高中数学常用公式汇总及结论

高中数学常用公式汇总及结论

1 、元素与集合的关系

2 、集合
空的真子集有
的子集个数共有
个.
个；真子集有 个；非空子集有个；非


3 、二次函数的解析式的三种形式：
(1) 一般式：
(2) 顶点式 ：
设为此式）
(3) 零点式：
为 时，设为此式）
。（当已知抛物线与直
时，
（当已知抛物线与轴的交点坐标

（当已知抛物线的顶点坐标 时，
（4）切线式：
线 相切且切点的横坐标为
设为此式）

4、 真值表： 同真且真，同假或假

5 、常见结论的否定形式;




6 、四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）


1

充要条件： (1)

（2） 且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件；
，则P是q的必要不充分条件；
则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；
(3) p ≠> p ，且

（4）p ≠> p ，且

7、 函数单调性:
则P是q的既不充分又不必要条件。

增函数：(1）文字描述是：y随x的增大而增大。
（2）数学符号表述是：设f（x）在 上有定义，若对任意
的 ，都有 成立，
在上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。 则就叫

减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。
（2）、数学符号表述是：设f（x）在xD上有定义，若对任意
的 ，都有
成立，则就叫f（x）在上是减函数。D则就是f（x）的递减区间。

单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数； （ 2）、减函数+减函数=减函数；
(3)、增函数-减函数=增函数； (4)、减函数-增函数=减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
复合函数的单调性：


2

等价关系：
(1)设 ，那么

数；
上是增函

数.

(2)设函数
果
在某个区间内可导，如果 ，则
上是减函
为增函数；如
，则为减函 数.

8、函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）
奇函数定义：在前提条件下，若有
奇函数。

性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；
（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；
（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0 .

偶函数定义：在前提条件下，若有f（—x)=f(x)，则f（x）就是偶函数。

性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；
（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；

奇偶函数间的关系：
(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；
(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例
外得偶函数的）
(5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关
， 则f（x）就是

3

于原点对称，
那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

9、函数的周期性： 定义：对函数f（x），若存在
叫f（x）是周期函数，
其中，T是f（x）的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式：
(1)、 f（x+T）= - f（x），此时周期为2T ；
（2）、 f（x+m）=f（x+n），此时周期为 ；
，使得f（x+T）=f（x），则就
(3)、

10、常见函数的图像：

此时期为2m 。


11、 对于函数 恒成立,则函数的对称轴
是
两个函数f=（x+a)与y=（b-x） 的图象关于直线

12、 分数指数幂与根式的性质：
对称.




4

13 、指数式与对数式的互化式: .
指数性质：



指数函数：
(1)、

（2）、
（0，1）

对数性质：


在定义域内是单调递增函数；

在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点


对数函数：
(1)、
（2）、
恒过点（1，0）

（3）、
在定义域内是单调递增函数；
在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都


(4)、



5

14、 对数的换底公式 :
对数恒等式
推论


15、对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则


16、 平均增长率的问题（负增长时）：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则
对于时间的总产值，
有

17 、等差数列：通项公式： （1）
为项数， 为末项。

（注：该公式对任意数
，其中 为首项，d为公差，n
.
（2）推广：
（3）
列都适用）


前n项和： （1） ；其中为首项，n为项数，为末项。
（2）
（3）

（注：该公式对任意数列都适用）
（4）

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有
注：若
等差。
（注：该公式对任意数列都适用）
；
n、m、p成 的等差中项，则有

6

（2）、若 、为等差数列，则 为等差数列。
（ 3）、
成等差数列。
（4）、
为等差数列，为其前n项和，则 也

（5）

等比数列：
通项公式：（1）

，其中为首项，n为项数，q为公比。
（2）推广
（3）

前n项和：（1）
（2）
：
（注：该公式对任意数列都适用）
（注：该公式对任意数列都适用）
（注：该公式对任意数列都适用）
（3）

常用性质： （1）、若m+n=p+q ，则有
注：若
有
（2）、若、

成等比。

；
的等比中项，则
为等比数列，则 为等比数列。
18、分期付款(按揭贷款) ：每次还款

19、三角不等式：

7
元(贷款元,次还清,每期利率为).

（1）若
(2) 若
(3) .
，则
，则

.
.
20 、同角三角函数的基本关系式 ：

21、 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

22、 和角与差角公式


(辅助角 所在象限由点（a，b) 的象限决定 , ).

23、 二倍角公式及降幂公式


.

24、 三角函数的周期公式
函数
常数，且A≠0)的周期
及函数
；
），x∈R(A,ω,为
函数，
(A,ω,为常数，且A≠0)的周期

三角函数的图
.

8

像：


25 、正弦定理 ：

（R为 外接圆的半径）.



26、余弦定
理：

27、面积定理：

（1） 分别表示a、b、c边上的高）.


28、三角形内角和定理 ：
在△ABC中，

有
.
29、实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：



9

30、与的数量积(或内积)：

31、平面向量的坐标运算：
·


32 、两向量的夹角公

式：


33、 平面两点间的距离公
式：

34、 向量的平行与垂直 ：设=,=，



35 、线段的定比分公式 ：设
数，
且

，则
，是线段


，则：
（交叉相乘差为零）
（对应相乘和为零）
的分点,是 实

36、三角形的重心坐标公式：
则的重心的坐标是


三个顶点的坐标分别为


10

.


37、三角形五“心”向量形式的充要条件：设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则





38、常用不等式：





39、极值定理:已知都是正数，则有

（1）若xy积是定值P，则当x=y时和有最小值 ；

（2）若x+y和是定值S，则当x=y时积有xy最大值
（3）已知 ，若 则有
.





（4）已知 ，若则有






11

40、 一元二次不等式
根之外；如果a与
，如果a与 同号
异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.即：




.


41 、含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有

.






42、 斜率公式 ：



43 、直线的五种方程：

（1）点斜式：
（2）斜截式：
(直线
(b为直线在y轴上的截距).

)．



（3）两点式：
两点式的推广：
(4)截距式 ：
（5）一般式：
直线的



（无任何限制条件！）

(分别为直线的横、纵截距，
(其中A、B不同时为0).

法向量： ，方向向量 ：

)


44 、夹角公式：



12

45 、到的角公式：










46、 点到直线的距离 ：

(点,直线：).


47、 圆的四种方程：

（1）圆的标准方程 ：
（2）圆的一般方程：


(＞0).

（3）圆的参数方程 ：
（4）圆的直径式方程 ：



(圆的直径的端点是


48、点与圆的位置关系：点 与圆 的位置关系有三种：
若




13

49、直线与圆的位置关系：直线 与 圆的位置关系有三
种






50 、两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，，


则：


.





51 、椭圆 的参数方程是 . 离心率 ，

准线到中心的距离为 ，焦点到对应准线的距离(焦准距) 。

过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为

：.

52、 椭圆 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:




53、椭圆的的内外部 :



14

54、椭圆的切线方程:






55 、双曲线的 离 心率 ，准线到中心的距离为
距离(焦准距) 。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：.

焦半径公式 ，
两焦半径与焦距构成三角形的面积 。



56 、双曲线的方程与渐近线方程的关系：

(1）若双曲线方程为 渐近线方程：
(2)若渐近线方程为 双曲线可设为.
(3)若双曲线 与有公共渐近线，可设为
（ ，焦点在x轴上， ，焦点在y轴上）.

15
，焦

(4) 焦点到渐近线的距离总是b。


57、双曲线的切线方程：




58、抛物线 的焦半径公式:
抛物线 焦半径
过焦点弦长 .


59、二次函数 的图象是抛物线：
（1）顶点坐标为 ；（2）焦点的坐标为 ；
（3）准线方程是


60 、直线与圆锥曲线相交的弦长公式 :
或
（弦端点 ，由方程 消去y得到
为直线的倾斜角， 为直线的斜率


61、证明直线与平面的平行的思考途径:

（1）转化为直线与平面无公共点；

（2）转化为线线平行；

（3）转化为面面平行.


16
.

62、证明直线与平面垂直的思考途径:

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。


63、证明平面与平面的垂直的思考途径：

（1）转化为判断二面角是直二面角；

（2）转化为线面垂直；

(3) 转化为两平面的法向量平行。


64、 向量的直角坐标运算：



65、 夹角公式：


设

则

66 、异面直线间的距离 ：
(



，C,D是 上任一点，d为 间的距离).

是两异面直线，其公垂向量为
67、点到平面

的距离： （ 为平面的法向量，， 是的一条斜线段）
68、球的半径是R，则其体积 ,其表面积 ．


69、球的组合体：



(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对

17

正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

(3)球与正四面体的组合体: 棱长为 的正四面体的内切球的半径为

(正四面体高

,外接球的半径为 (正四面体高

70 、分类计数原理（加法原理）：
分步计数原理（乘法原理）：

.
.

71、排列数公式 ：


72 组合数公式：

组合数的两个性质:





73 、二项式定理：
二项展开式的通项公式：





74 、互斥事件A，B分别发生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
个互斥事件分别发生的概率的和：P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

75 、独立事件A，B同时发生的概率：P(A·B)= P(A)·P(B).
n个独立事件同时发生的概率：P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．




的展开式的系数关系：
76、 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：




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77、 数学期望：
数学期望的性质
（1）.
（2）若


则

.
(3) 若

服从几何分布,且
78、方差：
标准差：
方差的性质：
(1)；
(2）若
(3) 若 服从几何分布,且







方差与期望的关系：

79、正态分布密度函数：
式中的实数

是参数，分别表示个体的平均数与标准差.
对于



80 、

，取值小于x的概率：


.
处的导数（或变化率）：


19

.

81 、函数
函数
在点 处的导数的几何意义：
在处的切线的斜率


在点处的导数是曲线
.

，相应的切线方程是

82、几种常见函数的导数：






83、 导数的运算法则：





84、 判别 是极大（小）值的方法：
当函数f（x）在点处连续时，


85 、复数的相等：





86、 复数

的模（或绝对值）

87、 复平面上的两点间的距离公式：

88、实系数一元二次方程的解

20

实系数一元二次方程

③若

，它在实数集内没有实数根；在复数集内有且仅有两个共轭复数
根.






21