数；
对于定义域内任意的
x
，都有
f(?x)??f(x)
，则
f(x)
是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
3、函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x )
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率f
?
(x
0
)
，相应
的切线方程是
y?y0
?f
?
(
x
0
)(
x?x
0
)
.
4、几种常见函数的导数
①
C
'
?0
； ②
(x
n
)
'
?nx
n?1
； ③
(sinx)
'
?cosx
；④
(cosx)
'
??sin x
；
⑤
(
a
x
)
'
?
a
x
ln
a
；⑥
(e
x
)
'
?e
x
； ⑦
(log
a
x)
'
?
5、导数的运算法则
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
.
（1）
(u?v)?u?v
. （2）
(uv)?uv?uv
. （3）
()?
2
vv
6、会用导数求单调区间、极值、最值
''''''
11
；⑧
(lnx)
'
?

xlnax
7、求函数
y?f
?
x
?
的极值的方法是：解方 程
f
?
?
x
?
?0
．当
f
??
x
0
?
?0
时：
(1) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧< br>f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是极大值；
(2) 如果在
x
0
附近的 左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0?
是极小值．
二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
8、同角三角函数的基本关系式
sin
?
sin
2
?< br>?cos
2
?
?1
，
tan
?
=.
cos
?
9、正弦、余弦的诱导公式
k
?
?
?< br>的正弦、余弦，等于
?
的同名函数，前面加上把
?
看成锐角时该函数的 符号；
k
?
?
?
2
?
?
的正弦、余弦， 等于
?
的余名函数，前面加上把
?
看成锐角时该函数的符
号。
10、和角与差角公式

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
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cos (
?
?
?
)?cos
?
cos
?
msin
?
sin
?
;
tan
?
?tan
?tan(
?
?
?
)?
.
1
m
tan
?
tan
?

11、二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
co s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c os
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
2tan
?
.
tan2
?
?
1?tan
2
?
1?cos2
?
2cos
2
?
?1?cos2
?
,cos
2
?
?;
2
公式变形：
< br>1?cos2
?
2sin
2
?
?1?cos2
?,sin
2
?
?;
2
12、三角函数的周期
函数y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠ 0，ω＞0)
2
?
?
的周期
T?
；函数
y?tan (
?
x?
?
)
，
x?k
?
?,k?Z(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)
?
2
的周期
T
?
?
.
?
13、 函数
y?sin(
?
x?
?
)
的周期、最值、单调区间、图象变换

14、辅助角公式
b
y?asinx?bcosx?a
2
?b
2
sin(x?
?
)
其中
tan
?
?

a
15、正弦定理
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
16、余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
17、三角形面积公式
111
S?absinC?bcsinA?casinB
.
222
18、三角形内角和定理
在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)

19、
a
与
b
的数量积(或内积)
a?b?|a|?|b|cos
?

20、平面向量的坐标运算
u uuruuuruuur
(1)设A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
,则
AB?OB?OA?( x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
(2)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，则
a?b
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
.
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(3)设
a
=
(x,y)
，则
a?x
2
?y
2
21、两向量的夹角公式
设
a
=
(x
1
, y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2)
，且
b?0
，则
cos
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2< br>x
1
?y
1
?x
2
?y
2
2222

22、向量的平行与垂直
ab
?
b?
?
a

?x
1
y2
?x
2
y
1
?0
.
a?b(a?0)

?
a?b?0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
三、数列
23、数列的通项公式与前n项的和的关系
n?1
?
s
1
,
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
?L ?a
n
).
a
n
?
?
s?s,n?2
?
nn?1
24、等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N
*
)
；
25、等差数列其前n项和公式为
n(a
1
?a
n
)n(n?1)d1
s
n
??na
1
?d?n
2
?(a
1
?d)n
.
2222
26、等比数列的通项公式
a
a
n
?a
1
q
n?1
?
1
? q
n
(n?N
*
)
；
q
27、等比数列前n项的和公式为
?
a
1
(1?qn
)
?
a
1
?a
n
q
,q?1
,q?1
?
?
s
n
?
?
1?q
或
s
n
?
?
1?q
.
?
na,q?1?
na,q?1
?
1
?
1
四、不等式
x?y
28、已知
x,y
都是正数，则有
?xy
，当
x?y
时等号成立。
2
（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
；
1
（2）若 和
x?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值
s
2
.
4
五、解析几何
29、直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直 线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)< br>，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
?
（3）两点式
(
y
1
?y
2
)(
P
1
(x
1
,y< br>1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
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xy
(4)截距式
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
30、两条直线的平行和垂直
若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2< br>
①
l
1
||l
2
?k
1
?k2
,b
1
?b
2
;
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
31、平面两点间的距离公式
d
A,B
?(x
2
?x1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
).
32、点到直线的距离
|Ax
0
?By
0
?C|
d?
(点
P( x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By?C ?0
).
22
A?B
33、 圆的三种方程
（1）圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
（2）圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0< br>(
D
2
?E
2
?4F
＞0).
?
x?a?rcos
?
（3）圆的参数方程
?
.
?
y?b?rsin
?
34、直线与圆的位置关系
直线
A x?By?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r< br>2
的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
. 弦长=
2r
2
?d
2

Aa?Bb?C
其中
d?
.
22
A?B
35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
?
x?acos
?
x
2
y
2
c
椭圆：< br>2
?
2
?1(a?b?0)
，
a
2
?c2
?b
2
，离心率
e??1
，参数方程是
?
.
ab
a
y?bsin
?
?
x
2
y
2
c
双曲线：
2
?
2
?
1
(a>0,b> 0)，
c
2
?a
2
?b
2
，离心率
e?? 1
，渐近线方程是
a
ab
y??
b
x
.
a
pp
抛物线：
y
2
?
2px
，焦点
(, 0)
,准线
x??
。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线
22
的距 离.
36、双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2
y
2
x
2
y
2
b
(1）若双曲线方程为
2
?
2
?1
?
渐近线方程：
2
?
2
?0?
y?? x
.
ab
ab
a
x
2
y
2
xy
b
(2)若渐近线方程为
y??x
?
??0
?< br>双曲线可设为
2
?
2
??
.
ab
ab
a
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x
2
y
2
x
2
y
2
( 3)若双曲线与
2
?
2
?1
有公共渐近线，可设为
2
?
2
??
（
??0
，焦点在x轴
ab
ab
上，
??0
，焦点在y轴上）.
37、抛物线
y
2
?2px
的焦半径公式
p
抛物线
y
2
?2px(p?0)
焦半径
|PF|?x
0< br>?
.（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的
2
距离。）
pp38、过抛物线焦点的弦长
AB?x
1
??x
2
??x
1
?x
2
?p
.
22
六、立体几何
39、证明直线与直线平行的方法
（1）三角形中位线 （2）平行四边形（一组对边平行且相等）
40、证明直线与平面平行的方法
（1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行）
（2）先证面面平行
41、证明平面与平面平行的方法
平面与平面平行的判定定理（一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行）
．．．．
42、证明直线与直线垂直的方法
转化为证明直线与平面垂直
43、证明直线与平面垂直的方法
（1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交直线垂直）
．．．．
（2 ）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一
个平面）
44、证明平面与平面垂直的方法
平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直）
45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
圆柱侧面积=
2
?
rl
，表面积=
2
?
rl?2
?
r
2< br>
圆椎侧面积=
?
rl
，表面积=
?
rl?
?
r
2

1
V
柱体
?Sh
（
S< br>是柱体的底面积、
h
是柱体的高）.
3
1
V
锥体< br>?Sh
（
S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高）.
3
4
球的半径是
R
，则其体积
V?
?
R
3< br>,其表面积
S?4
?
R
2
．
3
46、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算
47、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）
48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。
正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
七、概率统计
49、平均数、方差、标准差的计算
x?x
2
??x
n
1
平均数:
x?
1
方差:
s
2
?[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
??(x
n
?x)
2
]

n
n
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标准差:
s?
1
[(
x
1
?x
)
2
?
(
x
2
?x
)
2
??
(x
n
?x
)
2
]

n
50、回归直线方程
nn
?
?
x
i
?x
??
y
i
?y
?
?
x
i
y
i
?nxy
?
?
i?1i?1
?
b??
n n
$$
2
y?a?bx
，其中
?
22
.
x ?xx?nx
??
??
ii
?
i?1i?1
?
?< br>a?y?bx
n(ac?bd)
2
2
51、独立性检验
K?

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
52、古典概型的计算（ 必须要用列举法
、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来，
．．．．．．．．．
不重复、不遗漏）
八、复数
53、复数的除法运算
a?bi(a?bi)(c?di)(ac?bd)?(bc?ad)i
??
. 22
c?di(c?di)(c?di)
c?d
54、复数
z?a?bi
的模
|z|
=
|a?bi|
=
a
2
?b< br>2
.
九、参数方程、极坐标化成直角坐标
?
?
2
?x
2
?y
2
?
?
cos
?
?x
?
55、
?

?

y
?
?
sin
?
?y
?
tan
?
?(x?0)
x
?
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