高中数学公式大全(学考简化版)

高中数学公式大全（学考简化版）
1. 元素与集合的关系
x?A?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
2．集合运算 全集U
交集：
A?B?{xx?A且x?B}
，并集：
A?B?{xx?A或x?B}
补集：
C
U
A?{xx?U且x?A }

，
3．集合关系 （可以数形结合---文氏图、数轴） 空集
?
子集
A?B
:任意
x?A?
?A
；

A?B?B?A?B

x?B

A?B?A?A?B
?A?B?C
U
B?C
U
A
?AIC
U
B???C
U
AUB?R
4. 包含关系
AIB?A?AUB?B

5 .集合
{a
1
,a
2
,L,a
n
}
的子集 个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
–1个；非空子集有
2
n
–1个。
6. 函数的单调性 设
x
1
?x
2
?
?< br>a,b
?
,x
1
?x
2
，
?
x?
x
2
?
x
1
?0
，
在
a
,
b
上是增函数； 若
?
y
?
f
(
x
2
)?
f
(
x
1
)?0
?
f
(
x
)
在
a
,
b
上 是减函数. 若
?
y
?
f
(
x
2
)?f
(
x
1
)?0
?
f
(
x
)
对于复合函数的单调性：
f
?
?
g
?
x
?
?
?
单调性满足：同增异减。即：
f
?
x
?< br>与
g
?
x
?
的增减性相同，那么符
合函数就是增函数 （同增）；
f
?
x
?
与
g
?
x
?
的增减性相反，那么符合函数就是减函数（异减））。
7．函数的奇偶性 判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称。
f(x)偶函数
?
f(?x)?f(x)
?
f(x)图象关于
y
轴对称
f(x)奇函数
?f(?x)??f(x)
?
f(x)图象关于原点对称
注：（1） f(x)奇函数,在x=0有定义
?
f(0)=0
（2）对于复合函数：
f
?
?
g
?
x
?
?
?
：有偶则偶，两奇为奇
奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象 关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，
那么， 这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
8．二次函数解析式的两种形式
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
;(2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;
二次函数在闭区间上的的最值 二次函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)
在闭区间
p,q
上的最值只能在
第1页 共8页
2
22
??
??
??

b
处及区间的两端点处取得，具体如下：
2a
b
b
??
p,q
?
，则
f(x)
min
?f(?),f(x)
max
?
max
?
f(p),f(q)
?
； (1 )当a>0时，若
x??
2a
2a
b
?
?
p,q< br>?
，
f(x)
max
?
max
?
f(p), f(q)
?
，
f(x)
min
?
min
?
f(p),f(q)
?
.
x??
2ab
?
?
p,q
?
，则
f(x)
min
?min
?
f(p),f(q)
?
， (2)当a<0时，若
x??
2a
b
?
?
p,q
?
，
x??
则
f(x)
max
?max
?
f(p),f (q)
?
，
f(x)
min
?min
?
f(p), f(q)
?
.
2a
x??
9. 指数函数与对数函数
y=a
与
y=log
a
x

x
注：
y=a
与
y=log
a
x
图象关于
y=x
对称（互为反函数）
分数、指数、有理数幂
x

a?
m
n
1
n
a
m
（
a?0,m,n?N
，且< br>n?1
）；
a
?
?
m
n
?
1
a
m
n
（
a?0,m,n?N
?
，且
n?1）.
?
a,a?0
.
(
n
a)
n
?a
；
当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
； 当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
?
?a,a?0
有理指数幂的运算性质

a?a?a
rsr?s
(a?0,r,s?Q)
.
(a
r
)
s
?a
rs
(a?0,r,s?Q)
.
(ab)
r
?a
r
b
r
(a?0,b?0,r?Q)
.
指数式与对数式的互化式

log
a
N?b?a
b?N
(a?0,a?1,N?0)
.

log
m
N
对数的换底公式
log
a
N?
，
log
a
m
log< br>m
a
n
b?log
a
b

m
n
对数的四则运算法则 若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
( 1)
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
; (2)
log
a
注：性质
log
a
1?0，
log
a
a?1
，
a
常用对数
lg
M
n
?log
a
M?log
a
N
;(3)
log
a
M?nlog
a
M(n?R)
.
N
lo g
a
b
?b
，
log
a
a
b
?b

，
N?log
10
N
，
lg2?lg5?1，
自然对数
lnN?log
e
N
lne?1

*10. 函数图像与方程（选） 图象变换 （1）平移：“左加右减，上正下负”
第2页 共8页

（2）翻折：
y?f(x)?y?|f(x)|< br>保留
x
轴上方部分，并将下方部分沿
x
轴翻折到上方
yy=f(x)
y
y=|f(x)|
a
o
b
c
x

a
o
b
c
x

y?f(x)?y?f(|x|)
保留
y
轴右边部分，并将右边部分沿
y
轴翻折 到左边
y
y=f(x)
y
y=f(|x|)
a
o
b
c
x

a
o
b
c
x

11.
零点定理 若
f(a)f(b)?0
，则
y?f(x)< br>在
(a,b)
内有零点
注：函数
f(x)
的零点
?
方程
f(x)?0
的根
?
函数
f(x)
图像与x轴 焦点的横坐标。
12．特殊角的三角函数值
?

sin
?

0
0
?

6
1

2
3

2
3

3
?

4
2

2
?

3
3

2
1

2
?

2
1
?

0
3
?

2
?1

cos
?
1
2

2
1
0
?1

0
tg
?
0
3

0
13．弧长
l?
?
?r
扇形面积
S?lr

sin< br>?
，
tan
?
?cot
?
?1
.
cos
?
1
2
22
14. 同角三角函数的基本关系式
sin
?
?cos
?
?1
，
tan
?=
15. 正弦、余弦的诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）；符号：“一正全、二正弦、三正切、四余弦”
16. 和差角公式
tan(
?
?
?
)?
ta n
?
?tan
?

1
m
tan
?
tan
?

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos< br>?
sin
?
;
cos(
?
??
)?cos
?
cos
?
msin
?
sin< br>?
;
17. 二倍角公式
tan2
?
?
2tan
?

2
1?tan
?
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?< br>?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
22
18. 辅助角公式

asin
?
?bcos?
=
a?bsin(
?
?
?
)
(其中
tan
?
?
b
，a要为正 ).
a
第3页 共8页

19. 正弦定理
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
222
b
2
?c
2
?a
2
20. 余弦定理
a?b?c?2bccosA
，
（求边） ；

cosA?
（求角）
2bc
21. 面积定理
S?
111
absinC?bcsinA?casinB
.
222
22．三角函数的图象性质
y=sinx y=cosx y=tanx
图象




单调性：
值域
奇偶
周期
对称轴
??
(?,)
增
22
[-1，1]
奇函数
2π
(0,
?
)
减
[-1，1]
偶函数
2π
??
(?,)
增t
22
无
奇函数
π
无
x?k
?
?
?

2
x?k
?

?
?
?
?
?k
?
,0
?

?
2
?
中心
?
k
?
,0
?

?
k
?
?
,0
?

?
?
2
?
23. 实数与向量的积的运算律，设λ、μ为实数，量那么
结合律：λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb.
24.平面向量的坐标运算 < br>(1)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x< br>2
,y
2
)
，则a+b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(2)设a=
( x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a-b=
(x
1
?x
2
,y
1< br>?y
2
)
.
uuuruuuruuur
(3) 设A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
,则
AB?OB?OA?(x
2
?x
1< br>,y
2
?y
1
)
.
(4)设a=
(x,y ),
?
?R
，则
?
a=
(
?
x,
?
y)
.
(5)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a·b=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)
.
第4页 共8页

25.
a
与b的数量积(或内积)
a
·b=|
a
||b|cosθ．
26. 对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b
?
存在实数λ使a=λb．
uuu ruuur
uuuruuuruuur
P、A、B
三点共线
?
AP| |AB
?
AP?tAB
?
OP?(1?t)OA?tOB
.
uuuruuur
r
uuur
uuu
AB||CD
?
AB
、
CD
共线且
AB、CD
不共线
?
AB?tCD< br>且
AB、CD
不共线.
27. 两向量的夹角公式
cos
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2
2
2
(
a
=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
).
28. 向量的平行与垂直 设 a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b
?
0，则
平行：
ab?
a?
?
b
?
x
1
y
2
?x
2< br>y
1
（
b?0
）；垂直：
a?b?a?b?0
?x< br>1
x
2
?y
1
y
2
?0

29. 三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
, y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、< br>C(x
3
,y
3
)
,
则△ABC的重心的坐标是
G(
30. 等差数列
定义：
a
n?1
?a
n
?d
，通项：
a
n
?a
1
?(n?1)d
，
求和：
S
n
?
中项：
b?
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
.
33
n(a
1
?a
n
)
1

?na
1
?n(n?1)d

2
2
a?c
（
a,b,c
成等差）性质：若
m?n?p?q< br>，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
2
31. 等比数列
a
n?1
a
n
2定义：
?
na
1
(q?1)
?
n
n?1
?q(q?0)
，通项：
a
n
?a
1
q
求和：< br>S
n
?
?
a
1
(1?q)


(q?1)
?
?
1?q
中项：
b?ac< br>（
a,b,c
成等比） 性质：若
m?n?p?q
则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

32. 数列通项与前
n
项和的关系
?
s
1
?a
1
(n?1)
a
n
?
?
( 数列
{an
}
的前n项的和为
s
n
s?s(n?2)
n?1?
n

?a
1
?a
2
?L?a
n
).
33. 数列求和常用方法 公式法、裂项法、 错位相减法

22
34.常用不 等式：（1）
a,b?R
?
a?b?2ab
(当且仅当a＝b时取“=”号) ．
（2）
a,b?R
?
?
（3）
ab?(
a?b
?ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
2
a?b
2
)
(当且仅当a＝b时取“=”号)．

2
备注：求最值条件是“一正、二定、三相等”

第5页 共8页

35. 最值定理 已知
x,y
都是正数，则有
（1）若积
xy
是定值
p，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
；
（ 2）若和
x?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy< br>有最大值
1
2
s
.
4
2
2
36. 一元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)
(a?0,??b?4ac?0)
，解 不等式的步骤：
（1）化正使得a>0，（2）用求根公式法求
ax?bx?c?0
的根，（3）写解集：大于取两边，小于取中间。
37．三视图 正视图、侧视图、俯视图（长对正、高平齐、宽相等）
''
38．直观图 斜二测画法?X
'
OY
=45，平行X轴的线段，保平行和长度，平行Y轴的线段，保平行， 长
0
2
度变原来一半
39．体积与侧面积
V
柱
=
S
底
h
，
V
锥
=
S
底
h，V
球
=
πR
3
，S
圆锥侧
=
?
rl
， S
圆台侧
=
?
(R? r)l
，S
球表
=
4
?
R
2

40. 平行的判定与性质
?
a
b
1
3
4
3
线面平行：
a
∥
b
，
b?
?
,a?< br>?
?
a
∥
?

?
a
∥
?< br>，
a?
?
,
?
?
?
?b?
a
∥
b

面面平行：
AB
∥
?
，
AC∥
?
?
平面
ABC
∥
?

?
∥
?
，
a?
?
?
a
∥
?

41．垂直的判定与性质
线面垂直：
p?AB,p?AC?p?面ABC

面面垂直：
a?
?
,a?
?
?
?
?
?

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直；
若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
42．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似 ，截面面积与底面面积的比等于顶点
到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多 边形是相似多边形，相似多边形面积
的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等 于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．
43. 球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的外接球的直径是正方体的
体对角线长.
第6页 共8页

44.直线倾斜角 范围
?
0,
?
?
45. 直线的方程形式
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
（3）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
46. 两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，l
2
:y?k
2
x?b
2

①
l1
||l
2
?k
1
?k
2
,b
1?b
2
;
②
l
1
?l
2
?k< br>1
k
2
??1
.
(2)若
l
1
: A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,且A< br>1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零,
①
l
1
||l
2
?
1
2. 斜率公式
k?tan
?
?
2
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y2
)
）.

x
2
?x
1
y?y
A
1
B
1
C
1
； ②
l
1< br>?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
；
??
A
2
B
2
C
2
47．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
(除直线
x?x
0
)。
(2)
平行直线系方程：与直线
Ax?By?C?0
平行的直线系方程是
Ax?By ?
?
?0
(
?
?0
)，λ是参变量．
(3)垂直直线系方程：与直线
Ax?By?C?0
(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,λ是参变量．
22
48. 距离公式 两点间距离：|AB|=
(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)

d?
点到直线距离：
|Ax
0
?By
0
?C|< br>A?B
22
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By?C?0
).
49. 圆的方程形式 （1）圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.圆心（a,b）,半径r
22
（2）圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
＞0).
22
D
2
?E
2
?4F
?
DE
?
圆心
?
?,?
?
半径
r?

2
2
??
2
222
50. 点
P(x
0< br>,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种 ，若
d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
，
22< br>则
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点
P在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
51. 直线与圆的位置关系
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222
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
d?
Aa?Bb?C< br>A?B
22


d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
52. 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
53. 直线截圆所得弦长
AB?2r?d
备注：其中d表示圆心到弦AB的距离，r表示圆的半径。


54．古典概型：< br>P(A)?
22
m
A包含的基本事件个数
A的区域长度（面积或体积）
（）2．几何概型：
P
?
A
?
?

n区域总长度（面积或体积）
总的基本事件个数
55．常用抽样（不放回）：简单随机抽样： 逐个抽取（个数少）， 系统抽样：总体均分，按规则抽取（个
数多），分层抽样：总体分成几层，各层 按比例抽取（总体差异明显）
56．频率分布直方图 小长方形面积=组距×
频率
=频率 各小长方形面积之和为1
组距
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