高中数学最常用公式及结论(非常有用)

高中数学

常用公式及结论

王新敞

高中数学常用公式及结论
1. 元素与集合的关系:
x? A?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
??A?A??

2.德摩根公式 :
C
U
(A
3.包含关系：
B)?C
U
ACU
B;C
U
(AB)?C
U
AC
U
B
.
A?B?
AB?A?AB?B
?C
U
B?C
U
A
?AC
U
B??
?C
U
AB?R

4.元素个数关系：
card(AB)?cardA?cardB?card(AB)

card(ABC)?cardA?cardB?cardC

?card(AB)?card(BC)?card(CA)?card(ABC)
.
5．集合
{a
1
,a
2
,,a
n
}< br>的子集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
?1
个；非空子集有
2
n
?1
个；
非空的真子集有
2
n
?2
个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;（当已知抛物线的顶点坐标
(h,k)
时 ，设为此式）
(3)零点式
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
；（当已知抛物线与
x
轴的交点坐标为
2
2< br>(x
1
,0),(x
2
,0)
时，设为此式）
2< br>（4）切线式：
f(x)?a(x?x
0
)?(kx?d),(a?0)
。（当已知抛物线与直线
y?kx?d
相
切且切点的横坐标为
x
0
时，设为此式）
7.解连不等式
N?f(x)?M
常有以下转化形式 N?f(x)?M
?
[f(x)?M][f(x)?N]?0
?
2
?
f(x)?N
f(x)?N
?0
?
?
.
M? f(x)
?
f(x)?M
8.方程
ax?bx?c?0(a?0)
在
(k
1
,k
2
)
内有且只有一个实根,等价于
f( k
1
)f(k
2
)?0
或
b
?
?k
2
?
k
1
??
。
2a
?
2
?
?
??b?4ac?0
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数< br>f(x)?ax?bx?c(a?0)
在闭区间
?
p,q
?
上 的最值只能在
x??
2
b
处及区间的
2a
两端点处取得，具 体如下：
(1)当a>0时，若
x??
b
b
?
?
p,q
?
，则
f(x)
min
?f(?),f(x)
max
?
max
?
f(p),f(q)
?
；
2a
2a
b
?
?
p,q
?
，
f(x)
max
?
max
?
f(p),f(q)
?
，
f(x)min
?
min
?
f(p),f(q)
?
.
2a
b
?
?
p,q
?
，则
f(x)
min
?min
?
f(p),f(q)
?
， (2)当a<0时，若
x??
2a
x??
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常用公式及结论

王新敞

b
?
?
p,q
?
，则
f(x)
max
?max
?
f(p),f(q)
?
，
f(x)
min
?min
?
f(p),f(q)
?
.
2a
2
10.一元二次方程
f(x)?x?px?q
＝0的实根分布
若
x??
?
p
2
?4q?0
?
（1）方程
f(x)?0
在区间
(m,??)
内有根的充要条件为
f(m)?0
或
?
p
；
?
??m
?2
（2）方程f(x)?0
在区间
(m,n)
内有根的充要条件为
pm?n
?
m?np
?
m??????n
??
2222
??
f(m)f(n)?0
或
?
p
2
?4q?0
或
?< br>p
2
?4q?0
；
??
f(n)?0f(m)?0
??
??
?
p
2
?4q?0
?
（3）方程
f(x)?0
在区间
(??,m)
内有根的充要条件为
f(m)?0
或
?
p
.
?
??m
?2
11.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据
(1)在给定区间
(??,??)
的子区间
L
（形如
??
,
?
?
，
?
??,
?
?
，
?
?
,??
?
不同）上含参数的不
等式
f(x)? t
(
t
为参数)恒成立的充要条件是
f(x)
min
?t, (x?L)
。
(2)在给定区间
(??,??)
的子区间
L
上含参数的不等式
f(x)?t
(
t
为参数)恒成立的充要
条件是
f(x)
max
?t,(x?L)
。
(3) 在给定区间
(??,??)
的子区间
L
上含参数的不等式
f(x)?t
(
t
为参数)的有解充要条
件是
f(x)
max
?t,(x?L)< br>。
(4) 在给定区间
(??,??)
的子区间
L
上含参 数的不等式
f(x)?t
(
t
为参数)有解的充要
条件是
f (x)
min
?t,(x?L)
。
对于参数
a
及函数y?f(x),x?A
.若
a?f(x)
恒成立，则
a?f
ma x
(x)
；若
a?f(x)
恒
成立，则
a?f
mi n
(x)
；若
a?f(x)
有解，则
a?f
min
(x)
；若
a?f(x)
有解，则
a?f
max
(x)；
若
a?f(x)
有解，则
f
min
(x)?a?f< br>max
(x)
.（若函数
y?f(x),x?A
无最大值或最小值的情 况，
可以仿此推出相应结论）.







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常用公式及结论

王新敞







12.真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假

13.常见结论的否定形式
原结论 反设词
是 不是
都是 不都是
大于 不大于
小于 不小于
对所有
x
，成立 存在某
x
，不成立
对任何
x
，不成立 存在某
x
，成立
原结论
至少有一个
至多有一个
至少有
n
个
至多有
n
个
p
或
q

反设词
一个也没有
至少有两个
至多有（
n?1
）个
至少有（
n?1
）个
?p
且
?q

p
且
q

?p
或
?q

原命题< br>若p则q
互
否
互
逆
互
为
为
互
否
逆命题
若q则p
互
否
逆否命题
若┐q则┐p
1 4.四种命题的相互关系(右图):
15.充要条件（记
p
表示条件，
q
表示结论）
（1）充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
充分条件.
（2）必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
必要条件.
（3）充要条件：若
p?q
，且
q?p
，则
p
是< br>q
充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条
件；反之亦然.
16.函数的单调性的等价关系
(1)设
x
1
,x
2?
?
a,b
?
,x
1
?x
2
那么 < br>逆
逆
否
否命题
若┐p则┐q
互
逆
f(x1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是增函数；
x
1
?x
2
f(x
1
) ?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减 函数.
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1)?f(x
2
)
?
?0?
x
1
?x
2
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如果
f
?
( x)?0
，则
f(x)
为增函数；如果
f
?
(x)?0，
则
f(x)
为减函数.
17.如果函数
f(x)
和
g(x)
都是减函数,则在公共定义域内,和函数
f(x)?g(x)
也是减 函数;
如果函数
f(x)
和
g(x)
都是增函数,则在公共定义域 内,和函数
f(x)?g(x)
也是增函数; 如果
函数
y?f(u)
和
u?g(x)
在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数
y?f[g(x)]< br>是增函数；
如果函数
y?f(u)
和
u?g(x)
在其对应 的定义域上都是增函数,则复合函数
y?f[g(x)]
是增
函数；如果函数
y?f(u)
和
u?g(x)
在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数,则
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)? f(x
2
)
?
?0
?
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常用公式及结论

王新敞

复合函数
y?f[g(x)]
是减函数.
18．奇偶函数的图象特征 < br>奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关
于原点 对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函
数．
19.常见函数的图像：
y
y
y
y
y
k<0o
k>0
x
o
a<0
x
2
-1
o1
y=x+
-2
1
x
x
y=a
x
0< a<1
1
a>1
y=log
a
x
0ox
o
y=ax
2
+bx+c

20.对于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f(x?a)?f(b?x)
恒成立,则 函数
f(x)
的对称轴是
y=kx+b
a>0
1
a>1x
x?
a?bb?a
;两个函数
y?f(x?a)
与
y ?f(b?x)
的图象关于直线
x?
对称.
22
a
2 1.若
f(x)??f(?x?a)
,则函数
y?f(x)
的图象关于点(,0)
对称;
2
若
f(x)??f(x?a)
,则函数< br>y?f(x)
为周期为
2a
的周期函数.
nn?1
22．多 项式函数
P(x)?a
n
x?a
n?1
x??a
0
的奇偶性
多项式函数
P(x)
是奇函数
?
P(x)
的偶次 项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数
P(x)
是偶函数
?
P (x)
的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数
y?f(x)
的图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a?x)?f(a?x)
?f(2 a?x)?f(x)
.
a?b
(2)函数
y?f(x)
的图象关于 直线
x?
对称
?f(a?mx)?f(b?mx)

2
?f(a?b?mx)?f(mx)
.
24.两个函数图象的对称性 < br>(1)函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象关于直线
x?0
(即
y
轴)对称.
(2)函数
y?f(mx?a)
与函数
y?f(b?mx)
的图象关于直线
x?
(3)函数
y?f (x)
和
y?f
?1
a?b
对称.
2m
(x)
的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数
y?f( x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y?f(x? a)?b
的图象；
若将曲线
f(x,y)?0
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到曲线
f(x?a,y?b)?0
的图象.
2 6．互为反函数的两个函数的关系：
f(a)?b?f
?1
?1
(b)?a< br>.
27.函数
y?f(x)
与其反函数
y?f(x)
的图像 的交点不一定全在直线
y?x
上。
28.几个常见的函数方程
(1)正比 例函数
f(x)?cx
?
f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c
.
(2)指数函数
f(x)?a
?
f(x?y)?f(x)f(y),f( 1)?a?0
.
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x

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?
(3)对数函数
f(x)?log
a
x
?
f(xy)? f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1)
.
(4)幂函数
f(x)? x
?
f(xy)?f(x)f(y),f
?
(1)?
?
.
(5)余弦函数
f(x)?cosx
,正弦函数
g(x)?sinx
，
f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)
，
f(0)?1,lim
sinx
?1
.
x?0
x
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期T=a； 1
1
(f(x)?0)
，或
f(x?a)??
(f(x)?0)
,则
f(x)
的周期T=2a；
f(x)
f(x)
1(f(x)?0)
，则
f(x)
的周期T=3a； (3)
f(x)?1 ?
f(x?a)
f(x
1
)?f(x
2
)
(4)< br>f(x
1
?x
2
)?
且
f(a)?1(f(x
1
)?f(x
2
)?1,0?|x
1
?x
2
|? 2a)
，则
f(x)
的
1?f(x
1
)f(x
2< br>)
（2）
f(x?a)?
周期T=4a；
30.分数指数幂 (1)
a
(2)
a
m
n
?
n
a
m
（
a?0,m,n?N
?
，且
n?1
）.
?
m
n
?
1
a
m
n
?
1
n
a
m
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
?
31．根式的性质
n
（1）
(
n
a)?a
.
（2）当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
； < br>?
a,a?0
当
n
为偶数时，
a?|a|?
?
.
?a,a?0
?
n
n
32．有理指数幂的运算性质
(1)
a?a?a
rs
r
rs
rr
rsr?s
(a?0,r,s?Q)
.
(2)
(a)?a(a?0,r,s?Q)
.
(3)
(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q)
.
注： 若a＞0，p 是一个无理数，则a
p
表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，
对于无理数 指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式:

log
a
N? b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

34.对数的换底公式 :
log
a
N?
对数恒等式：
a
推论
log
a
m
b?
n
log
a
N
log
m
N
(
a?0
,且< br>a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
log
m
a
?N
(
a?0< br>,且
a?1
,

N?0
).
n
loga
b
(
a?0
,且
a?1
,

N?0
).
m
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常用公式及结论

王新敞

35．对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
M
?log
a
M?log
a
N
;
Nn
n
n
(3)
log
a
M?nlog
a
M(n?R)
; (4)
log
a
m
N?log
a
N(n,m?R)
。 < br>m
2
2
36.设函数
f(x)?log
m
(ax?b x?c)(a?0)
,记
??b?4ac
.若
f(x)
的定义域为< br>R
,则
a?0
且
??0
;若
f(x)
的值域 为
R
,则
a?0
，且
??0
。
37. 对数换底 不等式及其推广：设
n?m?1
，
p?0
，
a?0
，且a?1
，则
2
m?n
（1）
log
m?p
( n?p)?log
m
n
. （2）
log
a
mlog
a
n?log
a
.
2
38. 平均增长率的问题（负增长时
p?0
）
(?p)
x
. 如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则对 于时间
x
的总产值
y
，有
y?N1
(1)
log< br>a
(MN)?log
a
M?log
a
N
; (2)
log
a
39.数列的通项公式与前n项的和的关系：
a
n
?
?
n?1
?
s
1
,
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
?
s
n
?s
n?1
,n?2
s
n
?a
1
?a
2
??a
n).
*
40.等差数列的通项公式：
a
n
?a
1?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N)
；
n(a
1?a
n
)
n(n?1)d1
?na
1
?d?n
2
?(a
1
?d)n
.
2222
a
nn?1*< br>41.等比数列的通项公式：
a
n
?a
1
q?
1?q(n?N)
；
q
其前n项和公式为：
s
n
??
a
1
(1?q
n
)
?
a
1
?a
n
q
,q?1
,q?1
?
?
其前n项的和公式 为
s
n
?
?
1?q
或
s
n
?
?
1?q
.
?
na,q?1< br>?
na,q?1
?
1
?
1
42.等比差数列
?
a
n
?
:
a
n?1
?qa
n
? d,a
1
?b(q?0)
的通项公式为
?
b?(n?1)d,q? 1
?
a
n
?
?
bq
n
?(d?b)qn?1
?d
；
,q?1
?
q?1
?
?
nb?n(n?1)d,(q?1)
?
其前n项和公式为：
s
n
?
?
.
d1?q
n
d
(b?)?n,(q?1)
?
1?qq?11?q
?
ab(1?b)
n
43.分期付款(按揭贷款 ) ：每次还款
x?
元(贷款
a
元,
n
次还清,每期利率为
b
).
n
(1?b)?1
44．常见三角不等式
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王新敞

?
2
)
，则
sinx?x?tanx
. （1）若
x?(0,
(2) 若
x?(0,)
，则
1?sinx?cosx?2
.
2
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
45.同角三角函数的基本关系式 ：
sin
?
?cos
?
?1
，
tan
?
=
46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号 看象限）
n
n
?
?
2
n
?
(?1)2
cos
?
,(n为偶数)
?
(?1)sin
?
,(n为偶数)
n
?
?
sin(?
?
)?
?，
cos(

?
?
)?
?
n?1
n? 1
2
2
?
(?1)
2
cos
?
,(n为奇 数)
?
(?1)
2
sin
?
,(n为奇数)
??
22
?
sin
?
，
tan
?
?co t
?
?1
.
cos
?
47.和角与差角公式

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?< br>?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
sin
?
sin
?
;
tan
?
?tan
?
.
1tan
?
tan
?
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin
2
?
?sin
2
?(平方正弦公式);
tan(
?
?
?
)?
cos(< br>?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos
2
?
?sin
2
?
.
asin
?
?b cos
?
=
b
定,
tan
?
?
). < br>a
a
2
?b
2
sin(
?
?
?)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决
48. 二倍角公式及降幂公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
?
2
2tan
?
.
1?tan
2
?< br>22
1?tan
2
?
cos2
?
?cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1?1?2sin
?
?
.
2
1?tan
?
2tan
?
.
ta n2
?
?
1?tan
2
?
1?cos2
?
1?cos2
?

sin
2
?
?,cos
2
?
?
22
sin2
?
1?cos2
?

tan
?
??
1?cos2
?
sin2
?
249. 三倍角公式
sin3
?
?3sin
?
?4sin< br>3
?
?4sin
?
sin(?
?
)sin(?
?
)
.
33
cos3
?
?4cos
3
?
?3cos
?
?4cos
?
cos(?
?
)co s(?
?
)
33
??
??
.
新疆奎屯市第一高级中 学 wxckt@ 第 7页（共30页）

高中数学

常用公式及结论

王新敞

3tan
??tan
3
???
tan3
?
??tan
?
t an(?
?
)tan(?
?
)
.
2
1?3tan
?
33
50.三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?co s(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且 A≠0)的周
期
T?
2
?
?
；函数
y?tan(< br>?
x?
?
)
，
x?k
?
?,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且A≠0)的周期
|
?
|
2
T?
?
.
|
?
|
三角函数的图像：
y
y=sinx
-π
1
y=cosx
π
3π2
2π
y
1
-π2
-2π
-3π2
o
-1
π2
x< br>-2π
-3π2
-π
-π2
o
-1
π2
π< br>3π2
2π
x

2π


五点法作图列表：
?
x?
?

0
x


y



51.正弦定理 ：
π2


π


3π2


abc
???2R
（R为
?ABC
外接圆的半径）.
si nAsinBsinC
?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
?a:b: c?sinA:sinB:sinC

a
2
?b
2
?c2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
52.余弦定理
53.面积定理
111
ah
a
?bh
b
?ch
c
（
h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边上的高）.
222< br>111
（2）
S?absinC?bcsinA?casinB
.
2 22
1
(3)
S
?OAB
?(|OA|?|OB|)
2?(OA?OB)
2
.
2
a?b－c
斜边
2S
?
r
?内切圆
?,r
直角?内切圆
?

a?b?c2
（1）
S?

54.三角形内角和定理
在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)

?
C
?
A?B
?2C?2
?
?2(A?B)
.
??
222
55. 简单的三角方程的通解
新疆奎屯市第一高级中学 wxckt@ 第 8页（共30页）

高中数学

常用公式及结论

王新敞

k
< br>sinx?a?x?k
?
?(?1)arcsina(k?Z,|a|?1)
.

cosx?a?x?2k
?
?arccosa(k?Z,|a|?1)
.
tanx?a?x?k
?
?arctana(k?Z,a?R)
.
特别地,有
sin
?
?sin
?
?
?
? k
?
?(?1)
k
?
(k?Z)
.
cos
?
?cos
?
?
?
?2k
?
?
?
(k?Z)
.
tan
?
?tan
?
?
?
?k
?
?
?
(k?Z)
.
56.最简单的三角不等式及其解集

sinx?a(|a|?1)?x?( 2k
?
?arcsina,2k
?
?
?
?arcsina) ,k?Z
.
sinx?a(|a|?1)?x?(2k
?
?
??arcsina,2k
?
?arcsina),k?Z
.
< br>cosx?a(|a|?1)?x?(2k
?
?arccosa,2k
?
?arccosa),k?Z
.

cosx?a(|a|?1)?x?(2 k
?
?arccosa,2k
?
?2
?
?arccosa) ,k?Z
.

tanx?a(a?R)?x?(k
?
?ar ctana,k
?
?
?
2
),k?Z
.
tanx ?a(a?R)?x?(k
?
?
?
2
,k
?
?ar ctana),k?Z
.
57.实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μ
a
)=(λμ)
a
;
(2)第一分配律：(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a
;
(3)第二分配律：λ(a
+
b
)=λ
a
+λ
b
.
58.向量的数量积的运算律：
(1)

a
·
b
=
b
·
a
（交换律）;
(2)（
?
a
）·
b
=
?
（
a
·
b
）=
?
a
·
b
=
a
·（
?
b
）;
(3)（
a
+
b
）·
c
=

a
·
c
+
b
·
c
.
59.平面向量基本定理
如果
e
1
、
e
2< br>是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有
一对实数λ
1
、λ
2
，使得
a
=λ
1
e
1
+ λ
2
e
2
．
不共线的向量
e
1
、
e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
三点A、B、C共线的充要条件：
MC?
?
MA?(1?
?
)MB
(M为任意点)

60．向量平行的坐标表示
设
a
=
(x
1< br>,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，且
b
?
0
，则
a
61.
a
·
b
的几何意义：
数量积
a
·
b等于
a
的长度|
a
|与
b
在
a
的方向 上的投影|
b
|
cos
?
的乘积．
向量
b
在向量
a
上的投影：|
b
|
cos
?
＝
b
(
b
?
0
)
?x
1
y
2?x
2
y
1
?0
.
53.
a
与< br>b
的数量积(或内积)：
a
·
b
=|
a
||
b
|
cos
?
。
a?b
．
|a|
新疆奎屯市第一高级中学 wxckt@ 第 9页（共30页）

高中数学

常用公式及结论

王新敞


62.平面向量的坐标运算
(1)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y< br>2
)
，则
a
+
b
=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(2)设a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，则
a
-
b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(3)设A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
,则
AB?OB?O A?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
(4)设
a
=
(x,y),
?
?R
，则?
a
=
(
?
x,
?
y)
.
(5)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，则
a
·< br>b
=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)
.
63.两向量的夹角公式
cos
?
?
a ?b
?
|a|?|b|
x
1
x
2
?y
1< br>y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2
2
2
(
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
).
64.平面两点间的距离公式

d
A,B
=
|AB|?A B?AB
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2< br>?y
1
)
2
(A
(x
1
,y
1)
，B
(x
2
,y
2
)
).
65.向量的平行与垂直 ：设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，且
b
?
0
，则
a
||
b
?
b
=λ
a

?x1
y
2
?x
2
y
1
?0
.
a
?
b
(
a
?
0
)
?

a
·
b
=0
?x
1
x
2
?y1
y
2
?0
.
66.线段的定比分公式 ：设
P1
P
2
的分点,
?
是实数，
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y2
)
，
P(x,y)
是线段
P
?
x
1
?
?
x
2
x?
?
OP
1
?
1?
?
1
?
?
OP
2
OP?
且
PP
，则（）.
t?
?
?
PPOP?tOP?(1?t)OP??
?
1212
1?
?
1?
?
?
y?
y
1
?
?
y
2
?
1?
?
?
67.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)< br>、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐标是< br>G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
.
33
68.点的平移公式
''
??
?
x?x?h
?
x?x?h
''
?OP?OP?PP
?
?
.
?
''
??
?y?y?k
?
y?y?k
注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F
上的对应点为
P(x,y)
，且
PP
的坐标为
''''
'
(h,k)
.
69.“按向量平移”的几个结论
（ 1）点
P(x,y)
按向量
a
=
(h,k)
平移后得到点< br>P(x?h,y?k)
.
(2) 函数
y?f(x)
的图象
C
按向量
a
=
(h,k)
平移后得到图象
C
,则< br>C
的函数解析式为
''
'
y?f(x?h)?k
.
(3) 图象
C
按向量
a
=
(h,k)
平移后得到 图象
C
,若
C
的解析式
y?f(x)
,则
C
的函数解析
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''

高中数学

常用公式及结论

王新敞

''
式为
y?f(x?h)?k
.
(4)曲线
C
:
f(x,y)?0
按向量
a
=
(h,k)
平移后得到图象
C
,则
C
的方程为
f(x?h,y?k)?0
.
(5) 向量
m
=
(x,y)
按向量
a
=
(h,k)
平移后得到的向量仍然为
m
=
(x,y)
.
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为
?ABC所在平面上一点，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
，则
（1）
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0
.
（3）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?O C?OC?OA
.
（4）
O
为
?ABC
的内心
? aOA?bOB?cOC?0
.
（5）
O
为
?ABC
的< br>?A
的旁心
?aOA?bOB?cOC
.
71.常用不等式： （1）
a,b?R
?
a?b?2ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
22
222
a?b
?ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2
333
（3）
a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0).

（2）
a,b?R
?
?
（4）柯西不等式：
(a?b)(c ?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R.

（5）
a?b?a?b?a?b
.
22222
2aba?ba2
?b
2
（6）(当且仅当a＝b时取“=”号)。
?ab??
a?b22
72.极值定理:已知
x,y
都是正数，则有
（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
；
（2）若和
x?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值
（3）已知
a ,b,x,y?R
，若
ax?by?1
则有
?
1
2
s
.
4
1111byax
??( ax?by)(?)?a?b???a?b?2ab?(a?b)
2
。
xyxyxy
ab
?
（4）已知
a,b,x,y?R
，若
??1
则有
xy
abaybx
x?y?(x?y)(?)?a?b???a?b?2ab? (a?b)
2

xyxy
22
73.一元二次不等式
ax? bx?c?0(或?0)(a?0,??b?4ac?0)
，如果
a
与
ax< br>2
?bx?c
同号，则其解集在两根之外；如果
a
与
ax2
?bx?c
异号，则其解集在两根之间.简
言之：同号两根之外，异号两根之间 .
x
1
?x?x
2
?(x?x
1
)(x?x2
)?0(x
1
?x
2
)
；
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高中数学

常用公式及结论

王新敞

x?x
1
,或x?x
2
?(x?x
1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
.
74.含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有
x?a?x
2
?a
2
??a?x?a
.
x?a? x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
75.无理不等式
（1）
（2）
（3）
?
f(x)?0
?
. f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
g(x)?0
?
f(x)?0
?
.
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
或
?
?
?
或
?
2
g(x)?0
f (x)?[g(x)]g(x)?0
??
?
f(x)?[g(x)]
2
?
?
?
f(x)?0
?
.
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?[g(x)]
2
?
76.指 数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?
f(x)?0
?
?f(x)?g(x)
;
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x )?0
.
?
f(x)?g(x)
?
?
f(x)?0
?
?f(x)?g(x)
;
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0

?
f(x)?g(x)
?
(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
77.斜率公式
k?
y
2
?y
1
（
P
1
(x
1
,y< br>1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）.
x
2
?x
1
78.直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直 线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)< br>，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
?
(
y
1
?y
2
)(< br>P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
两点式 的推广：
(x
2
?x
1
)(y?y
1
)?(y2
?y
1
)(x?x
1
)?0
（无任何限制条件！）
xy
(4)截距式
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵 截距，
a?0、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
（3）两点式
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高中数学

常用公式及结论

王新敞

直线
Ax?By?C?0
的法向量：
l
?
?(A,B)
， 方向向量：
l?(B,?A)

79.两条直线的平行和垂直
(1)若< br>l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2< br>:y?k
2
x?b
2

①
l
1
|| l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
;

②
l
1
?l
2
?k
1k
2
??1
.

(2)若
l
1
:A< br>1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2< br>:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,且A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零,
①
l
1
||l
2
?
A
1
B
1
C
1
；②
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
；
??
A
2
B
2
C
2
80.夹角公式
k
2
?k
1
|
. (
l
1
:y? k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
??1
)
1?k
2
k
1
AB?A
2
B
1
|
.(
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
). (2)
tan
?
?|
12
A
1
A
2
?B
1
B
2
(1)
tan
?
?|
直线
l
1
?l
2
时，直线l
1
与l
2
的夹角是
81.
l
1
到
l
2
的角公式
?
.
2
k
2
?k
1
.(
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b2
,
k
1
k
2
??1
)
1?k2
k
1
AB?A
2
B
1
(2)
tan
?
?
12
.(
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2< br>x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A< br>2
?B
1
B
2
?0
).
A
1A
2
?B
1
B
2
(1)
tan
??
直线
l
1
?l
2
时，直线l
1
到l
2
的角是
?
.
2
82．四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交：

(1)定点直 线系方程：经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
(除直线
x?x
0
),其中
k
是待定的系数; 经过定点
P
0(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?0
,
其中
A,B
是待定的系 数．
(2)共点直线系方程：经过两直线
l
1
:A
1
x? B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直
线系方程为(A
1
x?B
1
y?C
1
)?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
(除
l
2
)，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线
y?kx?b
中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方
程．与直线
Ax?By?C?0
平行的 直线系方程是
Ax?By?
?
?0
(
?
?0
)，λ 是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线
Ax?By?C?0
(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,λ是参变量．
(5)直线系
F(x,y,
?
)?0
与线段
AB,A(x< br>1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
相 交
?
F(x
1
,y
1
,
?
)?F(x2
,y
2
,
?
)?0
。
⑹到
定点< br>P
0
(x
0
,y
0
)
距离为
r的直线系方程：
xcos
?
?ysin
?
?r?x
0< br>cos
?
?y
0
sin
?
?0
（其中
?
是待定的系数）．

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高中数学

常用公式及结论

王新敞

|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
83.点到 直线的距离 ：
d?
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By?C?0
).
84.
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域
设直线
l: Ax?By?C?0
，则
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区 域是：
若
B?0
，当
B
与
Ax?By?C
同号时 ，表示直线
l
的上方的区域；当
B
与
Ax?By?C
异号时，表示直线
l
的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若
B ?0
，当
A
与
Ax?By?C
同号时，表示直线
l
的右方的区域；当
A
与
Ax?By?C
异
号时，表示直线
l
的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左。
85.
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y? C
2
)?0
或
?0
所表示的平面区域
(A
1x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
或
?0
所表示的平面区域是两直线
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
和
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
所成的对顶角区域（上下或左右两部分）。
86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.
22
（2）圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
＞0).
22
222
?
x?a?rcos
?
.
?
y?b?rsin
?
B(x
2
,y
2
)
). （4）圆的直径式方程
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y1
)(y?y
2
)?0
(圆的直径的端点是
A(x
1< br>,y
1
)
、
（3）圆的参数方程
?
87. 圆系方程
(1)过点
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
的圆系方程是
(x?x
1< br>)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)??
[(x?x
1
)(y
1
?y
2
)?(y?y
1
)(x
1
?x
2
)]?0

?(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2)?
?
(ax?by?c)?0
,其中
ax?by?c?0
是直 线
AB
的
方程,λ是待定的系数．
(2)过直线
l
:Ax?By?C?0
与圆
C
:
x?y?Dx?Ey?F?0
的交 点的圆系方程是
22
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
?
(Ax?By?C)?0
,λ是待定的系数．
22
22
(3) 过圆
C
1
:
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与圆
C
2
:
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
的交点的
2222
圆系方程 是
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?< br>(x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0
, λ是待定的系数．
2222
特别地，当
?
??1
时，
x? y?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
(x?y ?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0
就是
( D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?( F
1
?F
2
)?0
表示：
①当两圆相交时，为公共弦所在的直线方程；
②向两圆所引切线长相等的点的轨迹（直线）方程，有的称这条直线为根轴；
88.点与圆的 位置关系：点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)? (y?b)?r
的位置关系有三种
若
d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
，则
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点
P
在圆上;
d?r?
点
22
222
P< br>在圆内.
89.直线与圆的位置关系
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高中数学

常用公式及结论

王新敞

222
直线Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种(
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
):
d?r?相离???0;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
90.两 圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
91.圆的切线方程及切线长公式
(1)已知圆
x?y?Dx?Ey?F?0
．
22
内含内切
r
2
-r
1
相交
外切
相离
r
1
+r
2
o
d
d
d
d
①若已知切点
(x0
,y
0
)
在圆上，则切线只有一条，其方程是
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
??F?0
. < br>22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0
x?y
0
y???F?0
表示过两个切点的切
22

x
0
x?y
0
y?
点弦方程．求切点弦方程，还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共 弦确定。
②过圆外一点的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
，再利用相切条件求k，这时必有两
条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆
x?y?r
．
2
①过圆上的
P
0< br>(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
;
222
②斜率为
k
的圆的切 线方程为
y?kx?r1?k
2
.
(3) 过圆
x?y?Dx?E y?F?0
外一点
(x
0
,y
0
)
的切线长为l?x
0
?y
0
?Dx
0
?Ey
0
? F

22
22
?
x?acos
?
x
2y
2
cb
2
92.椭圆
2
?
2
?1( a?b?0)
的参数方程是
?
. 离心率
e??1?
2
，
ab
aa
?
y?bsin
?
b
2
a
2
准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离(焦准距)
p?
。
cc
b
2
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：
2
. a
x
2
y
2
93.椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积
ab
a< br>2
a
2
?FPF
PF
1
?e(x?)?a?ex，
PF
2
?e(?x)?a?ex
；
S
?F
1
PF
2
?c|y
P
|?b
2
tan
1。
cc
2
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高中数学

常用公式及结论

王新敞

22
x
0
y
0
??1
.
a
2< br>b
2
22
x
0
y
0
?
2
? 1
.
2
ab
94．椭圆的的内外部
x
2
y2
（1）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的内部
?
ab
x
2
y
2
（2）点
P(x
0
,y
0
)在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的外部
?
a b
95. 椭圆的切线方程
xxyy
x
2
y
2
(1)椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
0
2
?
0< br>2
?1
.
ab
ab
xxyy
x
2
y
2
（2） 过椭圆
2
?
2
?1
外一点
P(x
0
,y< br>0
)
所引两条切线的切点弦方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
22222
（3） 椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
Aa?Bb?c
.
ab
x
2
y2
cb
2
96.双曲线
2
?
2
?1(a?0, b?0)
的离心率
e??1?
2
，准线到中心的距离为
ab
aa
b
2
a
2
，焦点到对应准线的距离(焦准距)
p?。
c
c
b
2
过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：2
.
a

a
2
a
2
焦半径公式PF
1
?|e(x?)|?|a?ex|
，
PF
2
?| e(?x)|?|a?ex|
，
cc
?F
1
PF
2
两焦半径与焦距构成三角形的面积
S
?F
1
PF
2
?bc ot
。
2
97.双曲线的内外部
x
2
y
2(1)点
P(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的内部
?
ab
x
2
y
2
(2)点
P(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的外部
?
ab
98.双曲线的方程与渐近线方程的关系
22
x
0
y
0
?
2
?1
.
2
ab
22
x
0
y
0
??1
.
a
2
b
2
x
2
y
2
x
2
y
2
b
(1）若双曲线方程为
2
?
2
?1
?
渐近线方程：
2
?
2
?0?
y??x
.
ab
ab
a
x
2
y
2
xy
b (2)若渐近线方程为
y??x
?
??0
?
双曲线可设 为
2
?
2
??
.
ab
ab
a
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线与
2
?
2
?1
有公共渐近线，可设为
2
?
2
??

abab
（
??0
，焦点在x轴上，
??0
，焦点在y轴上）.
(4) 焦点到渐近线的距离总是
b
。
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高中数学

常用公式及结论

王新敞

99. 双曲线的切线方程
x
2
y
2
xxyy
(1)双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
xxyy
x
2
y
2
（2 ）过双曲线
2
?
2
?1
外一点
P(x
0
, y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
0
2
?
02
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
22222
（3 ）双曲线
2
?
2
?1
与直线
Ax?By?C?0
相 切的条件是
Aa?Bb?c
.
ab
2
100. 抛物线
y?2px
的焦半径公式
p
2
抛物线
y?2px( p?0)
焦半径
CF?x
0
?
.
2
p

CF?
(其中θ为x轴的正向绕焦点按逆时针方向旋转到FC的角)
1?cos< br>?
pp
过焦点弦长
CD?x
1
??x
2
?? x
1
?x
2
?p
.
22
2p

CD?
(其中α为倾斜角)
2
sin
?
2
y< br>?
2
101.抛物线
y?2px
上的动点可设为P
(,y?
)
或
P(2pt
2
,2pt)
P
(x,y)
，其中
2p
y
2
?2px
. b
2
4ac?b
2
)?
102.二次函数
y?ax?b x?c?a(x?
(a?0)
的图象是抛物线：
2a4a
b4ac?b2
b4ac?b
2
?1
,)
；
,)
； （1） 顶点坐标为
(?
（2）焦点的坐标为
(?
2a4a2a4a
4ac? b
2
?1
（3）准线方程是
y?
.
4a
2
103.以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线焦点弦为直径的圆，
必与 准线相切；以抛物线的半径为直径径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。
104. 抛物线的切线方程
2
(1)抛物线
y?2px
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
.
2
（2）过抛物线
y?2px
外一 点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
.
（3）抛物线
y?2px(p?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
pB?2AC
.
105.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线
f
1
( x,y)?0
,
f
2
(x,y)?0
的交点的曲线系方程是
f
1
(x,y)?
?
f
2
(x,y)?0
(
?
为参数).
22
x
2
y
2
?
2?1
,其中
k?max{a
2
,b
2
}
. ( 2)共焦点的有心圆锥曲线系方程
2
a?kb?k
222222
当
k ?min{a,b}
时,表示椭圆; 当
min{a,b}?k?max{a,b}
时,表示双曲线.
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高中数学

常用公式及结论

王新敞

(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
或 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?
AB ?(1?k
2
)[(x
2
?x
1
)
2
?4 x
2
?x
1
]?|x
1
?x
2
|1?ta n
2
?
?|y
1
?y
2
|1?cot
2< br>?

（弦端点A
(x
1
,y
1
),B(x< br>2
,y
2
)
，由方程
?
?
y?kx?b2
消去y得到
ax?bx?c?0
，
?
F(x,y)?0??0
,
?
为直线
AB
的倾斜角，
k
为直线的 斜率，
|x
1
?x
2
|?(x
1
?x
2< br>)
2
?4x
1
x
2
）.
107.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线
F(x,y)?0
关于点P(x
0
,y
0
)
成中心对称的曲线是
F(2x
0
-x,2y
0
?y)?0
.
（2）曲线
F(x,y) ?0
关于直线
Ax?By?C?0
成轴对称的曲线是
2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C)
,y?)?0
.
2222
A?BA?B
特别地，曲线
F(x,y)?0
关于原点
O
成 中心对称的曲线是
F(?x,?y)?0
.
曲线
F(x, y)?0
关于直线
x
轴对称的曲线是
F(x,?y)?0
.
曲线
F(x,y)?0
关于直线
y
轴对称的曲线是
F(?x,y)?0
.
曲线
F(x,y)?0
关于直线
y?x
轴对称的曲线是
F(y,x)?0
.
曲线
F(x,y)?0
关于直线
y??x
轴对称的曲线是
F(?y,?x)?0
.
108.圆锥曲线的第二定义：动点M到定点F的距离与到定直线
l
的距 离之比为常数
e
，若
0?e?1
，M的轨迹为椭圆；若
e?1
，M的轨迹为抛物线；若
e?1
，M的轨迹为双曲线。
F(x?
109．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.
110．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
111．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.
112．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
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高中数学

常用公式及结论

王新敞

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。
114．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直；
(3) 转化为两平面的法向量平行。
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：
a
＋
b
=
b
＋
a
．
(2)加法结合律：(
a
＋
b
)＋
c
=
a
＋(
b
＋
c
)．
(3)数乘分配律：λ(
a
＋
b
)=λ
a
＋λ
b
．
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公
共始点为始 点的对角线所表示的向量.
117.共线向量定理
对空间任意两个向量
a
、
b
(
b
≠
0
)，
a
∥
b
?
存在实 数λ使
a
=λ
b
．
P、A、B
三点共线
?
AP||AB
?
AP?tAB
?
OP?(1?t)OA?tOB
.
AB||CD
?
AB
、
CD
共线且
AB、CD不共线
?
AB?tCD
且
AB、CD
不共线.
118.共面向量定理
向量
p
与两个不共线的向量
a
、
b
共面的
?
存在实数对
x,y
,使
p?xa?yb
．
推论 空间一点P位于平面MAB内的
?
存在有序实数对
x, y
,使
MP?xMA?yMB
，
或对空间任一定点O，有序实数对
x,y
，使
OP?OM?xMA?yMB
.
yO?BzOC
（x?y?z?k
），则当
k?1
时，对于空间任一点
O
，总有P 、A、B、C四点共面；当
k?1
时，
若
O?
平面ABC，则P、A 、B、C四点共面；若
O?
平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．
A、B、 C、D
四点共面
?
AD
与
AB
、
AC
共 面
?
AD?xAB?yAC
?

OD?(1?x?y)OA?xOB?yOC
（
O?
平面ABC）.
120.空间向量基本定理
如果三个向量
a
、
b
、< br>c
不共面，那么对空间任一向量
b
，存在一个唯一的有序实数组x，
y ，z，使
p
＝x
a
＋y
b
＋z
c
．
推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，
y，z，使
OP?xOA?yOB?zOC
.
121.射影公式
已知向 量
AB
=
a
和轴
l
，
e
是
l上与
l
同方向的单位向量.作A点在
l
上的射影
A
?< br>，作B点在
l
上的射影
B
?
，则
?
119 .对空间任一点
O
和不共线的三点A、B、C，满足
OP?xOA
A
?
B
?
?|AB|cos?a,e??a?e

122.向量的直角坐标运算
设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
，
b
＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
则
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高中数学

常用公式及结论

王新敞

(1)
a＋
b
＝
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
；
(2) a
－
b
＝
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
；
( 3)λ
a
＝
(
?
a
1
,
?
a2
,
?
a
3
)
(λ∈R)；
(4) a
·
b
＝
a
1
b
1
?a
2< br>b
2
?a
3
b
3
；
123.设A
(x
1
,y
1
,z
1
)
，B
(x
2
,y
2
,z
2
)
，则
AB?OB?OA
=
(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
)
.
124．空间的线线平行或垂直
rr
设
a?(x
1
,y< br>1
,z
1
)
，
b?(x
2
,y
2< br>,z
2
)
，则
?
x
1
?
?
x
2
rrrr
rr
?
aPb
?
a?
?< br>b(b?0)
?
?
y
1
?
?
y
2< br>；
?
z?
?
z
2
?
1
rrrr< br>a?b
?
a?b?0
?
x
1
x
2
? y
1
y
2
?z
1
z
2
?0
.
125.夹角公式
设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
，
b
＝
(b
1
,b< br>2
,b
3
)
，则
cos?a,b??
a
1< br>b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a?a?a
2
1
2
2
2
3
b?b?b< br>2
1
2
2
2
3
.
2222222
推论
(a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
)?(a
1
?a
2
?a
3
)(b
1
?b
2
?b
3
)
，此即三维柯西不等式.
126. 正棱锥的侧面与底面所成的角为
?< br>，则
cos
?
?
S
底面
。
S
侧面
1
。
3

特别地，对于正四面体每两个面 所成的角为
?
，有
cos
?
?
127．异面直线所成角 < br>x?y?z?x
2
?y
2
?z
2
rr
oo< br>（其中
?
（
0?
?
?90
）为异面直线
a, b
所成角，
a,b
分别表示异面直线
a,b
的方向向量）
128.直线
AB
与平面所成角
AB?m
(
m
为平面
?
的法向量).
?
?arcsin
|AB||m|
129.若
?ABC
所在平面
?与过若
AB
的平面
?
成的角
?
,另两边
AC< br>,
BC
与平面
?
成的
角分别是
?
1
、
?
2
,
A、B
为
?ABC
的两个内角，则 sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?(s in
2
A?sin
2
B)sin
2
?
.
222
特别地,当
?ACB?90
时,有
sin
?
1
?sin
?
2
?sin
?
.
rr
rr
|a?b|
cos
?
?|cosa,b|
=
rr?
|a|? |b|
|x
1
x
2
?y
1
y
2
? z
1
z
2
|
2
1
2
1
2
1
222
130.若
?ABC
所在平面
?
与过
AB
的平面
?
成的角
?
,另两边
AC
,
BC< br>与平面
?
成的角分
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高中数学
'

常用公式及结论

王新敞

'
别是
?
1
、
?
2
,
A、B
为
?ABO
的两个内角，则
tan
2
?
1
?tan
2
?
2
?(sin
2
A
'
?sin
2
B
'
)tan
2
?
.
222
特别地 ,当
?AOB?90
时,有
sin
?
1
?sin
?
2
?sin
?
.
131.二面角
?
?l?
?
的平面角（根据具体图形确定是锐角或是钝角）
?
?arccos
m? nm?n
或
?
?arccos
（
m
，
n
为 平面
?
，
?
的法向量）.
|m||n||m||n|
B< br>A
?
?
1
?
2
?
132.三余弦定理 设AC是α内的任一条直线，AD是α的一条斜线AB在α
内的射影，且BD⊥AD，垂足为D，设 AB与α(AD)所成的角为
?
1
，
AD与AC所成的角为
?
2
， AB与AC所成的角为
?
． 则
D
C
cos
?
?cos
?
1
cos?
2
.
133. 三射线定理
若夹在平面角为
?
的 二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是
?
1
,
?
2
,与二面角的
2222
棱所成的角是θ，则有
sin
?
sin?
?sin
?
1
?sin
?
2
?2sin?
1
sin
?
2
cos
?

|< br>?
1
?
?
2
|?
?
?180?(
?
1
?
?
2
)
(当且仅当
?
?90
时等号成立).
134.空间两点间的距离公式
若A
(x
1
, y
1
,z
1
)
，B
(x
2
,y
2
,z
2
)
，则
d
A,B
=
|AB|?AB ?AB
?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)?(z
2
?z
1
)
.
135.点
Q
到直线
l
距离
222
h?
1
(|a||b|)
2
?(a?b)
2
(点
P
在直 线
l
上，
a
为直线
l
的方向向量，
b
=
PQ
).
|a|
136.异面直线间的距离 d?
|CD?n|
(
l
1
,l
2
是两异面直线 ，其公垂向量为
n
，
C、D
分别是
l
1
,l
2
上任一点，
d
为
l
1
,l
2
|n|< br>间的距离).
137.点
B
到平面
?
的距离
d ?
|AB?n|
（
n
为平面
?
的法向量，
A??
，
AB
是
?
的一条斜线段）.
|n|
138.异面直线上两点距离公式
d?h
2
?m
2
?n
2
2mncos
?
.
d?h
2
? m
2
?n
2
?2mncosEA
'
,AF
. d?h
2
?m
2
?n
2
?2mncos
?（
?
?E?AA
'
?F
）.
(两条异面直线a、b 所成的角为θ，其公垂线段
AA
的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、
F，AE?m
,
AF?n
,
EF?d
).
139.三个向量和的平方公式
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'
'

高中数学

常用公式及结论

王新敞

222
2

(a?b?c)
2
?a?b?c?2a?b?2b?c?2c?a

?a?b?c?2|a|?|b|cosa,b?2|b|?|c|cosb,c?2|c|?|a|cosc, a

140. 长度为
l
的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为
l
1
、l
2
、l
3
，夹角分别为
22?
1
、
?
2
、
?
3
,则有
l
2
?l
1
2
?l
2
2
?l
32
?cos
2
?
1
?cos
2
?
2< br>?cos
2
?
3
?1?sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?sin
2
?
3
?2< br>.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
S
'
141. 面积射影定理
S?
.
cos
?
(平面多边形及其射影的面积分别 是
S
、
S
，它们所在平面所成锐二面角的为
?
).
142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是
l
,侧面积和体积分别是
S
斜棱柱侧
和
V
斜棱柱
,它的直截面的周长和面积
分别是
c
1
和
S
1
,则①
S
斜棱柱侧?c
1
l
；②
V
斜棱柱
?S
1
l。
143．作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.
144．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相 似，截面面积与底面面积的比
等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的 多边形是相似多边形，
相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥的体积与原棱锥的体积 的比等于顶点
到截面距离与棱锥高的立方比；相应小棱锥的的侧面积与原棱锥的的侧面积的比等于顶点到 截面
距离与棱锥高的平方比．
145.欧拉定理(欧拉公式)
V?F?E?2
(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
（1）
E< br>=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为
n
的多边形，则面数F与棱数E的关系：
E?
'
1
nF
；
2
1
mV
.
2
（2）若每个顶点引出的棱数为
m
，则顶点数V与棱数E的关系：
E?
146.球的半径是R，则其体积
V?< br>4
?
R
3
,其表面积
S?4
?
R
2
．
3
147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是
正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为
a
的正四面体的内切球的半径为6
a
(正四面体高
12
666
13
a
的),外 接球的半径为
a
(正四面体高
a
的).
343
44
148．柱体、锥体的体积
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高中数学

常用公式及结论

王新敞

1
V
柱 体
?Sh
（
S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高）.
3
1
V
锥体
?Sh
（
S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高）.
3
149.分类计数原理（加法原理）：
N?m
1
?m
2
??m
n
.
150.分步计数原理（乘法原理 ）：
N?m
1
?m
2
??m
n
.
n！
m
m
∈N
*
，151.排列数公式 ：
An
=
n(n?1)?(n?m?1)
=.(
n
，且
m? n
)．规定
0!?1
.
(n?m)！
n
mm?1
mm
152.排列恒等式 :(1）
A
n
?(n?m?1)A
n
;（2）
A
n
?A< br>n?1
;
n?m
nn?1nmmm?1
mm?1
（3）A
n
?nA
n?1
; （4）
nA
n
?A
n?1
?A
n
; （5）
A
n?1
?A
n
?mA
n
.
(6)
1!?2?2!?3?3!??n?n!?(n?1)!?1
.
n ！
A
n
m
n(n?1)
?
(n?m?1)
*
C
=
m
=153.组合数公式：=(
n
∈N，且
m?n< br>).
m?N
，
m！?(n?m)！
1?2?
?
?m
A
m
m
n
154.组合数的两个性质:(1)
C
n
=
C
n
155.组合恒等式
（1）
C
n
?
m
m
n?m
(2) < br>C
n
+
C
n
m
m?1m0
=
Cn?1
.规定
C
n
?1
.
n?m?1
m?1
n
mm
C
n
;（2）
C
n
?C
n ?1
;
mn?m
n
n
m?1
r
m
n（3）
C
n
?C
n?1
; （4）
?
C
n
=
2
;
m
r?0
rrrrr?1
（5）
C
r
?C
r?1
?C
r?2
???C
n
?C
n?1
.
012rnn
(6)< br>C
n
?C
n
?C
n
???C
n
?? ?C
n
?2
.
135024n?1
(7)
C
n< br>?C
n
?C
n
???C
n
?C
n
? C
n
??2
.
123nn?1
(8)
C
n?2C
n
?3C
n
???nC
n
?n2
. < br>r0r?110rrr
(9)
C
m
C
n
?C
m
C
n
?
?
?C
m
C
n
?Cm?n
.
021222n2n
(10)
(C
n
)?( C
n
)?(C
n
)???(C
n
)?C
2n
.
mm
！?C
n
156.排列数与组合数的关系:
A
n
?m
.
157．单条件排列（以下各条的大前提是从
n
个元素中 取
m
个元素的排列）
（1）“在位”与“不在位”
mm?1
m? 11m?1
?A
n
①某（特）元必在某位有
A
n?1
种；② 某（特）元不在某位有
A
n
?A
n?1
（补集思想）
?1< br>A
n?1
m1m?1
（着眼位置）
?A
n?1
?A< br>m?1
A
n?1
（着眼元素）种.
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高中数学

常用公式及结论

王新敞

km?k
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：
k(k?m? n)
个元在固定位的排列有
A
k
A
n?k
种.
② 浮动紧贴：
n
个元素的全排列把k个元排在一起的排法有
A
n?k?1
A
k
种.
注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h个 （
k?h?1
），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互
不能挨近的所有排列数有
A
h
A
h?1
种.
（3）两组元素各相同的插空
m
个大球
n
个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
n< br>A
m
n
?1
当
n?m?1
时，无解；当
n? m?1
时，有
n
?C
m?1
种排法.
A
n
hk
n?k?1k
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的 排列数为
C
m?n
.
158．分配问题
（1）(平均分组有归属 问题)将相异的
mn
个物件等分给
m
个人，各得
n
件，其分 配方法数
共有
N?C
mn
?C
mn?n
?C
mn? 2n
?
?
?C
2n
?C
n
?
nnnnn< br>n
(mn)!
.
m
(n!)
（2）(平均分组无归属问题) 将相异的
mn
个物体等分为无记号或无顺序的
m
堆，其分配方
法数共 有
nnnnn
C
mn
?C
mn
(mn)!
?n< br>?C
mn?2n
...?C
2n
?C
n
N??
.
m!m!(n!)
m
（3）(非平均分组有归属问题)将相异的
P(P =n
1
+n
2
++n
m
)
个物体分给
m< br>个人，物件必须
被分完，分别得到
n
1
，
n
2
，…，
n
m
件，且
n
1
，
n
2
，…，
n
m
这
m
个数彼此不相等，则其分配方
n
m
n
1
n
2
法数共有
N?C
p
?C
p?n
1
...C
n
m
?m!?
p!m!
. n
1
!n
2
!...n
m
!
（4）(非完全平 均分组有归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
+
nm
n
1
n
2
C
p
?C
p?n
1
...C
n
m
?m!
+n
m
)
个物体分 给
m
个人，物件
必须被分完，分别得到
n
1
，
n< br>2
，…，
n
m
件，且
n
1
，
n2
，…，
n
m
这
m
个数中分别有a、b、c、…
个相等，则其分配方法数有
N?
p!m!
.
a!b!c!...
n
1
!n
2
!...n
m
!(a!b!c!...)
（5）(非平均分组无归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
+ +n
m
)
个物体分为任意的
n
1
，
n
2< br>，…，

?
n
m
件无记号的
m
堆，且
n
1
，
n
2
，…，
n
m
这
m< br>个数彼此不相等，则其分配方法数有
p!
N?
.
n
1
!n
2
!...n
m
!
（6）(非完全平均分组无归属问题)将相 异的
P(P=n
1
+n
2
++n
m
)
个物 体分为任意的
n
1
，
n
2
，…，
n
m件无记号的
m
堆，且
n
1
，
n
2
，… ，
n
m
这
m
个数中分别有a、b、c、…个相等，则
p!< br>其分配方法数有
N?
.
n
1
!n
2
!.. .n
m
!(a!b!c!...)
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高中数学

常用公式及结论

王新敞

+n
m
）个物体分给甲、乙、丙，……（7）(限定分组有归属问题)将相异的
p
（
p?n< br>1
+n
2
+
n
2
，等
m
个人，物体 必须被分完，如果指定甲得
n
1
件，乙得
n
2
件，丙得n
3
件，…时，则无论
n
1
，…，
n
m
等
m
个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
n
m
n
1
n
2
N?C
p
?C
p?n
1
...C
n
m
?
p!
.
n
1
!n
2!...n
m
!
159．“错位问题”
2封信与2个信封全部错位排列数：1；
3封信与3个信封全部错位排列数：2；
4封信与4个信封全部错位排列数：9；
5封信与5个信封全部错位排列数：44；
（一般记着上面的就够了）
推广
贝努利装错笺问题:信
n
封信与
n
个信封全部错位的组合数为
1111
????(?1)
n
]
.
2!3!4!n!
推广:
n
个元素与
n
个位置,其中至少 有
m
个元素错位的不同组合总数为
f(n)?n![
1234
f( n,m)?n!?C
m
(n?1)!?C
m
(n?2)!?C
m(n?3)!?C
m
(n?4)!
??(?1)C(n?p)!?
pp< br>m
?(?1)C(n?m)!
p
C
m
?(?1)
p< br>?
A
n
p
mm
m

1234
Cm
C
m
C
m
C
m
?n![1?
1?
2
?
2
?
4
?
A
n
An
A
n
A
n
m
C
m
?(?1)
m
]
.
A
n
m
160．不定方程
x
1
+x
2
+
(1)方程
x
1
+x
2
+
(2) 方程
x
1
+x
2
+
(3) 方程
x
1
+x
2
+
n?1
+x
n
?m
的解的个数
n?1
+x
n
?m
（
n,m?N
?
）的正整数解有
C
m
个.
?1
1
+x
n
?m
（
n,m?N
?
）的非负整数解有
C
n
n
?
?
个.
m?1
+x
n
?m
（
n,m?N
?
）满足条件
x
i
?k
(
k?N
?
,
2?i?n?1
)的非负
整数解有< br>C
m?1?(n?2)(k?1)
个.
n0n1n?12n?22rn?rrnn
161.二项式定理
(a?b)?Cn
a?C
n
ab?C
n
ab?
?
?C
n
ab?
?
?C
n
b

rn?rr
二 项展开式的通项公式
T
r?1
?C
n
ab
(r?0，1，2 ?，n)
.
f(x)?(ax?b)
n
?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
??a
n
x
n
的展开式的系数关系：
?(?1)
n
a
n
?f(?1)
；
a
0
?f(0)
。
a
0
?a
1
?a
2
??a
n
?f(1)
；
a
0
?a< br>1
?a
2
?
162.等可能性事件的概率：
P(A)?
m
.
n
163.互斥事件A，B分别发生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
164.
n
个互斥事件分别发生的概率的和：
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高中数学

常用公式及结论

王新敞

P(A
1
＋A
2
＋…＋A
n
)=P(A
1
)＋P(A
2< br>)＋…＋P(A
n
)．
165.独立事件A，B同时发生的概率：P(A·B)= P(A)·P(B).
166.n个独立事件同时发生的概率：
P(A
1
· A
2
·…· A
n
)=P(A
1
)· P(A
2
)·…· P(A
n
)．
kkn?k
167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：
P
n
(k)?C
n
P (1?P).

168.离散型随机变量的分布列的两个性质
)
;（2）
P?1
. （1）
P
i
?0(i?1, 2,
1
?P
2
?
169.数学期望：
E
?
?x
1
P
1
?x
2
P
2
?
170 .数学期望的性质
（1）
E(a
?
?b)?aE(
?
)?b
. （2）若
?
～
B(n,p)
,则
E
?
?np< br>.
(3)

若
?
服从几何分布,且
P(
?
?k)?g(k,p)?q
171.方差：
D
?
?
?x
1
?E
?
?
?p
1
?
?
x
2
?E
?
?
?p
2
?
172.标准差：< br>??
=
D
?
.
173.方差的性质
(1)
D
?
a
?
?b
?
?aD
?
；
2
22
k?1
?x
n
P
n
?

p
，则
E
?
?
1
.

p
2
?
?
x
n
?E
?
?
?p
n?

(2）若
?
～
B(n,p)
，则
D
?
?np(1?p)
.
(3)
若
?
服从几何分布,且
P(
?
?k)?g(k,p)?q
k?1
p
，则
D
?
?
2
2
q
.

2
p
1 74.方差与期望的关系：
D
?
?E
?
?
?
E?
?
.
175.正态分布密度函数：
f
?
x
?
?
1
e
2
?
6
2
x?
?
??
?
26
2
,x?
?
??,??
?
，
2
式中的实数μ，
?
（
?
>0）是参数，分别表示个体的平 均数与标准差.
x
?
1
176.标准正态分布密度函数：
f
?
x
?
?e
2
,x?
?
??,??
?< br>.
2
?
6
?
x?
?
?
2
177.对于
N(
?
,
?
)
，取值小于x的概率：
F
?
x
?
??
??
.
?
??
P
?
x
1
?x
0
?x
2
?
?P?
x?x
2
?
?P
?
x?x
1
?
?
x?
?
??
x
1
?
?
?
??
?F
?
x
2
?
?F
?
x1
?
??
?
2
???
.
?
?
??
?
?
178.回归直线方程
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高中数学

常用公式及结论

王新敞

nn
?
?
x
i
?x
??
y
i
? y
?
?
x
i
y
i
?nxy
?
?< br>?
b?
i?1
n
?
i?1
n
2
y? a?bx
，其中
?
22
.
x?xx?nx
??
? ?
ii
?
i?1i?1
?
?
a?y?bx
179. 相关系数 ：
r?
?
?
x?x
??
y?y
?
ii
i?1
n
?
(x?x)
?
(y?y)
2ii
i?1i?1
nn

?
2
?
?
x ?x
??
y?y
?
ii
i?1
n
(
?x
i
2
?nx
2
)(
?
y
i
2
?ny
2
)
i?1i?1
nn
.
|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.
180.特殊数列的极限
?
0
?
n
（1）
li mq?
?
1
n??
?
不存在
?
|q|?1
q?1
|q|?1或q??1
.
?
0(k?t)
?
ak
n
k
?a
k?1
n
k?1
??a
0
?
a
t
（2）
lim?
?
(k?t)
.
n??
bn
t
?bn
t?1
??bb
tt?10< br>?
k
?
不存在 (k?t)
?
a
1
n?1< br>（
S
无穷等比数列
a
1
q
?
(
|q|?1
)的和）
.
n??
1?q1?q
181. 函数的极限定理：
limf(x)?a
?
lim
?
f(x)?lim
?
f(x)?a
.
（3）
S?lim
a
1
1?q
n
??
?
?
x?x
0
x?x
0< br>x?x
0
182.函数的夹逼性定理 如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x
0
的附近满足：
（1）
g( x)?f(x)?h(x)
;（2）
limg(x)?a,limh(x)?a
（常数 ）,
x?x
0
x?x
0
则
limf(x)?a
. （本定理对于单侧极限和
x??
的情况仍然成立.）
x?x
0
183.几个常用极限
（1）
lim
111；（2）
limx?x
0
，
lim?
.
?0
，
lima
n
?0
（
|a|?1
）
x?x
0
x
n??
n??
n
x?x
0
x
0
x
184.两个重要的极限
sinx
?
1
?
?1；（1）
lim
（2）
lim
?
1?
?
?e< br>(e=2.718281845…).
x?0
x??
x
?
x
?
185.函数极限的四则运算法则
若
limf(x)?a
，
limg(x)?b
，则
x?x
0
x?x
0
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高中数学

常用公式及结论

王新敞

x?x
0
(1)
lim
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?a?b
；(2)
lim
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?a?b
; (3)
lim
x?x
0
x?x< br>0
f
?
x
?
a
?
?
b?0
?
.
g
?
x
?
b
186.数列极限的四则运算法则
若
lima
n
?a,limb
n
?b
，则
n??n??
(1)
lim
?
a
n
?b
n
?
?a?b
；(2)
lim
?
a
n
?b
n
?
?a?b
；(3)
lim
n??n??
a
n< br>a
?
?
b?0
?

n??
bb
n< br>(4)
lim
?
c?a
n
?
?limc?lima< br>n
?c?a
( c是常数).
n??n??n??
187.
f(x)
在
x
0
处的导数（或变化率或微商）
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
?lim
x?x
0
?x?0
?x
?x?0
?x
?s s(t??t)?s(t)
188.瞬时速度：
?
?s
?
(t)?l im
.
?lim
?t?0
?t
?t?0
?t
?v v(t??t)?v(t)
189.瞬时加速度：
a?v
?
(t)?lim< br>.
?lim
?t?0
?t
?t?0
?t
dydf? yf(x??x)?f(x)
190.
f(x)
在
(a,b)
的导数 ：
f
?
(x)?y
?
?
.
??lim?lim
?x?0?x?0
dxdx?x?x
191. 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义
函数y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f
?
(x
0
)
，
相应的切线方程是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
f< br>?
(x
0
)?y
?
?lim
192.几种常见函数的 导数
(1)
C
?
?0
（C为常数）.(2)
(x
n
)
?
?nx(n?Q)
.(3)
(sinx)
?
?cosx
.
1
1
(4)
(cosx)
?
??sinx
. (5)
(lnx)
?
?
；
(log
a
x)
?
?log
a
e
.
x
x
xxxx
(6)
(e)
?
?e
;
(a)
?
?alna
.
193.导数的运算法则
n?1
u
'
u
'
v?u v
'
(v?0)
. （1）
(u?v)?u?v
.（2）
( uv)?uv?uv
.（3）
()?
2
vv
''''''
1 94.复合函数的求导法则
设函数
u?
?
(x)
在点
x
处有导数
u
x
?
?
?
?
(x)
，函数
y?f(u)
在点
x
处的对应点U处有导数
??
y< br>u
?
?f
?
(u)
，则复合函数
y?f(
?
(x))
在点
x
处有导数，且
y
?
x
?y
u
?u
x
，或写作
f
x
?
(
?< br>(x))?f
?
(u)
?
?
(x)
.
195.常用的近似计算公式（当
x
充分小时）
(1)
1?x?1 ?
1
n
11
x
;
1?x?1?x
；(2)
(1?x)
?
?1?
?
x(
?
?R)
；
?1?x
；
2n1?x
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