高中文科数学公式大全(完美攻略)

托普高考教育
高中文科数学公式小结
一、函数、导数
1、函数的单调性
(1)设
x
1
、x
2
?[a, b],x
1
?x
2
那么
f(x
1
)?f(x2
)?0?f(x)在[a,b]
上是增函数；
f(x
1
)? f(x
2
)?0?f(x)在[a,b]
上是减函数.
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数；若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为减
函数.
2、函数的奇偶性
(1)前提是定义域关于原点对称。
( 2)对于定义域内任意的
x
，都有
f(?x)?f(x)
，则
f(x )
是偶函数；
对于定义域内任意的
x
，都有
f(?x)??f(x )
，则
f(x)
是奇函数。
(3)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
3、函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x )
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率f
?
(x
0
)
，相应的切线
方程是
y?y0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
4、几种常见函数的导数
①
C
'
?0
；②
(x< br>n
)
'
?nx
n?1
； ③
(sinx)?c osx
；④
(cosx)
'
??sinx
；
⑤
( a
x
)
'
?a
x
lna
；⑥
(e
x
)
'
?e
x
； ⑦
(log
5、导数的运算法则
（1）
(u?v)?u?v
. （2）
(uv)?uv?uv
. （3）
()?
v
''''''< br>'
a
x)?
'
1
xlna
u
'
；⑧
(lnx)
'
?
1
x

uv?uv
v
2
''
(v?0)
.
6、导数的应用:切线方程、单调区间、极值和最值 。
7、求函数
y?f
?
x
?
的极值的方法是：解方程
f
?
?
x
?
?0
．当
f
?
?
x
0
?
?0< br>时：
(1) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?< br>?0
，那么
f
?
x
0
?
是极大值；
(2) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0< br>，那么
f
?
x
0
?
是极小值．
二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
8、同角三角函数的基本关系式
sin
?
?cos
?
?1
，
tan
?
=< br>22
sin
?
cos
?
.
9、正弦、余弦的诱导公式
奇变偶不变，符号看象限。
10、和角与差角公式

sin(
?
?
?
)?sin
?
c os
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1
?
tan
?
ta n
?
.
11、二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
第1页（共6页）

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2222
cos2
?
?cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1?1 ?2sin
?
.
2tan
?
.
tan2
??
2
1?tan
?
1?cos2
?
22
2co s
?
?1?cos2
?
,cos
?
?;
2
公式变形：
1?cos2
?
22
2sin
?
?1?co s2
?
,sin
?
?;
2
12、三角函数的周期
函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y? cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数 ，且A≠0，ω＞0)的周期
?
2
13、 函数
y?sin(
?x?
?
)
的周期、最值、单调区间、图象变换

14、辅助角公式
y?asinx?bcosx?a?bsin(x?
?
)
其中
ta n
?
?
22
T?
2
?
；函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x?k
?
?
?且A≠0，ω＞0)的周期
T?,k?Z
(A,ω,
?
为常数，
?
?
.
b
a

15、正弦定理
a
s inA
2
?
b
sinB
2
?
c
sinC< br>?2R
.
16、余弦定理
a?b?c?2bccosA
;
b?c?a?2cacosB
;
c?a?b?2abcosC
.
17、三角形面积公式
111
S?absinC?bcsinA?casinB
.
222
18、三角形内角和定理
在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)

222
222
219、
a
与
b
的数量积(或内积)
a?b?|a|?|b|cos
?

20、平面向量的坐标运算
? ???????????
(1)设A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
,则
AB?OB?OA?( x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
(2)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，则
a?b
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
.
(3)设
a
=
(x,y)
，则
a?
21、两向 量的夹角公式
设
a
=
(x
1
,y
1
)< br>,
b
=
(x
2
,y
2
)
，且
b?0
，则
cos
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
?y
1
?
2222
x?y
22


x
2
?y
2
22、向量的平行与垂直
ab
?
b?
?
a

?x
1
y2
?x
2
y
1
?0
.
a?b(a?0)

?
a?b?0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
三、数列
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23、数列的通项公式与前n项的和的关系
n?1
?
s
1
,
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
?? ?a
n
).
a
n
?
?
s?s,n?2
n ?1
?
n
24、等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N)
；
*
25、等差数列其前n项和公式为
s
n
?
n(a
1
?a
n
)
2
n?1
?na
1
?
n(n?1)
2
*
d?
d
2
n?(a
1
?
2
1
2
d)n
.
26、等比数列的通项公式
a
n
?a
1
q?
a
1
q
?q(n?N)< br>；
n
27、等比数列前n项的和公式为
?
a
1
( 1?q
n
)
?
a
1
?a
n
q
,q ?1
,q?1
?
?
s
n
?
?
1?q
或
s
n
?
?
1?q
.
?
na,q ?1
?
na,q?1
?
1
?
1
四、均值不等式 < br>28、已知
x,y
都是正数，则有
x?y
2
?xy
， 当
x?y
时等号成立。
（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2
（2）若和
x ?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值1
4
2
p
；
s
.
五、解析几何
29、直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
（3）两点式
(4)截距式
y?y
1
y
2
?y
1
?
x?x
1
x
2
?x
1
(
y
1?y
2
)(
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
x
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
?
y
?1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
30、两条直线的平行和垂直
若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2< br>
①
l
1
||l
2
?k
1
?k2
,b
1
?b
2
;
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
31、平面两点间的距离公式
d
A,B
?(x
2
?x1
)?(y
2
?y
1
)
(A
(x
1< br>,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)).
22
32、点到直线的距离
d?
|Ax
0
? By
0
?C|
A?B
22
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By?C?0
).
33、 圆的三种方程
第3页（共6页）

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（1）圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
（2）圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0< br>(
D?E?4F
＞0).
34、直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
. 弦长=
2r?d
22
22

其中
d?
Aa?Bb?C
22
.
A?B
35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
椭圆：x
a
2
2
?
x
a
2
2
yb
2
2
?1(a?b?0)
，
a?c
y
b2
2
22
?b
，离心率
e?
22
2
c
a
?1
.
c
a
?1
，渐近线方程是
y? ?
b
a
x
. 双曲线：
??1
(a>0,b>0)，
c?a
2
?b
，离心率
e?
p
2
抛物线：
y
2
?2px
，焦点
(
p
2
2
2
,0)
,准线
x??
。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.
36、双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为
x
a
2
2
?
b
a
y
b
?1
?
渐近线 方程：
x
a
2
2
?
y
b
2
2?0?
y??
x
a
2
2
b
a
x
.
(2)若渐近线方程为
y??
(3)若双曲线与
x
a
2
2
x
?
x
a
?
y
b
?0
?
双曲线可设为
x
a
2
2
?
y
b
2
2
??
.
?
y
b
2< br>2
?1
有公共渐近线，可设为
?
y
b
2
2< br>??
（
??0
，焦点在x轴上，
??0
，
焦点在y轴 上）.
37、抛物线
y
2
?2px
的焦半径公式
抛物线
y?2px(p?0)
焦半径
|PF|?x
0
?
38 、过抛物线焦点的弦长
AB?x
1
?
p
2
?x
2< br>?
2
p
2
p
2
.（抛物线上的点到焦点距离等于它到 准线的距离。）
?x
1
?x
2
?p
.
六、立体几何
39、证明直线与直线平行的方法
（1）三角形中位线 （2）平行四边形（一组对边平行且相等）
40、证明直线与平面平行的方法
（1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行）
（2）先证面面平行
41、证明平面与平面平行的方法
平面与平面平行的判定定理（一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行）
．．．．
42、证明直线与直线垂直的方法
转化为证明直线与平面垂直
43、证明直线与平面垂直的方法
（1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交直线垂直）
．．．．
（2 ）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面）
44、证明平面与平面垂直的方法
平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直）
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45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 < br>圆柱侧面积=
2
?
rl
，表面积=
2
?
rl ?2
?
r
2

圆椎侧面积=
?
rl
，表面 积=
?
rl?
?
r
2

1
V
柱体
?Sh
（
S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高）.
3
V
锥体
?
1
3
Sh
（
S
是锥体 的底面积、
h
是锥体的高）.
4
3
3
2
?
R
,其表面积
S?4
?
R
． 球的半径是
R
，则 其体积
V?
46、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算
47、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）
48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。
正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
七、概率统计
49、平均数、方差、标准差的计算
平均数:
x?
标准差:
s?< br>x
1
?
x
2
??
x
n
n
方差:
s?
2
2
1
n
[(x
1
?x)?( x
2
?x)??(x
n
?x)]

2
222
1
n
[(x
1
?x)?(x
2
?x)??(x
n
?x)]

2
50、回归直线方程
n
?
?< br>?
x
i
?x
??
y
i
?y
?
?
?
b?
i?1
n
?
?
2
y?a?bx
，其中
?
?
?
x
i
?x
?
?i?1
?
?
a?y?bx
n
?
xy
i
i?1
n
i
?nxy
2
?
i?1
x
i?nx
2
.
51、独立性检验
K
2
?
n( ac?bd)
2
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)

52、古典概 型的计算（必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗
．．．．． ．．．．
漏）

八、复数
53、复数的除法运算
a?bic?di
?
(a?bi)(c?di)
(c?di)(c?di)
?(ac?bd)?(bc?ad)i
c?d
2
22
2
.
54、复数
z?a?bi
的模
|z|
=
|a?bi|
=< br>a?b
.
九、解题方法和技巧
55、总体应试策略：先易后难，一般先作选 择题，再作填空题，最后作大题，选择题力保速度和准确度为
后面大题节约出时间，
但准确度是 前提
，对于填空题，看上去没有思路或计算太复杂可以放弃，对
于大题，尽可能不留空白，把题 目中的条件转化代数都有可能得分，在考试中学会放弃，摆脱一个题
目无休止的纠缠，给自己营造一个良 好的心理环境，这是考试成功的重要保证。
56．解答选择题的特殊方法是什么？
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(顺推法，特征分析法，直观选择 法，逆推验证法，
估算法，特例法，数形结合法
等等)
57、答填空题时应注意什么？（特殊化，图解，等价变形）
58、解答应用型问题时，最基本要求是什么？
审题、找准题目中的关键词，设未知数 、列出函数关系式、代入初始条件、注明单位、作答学会跳步得
分技巧，第一问不会，第二问也可以作， 用到第一问就直接用第一问的结论即可，要学会用“由已知得”
“由题意得”“由平面几何知识得”等语 言来连接，一旦你想来了，可在后面写上“补证”即可。
十、数学高考应试技巧
数学考试时 ，有许多地方都要考生特别注意．在考试中掌握好各种做题技巧，可以帮助
各位在最后关头鲤鱼跃龙门。
考试注意：
１．考前５分钟很重要
在考试中，要充分利用考前５分钟的时间。考卷 发下后，可浏览题目。当准备工作（填写姓
名、考号等）完成后，可以翻到后面的解答题，通读一遍，做 到心中有数。
２．区别对待各档题目
考试题目分为易、中、难三种，它们的分值比约为３： ５：２。考试中大家要根据自身状况
分别对待。
⑴做容易题时，要争取一次做完，不要中间拉空。这类题要１００％的拿分。
⑵做中等题时，要静下心来，尽量保证拿分，起码有８０％的完成度。
⑶做难题时，大家通常会感觉无从下手。这时要做到：
①多读题目，仔细审题。
②在草稿上简单感觉一下。
③不要轻易放弃。许多同学一看是难题、大题，不多做考虑，就彻 底投降。解答题多为小步
设问，许多小问题同学们都是可以解决的，因此，每一个题、每一个问，考生都 要认真对待。
３．时间分配要合理
⑴考试时主要是在选择题上抢时间。
⑵做题时 要边做边检查，充分保证每一题的正确性。不要抱着“等做完后再重新检查”的念
头而在后面浪费太多的 时间用于检查。
⑶在交卷前３０分钟要回头再检查一下自己的进度。注意及时填机读卡。
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