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高中数学公式及结论总结(完整版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 13:25
tags:高中数学公式

高中数学文科资料书-高中数学从110分提高到120分



高中数学常用公式及结论



1. 元素与集合的关系
x?A?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
2. 包含关系
AB?A?AB?B
?A?B?C
U
B?C
U
A

?AC
U
B???C
U
AB?R

3. 容斥原理
card(AB)?cardA?cardB?card(AB)

card(ABC)?cardA?cardB?cardC?card(AB)

?card(AB)?card(BC)?card(CA)?card(ABC)

4. 德摩根公式
C
U
(AB)?C
U
AC
U
B;C
U
(AB)?C
U
AC
U
B

5.集合
{a
1
,a
2
,,a
n
}
的子集个数共有
2
n
个;真子集有
2
n
–1个 ;非空子集有
2
n
个;非空的真子集有
2
n
–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)
2
?k(a?0)
;
(3)零点式
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
7.解连不等式
N?f(x)?M
常有以下转化形式
N?f(x)?M
?
[f(x)?M][f(x)?N]?0

?< br>|f(x)?
M?NM?
2
|?
N
f(x)?N
2< br>?
M?f(x)
?0

1 –


?
11
.
?
f(x)?NM?N
8.方 程
f(x)?0

(k
1
,k
2
)
上有且 只有一个实根,与
f(k
1
)f(k
2
)?0
不等价,前者 是后
者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程
ax
2
?bx?c?0( a?0)
有且只有一个实根在
(k
1
,k
2
)
内, 等价于
f(k
1
)f(k
2
)?0
,或
f(k1
)?0

k
1
??
k
1
?k
2
b
???k
2
.
22a
9.闭区间上的二次函数的最值
k?k
2
b
?< br>1
,或
f(k
2
)?0

2a2
2
二次函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)
在闭区间
?
p,q
?
上的最值只能在
x??
b
处及区
2a
间的两端点处取得,具 体如下:
(1)当a>0时,若
x??
b
b
?
?
p,q
?

()
nm
?f(?,)()fx

fx
i
2a
2a
xmaxma
?(f,)p()
?
fq

?

b
?
?
p,q
?

f(x)
max
?
max
?
f(p),f(q)
?

f(x)
min
?
min
?
f(p),f(q)
?
.
2a
b
?
?
p,q
?
,则
f(x)
min
?min
?
f(p),f(q)
?
,若( 2)当a<0时,若
x??
2a
b
x???
?
p,q
?
,则
f(x)
max
?max
?
f(p),f(q)< br>?

f(x)
min
?min
?
f(p),f(q)
?
.
2a
x??
10.一元二次方程的实根分布
依据: 若
f(m)f(n)?0
,则方程
f(x)?0
在区间
(m,n)< br>内至少有一个实根 .

f(x)?x
2
?px?q
,则
?
p
2
?4q?0
?
(1)方程
f(x)?0
在区间
(m,??)
内有根的充要条件为
f(m)?0

?
p

?
??m
?2
?
f(m)?0
?
f(n)?0
?
?< br>(2)方程
f(x)?0
在区间
(m,n)
内有根的充要条件为
f(m)f(n)?0

?
p
2
?4q?0
?
?
m??
p
?n
?
?2

?
?
f( m)?0
?
f(n)?0

?

?
af(n)? 0
?
af(m)?0


?
p
2
?4q?0?
(3)方程
f(x)?0
在区间
(??,n)
内有根的充要条 件为
f(m)?0

?
p
.
?
??m
?2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间
(??,??)
的子区间
L
(形如
?
?
,
?
?

?
??,
?
?

?
?
,??
?
不同)上含参数
的二次不等式
f(x,t) ?0
(
t
为参数)恒成立的充要条件是
f(x,t)
min
?0(x?L)
.
(2)在给定区间
(??,??)
的子区间上含参数的二 次不等式
f(x,t)?0
(
t
为参数)恒成立
的充要条件是
f(x,t)
man
?0(x?L)
.
?
a?0
?a?0
?
(3)
f(x)?ax
4
?bx
2
? c?0
恒成立的充要条件是
?
b?0

?
2
.
?
c?0
?
b?4ac?0
?
12.真值表
p q 非p
真 真 假
真 假 假
假 真 真
假 假 真
13.常见结论的否定形式
原结论

都是
大于
小于
对所有
x

成立
对任何
x

不成立

14.四种命题的相互关系
反设词
不是
不都是
不大于
不小于
原结论 反设词
p或q p且q








至少有一个 一个也没有
至多有一个 至少有两个
至少有
n

至多有
n

至多有(
n?1
)个
至少有(
n?1
)个
存在某
x

不成立
p

q

?p

?q

存在某
x

成立
p

q

?p

?q



原命题 互逆 逆命题
若p则q 若q则p
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非p则非q 互逆 若非q则非p

15.充要条件
(1)充分条件:若
p?q
,则
p

q
充分条件.
(2)必要条件:若
q?p
,则
p

q
必要条件.
(3)充要条件:若
p?q
,且
q?p
,则
p
是< br>q
充要条件.
注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
16.函数的单调性
(1)设
x
1
?x
2
??
a,b
?
,x
1
?x
2
那么
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是增函数;
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
x
1
?x
2
(2)设函数
y?f( x)
在某个区间内可导,如果
f
?
(x)?0
,则
f(x)
为增函数;如果
f
?
(x)?0
,则
f(x)
为减 函数.
17.如果函数
f(x)

g(x)
都是减函数,则在公共 定义域内,和函数
f(x)?g(x)
也是减
函数; 如果函数
y?f(u)

u?g(x)
在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数
y?f[g(x )]
是增函数.
18.奇偶函数的图象特征


奇函数的图象关于原点 对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图
象关于原点对称,那么这个函数是奇函数 ;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函
数是偶函数.
19.若函数
y?f (x)
是偶函数,则
f(x?a)?f(?x?a)
;若函数
y?f(x?a )
是偶函
数,则
f(x?a)?f(?x?a)
.
20.对于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f(x?a)?f(b?x)
恒 成立,则函数
f(x)
的对称轴是
函数
x?
a?ba?b
; 两个函数
y?f(x?a)

y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
对称.
22
a
21.若
f(x)?? f(?x?a)
,则函数
y?f(x)
的图象关于点
(,0)
对称; 若
2
f(x)??f(x?a)
,则函数
y?f(x)
为周期为2a
的周期函数.
22.多项式函数
P(x)?a
n
x
n
?a
n?1
x
n?1
??a
0
的奇偶性 多项式函数
P(x)
是奇函数
?
P(x)
的偶次项(即奇数项) 的系数全为零.
多项式函数
P(x)
是偶函数
?
P(x)
的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数
y?f(x)
的图象的对称性 < br>(1)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a ?x)?f(a?x)

?f(2a?x)?f(x)
.
(2)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?
a?b
对称
?f(a?mx)? f(b?mx)

2
?f(a?b?mx)?f(mx)
.
24.两个函数图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
与函数
y? f(?x)
的图象关于直线
x?0
(即
y
轴)对称.
(2 )函数
y?f(mx?a)
与函数
y?f(b?mx)
的图象关于直线
x?
(3)函数
y?f(x)

y?f
?1
a?b
对称.
2m
(x)
的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位,得到函数
y ?f(x?a)?b
的图
象;若将曲线
f(x,y)?0
的图象右移
a
、上移
b
个单位,得到曲线
f(x?a,y?b)?0
的图


象.
26.互为反函数的两个函数的关系
f(a)?b?f
?1
(b)?a
.
27.若函数
y?f (kx?b)
存在反函数,则其反函数为
y?
1
[f
k
?1
(x)?b]
,并不是
y?[f
?1
(kx?b)
,而函数
y?[f
?1
(kx?b)

y?
28.几个常见的函数方 程
1
[f(x)?b]
的反函数.
k
(1)对数函数< br>f(x)?log
a
x
,
f(xy)?f(x)?f(y),f(a) ?1(a?0,a?1)
.
(2)指数函数
f(x)?a
x
,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0
.
(3) 正比例函数
f (x)?cx
,
f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c

(4) 幂函数
f(x)?x
?
,
f(xy)?f(x)f(y),f
'(1)?
?
.
(5)余弦函数
f(x)?cosx
,正弦函数
g(x)?sinx

f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)

f(0)?1,lim
x?0
g(x)
?1
.
x
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
(1)
f(x)?f(x?a)
,则
f(x)
的周期T=a;
(2)
f(x)?f(x?a)?0


f(x?a)?
1
(f(x)?0)

f(x)
1
(f(x)?0)
,
f(x)

f( x?a)??

1
?
2
f(x)?f
2
(x)?f (x?a),(f(x)?
?
0,1
?
)
,则
f(x)的周期T=2a;
(3)
f(x)?1?
1
(f(x)?0)
,则
f(x)
的周期T=3a;
f(x?a)
(4)
f(x
1
?x
2
)?
f(x
1
)?f(x
2
)

f(a)?1(f(x
1
)?f(x
2
)?1,0?|x
1
?x
2
|?2a)
,则
1?f(x
1
) f(x
2
)
f(x)
的周期T=4a;


(5)f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)

?f(x) f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a)
,则
f(x)
的周期T= 5a;
(6)
f(x?a)?f(x)?f(x?a)
,则
f(x)
的周期T=6a.


30.分数指数幂
(1)
a
m
n
?
1
n
a
m
1
m
n

a?0,m,n?N
?
,且
n?1
).
(2)
a
?
m
n
?

a?0,m,n?N
,且
n ?1
).
?
a
31.根式的性质
(1)
(
n
a)
n
?a
.
(2)当
n
为奇数时,
n
a
n
?a
; < br>当
n
为偶数时,
a
n
?|a|?
?
32.有 理指数幂的运算性质
(1)
a?a?a
rsrs
rsr?s
n
?
a,a?0
.
?
?a,a?0
(a?0,r,s?Q)
.
(2)
(a)?a(a?0,r,s?Q)
.
(3)
(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q)
.
注: 若a>0,p 是一个无理数,则a表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性
质,对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式

p
rrr
log
aN?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

34.对数的换底公式
log
a
N?
log
m
N
(
a?0,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
log
m
a


推论
l og
a
m
b?
n
n
log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1
,

N?0
).
m
35.对数的四则运算法则
若a>0,a≠1,M>0,N>0,则
( 1)
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
;
(2)
log
a
M
?log
a
M? log
a
N
;
N
(3)
log
a
Mn
?nlog
a
M(n?R)
.
36.设函数
f(x )?log
m
(ax
2
?bx?c)(a?0)
,记
??b ?4ac
.若
f(x)
的定义域为
2
R
,则
a?0
,且
??0
;若
f(x)
的值域为
R
,则
a?0
,且
??0
.对于
a?0
的情形,需要
单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广
1
,则函数
y?log
ax
(bx)

a
11
(1)当
a?b
时,在
(0,)

(,??)

y?log
ax
(bx)
为增函数. a
a
11
)

(,??)

y?log
ax
(bx)
为减函数.

(2)当
a?b
时,在
(0,
a
a

a ?0
,
b?0
,
x?0
,
x?
推论:设
n ?m?1

p?0

a?0
,且
a?1
,则
(1)
log
m?p
(n?p)?log
m
n
.
(2)
log
a
mlog
a
n?log
a
38. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为
p
,则对于时 间
x
的总产值
y
,有
2
m?n
.
2
y?N(1?p)
x
.
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
n?1
?
s
1
,
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
?< br>a
n
?
?
?
s
n
?s
n?1
,n?2
40.等差数列的通项公式
?a
n
).
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N
*
)


其前n项和公式为
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
?na
1
?d

22
d1
?n
2
?(a
1
?d)n
.
22
s
n
?
41. 等比差数列
?
a
n< br>?
:
a
n?1
?qa
n
?d,a
1
?b(q?0)
的通项公式为
?
b?(n?1)d,q?1
?
a< br>n
?
?
bq
n
?(d?b)q
n?1
?d< br>;
,q?1
?
q?1
?
其前n项和公式为
?nb?n(n?1)d,(q?1)
?
s
n
?
?
d1?q
n
d
?
(b?
1?q
)
q?1
?
1?q
n,(q?1)
?
42. 等比数列的通项公式
an
?a
1
q
n?1
?
a
1
n
?q(n?N
*
)

q
其前n项的和公式为
?
a
1
(1?q
n
)
,q?1
?
s
n
?
?
1?q

?
na,q?1
?
1
?< br>a
1
?a
n
q
,q?1
?

sn
?
?
1?q
.
?
na,q?1
?
1
43.分期付款(按揭贷款)
ab (1?b)
n
每次还款
x?
元(贷款
a
元,
n次还清,每期利率为
b
).
(1?b)
n
?1




44.常见三角不等式


(1)若
x?(0,
(2) 若
x?(0,
?
2
)
,则
sinx?x?tanx
.
?
2
)
,则
1?sinx?cosx?2
.
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
45.同角三角函数的基本关系式
sin
2
?
?cos
2
?
?1

tan
?
=
46.正弦、余弦的诱导公 式
sin
?

tan
?
?cot
?
?1
.
cos
?
n
?
n
?
?
(?1 )
2
sin
?
,
sin(?
?
)?
?
n?1
2
?
(?1)
2
cos
?
,
?
(n为偶数)

(n为奇数)
(n为偶数)

(n为奇数)

n
?
2
co
?
s,
n
?
?
(?1)

cos(?
?
)?
?
n?1
2
?
(?1)
2
si
?
n,
?
47.和角与差角公式

sin(
?
??
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin< br>?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
sin
?
sin
?
;
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin
2
?
?sin
2
?
(平方正弦公式);
cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos
2?
?sin
2
?

tan(
?
?
?< br>)?
tan
?
?tan
?
.
1tan
?< br>tan
?
asin
?
?bcos
?
=
a2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决
定,
tan
?
?
b
).
a
2tan
?
.
1?tan
2
?
48.二倍角公式
tan2
?
?
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
? 2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
.


49. 三倍角公式
3tan
?
?tan
3???
tan3
?
??tan
?
tan(?
?
)tan(?
?
)
.
1?3tan
2
?
33
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
?4s in
?
sin(?
?
)sin(?
?
)
.
33
cos3
?
?4cos
3
?
?3cos
?< br>?4cos
?
cos(?
?
)cos(?
?
)
.
33




50.三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x?
?
)
,x∈R及函数
y ?cos(
?
x?
?
)
,x∈R(A,ω,
?
为常 数,且A≠0,
ω>0)的周期
T?
??
??
2
?
?
;函数
y?tan(
?
x?
?
)

x? k
?
?
?
2
,k?Z
(A,ω,
?
为常数 ,且A
≠0,ω>0)的周期
T?
51.正弦定理
?
.
?
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
52.余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
53.面积定理
111
ah
a
?bh
b
?ch< br>c

h
a
、h
b
、h
c
分别表示a 、b、c边上的高).
222
111
(2)
S?absinC?bcsin A?casinB
.
222
1
(|OA|?|OB|)
2
?(OA?OB)
2
. (3)
S
?OAB
?
2
( 1)
S?
54.三角形内角和定理
在△ABC中,有
A?B?C??
?C?
?
?(A?B)


?
C
?
A?B
??
?2C?2
?
?2(A?B)
.
222
55. 简单的三角方程的通解

sinx?a?x?k< br>?
?(?1)
k
arcsina(k?Z,|a|?1)
.

cosx?a?x?2k
?
?arccosa(k?Z,|a|?1)
.
tanx?a?x?k
?
?arctana(k?Z,a?R)
.
特别地,有
sin
?
?sin
?
?
?
? k
?
?(?1)
k
?
(k?Z)
.
cos
?
?cos
?
?
?
?2k
?
?
?
(k?Z)
.
tan
?
?tan
?
?
?
?k
?
?
?
(k?Z)
.
56.最简单的三角不等式及其解集

sinx?a(|a|?1)?x?( 2k
?
?arcsina,2k
?
?
?
?arcsina) ,k?Z
.
sinx?a(|a|?1)?x?(2k
?
?
??arcsina,2k
?
?arcsina),k?Z
.
< br>cosx?a(|a|?1)?x?(2k
?
?arccosa,2k
?
?arccosa),k?Z
.

cosx?a(|a|?1)?x?(2 k
?
?arccosa,2k
?
?2
?
?arccosa) ,k?Z
.

tanx?a(a?R)?x?(k
?
?ar ctana,k
?
?
?
2
),k?Z
.
tanx?a(a?R)?x?(k
?
?
57.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数,那么
?
2
,k
?
?arctana),k?Z
.
(1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积的运算律:
(1)
a
·b= b·
a
(交换律);
(2)(
?
a
)·b=
?

a
·b)=
?
a
·b=
a
·(
?
b);
(3)(
a
+b)·c=
a
·c +b·c.


59.平面向量基本定理
如果e
1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平 面内的任一向量,有且
只有一对实数λ
1
、λ
2
,使得a=λ
1
e
1

2
e
2

不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
60.向量平行的坐标表示
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
,且b?
0,则ab(b
?
0)
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.
53.
a
与b的数量积(或内积)
a
·b=|
a
||b|cosθ.
61. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
62.平面向量的坐标运算
(1)设a=
(x
1
,y
1< br>)
,b=
(x
2
,y
2
)
,则a+b=(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(2)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
,则a-b=
(x
1
? x
2
,y
1
?y
2
)
.
( 3)设A
(x
1
,y
1
)
,B
(x
2,y
2
)
,则
AB?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
(4)设a=
(x ,y),
?
?R
,则
?
a=
(
?
x,?
y)
.
(5)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
,则a·b=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)
.
63.两向量的夹角公式
cos
?
?
x
1
x2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2
2
2
(
a
=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
).
64.平面两点间的距离公式

d
A,B
=
|AB|?AB?AB

?(x
2?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(A
(x
1
,y
1
)
,B
(x
2
,y
2
)
).
65.向量的平行与垂直
设a=< br>(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
,且b
?
0,则
A||b
?
b=λa
?x
1
y
2
?x< br>2
y
1
?0
.
a
?
b(a
?0)
?
a
·b=0
?x
1
x
2
?y< br>1
y
2
?0
.


66.线段的定比分公式

P
12
的分点,
?
是实数,且
PP
1< br>(x
1
,y
1
)

P
2
(x
2
,y
2
)

P(x,y)
是线段
PP
1
?
?
PP
2
,则
?
x?
?
?
?
?
y?
?
?
x
1
?
?
x
2
OP?
?
OP
2
1?
?

?
OP?
1
y
1
?
?
y
2
1??
1?
?
1
).
1?
?
t?
?OP?tOP
1
?(1?t)OP
2

67.三角形的重心坐标 公式
△ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)

B(x
2
,y
2
)

C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐
标是
G(
x1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
.
33
68.点的平移公式
''
??
?
x?x?h
?
x?x?h
''
?
?
.
?OP?OP?PP
?
''
??
?
y?y?k
?
y?y?k
注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形
F
上的对应 点为
P
'
(x
'
,y
'
)
,且
P P
'

坐标为
(h,k)
.
69.“按向量平移”的几个结论
(1)点
P(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到点
P(x?h,y?k)
.
(2) 函数
y?f(x)
的图象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,则
C
的函数解析式

y?f(x?h)?k
.
(3) 图象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C< br>,若
C
的解析式
y?f(x)
,则
C
的函数
解析式为
y?f(x?h)?k
.
(4)曲线
C
:
f(x ,y)?0
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,则
C
的方程为
''
''
''
'
'
f(x?h,y?k) ?0
.
(5) 向量m=
(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到的向量仍然为m=
(x,y)
.
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件



O

?ABC
所在平面上一点,角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
,则
(1)
O

?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
(2)
O

?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0
.
(3)
O

?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?O C?OC?OA
.
(4)
O

?ABC
的内心
? aOA?bOB?cOC?0
.
(5)
O

?ABC
的< br>?A
的旁心
?aOA?bOB?cOC
.
71.常用不等式: (1)
a,b?R
?
a?b?2ab
(当且仅当a=b时取“=”号).
(2)
a,b?R
?
?
22
222
a?b
?ab
(当且仅当a=b时取“=”号).
2
(3)
a
3
?b
3
?c
3
?3abc(a?0,b?0,c?0).

(4)柯西不等式
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
,a,b,c,d?R.

(5)
a?b?a?b?a?b
.
72.极值定理
已知
x,y
都是正数,则有
(1)若积
xy
是定值
p
,则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
; < br>(2)若和
x?y
是定值
s
,则当
x?y
时积
xy
有最大值
推广 已知
x,y?R
,则有
(x?y)?(x?y)?2xy

(1)若 积
xy
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|x?y|
最大;

|x?y|
最小时,
|x?y|
最小.
(2)若和
|x?y|
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|xy|
最小;

|x?y|
最小时,
|xy|
最大.
73.一元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)(a ?0,??b?4ac?0)
,如果
a

22
1
2
s
.
4
22


ax
2
?bx?c
同 号,则其解集在两根之外;如果
a

ax
2
?bx?c
异号 ,则其解集在两根之
间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.
x
1
?x ?x
2
?(x?x
1
)(x?x
2
)?0(x
1< br>?x
2
)

x?x
1
,或x?x
2
?(x?x
1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
.
74.含有绝对值的不等式
当a> 0时,有
x?a?x
2
?a??a?x?a
.
2
x?a?x
2
?a
2
?x?a

x??a
.
75.无理不等式
(1)
?
f(x)?0
?
.
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?< br>?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
.
f(x)?g (x)?
?
g(x)?0

?
?
f(x)?[g(x)]< br>2
?
g(x)?0
?
?
f(x)?0
?
.
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?[g(x)]< br>2
?
(2)
(3)
76.指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
; ?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?
(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0

?
f(x)?g(x)
?


77.斜率公式
k?< br>y
2
?y
1

P
1
(x
1
,y
1
)

P
2
(x
2
,y
2< br>)
).
x
2
?x
1
78.直线的五种方程
(1)点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直 线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)< br>,且斜率为
k
).
(2)斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
(3)两点式 < br>y?y
1
x?x
1
(
y
1
?y
2< br>)(
P
?
1
(x
1
,y
1
)

P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距,
a、b?0
)
ab
(4)截距式
(5)一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
79.两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1
:y?k
1
x?b
1

l
2
:y?k
2
x?b
2


l
1
||l
2
?k
1
? k
2
,b
1
?b
2
;

l
1< br>?l
2
?k
1
k
2
??1
.
(2 )若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C2
?0
,且A
1
、A
2
、B
1
、B< br>2
都不为零,

l
1
||l
2
?
A
1
B
1
C
1

??
A
2B
2
C
2

l
1
?l
2
?A

1
A
2
?B
1
B
2
?080.夹角公式
(1)
tan
?
?|
k
2
?k
1
|
.
1?k
2
k
1
(
l
1
:y?k
1
x?b
1

l
2
: y?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
? ?1
)
(2)
tan
?
?|
A
1
B2
?A
2
B
1
|
.
A
1
A
2
?B
1
B
2
(
l
1
:A
).
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l< br>2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0


直线
l
1
?l
2
时,直线l
1
与 l
2
的夹角是
81.
l
1

l
2
的角公式
(1)
tan
?
?
?
.
2
k
2
?k
1
.
1?k
2
k< br>1
(
l
1
:y?k
1
x?b
1
,< br>l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1< br>k
2
??1
)
(2)
tan
?
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
.
A1
A
2
?B
1
B
2
(
l
1< br>:A
).
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B
2< br>?0
直线
l
1
?l
2
时,直线l
1
到l
2
的角是
82.四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程 :经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系 方程为
?
.
2
y?y
0
?k(x?x
0
)
(除直线
x?x
0
),其中
k
是待定的系数; 经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?0
,其中
A,B< br>是待定的系数.
(2)共点直线系方程:经过两直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点
的 直线系方程为
(A
1
x?B
1
y?C
1
)?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
(除
l
2
),其中λ是待定的系数.
(3)平行直线系方程:直线
y? kx?b
中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线
系方程.与直线
Ax?By?C? 0
平行的直线系方程是
Ax?By?
?
?0
(
?
? 0
),λ是
参变量.
(4)垂直直线系方程:与直线
Ax?By?C?0
(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,λ是参变量.
83.点到直线的距离
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l

Ax?By?C?0
).
84.
Ax?By?C?0

?0
所表示的平面区域


设直 线
l:Ax?By?C?0
,则
Ax?By?C?0

?0
所表示的平面区域是:

B?0
,当
B

Ax?By?C
同号时,表示直线
l
的上方的区域;当
B

Ax?By?C
异号时,表示直线
l
的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
B?0
,当
A

Ax?By?C
同号时,表示直线
l< br>的右方的区域;当
A

Ax?By?C
异号时,表示直线
l< br>的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
85.
(A
1
x ?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0

?0
所表示的平面区域
设曲线
C:(A
,则
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
(< br>A
1
A
2
B
1
B
2
?0

(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0

?0
所表示的平面区 域是:
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
所表示的平面区域上下两部分;
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程
(1)圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
(2)圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0< br>(
D?E?4F
>0).
22
?
x?a?rcos
?
(3)圆的参数方程
?
.
y?b?rsin
?
?
(4)圆的直径式方程 (x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y< br>2
)?0
(圆的直径的端点是
A(x
1
,y
1
)

B(x
2
,y
2
)
).
87. 圆系方程
(1)过点
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
的圆系方程是
(x?x
1< br>)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)??
[(x?x
1
)(y
1
?y
2
)?(y?y
1
)(x
1
?x
2
)]?0

?(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2)?
?
(ax?by?c)?0
,其中
ax?by?c?0
是直 线
AB
的方程,λ是待定的系数.
22
(2)过直线
l
:
Ax?By?C?0
与圆
C
:
x?y?Dx?Ey?F?0
的交点的圆系方程
22

x?y?Dx?Ey?F?
?
(Ax?By ?C)?0
,λ是待定的系数.


22
(3) 过圆
C
1
:
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与圆
C
2
:
x?y?D< br>2
x?E
2
y?F
2
?0
的交
22
点的圆系方程是
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F?
?
(x?y?D
2
x?E
2
y?F2
)?0
,λ是待定的
1
系数.
88.点与圆的位置关系 < br>点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种

d?(a?x
0
)
2
?(b?y
0
)
2
, 则
d?r?

P
在圆外;
d?r?

P
在圆上;
d?r?

P
在圆内.
89.直线与圆的位置关系 直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
其中
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
.
90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
,O
2,半径分别为r
1
,r
2

O
1
O
2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
91.圆的切线方程
(1)已知圆
x?y?Dx?Ey?F?0

①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上,则切线只有一条, 其方程是
22


D(x
0
?x)E(y
0
? y)
??F?0
.
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
??F?0
表示过两个切点当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0
x?y
0
y?
22

x
0
x?y
0
y?
的切点弦方程.
②过圆外一点 的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
,再利用相切 条件求k,这时必
有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线.
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
,再利用相切条件求b,必有两条切线.
(2)已知圆
x
2
?y
2
?r
2
2
①过圆上的
P
0
(x
0
,y
0
)< br>点的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
;
②斜率为
k
的圆的切线方程为
y?kx?r1?k
2
. < br>?
x?acos
?
x
2
y
2
92.椭圆2
?
2
?1(a?b?0)
的参数方程是
?
.
ab
y?bsin
?
?
x
2
y
2
93. 椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
焦半径公式
aba
2
a
2
PF
1
?e(x?)

PF
2
?e(?x)
.
cc
94.椭圆的的内外部
22x
0
y
0
x
2
y
2
(1)点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的内部
?
2
?
2
?1
. abab
22
x
0
y
0
x
2
y
2
(2)点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的外部
?
2
?
2
?1
.
abab
95. 椭圆的切线方程
xxyy
x
2
y
2
(1)椭圆
2
?
2
?1(a?b? 0)
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
(2)过椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
外一点
P(x
0
,y0
)
所引两条切线的切点弦方程是
ab
x
0
xy0
y
?
2
?1
.
2
ab


x
2
y
2
(3)椭圆< br>2
?
2
?1(a?b?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
ab
A
2
a
2
?B
2
b< br>2
?c
2
.
x
2
y
2
96.双曲 线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的焦半径公式
aba
2
a
2
PF
1
?|e(x?)|

PF
2
?|e(?x)|
.
cc
97.双曲线的内外部
22
x
0
y
0
x
2
y
2
(1)点
P(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的内部
?
2
?
2
?1< br>.
ab
ab
22
x
0
y
0
x2
y
2
(2)点
P(x
0
,y
0
)< br>在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的外部
?< br>2
?
2
?1
.
ab
ab
98.双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2
y
2
x
2
y
2
b
(1)若双曲线方程为
2< br>?
2
?1
?
渐近线方程:
2
?
2
? 0?
y??x
.
a
ab
ab
xy
xy
b
(2)若渐近线方 程为
y??x
?
??0
?
双曲线可设为
2
?
2
??
.
ab
a
ab
22
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线与
2?
2
?1
有公共渐近线,可设为
2
?
2
??< br>(
??0
,焦点在x
abab
轴上,
??0
,焦点在 y轴上).
99. 双曲线的切线方程
xxyy
x
2
y
2
(1)双曲线
2
?< br>2
?1(a?0,b?0)
上一点
P(x
0
,y
0< br>)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
(2)过双曲线< br>2
?
2
?1(a?0,b?0)
外一点
P(x
0,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
ab
x
0xy
0
y
?
2
?1
.
a
2
b
x
2
y
2
(3)双曲线2
?
2
?1(a?0,b?0)
与直线
Ax?By?C?0相切的条件是
ab
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2
.


100. 抛物线
y
2
?2px
的焦半径公式
抛物线
y
2< br>?2px(p?0)
焦半径
CF?x
0
?
过焦点弦长
CD?x
1
?
2
p
.
2
pp
?x
2
??x
1
?x
2
?p
.
22
2y
101.抛物线
y?2px
上的动点可设为P
(
?
, y
?
)

P(2pt
2
,2pt)或
P
(x,y)
,其中
2p
y
2
?2px
. b
2
4ac?b
2
(a?0)
的图象是抛物线:102.二次函 数
y?ax?bx?c?a(x?)?
(1)顶
2a4a
2
b4ac ?b
2
b4ac?b
2
?1
,)

,)
; 点坐标为
(?
(2)焦点的坐标为
(?
(3)准线方程是
2a4a2 a4a
4ac?b
2
?1
y?
.
4a
103.抛物线的内外部
(1)点
P(x
0
,y0
)
在抛物线
y?2px(p?0)
的内部
?y?2px(p? 0)
.

P(x
0
,y
0
)
在抛物线< br>y?2px(p?0)
的外部
?y?2px(p?0)
.
(2)点< br>P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y??2px(p?0)
的内部
?y??2px(p?0)
.

P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y??2px(p?0)
的外部
?y?? 2px(p?0)
.
(3)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x?2py(p?0)
的内部
?x?2py(p?0)
.

P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x?2py (p?0)
的外部
?x?2py(p?0)
.
(4) 点
P(x< br>0
,y
0
)
在抛物线
x?2py(p?0)
的内部< br>?x?2py(p?0)
.

P(x
0
,y
0)
在抛物线
x??2py(p?0)
的外部
?x??2py(p?0)< br>.
104. 抛物线的切线方程
(1)抛物线
y?2px
上一点< br>P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
y
0y?p(x?x
0
)
.
(2)过抛物线
y?2px外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
.
22
(3)抛物线
y?2px(p?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
pB?2AC
.
22
22
22
22
22
22
22
22
2
2


105.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线
f
1
(x,y)?0
,
f
2
(x,y)?0
的交点的曲线系方程是
f
1
(x,y)?
?
f
2
(x,y)?0
(
?
为参数).
x
2y
2
?
2
?1
,其中
k?max{a
2
,b
2
}
.当(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程
2
a?kb?k
k?min{a
2
,b
2
}
时,表示椭圆; 当
m in{a
2
,b
2
}?k?max{a
2
,b
2< br>}
时,表示双曲线.
106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?(x< br>1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2)
2

AB?(1?k
2
)(x
2
?x1
)
2
?|x
1
?x
2
|1?tan
2
?
?|y
1
?y
2
|1?cot
2
?< br>(弦端点
A
(x
1
,y
1
),B(x
2,y
2
)
,由方程
?
?
y?kx?b
2
消去y得到
ax?bx?c?0

??0
,
?
为直线< br>?
F(x,y)?0
AB
的倾斜角,
k
为直线的斜率).
107.圆锥曲线的两类对称问题
(1)曲线
F(x,y)?0
关于点P(x
0
,y
0
)
成中心对称的曲线是
F(2x
0
-x,2y
0
?y)?0
.
(2)曲线
F(x,y) ?0
关于直线
Ax?By?C?0
成轴对称的曲线是
F(x?
2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C)
,y?)?0
.
A
2
?B
2
A
2
?B
2
108. “四线”一方程
对于一般的二次曲线
Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0
,用
x
0
x

x
,用
y
0
y< br>代
y


22
2
2
x
0
y ?xy
0
x?xy?y

xy
,用
0

x
,用
0

y
即得方程
22
2
xy?xy
0
x?xy?y
Ax
0
x?B?
0
?Cy
0
y?D?
0
?E?
0
?F?0
,曲线的切线,切点弦,中 点
222
弦,弦中点方程均是此方程得到.
109.证明直线与直线的平行的思考途径
(1)转化为判定共面二直线无交点;
(2)转化为二直线同与第三条直线平行;
(3)转化为线面平行;
(4)转化为线面垂直;
(5)转化为面面平行.


110.证明直线与平面的平行的思考途径
(1)转化为直线与平面无公共点;
(2)转化为线线平行;
(3)转化为面面平行.
111.证明平面与平面平行的思考途径
(1)转化为判定二平面无公共点;
(2)转化为线面平行;
(3)转化为线面垂直.
112.证明直线与直线的垂直的思考途径
(1)转化为相交垂直;
(2)转化为线面垂直;
(3)转化为线与另一线的射影垂直;
(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.
113.证明直线与平面垂直的思考途径
(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;
(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;
(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;
(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
114.证明平面与平面的垂直的思考途径
(1)转化为判断二面角是直二面角;
(2)转化为线面垂直.
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律:a+b=b+a.
(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
(3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb.
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向 量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的
以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
117.共线向量定理


对空间任意两个向量a、b(b≠0 ),a∥b
?
存在实数λ使a=λb.
P、A、B
三点共线
?AP||AB
?
AP?tAB
?
OP?(1?t)OA?tOB
.
AB||CD
?
AB

CD
共线且
AB、CD
不共线
?
AB?tCD

AB、CD
不共线.
118.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的
?
存在实 数对
x,y
,使
p?ax?by

推论 空间一点P位于平面M AB内的
?
存在有序实数对
x,y
,使
MP?xMA?yMB

或对空间任一定点O,有序实数对
x,y
,使
OP?OM?xMA?y MB
.
119.对空间任一点
O
和不共线的三点A、B、C,满足
OP?xOA?yOB?zOC

x?y?z?k
),则当
k?1
时 ,对于空间任一点
O
,总有P、A、B、C四点共面;当
k?1
时,若
O?
平面ABC,则P、A、B、C四点共面;若
O?
平面ABC,则P、A、B、 C四点不共
面.
A、B、 C、D
四点共面
?
AD
与< br>AB

AC
共面
?
AD?xAB?yAC
?

OD?(1?x?y)OA?xOB?yOC

O?
平面ABC).
120.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存 在一个唯一的有序实数组x,
y,z,使p=xa+yb+zc.
推论 设O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实
数x,y,z,使
OP?xOA ?yOB?zOC
.
121.射影公式
已知向量
AB
=
a
和轴
l
,e是
l
上与
l
同方向的单位向量.作A 点在
l
上的射影
A
,作B
点在
l
上的射影
B
,则
'
'
A
'
B
'
?|AB|cos

a
,e〉=
a
·e
122.向量的直角坐标运算
a

(a
1
,a
2
,a
3
)
,b=
(b
1
,b
2
,b
3
)

(1)
a
+b=
(a
1
?b
1
,a< br>2
?b
2
,a
3
?b
3
)


(2)
a
-b=
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)

(3)λ
a

(
?
a
1
,
?a
2
,
?
a
3
)
(λ∈R);
( 4)
a
·b=
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3

123.设A
(x1
,y
1
,z
1
)
,B
(x
2
,y
2
,z
2
)
,则
AB?OB?OA
= < br>(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
,z< br>2
?z
1
)
.
124.空间的线线平行或垂直
r r

a?(x
1
,y
1
,z
1
)

b?(x
2
,y
2
,z
2
)
,则 ?
x
1
?
?
x
2
rr
rrrr
?
aPb
?
a?
?
b(b?0)
?
?
y
1
?
?
y
2

?
z?
?
z
2
?
1
rrrr
a?b
?
a?b?0
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?z1
z
2
?0
.
125.夹角公式

a< br>=
(a
1
,a
2
,a
3
)
,b=< br>(b
1
,b
2
,b
3
)
,则
co s〈
a
,b〉=
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a?a?a
2
1
2
2
2
3
b?b?b
2
1
2
2
2
3
.
22222
推论
(a
1
b
1?a
2
b
2
?a
3
b
3
)
2
?(a
1
?a
2
?a
3
)(b
1
2
?b
2
?b
3
)
,此即三维柯西不等式.
126. 四面体的对棱所成的角
四面体
ABCD
中,
AC

BD
所成的角为
?
,则
|(AB
2
?CD
2
)?(BC
2
?DA
2
)|
c os
?
?
.
2AC?BD
127.异面直线所成角
rr
cos
?
?|cosa,b|

rr
|a?b |
r?
=
r
|a|?|b|
o
|x
1
x< br>2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
|
x?y?z?x
2
?y
2
?z
2
o
2< br>1
2
1
2
1
222

rr
b
所成角,
a,b
分别表示异面直线
a,b
的方向向量)(其中
?< br>(
0?
?
?90
)为异面直线
a,

128.直线
AB
与平面所成角


?
?arcsin
AB?m
(
m
为平面
?
的法向量).
|AB|| m|
129.若
?ABC
所在平面若
?
与过若
AB
的平面
?
成的角
?
,另两边
AC
,
BC
与 平面
?
成的角分别是
?
1

?
2
,
A、B

?ABC
的两个内角,则
sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?(sin
2
A?sin
2
B)sin
2
?
.
特别地,当
?ACB?90
时,有
sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?sin
2
?
.
130.若
?ABC
所在平面若
?
与过若
AB
的平面?
成的角
?
,另两边
AC
,
BC
与平面
?
成的角分别是
?
1

?
2
,
A、B< br>为
?ABO
的两个内角,则
''
tan
2
?
1
?tan
2
?
2
?(sin
2
A
'< br>?sin
2
B
'
)tan
2
?
.
特别地,当
?AOB?90
时,有
sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?sin
2
?
.
131.二面角
?
?l?
?
的平面角
?
?arc cos
m?nm?n

?
?arccos

m
,< br>n
为平面
?

?
的法向量).
|m||n||m||n|
132.三余弦定理
设AC是α内的任一条直线,且BC ⊥AC,垂足为C,又设AO与AB所成的角为
?
1
,AB与
AC所成的角为
?
2
,AO与AC所成的角为
?
.则
cos
??cos
?
1
cos
?
2
.
133. 三射线定理
若夹在平面角为
?
的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是< br>?
1
,
?
2
,与二面
角的棱所成的角是θ,则有sin
2
?
sin
2
?
?sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?2sin
?
1
sin
?
2
cos
?

|
?
1?
?
2
|?
?
?180?(
?
1
?< br>?
2
)
(当且仅当
?
?90
时等号成立).
134.空间两点间的距离公式
若A
(x
1
,y
1,z
1
)
,B
(x
2
,y
2
,z2
)
,则



d
A,B
=
|A B|?AB?AB
?(x
2
?x
1
)
2
?(y2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2
.
135.点
Q
到直线
l
距离
h?
1
(|a||b|)
2
?(a?b)
2
(点
P
在直线
l
上,直线
l
的方向向量a=
PA
,向量< br>|a|
b=
PQ
).
136.异面直线间的距离
d?< br>|CD?n|
(
l
1
,l
2
是两异面直线,其公垂向 量为
n

C、D
分别是
l
1
,l
2
上任一点,
d

|n|
l
1
,l
2
间的 距离).
137.点
B
到平面
?
的距离
d?
|AB?n|

n
为平面
?
的法向量,
AB
是经过 面
?
的一条斜线,
A?
?
).
|n|
138.异面直线上两点距离公式
d?h
2
?m
2
?n
2
2mncos
?
.
d?h
2
? m
2
?n
2
?2mncosEA
'
,AF
. d?h
2
?m
2
?n
2
?2mncos
?
?
?E?AA
'
?F
).
(两条异面直线a、b 所成的角为θ,其公垂线段
AA
的长度为h.在直线a、b上分别取两
'
点E 、F,
AE?m
,
AF?n
,
EF?d
).
'
139.三个向量和的平方公式
2

(a?b?c)?a?b?c?2a?b?2b?c?2c?a

222
?a ?b?c?2|a|?|b|cosa,b?2|b|?|c|cosb,c?2|c|?|a|cosc,a< br>
140. 长度为
l
的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l
1
、l
2
、l
3
,夹角分
别为
?< br>1

?
2

?
3
,则有
2
l
2
?l
1
2
?l
2
?l
3
2
?cos
2
?
1
?cos
2
?
2
?cos
2
?
3
?1
?sin
2
?
1?sin
2
?
2
?sin
2
?
3
?2
.
222
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).


141. 面积射影定理
S
'
S?
.
cos
?
(平面多边形及其射影的面积分别是
S

S
,它们 所在平面所成锐二面角的为
?
).
142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱 的侧棱长是
l
,侧面积和体积分别是
S
斜棱柱侧

V
斜棱柱
,它的直截面的周长和
面积分别是
c
1

S
1
,则

S
斜棱柱侧
?c
1
l
.

V
斜棱柱
?S
1
l
.
143.作截面的依据
三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行.
144.棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相 似,截面面积与底面面积
的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的 多边形是相
似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的< br>比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.
145.欧拉定理(欧拉公式)
'
V?F?E?2
(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
(1)< br>E
=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为
n
的多边形,则面数 F
与棱数E的关系:
E?
1
nF

2
1
mV
.
2
(2)若每个顶点引出的棱数为
m
,则顶点数V与棱数E的关系:
E?
146.球的半径是R,则
其体积
V?
4
?
R
3
,
3
2
其表面积
S?4
?
R

147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.


(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线
长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为
a
的正四面体的内切球的半径为
148.柱体、锥体的体积
66
a
,外接球的半径为
a
.
124
1
V
柱体
?Sh

S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高 ).
3
1
V
锥体
?Sh

S
是锥体的底 面积、
h
是锥体的高).
3
149.分类计数原理(加法原理)
N?m
1
?m
2
??m
n
.
150.分步计数原理(乘法原理)
N?m
1
?m
2
??m
n
.
151.排列数公式
m
=
n(n?1)?(n?m?1)
=A
n
n!
*
.(
n

m
∈N,且m?n
).
(n?m)!
注:规定
0!?1
.
152.排列恒等式
mm?1
(1)
A
n
;
?(n?m?1)A
n
(2)
A
n
?
m
n
m
A
n?1
;
n?m
mm?1
(3)
A
n
?nA
n?1
;
(4)
nA
n
?A
n?1
?A
n
;
(5)
A
n?1
?A
n
?mA
n
.
(6)
1!?2?2!?3?3!?
153.组合数公式
mmm?1
nn?1n
?n?n!?(n?1)!?1
.

< br>C
m
n
=
A
n
m
n(n?1)
?< br>(n?m?1)
n!
*
==(∈N,
m?N
,且
m? n
).
n
m
1?2?
?
?m
m!?(n?m)!
A
m
154.组合数的两个性质
mn?m
(1)
C
n
=
C
n

mm?1m
(2)
C
n
+
C
n
=
C
n?1
.
0
注:规定
C
n
?1
.
155.组合恒等式
n?m?1
m?1
C
n
;
m
n
mmC
n
(2)
C
n
?
?1
;
n?m< br>n
m?1m
(3)
C
n
?C
n?1
;
m
(1)
C
n
?
m
(4)
?
C
r?0
n
r
n
=
2
;
n
rr?1
(5)
C
r
r
?C
r
r
?1
?C
r
r
?2
???C
n
?Cn?1
.
012rn
(6)
C
n
?C
n?C
n
???C
n
???C
n
?2
n
.
135024
(7)
C
n
?C
n
?C
n
???C
n
?C
n
?C
n
??2
n?1
.
123n
(8)
C
n
?2C
n
?3 C
n
???nC
n
?n2
n?1
.
r0r?11 0rrr
(9)
C
m
C
n
?C
m
C
n
?
?
?C
m
C
n
?C
m?n
.
021222n2n
(10)
(C
n
)?(C
n
)?(C
n
)???(C
n
)?C
2n
.
156.排列数与组合数的关系
mm
.
A
n
?m!?C
n
157.单条件排列
以下各条的大前提是从
n
个元素中取
m
个元素的排列.
(1)“在位”与“不在位”
①某(特)元必在某位有
A
n?1
种 ;②某(特)元不在某位有
A
n
?A
n?1
(补集思想)
1 m?1m1m?1
?A
n?1
A
n?1
(着眼位置)
?A< br>n?1
?A
m?1
A
n?1
(着眼元素)种.
m?1
mm?1


(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)
km ?k
①定位紧贴:
k(k?m?n)
个元在固定位的排列有
A
kA
n?k
种.
n?k?1k
②浮动紧贴:
n
个元素的 全排列把k个元排在一起的排法有
A
n?k?1
A
k
种.注:此类问 题
常用捆绑法;
③插空:两组元素分别有k、h个(
k?h?1
),把它们 合在一起来作全排列,k个的一
hk
组互不能挨近的所有排列数有
A
h
A
h?1
种.
(3)两组元素各相同的插空
m
个大球
n
个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法?
n< br>A
m
n
?1

n?m?1
时,无解;当
n? m?1
时,有
n
?C
m?1
种排法.
A
n
n
(4)两组相同元素的排列:两组元素有m个和n个,各组元素分别相同的排列数为
Cm?n
.
158.分配问题
(1)(平均分组有归属问题)将相异的
m

n
个物件等分给
m
个人,各得
n
件,其分配< br>方法数共有
N?C
mn
?C
mn?n
?C
mn?2n
?
?
?C
2n
?C
n
?
nnnnn
(mn)!
.
(n!)
m
(2)(平均分组无归属问题)将相异的
m
·
n
个物体等分为无记号或无顺序的
m
堆,其
分配方法 数共有
nnnnn
C
mn
?C
mn
(mn)!
? n
?C
mn?2n
...?C
2n
?C
n
. N??
m
m!m!(n!)
(3)(非平均分组有归属问题)将相异的
P (P=n
1
+n
2
++n
m
)
个物体分给
m
个人,物件
必须被分完,分别得到
n
1

n
2< br>,?,
n
m
件,且
n
1

n
2,?,
n
m

m
个数彼此不相等,则
n
mn
1
n
2
其分配方法数共有
N?C
p
?Cp
C
n
?m!?
?n
1
...
m
p! m!
.
n
1
!n
2
!...n
m
!(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2++n
m
)
个物体分给
m
个人,
物件必须被分完,分别 得到
n
1

n
2
,?,
n
m
件, 且
n
1

n
2
,?,
n
m
m
个数中分别有a、
b、c、?个相等,则其分配方法数有
N?
n
m
n
1
n
2
C
p
?C
p
Cn
?m!
?n
1
...
m
a!b!c!...

?
p!m!
.
n
1
!n
2
!...n< br>m
!(a!b!c!...)


(5)(非平均分组无归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
++n
m
)
个物体分 为任意的
n
1

n
2
,?,
n
m
件无记号的
m
堆,且
n
1

n
2
,?,< br>n
m

m
个数彼此不相等,则其分配方法数

N?< br>p!
.
n
1
!n
2
!...n
m
!
(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
++n
m
)
个物体分为任意的
n
1

n
2
,?,
n
m
件无记号的
m
堆,且
n1

n
2
,?,
n
m

m
个 数中分别有a、b、c、?个相等,
则其分配方法数有
N?
p!
.
n
1
!n
2
!...n
m
!(a!b!c!...)
个物体分给甲、乙、丙,??
+n
m
)(7)(限定分组有归属问题)将相异的p

p?n
1
+n
2
+

m
个人,物体必须被分完,如果指定甲得
n
1
件,乙得
n
2
件 ,丙得
n
3
件,?时,则无论
n
1

n
2
,?,
n
m

m
个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒 有
n
m
n
1
n
2
N?C
p
?C
p
C
n
?
?n
1
...
m
p!< br>.
n
1
!n
2
!...n
m
!
1 59.“错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信
n
封信与
n
个信封全部错位的组合数为 f(n)?n![
111
???
2!3!4!
?(?1)
n1
]
.
n!
推广:
n
个元素与
n
个位置,其中至少有
m
个元素错位的不同组合总数为
1234
f(n,m) ?n!?C
m
(n?1)!?C
m
(n?2)!?C
m
(n ?3)!?C
m
(n?4)!
??(?1)C(n?p)!?
pp
m
?(?1)C(n?m)!
p
C
m
?(?1)
p
?
A
n
p
mm
m

1234
C
m< br>C
m
C
m
C
m
?n![1?
1
?< br>2
?
2
?
4
?
A
n
A
n< br>A
n
A
n
m
C
m
?(?1)
m]
.
A
n
m
160.不定方程
x
1
+x
2
+
(1)方程
x
1
+x
2
+
(2) 方程
x
1
+x
2
+
(3) 方程
x1
+x
2
+
+x
n
?m
的解的个数
n?1
个.
+x
n
?m

n,m?N
?
)的正整数解有
C
m?1
1
个.
+x
n
?m

n,m?N
?
)的非负整数解有 < br>C
n
n
?
?
m?1
+x
n
?m
n,m?N
?
)满足条件
x
i
?k
(
k?N
?
,
2?i?n?1
)


n?1
的非 负整数解有
C
m
个.
?1
?(n?2)(k?1)
(4) 方程
x
1
+x
2
++x
n
?m

n,m?N
?
)满足条件
x
i
?k
(
k?N
?
,
2?i?n?1
)
2n?1
?(?1)
n?2
C
n
n
?
?
C
m?1?(n?2)k
个. 2
n?11n?12n?1
的正整数解有
C
n?m?1
?Cn?2
C
m?n?k?2
?C
n?2
C
m?n?2k? 3
?
161.二项式定理
0n1n?12n?22rn?rrnn
(a?b )
n
?C
n
a?C
n
ab?C
n
ab?< br>?
?C
n
ab?
?
?C
n
b

二项展开式的通项公式
T
rn?rr
r?1
?C
n
ab
(r?0,1,2?,n)
.
162.等可能性事件的概率
P(A)?
m
n
.
163.
n
个互斥事件分别发生的概率的和
P(A
1
+A
2
+?+A
n
)=P(A
1
)+P(A
2
)+?+P(A< br>n
).
164. 互斥事件A,B分别发生的概率的和
P(A+B)=P(A)+P(B).
165.独立事件A,B同时发生的概率
P(A·B)= P(A)·P(B).
166.n个独立事件同时发生的概率
P(A
1
· A
2
·?· A
n
)=P(A
1
)· P(A
2
)·?· P(A
n
).
167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
P(k)?C
kk
nn
P(1?P)
n?k
.

168.离散型随机变量的分布列的两个性质
(1)
P
i
?0(i?1,2,)
;
(2)
P
1
?P
2
??1
.
169.数学期望
E
?
?x
1
P
1
?x
2
P
2
??x
n
P
n
?

170.数学期望的性质


(1)
E(a
?
?b)? aE(
?
)?b
.
(2)若
?

B(n,p)< br>,则
E
?
?np
.
(3)


?
服从几何分布,且
P(
?
?k)?g(k,p)?q
k?1
p
,则
E
?
?
171.方差
1
.
< br>p
D
?
?
?
x
1
?E
?
?
?p
1
?
?
x
2
?E
?
?
?p
2
?
172.标准差
22
?
?
x
n
?E
?
?
?p
n
?
2

??
=
D
?
.
173.方差的性质
(1)D
?
a
?
?b
?
?aD
?

2
(2)若
?

B(n,p)
,则
D
?
?np(1?p)
.
(3)

?
服从几何分布,且
P(
?
?k)?g(k,p)?q
k?1
p
,则
D
?< br>?
q
.

2
p
174.方差与期望的关系
D
?
?E
?
2
?
?
E
?
?
.
175.正态分布密度函数
2
f
?
x
?
?
1
e
2
?
6
?
?
x?
?
?
2
26
2
,x?
?
??,??
?
,式中 的实数μ,
?

?
>0)是参数,分别表
示个体的平均数与标准差.
176.标准正态分布密度函数
x
?
1
f
?
x< br>?
?e
2
,x?
?
??,??
?
.
2
?
6
2
177.对于
N(
?
,
?)
,取值小于x的概率
2
?
x?
?
?
F?
x
?
??
??
.
?
??
P
?
x
1
?x
0
?x
2
?
?P
?
x?x
2
?
?P
?
x?x
1
?


?F
?
x
2
?
?F
?
x< br>1
?

?
x?
?
??
x
1
?
?
?
??
?
2
??
???
.

?
?
??
?
?
178.回归直线方程
nn< br>?
?
x
i
?x
??
y
i
?y
?
?
x
i
y
i
?nxy
?
?
?
b?
i?1
n
?
i?1
n
2
y?a?bx
,其中
?
22
.
x?xx?nx
??
??
ii
?
i?1i?1
?
?
a?y?bx

179.相关系数

r?
?
?
x?x
??y?y
?
ii
i?1
n
?
(x?x)
?
(y?y)
2
ii
i?1i?1
nn

?
2?
?
x?x
??
y?y
?
ii
i?1
n
(
?
x
i
2
?nx
2
)(
?< br>y
i
2
?ny
2
)
i?1i?1
nn
.
|r|≤1,且|r|越接近于1,相关程度越大;|r|越接近于0,相关程度越小.
180.特殊数列的极限
?
0
?
n
(1)
li mq?
?
1
n??
?
不存在
?
|q|?1
q?1
|q|?1或q??1
.
?
0(k?t)
?
ak
n
k
?a
k?1
n
k?1
??a
0
?
a
t
(2)
lim?
?
(k?t)
.
n??
bn
t
?bn
t?1
??b
0tt?1?
b
k
?
不存在 (k?t)
?
(3)
S?l im
a
1
1?q
n
1?q
?
n??
??
a
1
1?q

S
无穷等比数列
?
a q
?
(
|q|?1
)的和)
.
n?1
1
181. 函数的极限定理

x?x
0
l imf(x)?a
?
lim
?
f(x)?lim
?
f(x) ?a
.
x?x
0
x?x
0
182.函数的夹逼性定理
如果函数f(x),g(x),h(x)在点x
0
的附近满足:
(1)
g(x)?f(x)?h(x)
;


(2)
limg(x)?a,limh(x)?a
(常数),
x?x
0
x?x
0

limf(x)?a
.
x?x
0
本定理对于单侧极限和
x??
的情况仍然成立.
183.几个常用极限
(1)
lim
1
?0

l ima
n
?0

|a|?1
);
n??
n??< br>n
x?x
0
(2)
limx?x
0

lim
184.两个重要的极限
(1)
lim
11
?
.
x?x
0
xx
0
sinx
?1

x?0
x
x
?
1
?
(2)
lim
?
1?
?
?e
(e=2.718281845?).
x??
?
x
?
185.函数极限的四则运算法则

limf(x)?a

limg(x)?b
,则
x?x
0
x?x
0
(1)
lim
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?a?b

x?x
0
(2)
lim
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?a? b
;
x?x
0
(3)
lim
x?x
0
f
?
x
?
a
?
?
b?0
?
.
g
?
x
?
b
186.数列极限的四则运算法则

lima
n
?a,limb
n
?b
,则
n??n??
(1)
lim
?
a
n
?b
n
?
?a?b

n??
(2)
lim
?
a
n
?b
n
?
?a?b

n??
(3)
lim
a
n
a
?
?
b?0
?

n ??
bb
n
n??n??n??
(4)
lim
?
c ?a
n
?
?limc?lima
n
?c?a
( c是常数).
187.
f(x)

x
0
处的导数(或变化率或微商) < /p>


f
?
(x
0
)?y
?
188.瞬时速 度
x?x
0
?lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
?lim
.
?x?0
?x
?x?0?x
?
?s
?
(t)?lim
189.瞬时加速度
?ss(t??t)?s(t)
?lim
.
?t?0
?t
?t?0
?t
?vv(t??t)?v(t)
?lim
.
?t?0
?t
?t?0
?t
a?v
?
(t)?lim
190 .
f(x)

(a,b)
的导数
f
?
(x)?y
?
?
dydf
?yf(x??x)?f(x)
?
?lim? lim
.
dxdx
?x?0
?x
?x?0
?x
191. 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义
函数y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)

P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f
?
(x
0
)
,相应的切线方程是
y?y
0
?f< br>?
(x
0
)(x?x
0
)
.
192.几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
(C为常数).
(2)
(x
n
)
'
?nx
n?1
(n?Q)
.
(3)
(cosx)
?
??sinx
.
(4)
(sinx)
?
?cosx
.
(5)
(ln x)
?
?
x
11
e
x

(loga)?
?log
a
.
xx
xxx
(6)
(e)
?
?e
;
(a)
?
?alna
.
193.导数的运算法则
(1)
(u?v)?u?v
.
(2)
(uv)?uv?uv
.
'''
'''
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
. (3)
()?
2
vv
194.复合函数的求导法则
''
设函数
u?
?
(x)
在点
x
处有导数
u
x
?
?
(x)
,函数
y?f(u)
在点
x
处的对应点U处有


'''
导数
y
u
'
?f< br>'
(u)
,则复合函数
y?f(
?
(x))
在点x
处有导数,且
y
x
,或写作
?y
u
?ux
f
x
'
(
?
(x))?f
'
(u)
?
'
(x)
.
195.常用的近似计算公式(当
x
充小时)
1
n
1
x
;
1?x?1?x

2n
1
?1?x
; (2)
(1?x)
?
?1?< br>?
x(
?
?R)

1?x
(1)
1?x?1?
(3)
e?1?x

(4)
l
n
(1?x)?x

(5)
sinx?x

x
为弧度);
(6)
tanx?x

x
为弧度);
(7)
arctanx?x

x
为弧度)
196.判别
f(x
0
)
是极大(小)值的方法
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时,
(1)如果 在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,则
f(x
0
)
是极大值; (2)如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,则
f(x
0
)
是 极小值.
197.复数的相等
x
a?bi?c?di?a?c,b?d
.(
a,b,c,d?R

198.复数
z?a?bi
的模(或绝对值)
|z|
=
| a?bi|
=
a
2
?b
2
.
199.复数的四则运算法则
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
(4)
(a?bi)?(c?di)?
200.复数的乘法的运算律
ac?bdbc?ad
?
2
i(c?di?0)

222
c?dc?d


对于任何
z
1
,z2
,z
3
?C
,有
交换律:
z
1
? z
2
?z
2
?z
1
.
结合律:
(z1
?z
2
)?z
3
?z
1
?(z
2< br>?z
3
)
.
分配律:
z
1
?(z
2
?z
3
)?z
1
?z
2
?z
1
?z
3
.
201.复平面上的两点间的距离公式
d?|z
1
?z
2
|?(x
2
?x
1
)
2
? (y
2
?y
1
)
2

z
1
?x< br>1
?y
1
i

z
2
?x
2
?y
2
i
).

202.向量的垂直
非零复 数
z
1
?a?bi

z
2
?c?di
对应 的向量分别是
OZ
1

OZ
2
,则

OZ
1
?OZ
2
?
z
1
?z
2
的实部为零
?
z
2
为纯虚数
?
|z
1
?z
2
|
2
?|z
1
|
2
?|z
2< br>|
2

z
1
?
|z
1
?z
2
|
2
?|z
1
|
2
?|z
2
|
2
?
|z
1
?z
2
|?|z
1
? z
2
|
?
ac?bd?0
?
z
1
?
?
iz
2

(λ为非
零实数).








203.实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程
ax?bx?c?0

2
?b?b
2
?4ac
①若
??b?4ac?0
,则
x
1,2
?
;
2a
2
2
②若
??b?4ac?0
,则
x
1
?x
2
??
b
;
2a

③若
??b?4ac?0
,它在实数集
R
内没有实数根;在复数集
C
内有且仅有两个共轭
2
?b??(b
2
?4ac)i
2
复数根
x?(b?4ac?0)
.
2a

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