人教版高中物理及数学公式大全

高中物理公式大全
高中数学和物理常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系
x?A?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
2.德摩根公式
C
U
(A?B)?C
U
A?C
U
B;C
U
(A?B)?C
U
A?CU
B
.
3.包含关系
A?B?A?A?B?B
?A?B?C
U
B?C
U
A

?A?C
U
B??
?C
U
A?B?R

4.容斥原理
card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B)

card(A?B?C)?cardA?cardB?cardC?card(A?B)
?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C)
.
5．集合
{a
1
,a
2
,?,a
n
}
的子集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
–1个；非空子集有
2
n
–1个；非空的真子集有
2
n
–2
个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)
2
?k(a?0)
;
(3)零点式
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
7.解连不等式
N?f(x)?M
常有以下转化形式
N?f(x)?M
?
[f(x)?M][f(x)?N]?0

?< br>|f(x)?
?
M?N
2
|?
M?N
2
?< br>f(x)?N
M?f(x)
?0

1
f(x)?N
?
1
M?N
.
8.方程
f(x)?0
在
(k
1
,k
2
)
上有且只有一个实 根,与
f(k
1
)f(k
2
)?0
不等价,前者是后者的一 个必要而不是充分条
件.特别地, 方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)< br>有且只有一个实根在
(k
1
,k
2
)
内,等价于f(k
1
)f(k
2
)?0
,或
f(k
1)?0
且
k
1
??
b
2a2
9.闭区间上的二 次函数的最值
?
k
1
?k
2
k
1
?k
2
2
b
2a
,或
f(k
2
)?0
且
???k
2
.
b
2a
2
二次函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)
在闭区间
?
p,q
?
上的最 值只能在
x??
处及区间的两端点处取得，具体如
下：
(1)当a>0时， 若
x??
x??
b
2a
b
2a
?
?
p,q
?
，则
f(x)
min
?f(?
b
2a< br>),f(x)
max
?
max
?
f(p),f(q)
?
；
?
?
p,q
?
，
f(x)
max< br>?
max
?
f(p),f(q)
?
，
f(x)
min
?
min
?
in
?
f(p),
m
?
inf
f(q)
?
.
p()f
?
,
，
q(
若
)
x??
b
2a
?
?
p, q
?
，则(2)当
f(x
m
)
ax
a<0时，若< br>x??
p(
b
2a
?
?
p,q
?
， 则
f(x
m
)
?m
?
axf)f
，
,qf (x)
min
)
?
?min
?
f(p),f(q)
?
.
10.一元二次方程的实根分布
依据：若
f(m)f(n)?0，则方程
f(x)?0
在区间
(m,n)
内至少有一个实根 .
设
f(x)?x
2
?px?q
，则
?
p2
?4q?0
?
（1）方程
f(x)?0
在区间
(m, ??)
内有根的充要条件为
f(m)?0
或
?
p
；
?m
?
?
?2
-1-

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?
f(m)?0
?
f(n)?0
?
?
f(m)?0
?
2
（2）方程
f(x)?0
在区间
(m,n)
内 有根的充要条件为
f(m)f(n)?0
或
?
p?4q?0
或
?
或
af(n)?0
?
?
?
m??
p
? n
?
?2
?
f(n)?0
；
?
?
af( m)?0
?
p
2
?4q?0
?
（3）方程
f(x) ?0
在区间
(??,n)
内有根的充要条件为
f(m)?0
或
?
p
.
?
??m
?2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间
(??,??)
的子区间
L
（形如
?
?
,
?
?
，
?
??,
?
?
，
?
?
,??
?
不同）上含参数的二次不等式
f(x,t)?0(
t
为参数)恒成立的充要条件是
f(x,t)
min
?0(x ?L)
.
(2)在给定区间
(??,??)
的子区间上含参数的二次不等式
f(x,t)?0
(
t
为参数)恒成立的充要条件是
f(x,t)< br>man
?0(x?L)
.
?
a?0
?
a?0
?
(3)
f(x)?ax
4
?bx
2
?c?0
恒 成立的充要条件是
?
b?0
或
?
2
.
?
b?4ac?0
?
c?0
?
12.真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
13.常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有
n
个
至多有（
n?1
）个
小于 不小于 至多有
n
个 至少有（
n?1
）个
对所有
x
， 存在某
x
，
p
或
q

?p
且
?q

成立 不成立
对任何
x
，
不成立
存在某
x
，
p
且
q

成立

?p
或
?q





14.四种命题的相互关系

原命题
若ｐ则ｑ

互
否


否命题
若非ｐ则非ｑ

15.充要条件











互



否


互逆


为

逆


互逆


互
为

逆
否


逆命题
若ｑ则ｐ
互
否

逆否命题
若非ｑ则非ｐ




-2-

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（1）充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
充分条件.
（2）必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
必要条件.
（3）充要条件：若
p?q
，且
q?p
，则
p
是< br>q
充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
16.函数的单调性
(1)设
x
1
?x
2
??
a,b
?
,x
1
?x
2
那么
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?f(x
1
)?f(x
2
)
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
x
1
?x
2
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是增函数；
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数；如果
f
?
(x)?0
，则
f( x)
为减函数.
17.如果函数
f(x)
和
g(x)
都是 减函数,则在公共定义域内,和函数
f(x)?g(x)
也是减函数; 如果函数
y? f(u)
和
u?g(x)
在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数
y?f [g(x)]
是增函数.
18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称， 偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个
函数是奇函数；如果 一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
19.若函数
y?f(x)
是偶函数，则
f(x?a)?f(?x?a)
；若函数
y?f(x?a)
是偶 函数，则
f(x?a)?f(?x?a)
.
a?b
2
20.对于函 数
y?f(x)
(
x?R
),
f(x?a)?f(b?x)
恒成立,则函数
f(x)
的对称轴是函数
x?
y?f(x?a)
与< br>y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
a?b
2
;两个函数
对称.
a
21.若
f(x)??f(?x?a)
,则函数
y?f(x)
的图象关于点
(,0)
对称; 若
f(x)??f(x?a)
,则函数
y?f(x )
2
为周期为
2a
的周期函数.
nn?1
22．多项式函 数
P(x)?a
n
x?a
n?1
x???a
0
的奇 偶性
多项式函数
P(x)
是奇函数
?
P(x)
的偶次项( 即奇数项)的系数全为零.
多项式函数
P(x)
是偶函数
?
P(x )
的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数
y?f(x)
的图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a?x)?f(a?x)

?f(2a?x)?f(x)
.
a?b
2
(2)函数
y? f(x)
的图象关于直线
x?
?f(a?b?mx)?f(mx)
.
对称
?f(a?mx)?f(b?mx)

24.两个函数图象的对称性 < br>(1)函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象关于直线
x?0
(即
y
轴)对称.
(2)函数
y?f(mx?a)
与函数
y?f(b?mx)
的图象关于直线
x?
?1
a?b
2m
对称.
(3)函数
y?f(x)
和
y?f(x)
的 图象关于直线y=x对称.
25.若将函数
y?f(x)
的图象右移
a、上移
b
个单位，得到函数
y?f(x?a)?b
的图象；若将曲线f(x,y)?0
的
图象右移
a
、上移
b
个单位，得到 曲线
f(x?a,y?b)?0
的图象.
26．互为反函数的两个函数的关系
f(a)?b?f
?1
(b)?a
.
1
k
[f< br>?1
27.若函数
y?f(kx?b)
存在反函数,则其反函数为
y?
y?[f
?1
(x)?b]
,并不是
y?[f
?1
(kx?b)
,而函数
(kx?b)
是
y?
1
k
[ f(x)?b]
的反函数.
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数
f(x)?cx
,
f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c
. < br>(2)指数函数
f(x)?a
,
f(x?y)?f(x)f(y),f(1)? a?0
.
-3-
x

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(3)对 数函数
f(x)?log
a
x
,
f(xy)?f(x)?f(y), f(a)?1(a?0,a?1)
.
(4)幂函数
f(x)?x
?
,
f(xy)?f(x)f(y),f
'
(1)?
?
.
( 5)余弦函数
f(x)?cosx
,正弦函数
g(x)?sinx
，
f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)
，
f(0)?1,lim
g(x)
x
x?0
?1
.
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期T=a；
（2）
f(x)?f(x?a)?0
，
或
f(x?a)?
或
f(x?a)??
或
1
2
?
1
f(x)
1
f(x)
2
(f(x)?0)
，
(f(x)?0)
,
f(x)?f(x)?f(x?a),(f(x)?
?
0,1
?
)< br>,则
f(x)
的周期T=2a；
(3)
f(x)?1?
1< br>f(x?a)
(f(x)?0)
，则
f(x)
的周期T=3a； (4)
f(x
1
?x
2
)?
f(x
1
)?f(x
2
)
1?f(x
1
)f(x
2
)
且
f(a)?1(f(x
1
)?f(x
2
)?1,0?|x
1
?x
2
|?2a)
，则
f(x)
的周期T=4a；
(5)
f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)

?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a)
,则
f(x)
的周期T=5a；
(6)
f(x?a)?f(x)?f(x?a)
，则f(x)
的周期T=6a.
30.分数指数幂
m
(1)
a
n
?
(2)
a
?
m
n
1
n
a
m
（
a?0,m,n?N
?
，且
n?1
）.
（
a?0,m,n?N
?
，且
n?1
）.
?
1
m
a
n
31．根式的性质
（1）
(
n
a)
n
?a
.
（2）当
n
为奇数时，
a?a
；
当
n
为 偶数时，
a
n
n
n
n
?
a,a?0
?|a |?
?
.
?a,a?0
?
32．有理指数幂的运算性质
rsr?s
(1)
a?a?a(a?0,r,s?Q)
.
(2)
(a)?a(a?0,r,s?Q)
.
(3)
(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q)
.
注： 若a＞0，p 是一个无理数，则a
p
表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都 适
用.
33.指数式与对数式的互化式

rsrs
rrr
log
a
N?b?a?N
(a?0,a?1,N?0)
.

b
34.对数的换底公式
log
a
N?
log
m
N
log
m
a
n
m
(
a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
n
m
log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,n?1
,

N?0
). 推论
log
a
b?
35．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)
log
a
(MN) ?log
a
M?log
a
N
;
-4-

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(2)
log
a
M
N
n
?log
a
M?log
a
N
;
?nlog
a
M(n?R)
.
m
(3)
log< br>a
M
36.设函数
f(x)?log(ax
2
2
?b x?c)(a?0)
,记
??b?4ac
.若
f(x)
的定义域为< br>R
,则
a?0
，且
??0
;若
f(x)
的值 域为
R
,则
a?0
，且
??0
.对于
a?0
的情形,需要单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广
若
a?0
,
b?0
,
x?0
,
x?
(1)当
a?b
时,在
(0,)
和
(
a
1
a
，
1
a
1
a
1
a
,则函数
y? log
ax
(bx)

,??)
上
y?log
ax
(bx)
为增函数.
,??)
上
y?log
ax
(bx)
为减函数.
1
(2)当
a?b
时,在
(0,)
和
(< br>推论:设
n?m?1
，
p?0
，
a?0
，且
a?1
，则
（1）
log
m?p
(n?p)?log
m
n
.
（2）
log
a
mlog
a
n?log
a
38. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则对于时 间
x
的总产值
y
，有
y?N(1?p)
x
.
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
n?1
?
s
1
,
a
n
?
?
( 数列
{a
n
}
的 前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
???a
n
).
?
s
n
?s
n?1
,n?2
2< br>m?n
2
.
40.等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N)
；
*
其前n项和公式为
s
n
?
?
d
2n(a
1
?a
n
)
2
n?(a
1
?< br>2
?na
1
?
d)n
.
n(n?1)
2
d

1
2
41.等比数列的通项公式
a
n?1n*
a
n
?a
1
q?
1
?q(n?N)
；
q
其前n项的和公式为
?
a
1
(1?q
n
)
,q?1
?
s
n
?
?
1?q

?
na,q?1
?
1
?
a
1
?a
nq
,q?1
?
1?q
或
s
n
?
?.
?
na,q?1
?
1
42.等比差数列
?
a
n
?
:
a
n?1
?qa
n
?d,a1
?b(q?0)
的通项公式为
?
b?(n?1)d,q?1
?
a
n
?
?
bq
n
?(d?b)q
n?1
?d
；
,q?1
?
q?1
?
其前n项和公式为
-5-

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?
nb?n(n?1)d,(q?1)
?
n
.
s
n
?
?
d1?qd
?
(b?
1?q
)
q? 1
?
1?q
n,(q?1)
?
43.分期付款(按揭贷款) 每次还款
x?
ab(1?b)
n
n
(1?b)?1
44 ．常见三角不等式
?
（1）若
x?(0,)
，则
sinx?x?tanx
.
2
?
(2) 若
x?(0,)
，则
1?sinx?cosx?2
.
2
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
元(贷款
a
元,
n
次还清,每期利率为
b
).
45.同角三角函数的基本关系式
sin
?
22
，
ta n
?
?cot
?
?1
.
sin
?
?co s
?
?1
，
tan
?
=
cos
?
46.正弦、余弦的诱导公式
n
?
2
n
?
?
(? 1)sin
?
,
sin(?
?
)?
?

n ?1
2
?
2
?
(?1)cos
?
,
(n为 偶数)

(n为奇数)
(n为偶数)

(n为奇数)
n
?
2
n
?
?
(?1)cos
?
,
cos(?
?
)?
?
n?1
2
?
2
sin
?
,
?
(?1)

47.和角与差角公式

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1
?
tan
?
tan
?
2
.
2
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin
??sin
?
(平方正弦公式);
cos(
?
?
?)cos(
?
?
?
)?cos
?
?sin
?< br>.
asin
?
?bcos
?
=
22
a?b sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决定,
tan
?
?
22
b
a< br> ).
48.二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
co s2
?
?cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1?1?2sin
?
.
2tan
?
tan2
?
?
.
2
1?tan
?
2222
49. 三倍角公式
sin3
?
?3sin
?
?4sin
?
?4sin
?
sin(
3
3
?
3
?
?
)sin(
?< br>3
?
?
)
.
cos3
?
?4cos
?
?3cos
?
?4cos
?
cos(
?
3?
?
)cos(
?
3
?
?
)
.
tan3
?
?
3tan
?
?tan
?
1?3ta n
?
2
3
?tan
?
tan(
?
3
?
?
)tan(
?
3
?
?
)
.
50.三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T?
函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x?k
?
?
?
2
,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的 周期
T?
-6-
2
?
?
；
?
?
.

高中物理公式大全
51.正弦定理
a
sinA
2
?
b
sinB
2
?
c
sinC
?2R< br>.
52.余弦定理
a?b?c?2bccosA
;
b?c?a?2cacosB
;
222
c?a?b?2abcosC
.
222
2
53.面积定理
（1）
S?
（2）
S?
1
2
1
2
ah
a
?
1
2
bh
b
?
1
1
2
ch
c
（
ha
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边上的高）.
1
casinB
.
absinC?
1
2
(3)< br>S
?OAB
?
22
????????????????
22< br>(|OA|?|OB|)?(OA?OB)
.
bcsinA?
54.三角形内角和定理
在△ABC中，有
A?B?C ?
?
?C?
?
?(A?B)

?
C
2?
?
2
?
A?B
2
?2C?2
?
?2 (A?B)
.
55. 简单的三角方程的通解

sinx?a? x?k
?
?(?1)
k
arcsina(k?Z,|a|?1)
.

cosx?a?x?2k
?
?arccosa(k?Z,|a|?1)
.
tanx?a?x?k
?
?arctana(k?Z,a?R)
.
特别地,有
sin
?
?sin
?
?
?
? k
?
?(?1)
?
(k?Z)
.
k
cos
?
?cos
?
?
?
?2k
?
?
?
(k?Z)
.
tan
?
?tan
?
?
?
?k
?
?
?
(k?Z)
.
56.最简单的三角不等式及其解集

sinx?a(|a|?1)?x?( 2k
?
?arcsina,2k
?
?
?
?arcsina) ,k?Z
.
sinx?a(|a|?1)?x?(2k
?
?
??arcsina,2k
?
?arcsina),k?Z
.
< br>cosx?a(|a|?1)?x?(2k
?
?arccosa,2k
?
?arccosa),k?Z
.

cosx?a(|a|?1)?x?(2 k
?
?arccosa,2k
?
?2
?
?arccosa) ,k?Z
.

tanx?a(a?R)?x?(k
?
?ar ctana,k
?
?
tanx?a(a?R)?x?(k
?
?
?
2
),k?Z
.
?
2
,k
?
?arctana),k?Z
.
57.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积的运算律：
(1)
a
·b= b·
a
（交换律）;
(2)（
?
a
）·b=
?
（
a
·b）=
?
a
·b=
a
·（
?
b）;
(3)（
a
+b）·c=
a
·c +b·c.
59.平面向量基本定理
如果e
1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平 面内的任一向量，有且只有一对实数λ
1
、λ
2
，使
得a=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
．
不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
60．向量平行的坐标表示
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b?
0，则a
?
b(b
?
0)
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.
53.
a
与b的数量积(或内积)
a
·b=|
a
||b|cosθ．
-7-

高中物理公式大全
61. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
62.平面向量的坐标运算
(1)设a=
(x
1
,y
1< br>)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a+b=(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(2)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a-b=
(x
1
? x
2
,y
1
?y
2
)
.
????????????
(3)设A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
,则
A B?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1)
.
(4)设a=
(x,y),
?
?R
，则
?
a=
(
?
x,
?
y)
.
(5)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
, y
2
)
，则a·b=
(x
1
x
2
?y1
y
2
)
.
63.两向量的夹角公式
x
1
x
2
?y
1
y
2
(
a
=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
).
cos
?
?
2222
x
1< br>?y
1
?x
2
?y
2
64.平面两点间的距离公式

d
A,B
=
|AB|?
?
2
????? ???????
AB?AB

2
(x
2
?x
1)?(y
2
?y
1
)
(A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
).
65.向量的平行与垂直
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b
?
0，则
A||b
?
b=λa
?x
1
y
2?x
2
y
1
?0
.
a
?
b(a?
0)
?
a
·b=0
?x
1
x
2?y
1
y
2
?0
.
66.线段的定比分公式 < br>????????
设
P
1
(x
1
,y
1)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，
P(x,y)
是线段
P
1
P
2
的分点,
?
是实数，且
P
1
P?
?
PP
2
，则 x
1
?
?
x
2
?
????????
x ?
?
????
OP
1
?
?
OP
2
?
1?
?
?

OP?
?
1?
?
y ?
?
y
2
?
y?
1
?
1?
??
????????????
1
?
OP?tOP
1
?( 1?t)OP
2
（
t?
）.
1?
?
67.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y< br>2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△A BC的重心的坐标是
G(
x
1
?x
2
?x
3
3
,
y?
1
y?
2
y
3
)
3< br>.
68.点的平移公式
''
????
????
????
??
?
x?x?h
?
x?x?h
''
?OP?OP ?PP
.
?
??
''
??
?
y?y?k
?
y?y?k
????
'
注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图 形
F
上的对应点为
P(x,y)
，且
PP
的坐标为
(h,k)
.
'
'''
69.“按向量平移”的几个结论
'（1）点
P(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到点
P( x?h,y?k)
.
(2) 函数
y?f(x)
的图象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,则
C
的函数解析 式为
y?f(x?h)?k
.
(3) 图象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,若
C
的解析式
y?f(x)
,则
C
的函数解析式为
y?f(x?h)?k
.
(4)曲 线
C
:
f(x,y)?0
按向量a=
(h,k)
平移后得到 图象
C
,则
C
的方程为
f(x?h,y?k)?0
.
(5) 向量m=
(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到的向 量仍然为m=
(x,y)
.
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为
?ABC
所在平面上一点，角
A,B,C
所对边长分 别为
a,b,c
，则
（1）
O
为
?ABC
的外心
?
（2）
O
为
?ABC
的重心
?
（3）< br>O
为
?ABC
的垂心
?
（4）
O
为
?ABC
的内心
?
????
2
????
2
????
2
OA?OB?OC
.
?????????????
OA?OB?OC?0
.
????????? ???????????????
OA?OB?OB?OC?OC?OA
.
?????????????
aOA?bOB?cOC?0
.
-8- ''
''
''

????????????
（5）
O
为
?ABC
的
?A
的旁心
?aOA?bOB?cOC.
71.常用不等式：
a?b
2
高中物理公式大全
（1）
a,b?R
?
a
2
?b
2
?2ab
(当且 仅当a＝b时取“=”号)．
（2）
a,b?R
?
?
?ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（3）
a
3
?b
3
?c
3
?3abc(a?0,b?0,c?0).

（4）柯西不等式
22222
(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R.

（5）
a?b?a?b?a?b
.
72.极值定理
已知
x,y
都是正数，则有
（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2
（2）若 和
x?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值
1
4
2
p
；
s
.
推广 已知
x,y?R
，则有
(x?y)
2
?(x?y)
2
? 2xy

（1）若积
xy
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|x?y|
最大；
当
|x?y|
最小时,
|x?y|
最小.
（2）若和
|x?y|
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|xy|
最小；
当
|x?y|
最小时,
|xy|
最大.
73.一元二次不等式
ax
2
?bx?c ?0(或?0)(a?0,??b
2
?4ac?0)
，如果
a
与ax
2
?bx?c
同号，则其解集在
两根之外；如果
a
与
ax
2
?bx?c
异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异 号两根之间.
x
1
?x?x
2
?(x?x
1
)( x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
；
x? x
1
,或x?x
2
?(x?x
1
)(x?x
2)?0(x
1
?x
2
)
.
74.含有绝对值的不等式
当a> 0时，有
x?a?x?a
2
2
2
??a?x?a
.
x?a?x?a?x?a
或
x??a
.
2
75.无理不等式
?
f(x)?0
?
（1）
f (x)?g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)< br>?
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
（2）
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
.
或
?
?
g(x)?0
?
f(x)?[g(x)]
2
?
?
f(x)? 0
?
（3）
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?[g(x)]
2
?
76.指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
; ?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?
(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
-9-

高中物理公式大全
?
f(x)?0
?

log
a
f(x)?log< br>a
g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
77.斜率公式
k?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
（
P
1
(x
1
,y
1< br>)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）.
78.直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
（3）两点式
(4)截距式
y?y
1
y
2
?y
1
x
?
y
?
x?x
1
x
2
?x
1(
y
1
?y
2
)(
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y< br>2
)
(
x
1
?x
2
)).
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
?1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
79.两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2

①
l
1
||l
2
?k
1
? k
2
,b
1
?b
2
;
②
l
1< br>?l
2
?k
1
k
2
??1
.
(2 )若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C2
?0
,且A
1
、A
2
、B
1
、B< br>2
都不为零,
①
l
1
||l
2
?
A
1
A
2
?
B
1
B
2
?
C
1
C
2
；
②
l
1
?l
2?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
；
80.夹角公式
(1)
tan
?
?|
k
2
?k
1
1?k
2
k
1
|
.
(< br>l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2< br>:y?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2< br>??1
)
(2)
tan
?
?|
A
1
B
2
?A
2
B
1
A
1
A
2?B
1
B
2
|
.
(
l
1
: A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
).
直线
l
1
?l
2
时，直线l
1
与l
2
的夹角是
81.
l
1
到
l
2
的角公式
(1)
tan< br>?
?
k
2
?k
1
1?k
2
k
1
?
2
.
.
(
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b< br>2
,
k
1
k
2
??1
)
(2)< br>tan
?
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
A
1
A
2
?B
1
B
2.
(
l
1
:A
1
x?B
1
y?C< br>1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2y?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
).
直线
l
1
?l
2
时，直线l
1
到l
2
的角是
?
2
.
82．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
(除直线
x?x
0
),其中< br>k
是待定的系
数; 经过定点
P
0
(x
0
, y
0
)
的直线系方程为
A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?0
,其中
A,B
是待定的系数．
(2)共点直线系方程： 经过两直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y? C
2
?0
的交点的直线系方程为
(A
1
x?B
1< br>y?C
1
)?
?
(A
2
x?B
2
y ?C
2
)?0
(除
l
2
)，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线
y?kx?b
中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程 ．与直线
Ax?By?C?0
平行的直线系方程是
Ax?By?
?
? 0
(
?
?0
)，λ是参变量．
-10-

高中物理公式大全
(4)垂直直线系方程：与直线
Ax?By?C?0
(A≠0，B≠0)垂直的直线 系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,λ是参变
量．
83.点到直线的距离
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
22
A?B
84.
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By?C? 0
).
设直线
l:Ax?By?C?0
，则
Ax?By?C?0< br>或
?0
所表示的平面区域是：
若
B?0
，当
B与
Ax?By?C
同号时，表示直线
l
的上方的区域；当
B与
Ax?By?C
异号时，表示直线
l
的下
方的区域.简言之, 同号在上,异号在下.
若
B?0
，当
A
与
Ax?By?C
同号时，表示直线
l
的右方的区域；当
A
与
Ax?By?C
异号时，表示直线
l
的左
方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
85.
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
或
?0
所表示的平面区域
设曲线
C:(A
1
x?B
1
y?C< br>1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
（
A
1
A
2
B
1
B
2
?0），则
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A2
x?B
2
y?C
2
)?0
或
?0
所 表示的平面区域是：
(A
1
x?B
1
y?C
1
) (A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
所表示的平面区域 上下两部分；
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A< br>2
x?B
2
y?C
2
)?0
所表示的平面区域上下两 部分.
86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
（2）圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0< br>(
D
2
?E
2
?4F
＞0).
（3）圆的参数方程
?
?
x?a?rcos
?
?
y?b?rsin
?
.
（4）圆的直径式方程
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
(圆的直径的端点是
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
).
87. 圆系方程
(1)过点
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
, y
2
)
的圆系方程是
(x?x
1
)(x?x
2< br>)?(y?y
1
)(y?y
2
)?
?
[(x?x1
)(y
1
?y
2
)?(y?y
1
)(x1
?x
2
)]?0

?(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?
?
( ax?by?c)?0
,其中
ax?by?c?0
是直线
AB
的方程 ,λ是待定的系数．
(2)过直线
l
:
Ax?By?C?0
与圆< br>C
:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
的交 点的圆系方程是
x?y?Dx?Ey?F?
?
(Ax?By?C)?0
,λ是 待定的系数．
2222
(3) 过圆
C
1
:
x?y?D< br>1
x?E
1
y?F
1
?0
与圆
C
2
:
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0< br>的交点的圆系方程是
2222
22
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
(x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0
,λ是待定的系数．
88.点与圆的位置关系
点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?( y?b)?r
的位置关系有三种
若
d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
，则
22
222
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点< br>P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
89.直线与圆的位置关系
222
直线
Ax?By?C?0
与圆< br>(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
Aa?Bb?C
22
其中
d?
.
A?B
90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
-11-

高中物理公式大全
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
91.圆的切线方程
(1)已知圆
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
．
①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上，则切线只有 一条，其方程是

x
0
x?y
0
y?
D(x0
?x)
2
?
E(y
0
?y)
2
?F ?0
.
?
E(y
0
?y)
2
?F?0
表 示过两个切点的切点弦方程． 当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0
x?y
0
y?
D(x
0
?x)
2
②过圆外一点的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉
平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆
x
2
?y
2
?r
2
． ①过圆上的
P
0
(x
0
,y
0
)
点的 切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
2
;
②斜率为
k
的圆的切线方程为
y?kx?r1?k
2
. < br>92.椭圆
93.椭圆
x
a
x
a
2
2
2
2
2
2
2
2
?
y
b
y
b
a
?
x?acos
?
.
?1(a?b?0)
的参数方程是
?
y?bsin
?
?
??1(a?b?0)
焦 半径公式
a
22
)
，
PF
2
?e(?x)
.
cc
94．椭圆的的内外部
PF
1
?e(x?
（1）点< br>P(x
0
,y
0
)
在椭圆
（2）点
P(x< br>0
,y
0
)
在椭圆
95. 椭圆的切线方程
(1 )椭圆
x
a
2
2
x
a
x
a
22
2
2
?
?
y
b
y
b
22
2
2
?1(a?b?0)
的内部
?
?1(a?b?0 )
的外部
?
x
0
a
a
x
0
22
2
2
?
?
y
0
b
b
y0
2
2
2
?1
.
?1
.
2
?
x
a
y
b
2
2
2
2
?1(a ?b?0)
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程 是
y
b
2
2
x
0
x
a
2
?
y
0
y
b
2
?1
.
（2）过椭 圆
x
0
x
a
2
??1(a?b?0)
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
?
y
0
y
b
2
?1
.
（3 ）椭圆
x
a
2
2
?
x
a
2
2y
b
?
a
2
2
?1(a?b?0)
与直线Ax?By?C?0
相切的条件是
Aa?Bb?c
.
y
b2
2
22222
96.双曲线
?1(a?0,b?0)
的焦半径 公式
a
22
c
97.双曲线的内外部
PF
1
? |e(x?)|
，
PF
2
?|e(
2
2
2
2
c
2
2
2
2
?x)|
.
(1)点P(x
0
,y
0
)
在双曲线
(2)点
P(x< br>0
,y
0
)
在双曲线
x
a
2
2x
a
x
?
?
y
b
y
?1(a?0,b ?0)
的内部
?
?1(a?0,b?0)
的外部
?
x
0
a
a
x
0
2
2
2
2
?
?
y
0
b
b
y
0
2
2
2
?1
.
?1
.
ab
98.双曲线的方程与渐近线方程的关系
2
(1）若双曲线方程为
?
y
b
2
2
?1
?
渐近线方程：
x
a
2
2
?
y
b
2
2
?0?
y??
b
a
x
.
-12-

高中物理公式大全
(2)若渐近线方程为
y??
(3)若双曲线与
x
a
22
b
a
x
?
x
a
?
y
b?0
?
双曲线可设为
x
a
2
2
?
y< br>b
2
2
??
.
?
y
b
2
2
?1
有公共渐近线，可设为
x
a
2
2
?
y
b
2
2
??
（
??0
，焦点在x轴上，
??0
，焦点在y轴
上）.
99. 双曲线的切线方程
(1)双曲线< br>x
a
2
2
?
x
a
y
b
2< br>2
2
2
?1(a?0,b?0)
上一点
P(x
0,y
0
)
处的切线方程是
y
b
2
2
x
0
x
a
2
?
y
0
y
b
2
?1
.
（2）过双曲线
x
0
x
a
2
??1(a?0,b?0)
外一点
P(x
0
,y
0)
所引两条切线的切点弦方程是
?
y
0
y
b
2
?1
.
（3）双曲线
x
2
2
ab
100. 抛物线
y
2
?2px
的焦半径公式
?
y
2
2
22222
?1(a?0,b?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
Aa?Bb?c
.
抛物线
y
2
?2px(p ?0)
焦半径
CF?x
0
?
过焦点弦长
CD?x
1
?
p
2
?x
2
?
p
2
p
2
.
?x
1
?x
2
?p
.
101.抛 物线
y
2
?2px
上的动点可设为P
(
102.二次函数< br>y?ax?bx?c?a(x?
（2）焦点的坐标为
(?
b
,
4ac?b?1
4a
2
2
y
?
2
2p
2< br>,y
?
)
或
P(2pt,2pt)或
P
(x
?
,y
?
)
，其中
y
?
?2px
?
.
2
2
b
2a
)?
4ac?b
4a
2
（1）顶点坐标为
(?
(a ?0)
的图象是抛物线：
4ac?b?1
4a
2
b
2a,
4ac?b
4a
2
)
；
2a
103.抛物线 的内外部
（3）准线方程是
y?)
；.
(1)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y
2
?2px(p?0)的内部
?y
2
?2px(p?0)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y
2
?2px(p?0)< br>的外部
?y
2
?2px(p?0)
.
(2)点
P( x
0
,y
0
)
在抛物线
y??2px(p?0)
的 内部
?y??2px(p?0)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y??2px(p?0)
的外部
?y??2px(p ?0)
.
(3)点
P(x
0
,y
0
)
在 抛物线
x?2py(p?0)
的内部
?x?2py(p?0)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x?2py(p?0)
的外部
?x?2py(p?0)
.
(4) 点
P(x
0< br>,y
0
)
在抛物线
x?2py(p?0)
的内部
?x ?2py(p?0)
.
点
P(x
0
,y
0
)在抛物线
x??2py(p?0)
的外部
?x??2py(p?0)
.
104. 抛物线的切线方程
2
(1)抛物线
y?2px
上一点< br>P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
y
0y?p(x?x
0
)
.
2
（2）过抛物线
y? 2px
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切 点弦方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
.
22
22
22
22
22
22
（3）抛物线< br>y?2px(p?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
pB? 2AC
.
105.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线
f
1(x,y)?0
,
f
2
(x,y)?0
的交点的曲线系方程是
f
1
(x,y)?
?
f
2
(x,y)?0
(
?
为参数).
22
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程
2222
x
2
2
a?k
?
y
2
2
b?k< br>?1
,其中
k?max{a,b}
.当
k?min{a,b}
时,表示椭圆;
22
22
当
min{a,b}?k?max{a,b}时,表示双曲线.
106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?
AB?222
(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)
或
2
22
(1?k)(x
2
?x
1
)?|x
1
?x
2
|1?tan
?
?|y
1
?y
2
|1?cot
?
（弦端点A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，由方程
-13-

高中物理公式大全
?
y?kx?b
消去y得到
ax
2
?bx?c?0
，
??0
,
?
为直 线
AB
的倾斜角，
k
为直线的斜率）.
?
?
F(x,y)?0
107.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲 线
F(x,y)?0
关于点
P(x
0
,y
0
)成中心对称的曲线是
F(2x
0
-x,2y
0
?y)?0
.
（2）曲线
F(x,y)?0
关于直线
Ax?By?C?0
成 轴对称的曲线是
F(x?
2A(Ax?By?C)
A?B
22
,y ?
2B(Ax?By?C)
A?B
22
)?0
.
108.“四线”一方程
对于一般的二次曲线
Ax
2
?Bx y?Cy
2
?Dx?Ey?F?0
，用
x
0
x
代< br>x
2
，用
y
0
y
代
y
2
， 用
x
0
?x
2
x
0
y?xy
0
2
代
xy
，用
代
x
，用
y
0
?y< br>Ax
0
x?B?
2
x
0
y?xy
0
2
代
y
即得方程
x
0
?x
2
?E?y
0
?y
2
?F?0
，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方 程均是此方程
?Cy
0
y?D?
得到.
109．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.
110．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
111．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.
112．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
114．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直.
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向 量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角
线所表示的向量.
117.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b
?
?
存在实数λ使a=λb．
???????
???? ????????
P、A、B
三点共线
?
AP||AB
?
A P?tAB
?
OP?(1?t)OA?tOB
.
????????????
????
AB||CD
?
AB
、
CD
共线且
AB、CD
不共线
?
AB?tCD
且
AB、CD
不共线.
-14-
118.共面向量定理

高中物理公式大全
????????????
推论 空间一点P位于平面MAB内的
?
存在有 序实数对
x,y
,使
MP?xMA?yMB
，
????????? ????????
或对空间任一定点O，有序实数对
x,y
，使
OP?OM? xMA?yMB
.
????????????????
119.对空间任一点
O
和不共线的三点A、B、C，满足
OP?xOA?yOB?zOC
（
x? y?z?k
），则当
k?1
时，
向量p与两个不共线的向量a、b共面的?
存在实数对
x,y
,使
p?ax?by
．
对于空间 任一点
O
，总有P、A、B、C四点共面；当
k?1
时，若
O?平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若
O?
平面
ABC，则P、A、B、C 四点不共面．
????
????????????
????????
A、B、 C、D < br>四点共面
?
AD
与
AB
、
AC
共面
?
AD?xAB?yAC
?

????????????????
O D?(1?x?y)OA?xOB?yOC
（
O?
平面ABC）.
????????
OP?xOA?
120.空间向量基本定理
如果三个 向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋z c．
推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x， y，z，使
????????
yOB?zO
.
C
121.射影公式
????
已知向量
AB
=
a
和轴
l
，e是
l
上与
l
同方向的单位向量.作A点在
l
上的射影
A
'
，作B点在
l
上的射影
B
'
，则
? ???
''
AB?|AB|cos
〈
a
，e〉=
a
·e
122.向量的直角坐标运算
设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
，b＝
(b
1
,b2
,b
3
)
则
(1)
a
＋b＝
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3< br>?b
3
)
；
(2)
a
－b＝
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
? b
3
)
；
(3)λ
a
＝
(
?
a
1
,
?
a
2
,
?
a
3
)
(λ∈R)；
(4)
a
·b＝
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
； < br>123.设A
(x
1
,y
1
,z
1
)
，B
(x
2
,y
2
,z
2
)
，则
????????????
AB?OB?OA
=
(x
2
? x
1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
)
.
124．空间的线线平行或垂直
rr
设
a?(x< br>1
,y
1
,z
1
)
，
b?(x
2< br>,y
2
,z
2
)
，则
?
x
1?
?
x
2
rr
rrrr
?
aPb
?< br>a?
?
b(b?0)
?
?
y
1
?
?
y
2
；
?
z?
?
z
2
?
1
rrrr
a?b
?
a?b?0
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2?0
.
125.夹角公式
设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
，b＝
(b
1
, b
2
,b
3
)
，则
cos〈
a
，b〉=
2
1
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a?a?a
2
2
2
3
.
2
3
b?b?b
2
1
2
2
2222222
推论
(a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
)?(a
1
?a
2
?a
3
)(b
1
?b
2
?b
3
)
，此即三维柯西不等式.
126. 四面体的对棱所成的角
四面体
ABCD
中,
AC
与
BD
所成的角为
?
,则
cos
?
?
|(AB?CD)?(BC?DA)|
2AC?BD
2222
.
rr
（其中
?
（
0?
?
?90
）为异面直 线
a,b
所成角，
a,b
分别表示异面直线
a,b
的方向向 量）
oo
127．异面直线所成角
rr
cos
?
?|cosa,b|

rr
|x1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
|
|a?b|
r?
=
r

222222
|a|?|b|
x
1
?y
1
?z
1
?x< br>2
?y
2
?z
2
128.直线
AB
与平面所 成角
-15-

??????
AB?m
??
???
(
m
为平面
?
的法向量).
?
?arcsin
???
|AB||m|
高中物理公式大全
129.若
?ABC
所在平面若
?
与过若
AB
的平面?
成的角
?
,另两边
AC
,
BC
与平面
?
成的角分别是
?
1
、
?
2
,
A、B< br>为
?ABC
的两个内角，则
sin
?
1
?sin< br>?
2
?(sinA?sinB)sin
?
.
22222
特别地,当
?ACB?90
?
时,有
sin< br>?
1
?sin
?
2
?sin
?
.
222
130.若
?ABC
所在平面若
?
与过若
AB
的平面
?
成的角?,另两边
AC
,
BC
与平面
?
成的角分别是
?
1
、
?
2
,
A
'
、B
'
为
?ABO
的两个内角，则
tan
?1
?tan
?
2
?(sinA?sinB)tan
?
.
222'2'2
特别地,当
?AOB?90
?
时,有
22 2
sin
?
1
?sin
?
2
?sin
?< br>.
131.二面角
?
?l?
?
的平面角
???? ??
???
m?nm?n
?
?arccos
???
或
?
?arc
cos
???
（
m
，
n
为平 面
?
，
?
的法向量）.
|m||n||m||n|
132.三余弦定理
设AC是α内的任一条直线，且BC ⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为
?
1
，AB与AC所成的角为
?
2
，AO与
AC所成的角为
?
．则
cos
??cos
?
1
cos
?
2
.
133. 三射线定理
若夹在平面角为
?
的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是< br>?
1
,
?
2
,与二面角的棱所成的角是θ，则有
si n
?
sin
?
?sin
?
1
?sin
?< br>2
?2sin
?
1
sin
?
2
cos
?

|
?
1
?
?
2
|?
?
?180?(
?
1
?
?
2
)
(当且仅当< br>?
?90
时等号成立).
?
2222
?
134.空间两点间的距离公式
若A
(x
1
,y
1
,z
1
)
，B
(x
2< br>,y
2
,z
2
)
，则
????

d
A,B
=
|AB|?
????????
AB?AB
?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)?(z2
?z
1
)
.
222
135.点
Q
到直线
l
距离
|a|
136.异面直线间的距离
???????
?
|CD?n |
?
d?
(
l
1
,l
2
是两异面直线，其 公垂向量为
n
，
C、D
分别是
l
1
,l
2
上任一点，
d
为
l
1
,l
2
间的距离).
|n|
h?
1
????
????
(|a||b|)?(a? b)
(点
P
在直线
l
上，直线
l
的方向向量a=< br>PA
，向量b=
PQ
).
22
137.点
B
到平面
?
的距离
????? ??
?
|AB?n|
?
d?
（
n
为平面
?
的法向量，
AB
是经过面
?
的一条斜线，
A?
?< br>）.
|n|
2
138.异面直线上两点距离公式
d?
d?
h?m?n?2mncos
?
.
222
22
????
????
'
h?m?n?2mncosEA,AF
.
222
'
d?h?m?n?2mncos
?
（
?
? E?AA?F
）.
(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段
AA
'
的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，
'
AE?m
,
A F?n
,
EF?d
).
139.三个向量和的平方公式
?? ??
2
?
2
?
2
??????
2

(a?b?c)?a?b?c?2a?b?2b?c?2c?a

?
2
?
2
?
2
????????????
?a?b?c?2|a|?| b|cosa,b?2|b|?|c|cosb,c?2|c|?|a|cosc,a

-16-

高中物理公式大全
140. 长度为
l
的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为
l
1
、l
2
、l
3
，夹角分别为
?
1
、
?
2
、
?
3
,则有
l?l
1
?l
2
?l
3
?cos
?
1
?cos
?
2
?cos
?
3
?1?sin
?
1
?sin
?
2
?sin
?
3
?2
.
2222222222
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
141. 面积射影定理
cos
?
(平面多边形及其射影的面积分别是
S
、
S
'
，它们所在平面所成锐二面角的为
?
).
142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是
l
,侧面积和体积分别是
S
斜棱柱侧
和
V
斜棱柱
,它的直截面的周长和面积分别是
c
1
和
S
1
,则
S?
S
'
.
①
S
斜棱柱侧
?c
1
l
.
②
V
斜棱柱
?S
1
l
.
143．作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.
144．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相 似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离
与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的 多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的
平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比 等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．
145.欧拉定理(欧拉公式)
V?F?E?2
(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
（1）
E< br>=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为
n
的多边形，则面数F与棱数E 的关系：
E?
（2）若每个顶点引出的棱数为
m
，则顶点数V与棱数E的关系 ：
E?
146.球的半径是R，则
其体积
V?
4
3
1
2
mV
.
1
2
nF
；
?
R
,
3
其表面积
S?4
?
R
2
．
147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径
是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为
a
的正四面体的内切球的半径为
148．柱体、锥体的体积
V
柱体
?
V
锥体
?
1
3
1
3Sh
（
S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高）.
Sh
（
S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高）.
6
12
a
,外接球的半径为
6
4
a
.
149.分类计数原理（加法原理）
N?m
1
?m
2
???m
n
.
150.分步计数原理（乘法原理）
N?m
1
?m
2
???m
n
.
151.排列数公式
A
n
=
n(n?1)?(n?m?1)=
m
.(
n
，
m
∈N
*
，且
m?n
)．
(n?m)！
n！
注:规定
0!?1
.
152.排列恒等式
mm?1
(1）
A
n
?(n?m?1)A
n
;
-17-

高中物理公式大全
（2）
A
n
m
?
n
n?m
A
n?1
;
m
1
（3）
A
n
m
?nA
n
m
?
?
;
1
?1n
（4）
nA
n
n
?A
n
n
?
?A
n
;
1
（5）
A
n
m
?1
?A
n
m
?mA
n
m?1
.
(6)
1!?2?2!?3?3!???n?n!?(n?1)!?1
.
153.组合数公式
C
=
m
n
A
n
m
m
A
m
=
n(n?1)
?
(n?m?1)
1?2?
?
?m
=(
n
∈N
*
，
m?N< br>，且
m?n
).
m！?(n?m)！
n！
154.组合数的两个性质
(1)
C
n
m
=
C
n
n?m

(2)
C
n
m
+
C
n
m?1
=
C
n
m
?1
.
注:规定
C
n
0
?1
.
155.组合恒等式
（1）
C
n
?
（2）
C
n
?
（3 ）
C
n
m
m
m
n?m?1
m
n
m
C
n
m?1
;
n?m
n
m?1
?C
n?1
;
m
C
n?1
;
n
（4）
?
C
n
r
=
2
n
;
r? 0
rrrrr?1
（5）
C
r
?C
r?1
?Cr?2
???C
n
?C
n?1
.
012rnn
(6)
C
n
?C
n
?C
n
???C
n< br>???C
n
?2
.
135024n?1
(7)
C< br>n
?C
n
?C
n
???C
n
?C
n
?C
n
??2
.
123nn?1
(8)
Cn
?2C
n
?3C
n
???nC
n
?n2.
r0r?110rrr
(9)
C
m
C
n
? C
m
C
n
?
?
?C
m
C
n
?C
m?n
.
021222n2n
(10)
(C
n)?(C
n
)?(C
n
)???(C
n
)?C
2n
.
156.排列数与组合数的关系
mm
A
n
?m！?C
n
.
157．单条件排列
以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
m?1mm?11m?1
①某（特）元必在某位有
A
n?1
种；②某（特） 元不在某位有
A
n
?A
n?1
（补集思想）
?A
n ?1
A
n?1
（着眼位置）
?A
n?1
?A
m?1
A
n?1
（着眼元素）种.
m1m?1
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
km?k
①定位紧贴：< br>k(k?m?n)
个元在固定位的排列有
A
k
A
n?k
种.
②浮动紧贴：
n
个元素的全排列把k个元排在一起的排法有
A
n?k?1
A
k
种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有 k、h个（
k?h?1
），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有
A
h
A
h?1
种.
（3）两组元素各相同的插空
m
个大球
n
个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
hk
n?k?1k
-18-

高中物理公式大全
当
n?m?1
时，无解；当
n?m?1
时，有
A
m?1
A
n
n
n
?C
m?1
种排法.
n
n< br>（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为
C
m
.
?n
158．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的
m
、
n
个物件等分给
m
个人，各得
n
件，其分配 方法数共有
N?C
mn
?C
mn?n
?C
mn?2n
?
?
?C
2n
?C
n
?
nnnnn
(m n)!
(n!)
m
.
个物体等分为无记号或无顺序的
m
堆，其分配方法数共有 （2）(平均分组无归属问 题)将相异的
m
N?
C
mn
?C
mn?n
?Cmn?2n
...?C
2n
?C
n
m!
nnnnn·
n
?
(mn)!
m!(n!)
m
.
（3） (非平均分组有归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
+?+n< br>m
)
个物体分给
m
个人，物件必须被分完，分别得到
n
1
，
n
nn
?，
n
m
件，且
n
1
，
n
2
，?，
n
m
这
m
个数彼 此不相等，则其分配方法数共有
N?C
p
n
2
，
?C
p?n
...C
n
?m!?
12
m
1m
p!m!
n
1
!n
2
!...n
m
!
n
.
（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
+?+n
m
)
个物体分给
m
个人，物件必须被分完，分别得 到
?，且
n
1
，
n
2
，?，b、c、?个相等，则 其分配方法数有
N?
n
m
件，
n
m
这
m< br>个数中分别有a、
n
1
，
n
2
，
?
p!m!
n
1
!n
2
!...n
m
!(a!b!c !...)
m
C
p
1
?C
p
2
?n
1
...C
n
m
?m!
nn
a!b!c!...

.
（5）(非平均分组无归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n< br>2
+?+n
m
)
个物体分为任意的
n
1
，< br>n
2
，?，
n
m
件无记号的
m
堆，
且
n
1
，
n
2
，?，
n
m
这m
个数彼此不相等，则其分配方法数有
N?
p!
n
1
! n
2
!...n
m
!
.
（6）(非完全平均分组无归属问 题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
+?+n
m
)< br>个物体分为任意的
n
1
，
n
2
，?，
nm
件无记号的
m
堆，且
n
1
，
n
2< br>，?，
n
m
这
m
个数中分别有a、b、c、?个相等，则其分 配方法数有
N?
p!
n
1
!n
2
!...n
m
!(a!b!c!...)
.
（7）(限定分组有归属问题)将相异的
p
（
p?n
1
+n
2
+?+n
m
）个物体 分给甲、乙、丙，??等
m
个人，物体必须
被分完，如果指定甲得
n
1
件，乙得
n
2
件，丙得
n
3
件，?时，则无论< br>n
1
，
n
2
，?，
n
m
等
m
个数是否全相异或不全相异
其分配方法数恒有
m
N?C
p
1
?C
p
2
?n
1
...C
n
m
?
nn
n
p!
n
1
!n
2
!...n< br>m
!
.
159．“错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信
n
封信与
n
个信封全部错位的组合数为 f(n)?n![
1
2!
?
1
3!
1
?
1
4!
???(?1)
n
1
n!
]
.
推广:
n
个元素与
n
个位置,其中至少有
m
个元 素错位的不同组合总数为
f(n,m)?n!?C
m
(n?1)!?C
m< br>(n?2)!?C
m
(n?3)!?C
m
(n?4)!
??? (?1)C(n?p)!???(?1)C(n?m)!
?n![1?
C
m
A
1
n
1
234
pp
m
2
mm
m< br>
m
?
C
m
A
2
n
?
C< br>m
A
2
n
3
?
C
m
A
4< br>n
4
???(?1)
p
C
m
A
p
p
n
???(?1)
m
C
m
A
m
n
]
.
160．不定方程
x
1
+x
2
+?+xn
?m
的解的个数
?
(1)方程
x
1
+x< br>2
+?+x
n
?m
（
n,m?N
）的正整数解有C
m?1
个.
?
(2) 方程
x
1
+x2
+?+x
n
?m
（
n,m?N
）的非负整数解有
C
n?m?1
个.
?
?
(3) 方程
x
1
+x
2
+?+x
n
?m
（
n,m?N
） 满足条件
x
i
?k
(
k?N
,
2?i?n?1)的非负整数解有
C
m?1
?(n?2)(k?1)
n?1
n? 1
n?1
个.
+?+
n
x?
(4) 方程
x1
+x
2
m
（
n,m?N
?
?
）满足 条件
x
i
?k
(
k?N
,
2?i?n?1
)的正整数解有
-19-

高中物理公式大全
C
n?m?1
?C
n?2
C
m?n?k?2
?C
n?2
C
m?n?2k?3
???(?1)
n?11n?12n?1n?2n?2n?1
C< br>n?2
C
m?1?(n?2)k
个.
1n?12n?22rn?rrnn
161.二项式定理
(a?b)
n?C
n
0
a
n
?C
n
ab?C
nab?
?
?C
n
ab?
?
?C
n
b< br>
二项展开式的通项公式
T
r?1
?C
n
a< br>rn?r
b
(r?0，1，2?，n)
.
r
162.等可能性事件的概率
P(A)?
m
n
.
163.互斥事件A，B分别发生的概率的和
P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
164.
n
个互斥事件分别发生的概率的和
P(A
1
＋A
2
＋?＋A
n
)=P(A
1
)＋P(A
2
)＋?＋P(A
n
)．
165.独立事件A，B同时发生的概率
P(A·B)= P(A)·P(B).
166.n个独立事件同时发生的概率
P(A
1
· A
2
·?· A
n
)=P(A
1
)· P(A
2
)·?· P(A
n
)．
167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
kkn?k
P
n
(k)?C
n
P(1?P).

168.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）
P
i
?0(i?1,2,?)
;
（2）
P
1
?P
2
???1
.
169.数学期望
E
?
?x
1
P
1
?x
2
P
2
???x
n
P
n
??

170.数学期望的性质
（1）
E(a
?
?b)?aE(
?
)?b
. （2）若
?
～
B(n,p)
,则
E
?
?np< br>.
(3)

若
?
服从几何分布,且
P(
?
?k)?g(k,p)?q
k?1
p
，则
E
?
?
171.方差
D
?
?
?
x
1
?E
?
?
?p
1
?
?
x
2
?E
?< br>2
1
p
.

?
2
?p
2
? ??
?
x
n
?E
?
?
2
?p
n< br>??

172.标准差
??
=
D
?
.
2
173.方差的性质
(1)
D
?
a
?
?b
?
?aD
?
；
(2）若
?
～
B(n ,p)
，则
D
?
?np(1?p)
.
(3)
若
?
服从几何分布,且
P(
?
?k)?g(k,p)?q
k? 1
p
，则
D
?
?
q
p
2
.

174.方差与期望的关系
D
?
?E
?
?
?
E
?
2
?
.
?
x?
?
?
26
2
2
2
175.正态分布密度函数
f
?
x
?
?
1
?
2
?
6
176.标准正态分布密 度函数
e,x?
?
??,??
?
，式中的实数μ，
?（
?
>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.
f
?
x
?
?
1
2
?
6
e
?
x
2
2
,x?
?
??,??
?
.
177.对于
N(
?
,
?
)
，取值小于x的概率
?
x?
?
?
F
?
x
?
??
??
.
?
??
P
?
x
1
?x
0
?x
2
?
?P
?
x?x
2
?
? P
?
x?x
1
?

-20-
2

高中物理公式大全
?F
?
x
2
?
?F
?
x
1
?

?
x?
???
x
1
?
?
?
??
?
2
? ?
???
.

?
?
??
?
?
178.回归直线方程
n?
?
?
x
i
?x
??
y
i
? y
?
?
?
b?
i?1
n
?
?
2< br>y?a?bx
，其中
?
?
?
x
i
?x
?
?
i?1
?
?
a?y?bx
179.相关系数 nn
i
n
?
xy
i
i?1
n
i
?nxy
2
?
i?1
x
i
?nx
2
.
?
?
x

r?
i?1
n
?x
??
y
i
?y
?
n
?
?
x

?
i?1
n
22
i?1
i
?x
??
yi
?y
?
.
n
222
i?1
?
(x
i?1
i
?x)
2
?
(y
i?1
i
?y)(
?
x
i
?nx)(
?
y
i
?n y)
|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.
180.特殊数列的极限
|q|?1
?
0
?
n
q?1
（1）
limq?
?
1
.
n??
?
|q|?1或q??1
?
不存在
?
0(k?t)
?
kk? 1
a
k
n?a
k?1
n?
?
?a
0
?
a
t
（2）
lim?
?
(k?t)
.
tt?1
n??
bn?bn?
?
?b
0tt?1
?
b
k
?
不存在 (k?t)
?
1?q1?q
181. 函数的极限定理
limf(x)?a
?
lim
?
f(x)?lim
?
f(x)?a
.
n??
（3）
S?lim
a< br>1
1?q
n
??
?
a
1
（
S
无穷等比数列
a
1
q
?
n?1
?
(
|q|?1
)的和）
.
x?x
0
x?x
0x?x
0
182.函数的夹逼性定理
如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x
0
的附近满足：
（1）
g(x)?f(x)?h(x)
;
（2）
limg(x)?a,limh(x)?a
（常数）,
x?x
0
x?x
0
则
limf(x)?a
.
x?x
0
本定理对于单侧极限和
x??
的情况仍然成立.
183.几个常用极限
（1）
lim
1
n
n??
?0
，
lima?0
（
|a|?1
）；
n??
n
（2）
limx?x
0
，
lim
x?x
0
1
x
x?x
0
?
1
x
0
.
184.两个重要的极限
（1）
lim
sinx
x
x?0
?1
；
x
1
??
（2）
lim
?
1?
?
?e(e=2.718281845?).
x??
x
??
185.函数极限的四则运算法则
若
limf(x)?a
，
limg(x)?b
，则
x?x
0
x?x
0
-21-

高中物理公式大全
(1)
lim
?
?
f< br>?
x
?
?g
?
x
?
?
?
? a?b
；
x?x
0
(2)
lim
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?a?b
;
x?x
0
(3)
lim
f
?
x
?
g
?
x
?
x?x
0
?
ab
?
b?0
?
.
186.数列极限的四则运算法则
若
lima
n
?a,limb
n
?b
，则
n??n??
(1)
lim
?
a
n
?b
n
?
?a?b
；
n??
(2)
lim
?
a
n
?b
n
?
?a?b
；
n??
(3)
lim
a
n
b
n
n??
?
a
b
?
b?0
?

n??n??
(4)
lim
?
c?a
n
?
?limc?lima
n
?c?a
( c是常数).
n??
187.
f(x)
在
x
0
处 的导数（或变化率或微商）
f
?
(x
0
)?y
?
x?x
0
?lim
?y
?x
?x?0
?lim
f( x
0
??x)?f(x
0
)
?x
.
?x?0
188.瞬时速度
?
?s
?
(t)?lim?s
?t
?v
?t?0
?lim
s(t??t)?s(t)?t
v(t??t)?v(t)
?t
?y
?x
.
?t?0
189.瞬时加速度
a?v
?
(t)?lim
? t
190.
f(x)
在
(a,b)
的导数
?t?0?t?0
?lim
.
f
?
(x)?y
?
?
dy
dx
?
df
dx
?lim
?x?0
?lim
f(x??x)?f(x)
?x
.
?x?0
191. 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义
函数y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f
?
(x
0
)
，相应的切线方程是
y?y
0
?f< br>?
(x
0
)(x?x
0
)
.
192.几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
（C为常数）.
'n?1
(2)
(x
n
)?nx(n?Q)
.
(3)
(sinx)
?
?cosx
.
(4)
(cosx)
?
??sinx
.
(5)
(l nx)
?
?
x
1
x
x
；
(loga)?
?
xx
x
1
x
log
e
a
.
(6)
(e)
?
?e
;
(a)
?
?alna
.
193.导数的运算法则
（1）
(u?v)?u?v
.
（2）
(uv)?uv?uv
.
(v?0)
. （3）
()?
2
vv
194.复合函数的求导法则
''''< br>设函数
u?
?
(x)
在点
x
处有导数
ux
?
?
(x)
，函数
y?f(u)
在点
x处的对应点U处有导数
y
u
?f(u)
，则复合函
''''''
数
y?f(
?
(x))
在点
x
处有导数，且
y
x
?y
u
?u
x
，或写作
f
x
(
?
(x))?f(u)
?
(x)
.
'''
' ''
u
'
uv?uv
''
195.常用的近似计算公式（当
x
充小时）
(1)
1?x?1?
1
2
x
;
n
1?x?1?
1
n
x
；
-22-

高中物理公式大全
(2)
(1?x)
?
?1??
x(
?
?R)
；
(3)
e
x
?1?x
；
(4)
l
n
(1?x)?x
；
1
1?x
?1?x
；
(5)
sinx?x
（
x
为弧度）；
(6)
tanx?x
（
x
为弧度）；
(7)
arctanx?x
（
x
为弧度）
196.判别
f(x
0
)
是极大（小）值的方法
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时，
（1）如果 在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是极大值； （2）如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是 极小值.
197.复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d
.（
a,b,c,d?R
）
198.复数
z?a?bi
的模（或绝对值）
|z|
=
|a?bi|
=
a?b
.
22
199.复数的四则运算法则
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
(4)
(a?bi)?(c?di)?
ac?bd
c?d
22
?bc?ad
c?d
22
i(c?di?0)
.
200.复数的乘法的运算律
对于任何
z
1
,z
2
,z
3
?C
，有
交换律:
z
1
?z
2
?z
2
?z
1
.
结合律:
(z
1
?z
2
)?z
3
?z
1
?(z
2
?z< br>3
)
.
分配律:
z
1
?(z
2
? z
3
)?z
1
?z
2
?z
1
?z
3
.
201.复平面上的两点间的距离公式
d?|z
1
?z
2
|?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y1
)
（
z
1
?x
1
?y
1
i
，
z
2
?x
2
?y
2
i
）.
22
202.向量的垂直
?????
?????
非零复 数
z
1
?a?bi
，
z
2
?c?di
对应 的向量分别是
OZ
1
，
OZ
2
，则
??????????
z
222

OZ
1
?O Z
2
?
z
1
?z
2
的实部为零
?
2
为纯虚数
?
|z
1
?z
2
|?|z
1< br>|?|z
2
|

z
1
222
?
|z
1
?z
2
|?|z
1
|?|z
2
|
?
|z
1
?z
2
|?|z
1
?z
2|
?
ac?bd?0
?
z
1
?
?
iz
2

(λ为非零实数).
203.实系数一元二次方程的解
2
实系数一元二次方程
ax?bx?c?0
，
①若
??b ?4ac?0
,则
x
1,2
?
2
?b?b?4ac
2
2a
b
2
②若
??b?4ac?0
,则
x
1
?x
2
??
;
2a
?b??(b?4ac)i
2a
2
;
2
③若
??b?4ac?0
，它在实数集
R
内没有实数根；在复数集
C内有且仅有两个共轭复数根
2
x?(b?4ac?0)
.


-23-