高中数学常用公式(超级实用).

10.一元二次方程的实根分布
依据：若< br>f(m)f(n)?0
，则方程
f(x)?0
在区间
(m,n)
内至少有一个实根 .
设
f(x)?x
2
?px?q
，则 （1）方程
f(x)?0
在区间
(m,??)
内有根的充要条件为
f(m)?0
或
?
p
2
?4q?0
?
；
?
p
?
??m
?2
（2）方程
f(x)?0
在区 间
(m,n)
内有根的充要条件为
f(m)f(n)?0
或
?
f(m)?0
?
f(n)?0
?
?
f(m)?0
?
f(n)?0
?
2
或或；
?
?
?
p?4q?0
af(n)?0
af(m)?0
?
?
?
?
m??< br>p
?n
?
?2
（3）方程
f(x)?0
在区间
(??,n)
内有根的充要条件为
f(m)?0
或
?
p
2
?4q?0
?
.
?
p
?
??m
?2

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间
(??,? ?)
的子区间
L
（形如
?
?
,
?
?
，
?
??,
?
?
，
?
?
,??
?
不同）
上含参数的二次不等式
f(x,t)?0
(
t
为参 数)恒成立的充要条件是
f(x,t)
min
?0(x?L)
.
( 2)在给定区间
(??,??)
的子区间上含参数的二次不等式
f(x,t)?0(
t
为参数)恒成立的充要条件是
f(x,t)
man
?0(x ?L)
.
(3)
?
a?0
?
a?0
?
.
f(x)?ax
4
?bx
2
?c?0
恒成立的充要条件是< br>?
b?0
或
?
2
?
c?0
?
b?4 ac?0
?

12.真值表
ｐ ｑ
真 真
真 假
假 真
假 假



非ｐ
假
假
真
真
ｐ或ｑ
真
真
真
假
ｐ且ｑ
真
假
假
假

13.常见结论的否定形式
原结论
是
都是
大于
小于
对所有
x
，成立
对任何
x
，不成立
反设词
不是
不都是
不大于
不小于
存在某
x
，不成立
存在某
x
，成立
原结论
至少有一个
至多有一个
至少有
n
个
至多有
n
个
反设词
一个也没有
至少有两个
至多有（
n?1
）个
至少有（
n?1
）个
p
或
q

?p
且
?q

p
且
q

?p
或
?q


14.四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ







15.充要条件
（1）充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
充分条件.
（2）必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
必要条件.
（3）充要条件：若
p?q
，且
q?p
，则
p
是< br>q
充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

16.函数的单调性
(1)设
x
1
?x
2?
?
a,b
?
,x
1
?x
2
那么 < br>(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f (x
2
)
?
?0
?
f(x
1
)?f(x< br>2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是增函数； < br>x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2< br>)
?
?0?
x
1
?x
2
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函
数；如果
f
?
(x)?0
，则
f (x)
为减函数.
17.如果函数
f(x)
和
g(x)
都 是减函数,则在公共定义域内,和函数
f(x)?g(x)
也是减函数; 如果函数
y ?f(u)
和
u?g(x)
在其对应的定义
域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]
是增函数.

18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来 ，
如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如
果一个函数的图象关于y轴对 称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数
y?f(x)
是偶函数，则< br>f(x?a)?f(?x?a)
；若函数
y?f(x?a)
是
偶函数， 则
f(x?a)?f(?x?a)
.

20.对于函数
y?f(x )
(
x?R
),
f(x?a)?f(b?x)
恒成立,则函数
f(x)
的对
称轴是函数
x?
a?b
;两个函数
y?2
f(x?a)
与
y?f(b?x)
的图象关于直
线
x?
a?b
对称.
2

21.若
a
f(x)??f(?x?a)
,则函数
y?f(x)
的图象关于点
(,0)
2
对称; 若
f(x)??f(x?a)
,则函数
y?f(x)
为周期为
2a
的周期函数.

22．多项式函数P(x)?a
n
x
n
?a
n?1
x
n?1??a
0
的奇偶性
多项式函数
P(x)
是奇函数
?< br>P(x)
的偶次项(即奇数项)的系数全为
零.
多项式函数
P(x)
是偶函数
?
P(x)
的奇次项(即偶数项)的系数全为
零.

23.函数
y?f(x)
的图象的对称性
(1)函数
y ?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a?x)?f(a?x)

?f(2a?x)?f(x)
.
(2)函数
y?f(x)
的图 象关于直线
x?
a?b
2
对称
?f(a?mx)?f(b?mx)< br>
?f(a?b?mx)?f(mx)
.

24.两个函数图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
与函数
y? f(?x)
的图象关于直线
x?0
(即
y
轴)对称.
(2)函数
y?
(3)函数
y?

f(mx?a)
与函数
y?f(b?mx)
的图象关于直线
x?
a?b
2m
对称.
f(x)
和
y?f
?1
(x)
的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y?f(x?a)?b
的图象；若将曲线
f(x,y)?0
的图象右移
a
、上移
b
个单
位，得到曲 线
f(x?a,y?b)?0
的图象.

26．互为反函数的两个函数的关系
f(a)?b?f
?1
(b)?a
.

27.若函数y?f(kx?b)
存在反函数,则其反函数为
y?
1
[f
?1
(x)?b]
,并不
k
是
y?[f
?1
(kx?b )
,而函数
y?[f
?1
(kx?b)
是
y?
1< br>[f(x)?b]
的反函数.
k

28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数
f(x)?cx
,
f(x?y)?f(x)?f(y),f(1 )?c
.
(2)指数函数
f(x)?a
x
,
f(x?y) ?f(x)f(y),f(1)?a?0
.
(3)对数函数
f(x)?log
a
x
,
f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1)
.
(4)幂函数
f(x)?x
?
,
f(xy)?f(x)f(y ),f
'
(1)?
?
.
(5)余弦函数
f(x)?cos x
,正弦函数
g(x)?sinx
，
f(x?y)?f(x)f(y)?g( x)g(y)
，
f(0)?1,lim
x?0
g(x)
?1
.
x
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期T=a；
（2）
f(x)?f(x?a)?0
，
1
(f(x)?0)
，
f(x)
或
f(x?a)??
1
(f(x)?0)
, f(x)
或
1
?f(x)?f
2
(x)?f(x?a),(f( x)?
?
0,1
?
)
,则
f(x)
的周期T=2a ；
2
(3)
f(x)?1?
1
(f(x)?0)
，则f(x)
的周期T=3a；
f(x?a)
(4)
f(x
1?x
2
)?
f(x
1
)?f(x
2
)
且
f(a)?1(f(x
1
)?f(x
2
)?1,0?|x
1
?x
2
|?2a)
，则
f(x)
的
1?f(x< br>1
)f(x
2
)
或
f(x?a)?
周期T=4a；
(5)
f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)

?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a)
,则
f(x)
的周期T=5a；
(6)
f(x?a)?f(x)?f(x?a)
，则f(x)
的周期T=6a.

30.分数指数幂
(1)
a
(2)
a
m
n
?
?
1< br>n
?
m
n
a
m
1
（
a?0,m,n ?N
?
，且
n?1
）.
?
（，且
n?1
）.
a?0,m,n?N
m
a
n
31．根式的性质
（1）
(
n
a)
n
?a
.
（2）当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
； < br>a,a?0
当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a| ?
?
.
?
?
?a,a?0
32．有理指数幂的运算性质
(1)
a
r
?a
s
?a
r?s
(a? 0,r,s?Q)
.
(2)
(a
r
)
s
?a< br>rs
(a?0,r,s?Q)
.
(3)
(ab)
r
?a
r
b
r
(a?0,b?0,r?Q)
.
注： 若a＞ 0，p是一个无理数，则a
p
表示一个确定的实数．上
述有理指数幂的运算性质，对于 无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
b

log
a
N?b?a?N
(a?0,a?1,N?0)
.

34.对数的换底公式
log
m
N
(
a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
log
a
N?
log
m
a
m
推论
log
a
b
n
?
n
log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1,
n?1
,

N?0
).
m
35．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
( 1)
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
;
(2)
log
a
M
N
?log
a< br>M?log
a
N
;
(3)
log
a
Mn
?nlog
a
M(n?R)
.
36.设函数
f(x )?log
m
(ax
2
?bx?c)(a?0)
,记
??b
2
?4ac
.若
f(x)
的定义域
为
R
, 则
a?0
，且
??0
;若
f(x)
的值域为
R,则
a?0
，且
??0
.对于
a?0
的
情形, 需要单独检验.

37. 对数换底不等式及其推广
若
a?0
,
b?0
,
x?0,
x?
1
,则函数
y?log
ax
(bx)

a
(1)当
a?b
时,在
(0,
1
)
和< br>(
1
,??)
上
y?log
ax
(bx)
为 增函数.
aa
(2)当
a?b
时,在
(0,
1
)
和
(
1
,??)
上
y?log
ax
(bx )
为减函数.
aa
推论:设
n?m?1
，
p?0
，
a?0
，且
a?1
，则
（1）
log
m?p
(n?p)?log
m
n
.
（2）
log
a
mlog
a
n?log
a
2
m?n
.
2
38. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数 为N，平均增长率为
p
，则对于时间
x
的总
产值
y
，有
y?N(1?p)
x
.
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
n?1
?
s
1
,
( 数列
{a
n
}
的前
a
n
?
?
s?s,n?2
?
nn? 1
n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
??a< br>n
).
40.等差数列的通项公式
a
n
?a
1< br>?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N
*
)
；
其前n项和公式为
n(a
1
?a
n
)
n(n?1 )
?na
1
?d

22
d1
?n
2
?(a
1
?d)n
.
22
s
n
?



41.等比数列的通项公式
a
a
n
?a
1
qn?1
?
1
?q
n
(n?N
*
)
；
q
其前n项的和公式为
?
a
1
(1?q
n
)
,q?1
?
s
n
?
?
1?q

?
na,q?1
?
1
?
a
1
?a
nq
,q?1
?
或
s
n
?
?
1?q.
?
na,q?1
?
1

42.等比 差数列
?
a
n
?
:
a
n?1
?qa
n
?d,a
1
?b(q?0)
的通项公式为
?
b?(n ?1)d,q?1
?
a
n
?
?
bq
n
?( d?b)q
n?1
?d
；
,q?1
?
q?1
?
其前n项和公式为
?
nb? n(n?1)d,(q?1)
?
s
n
?
?
.
d1 ?q
n
d
(b?)?n,(q?1)
?
1?qq?11?q
?

43.分期付款(按揭贷款)
ab(1?b)
n
每次还款< br>x?
元(贷款
a
元,
n
次还清,每期利率为
b
).
(1?b)
n
?1

44．常见三角不等式
（1 ）若
x?(0,
?
)
，则
sinx?x?tanx
.
2
(2) 若
x?(0,
?
)
，则
1?sinx? cosx?
2
2
.
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
45.同角三角函数的基本关系式
sin
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1< br>，
tan
?
=，
tan
?
?cot
?
?1
.
cos
?
46.正弦、余弦的诱导公式
n
?< br>n
?
?
(?1)
2
sin
?
,
si n(?
?
)?
?

n?1
2
?
(?1)< br>2
cos
?
,
?
(n为偶数)

(n为偶数)

n
?
n
?
?
(?1)< br>2
cos
?
,
cos(?
?
)?
?
n?1
2
?
(?1)
2
sin
?
,
?

47.和角与差角公式

sin(
??
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
sin
?
sin
?
;
ta n(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?1tan
?
tan
?
.
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin
2
?
? sin
2
?
(平方正弦公式);
cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos
2
?
?si n
2
?
.
asin
?
?bcos
?
=< br>a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决
a
定,< br>tan
?
?
b
).

48.二倍角公式
sin2
?
?2sin
?
cos
?
.
c os2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2 cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
2tan
?
tan2
?
?
.
1?tan
2
?

49. 三倍角公式
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
?4sin
?< br>sin(?
?
)sin(?
?
)
.
33
c os3
?
?4cos
3
?
?3cos
?
?4cos
?
cos(?
?
)cos(?
?
)
33
? ?
??
.
3tan
?
?tan
3
???
t an3
?
??tan
?
tan(?
?
)tan(?
?
)
.
2
1?3tan
?
33

50.三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，
且A≠0，ω＞0)的周期
T?
2
?
；函数
y?tan(
?
x?
?
)
，x?k
?
?
?
,k?Z
(A,
?
2
ω ,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T
?
?
.
?

51.正弦定理
abc
???2R
.
sinAsinBsinC

52.余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.

53.面积定理
（1）
S?
1
ah
a
?
1
bh
b
?
1
ch
c
（
ha
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边上的高）.
2 22
（2）
S?
1
absinC?
1
bcsinA?
1
casinB
.
222
(3)
S
?OAB
?
1
(|OA|?|OB|)
2
?(OA?OB)
2
.
2

54.三角形内角和定理
在△ABC中 ，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)

?< br>C
?
A?B
??
?2C?2
?
?2(A?B)
.
222

55. 简单的三角方程的通解

sin x?a?x?k
?
?(?1)
k
arcsina(k?Z,|a|?1).

cosx?a?x?2k
?
?arccosa(k?Z,|a|?1)
.
tanx?a?x?k
?
?arctana(k?Z,a?R)
.
特别地,有
sin
?
?sin
?
?
?
? k
?
?(?1)
k
?
(k?Z)
.
cos
?
?cos
?
?
?
?2k
?
?
?
(k?Z)
.
tan
?
?tan
?
?
?
?k
?
?
?
(k?Z)
.

56.最简单的三角不等式及其解集

sinx?a(|a|?1)?x?( 2k
?
?arcsina,2k
?
?
?
?arcsina) ,k?Z
.
sinx?a(|a|?1)?x?(2k
?
?
??arcsina,2k
?
?arcsina),k?Z
.
< br>cosx?a(|a|?1)?x?(2k
?
?arccosa,2k
?
?arccosa),k?Z
.

cosx?a(|a|?1)?x?(2 k
?
?arccosa,2k
?
?2
?
?arccosa) ,k?Z
.

tanx?a(a?R)?x?(k
?
?ar ctana,k
?
?
?
),k?Z
.
2
tanx ?a(a?R)?x?(k
?
?
?
2
,k
?
?ar ctana),k?Z
.

57.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

58.向量的数量积的运算律：
(1)
a
·b= b·
a
（交换律）;
(2)（
?
a
）·b=
?
（
a
·b）=
?
a
·b=
a
·（
?
b）;
(3)（
a
+b）·c=
a
·c +b·c.

59.平面向量基本定理
如果e
1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平 面
内的任一向量，有且只有一对实数λ
1
、λ
2
，使得a=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
．
不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
60．向量平行的坐标表示
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b
?
0，则ab(b
?
0)
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.
a
与b的数量积(或内积)
a·b=|
a
||b|cosθ．

61. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘
积．

62.平面向量的坐标运算
(1)设a=
(x
1
,y
1< br>)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a+b=(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(2)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a-b=
(x
1
? x
2
,y
1
?y
2
)
.
( 3)设A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2,y
2
)
,则
AB?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
(4)设a=
(x ,y),
?
?R
，则
?
a=
(
?
x,?
y)
.
(5)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a·b=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)
.

63.两向量的夹角公式
x
1
x
2
?y
1
y
2
(
a
=
(x
1
,y
1< br>)
,b=
(x
2
,y
2
)
).
c os
?
?
2222
x
1
?y
1
?x
2
?y
2

64.平面两点间的距离公式

d
A,B
=
|AB|?AB?AB

?(x
2?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
).

65.向量的平行与垂直
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2< br>,y
2
)
，且b
?
0，则
A||b
?
b=λa
?x
1
y
2
?x< br>2
y
1
?0
.
a
?
b(a
?0)
?
a
·b=0
?x
1
x
2
?y< br>1
y
2
?0
.

66.线段的定比分公式
?
是实数，设
P< br>1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，
P(x,y)
是线段
P P
且
PP
12
的分点,
1
?
?
PP
2
，
则
?
x?
?
?
?
?
y?
?
?
x
1
?
?
x
2
OP?
?
OP
2
1?
?

?
OP?
1
y
1
?
?
y
2
1?
?
1?
?1
t?
（）.
?(1?t)OP
?
OP?tOP
12
1?
?

67.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1< br>,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的
重心的坐 标是
G(
x
1
?x
2
?x
3
,
y
1
?y
2
?y
3
)
.
33

68.点的平移公式
?
x
'
?x?h
?
x?x
'
?h
??
''
?
?
.
?OP?OP ?PP
?
''
??
?
y?y?k
?
y?y?k注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形
F
'
上的对应点为
P
'
(x
'
,y
'
)
，且
PP
'< br>的坐标为
(h,k)
.

69.“按向量平移”的几个结论
（1）点
P(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到点
P'
(x?h,y?k)
.
(2) 函数
y?f(x)
的图象< br>C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
'
,则< br>C
'
的
函数解析式为
y?f(x?h)?k
.
(3) 图象
C
'
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象< br>C
,若
C
的解析式
y?f(x)
,
则
C'
的函数解析式为
y?f(x?h)?k
.
(4)曲线
C:
f(x,y)?0
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C< br>'
,则
C
'
的方程
为
f(x?h,y?k)?0.
(5) 向量m=
(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后 得到的向量仍然为m=
(x,y)
.

70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为
?ABC
所在平面上一 点，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
，则
222
（1）
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0
.
（3）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC?O C?OA
.
（4）
O
为
?ABC
的内心
?aOA ?bOB?cOC?0
.

（5）
O
为
?ABC的
?A
的旁心
?aOA?bOB?cOC
.
71.常用不等式：
（1）
a,b?R
?
a
2
? b
2
?2ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）
a,b? R
?
?
a?b
?
2
ab
(当且仅当a＝b时取“= ”号)．
（3）
a
3
?b
3
?c
3
?3 abc(a?0,b?0,c?0).

（4）柯西不等式
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2,a,b,c,d?R.

（5）
a?b?a?b?a?b
.
72.极值定理
已知
x,y
都是正数，则有
（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值< br>2
4
p
；
（2）若和
x?y
是定值
s，则当
x?y
时积
xy
有最大值
1
s
2
.
推广 已知
x,y?R
，则有
(x?y)
2
?(x? y)
2
?2xy

（1）若积
xy
是定值,则当
| x?y|
最大时,
|x?y|
最大；
当
|x?y|
最小时,
|x?y|
最小.
（2）若和
|x?y|
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|xy|
最小；
当
|x?y|
最小时,
|xy|
最大.
73.一元二次不等式
ax
2
?bx?c ?0(或?0)(a?0,??b
2
?4ac?0)
，如果
a
与ax
2
?bx?c
同号，则其解集在两根之外；如果
a
与
ax
2
?bx?c
异号，则
其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异 号两根之间.
x
1
?x?x
2
?(x?x
1
)( x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
；
x? x
1
,或x?x
2
?(x?x
1
)(x?x
2)?0(x
1
?x
2
)
.
74.含有绝对值的不等式
当a> 0时，有
x?a?x
2
?a??a?x?a
.
x?a?x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
75.无理不等式
2
（1）
（2）
（3）
?
f(x)?0
?
.
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)< br>?
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
.
f (x)?g(x)?
?
g(x)?0
或
?
?
f(x)?[g (x)]
2
?
g(x)?0
?
?
f(x)?0
?< br>.
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?[g (x)]
2
?

76.指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
; ?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?
(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0

?
f(x)?g(x)
?
77.斜率公式
y?y
k?< br>21
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）.
x
2
?x
1
78.直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
(
y
1
?y
2
)(
P< br>1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
?
y
2
? y
1
x
2
?x
1
(4)截距式
x
?< br>y
?1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab
（3）两点式
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
79.两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，l
2
:y?k
2
x?b
2

①
l1
||l
2
?k
1
?k
2
,b
1?b
2
;
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
(2)若
l
1
:A< br>1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2< br>:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,且A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零,
①
l
1
||l
2
?
A
1
B
1
C
1
??
A
2
B
2
C
2
； < br>②
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
；
80.夹角公式
(1)< br>tan
?
?|
k
2
?k
1
|
. < br>1?k
2
k
1
(
l
1
:y?k
1< br>x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
??1
)
(2)
tan
?
?|
A
1
B
2
?A
2
B
1
|
.
A
1
A
2
?B
1
B
2
(
l
1
:A
1
x?B
1
y ?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
).

直线
l
1
?l
2
时，直线l
1
与l
2
的夹角是
?
.
2
81.
l
1
到
l
2
的角公式
(1)
tan< br>?
?
k
2
?k
1
1?k
2
k
1
.
(
l
1
:y?k
1
x?b
1，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k1
k
2
??1
)
(2)
tan
?
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
.
A
1
A
2
?B
1
B
2
(
l1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,< br>l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
).
直线
l
1
?l
2
时，直线l
1
到l
2
的角是
?
.
2
82．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
(除直线
x?x
0
),其中
k
是待定的系数; 经过定点

P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?0
,其 中
A,B
是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线
l
1< br>:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线系方程为
(A
1
x?B
1
y?C
1
) ?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0(除
l
2
)，其中λ
是待定的系数．
(3)平行直线系方程： 直线
y?kx?b
中当斜率k一定而b变动时，
表示平行直线系方程．与直线
Ax?By?C?0
平行的直线系方程是
Ax?By?
?
?0
(?
?0
)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线
Ax?By?C?0
(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,λ是参变量．
83.点到直线的距离
|Ax
0
?By
0
?C|
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：Ax?By?C?0
).
d?
22
A?B
84.
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域
设直线
l: Ax?By?C?0
，则
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区 域是：
若
B?0
，当
B
与
Ax?By?C
同号时 ，表示直线
l
的上方的区域；当
B
与
Ax?By?C
异号时 ，表示直线
l
的下方的区域.简言之,同号在上,异号
在下.
若
B ?0
，当
A
与
Ax?By?C
同号时，表示直线
l
的右方的区域；当
A
与
Ax?By?C
异号时，表示直线
l
的左方的区域. 简言之,同号在右,异号
在左.
85.
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y? C
2
)?0
或
?0
所表示的平面区域
设曲线
C: (A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
（
A
1
A
2< br>B
1
B
2
?0
），则
(A
1
x? B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C< br>2
)?0
或
?0
所表示的平面区域是：

(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B2
y?C
2
)?0
所表示的平面区域上下两部分；
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
（2）圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0< br>(
D
2
?E
2
?4F
＞0).
?
x?a?rcos
?
（3）圆的参数方程
?
.
y?b?rsin
?
?
（4）圆的直径式方程
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
(圆的直径的端点
是
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
).
87. 圆系方程 (1)过点
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
的圆系方程是
(x?x
1
)(x? x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?
?
[(x?x
1
)(y
1
?y
2
)?(y?y
1)(x
1
?x
2
)]?0

?(x?x
1)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?
?
(ax?by?c)?0
,其中
ax?by?c?0
是直线
AB
的方程,λ是待定的系数．
(2)过直线
l
:
Ax?By?C?0
与圆
C
:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F? 0
的交点的圆系
方程是
x
2
?y
2
?Dx?Ey? F?
?
(Ax?By?C)?0
,λ是待定的系数．
(3) 过圆
C
1
:
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与圆
C
2
:
x< br>2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
的交
点的圆系方程是
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
(x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0
,λ是待
定的系数．
88.点与圆的位置关系
点
P(x< br>0
,y
0
)
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种
若
d?(a?x
0< br>)
2
?(b?y
0
)
2
，则
d?r?点
P
在圆外;
d?r?
点
P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
89.直线与圆的位置关系
直线
Ax?B y?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
其中
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
.
?d

90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条 公切线
;

d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
91.圆的切线方程
(1)已知圆
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
．
①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上，则切线只有 一条，其方程是

x
0
x?y
0
y?
D(x0
?x)
?
E(y
0
?y)
?F?0
.
22
当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0
x?y
0
y?
D(x
0
?x)
?< br>E(y
0
?y)
?F?0
表示过两个切点
22
的切点 弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
，再利用相切条件
求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线． < br>③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件求b，
必有两条切 线．
(2)已知圆
x
2
?y
2
?r
2
．
①过圆上的
P
0
(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
2
;
②斜率为
k
的圆的切线方程为
y?kx?r1?k
2
. < br>?
x?acos
?
x
2
y
2
92.椭圆2
?
2
?1(a?b?0)
的参数方程是
?
.
ab
y?bsin
?
?
x
2
y
2
93. 椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
焦半径公式
aba
2
a
2
PF
1
?e(x?)
，
PF
2
?e(?x)
.
cc
94．椭圆的的内外部
x
2
y
2
（1）点
P(x
0
,y
0
)在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的内部
?
a b
x
2
y
2
（2）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的外部< br>?
ab
22
x
0
y
0
??1
. < br>a
2
b
2
22
x
0
y
0
?
2
?1
.
2
ab
95. 椭圆的切线方程
x
2
y
2
(1)椭圆
2
?
2
?1(a?b? 0)
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是x
0
2
x
?
y
0
2
y
?1< br>.
ab
ab
x
2
y
2
（2）过椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点
ab
弦方程是
x
0
xy
0
y
?
2
?1
.
2
ab
（3）椭圆
A
2
a
2
?B2
b
2
?c
2
.
x
2
y
2
?
2
?1(a?b?0)
2
ab
与直线
Ax?By ?C?0
相切的条件是

x
2
y
2
96.双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的焦半径公式
ab
a
2
a
2
PF
1
?| e(x?)|
，
PF
2
?|e(?x)|
.
cc
97.双曲线的内外部
x
2
y
2
(1)点< br>P(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的内部
?
ab
x
2
y2
(2)点
P(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的外部
?
ab
2 2
x
0
y
0
?
2
?1
.
2
ab
22
x
0
y
0
??1
.
a
2
b
2
98.双曲线的方程与渐近线方程的关系
x2
y
2
x
2
y
2
(1）若双曲线方程为
2
?
2
?1
?
渐近线方程：
2
?
2?0?
y??
b
x
.
a
ab
ab
(2)若渐近线方程为
y??
b
x
?
x
?
y
?0
?
双曲线可设为
ab
a
x
2
y
2< br>?
2
??
.
2
ab
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线与
2
?2
?1
有公共渐近线，可设为
2
?
2
??
ab ab
（
??0
，焦点在x轴上，
??0
，焦点在y轴上）.
99. 双曲线的切线方程
(1)双曲线
x
0
xy
0< br>y
?
2
?1
.
a
2
b
x
2
y
2
?
2
?1(a?0,b?0)
2
ab
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
x2
y
2
（2）过双曲线
2
?
2
?1( a?0,b?0)
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两 条切线的
ab
切点弦方程是
x
0
xy
0
y
?
2
?1
.
2
ab
x
2
y
2
（3）双曲线
2< br>?
2
?1(a?0,b?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切 的条件是
ab
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2
.
100. 抛物线
y
2
?2px
的焦半径公式
抛物线
y
2< br>?2px(p?0)
焦半径
CF
过焦点弦长
CD?x
1
?
?x
0
?
p
.
2
pp
?x
2
??x
1
?x
2
?p
.
22
2
y
?
2
101.抛物线
y?2px
上的动点可设为P
(, y
?
)
或
P(2pt
2
,2pt)或
P
(x,y)
，
2p
其中
y
2
?2px
.

b
2
4ac?b
2
102.二次函数
y?ax?bx?c?a(x?)?
(a?0)
的图象是抛物线：
2a4a
b4ac?b
2
b4ac? b
2
?1
)
；
)
；（1）顶点坐标为
(?,
（2）焦点的坐标为
(?,
2a4a2a4a
4ac?b
2
?1< br>（3）准线方程是
y?
.
4a
2

103.抛物线的内外部
(1)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y
2
?2px(p?0)
的内部
?y
2
?2px(p?0)
.
点
P(x
0
,y
0)
在抛物线
y
2
?2px(p?0)
的外部
?y
2
?2px(p?0)
.
(2)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y
2
??2px(p?0)
的内部
?y
2
??2px(p?0)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y
2
??2px(p?0)
的外部< br>?y
2
??2px(p?0)
.
(3)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x
2
?2py(p?0)
的内部
?x
2
?2py(p?0)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x
2
?2py(p?0)的外部
?x
2
?2py(p?0)
.
(4) 点
P( x
0
,y
0
)
在抛物线
x
2
?2py(p ?0)
的内部
?x
2
?2py(p?0)
.
点
P (x
0
,y
0
)
在抛物线
x
2
??2py (p?0)
的外部
?x
2
??2py(p?0)
.

104. 抛物线的切线方程
(1)抛物线
y
2
?2px
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
.
（2）过抛物线
y2
?2px
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方
程是
y
0
y?p(x?x
0
).
（3）抛物线
y
2
?2px(p?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
.
pB
2
?2AC

105.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线
f
1
(x,y)?0
,
f
2
(x,y)?0
的交点的曲线系方程是
f
1
(x,y)?
?
f
2
(x,y)?0
(
?
为参数).
x
2
y
2
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程
2
?
2
?1
,其中
k?max{a
2
,b
2
}
.
a?kb?k
当
k?min{a
2
,b< br>2
}
时,表示椭圆; 当
min{a
2
,b
2
}?k?max{a
2
,b
2
}
时,表示双曲
线.

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?(x
1
?x2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
或
AB?(1?k
2
)(x
2
?x
1
)
2
?|x
1
?x
2
|1?tan
2
?
?| y
1
?y
2
|1?cot
2
?
（弦端点
A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，由方程
?
?
y?kx?b
消去
F(x,y)?0< br>?
??0
,
?
为y得到
ax
2
?bx?c? 0
，

直线
AB
的倾斜角，
k
为直线的斜率） .
107.圆锥曲线的两类对称问题
)
关
0
于点
P( x
0
,y
0
)
成中心对称的曲线是（1）曲线
F(x,y?
F(2x
0
-x,2y
0
?y)?0
.
（2）曲 线
F(x,y)?0
关于直线
Ax?By?C?0
成轴对称的曲线是
F(x?
2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C)
,y?)?0
.
A
2
?B
2
A
2
?B
2

108.“四线”一方程
对于一般的二次曲线
Ax
2
?Bx y?Cy
2
?Dx?Ey?F?0
，用
x
0
x
代< br>x
2
，用
y
0
y
代
x
0
y ?xy
0
代
xy
，用
x
0
?x
代
x
，用
y
0
?y
代
y
即得方程
222< br>xy?xy
0
x?xy?y
Ax
0
x?B?
0
?Cy
0
y?D?
0
?E?
0
?F?0
，曲线的 切线，切点弦，
222
y
2
，用
中点弦，弦中点方程均是此方程得到 .

109．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.

110．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.

111．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.

112．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.

113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

114．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直.

115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向 量之和，等于以这三个向
量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向
量.

117.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b
?
存在实数λ使a=λb．
P、A、B
三点共线
?AP||AB
?
AP?tAB
?
OP?(1?t)OA?tOB
.
AB||CD
?
AB
、
CD
共线且
AB、CD
不共线
?
AB?tCD
且
AB、CD
不共线.

118.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的
?
存在实 数对
x,y
,使
p?ax?by
．
推论 空间一点P位于平面M AB内的
?
存在有序实数对
x,y
,使
MP?xMA?yMB
，
或对空间任一定点O，有序实数对
x,y
，使
OP?OM?xMA?y MB
.

119.对空间任一点< br>O
和不共线的三点A、B、C，满足
，则当
k?1
时，对于空间任一点
O
，
OP?xO?AyO?B
（
z
x?y?z?k
）
总有P、A、B、C四点共面；当
k?1
时，若
O?
平面ABC， 则P、A、
B、C四点共面；若
O?
平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．
A、B、 C、D
四点共面
?
AD
与
AB
、AC
共面
?
AD?xAB?yAC
?

OD?(1?x?y)OA?xOB?yOC
（
O?
平面ABC）.
120.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存 在一个
唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推论 设O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点P，都存
在唯一的三个有序实数x，y，z，使
OP?xOA ?yOB?zOC
.
121.射影公式
已知向量
AB
=
a
和轴
l
，e是
l
上与
l
同方向的单位向量.作A 点在
l
上
的射影
A
'
，作B点在
l
上的射 影
B
'
，则
A
'
B
'
?|AB|cos
〈
a
，e〉=
a
·e
122.向量的直角坐标运算 设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
，b＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
则
(1)
a
＋b＝
(a
1
?b
1
,a< br>2
?b
2
,a
3
?b
3
)
； (2)
a
－b＝
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
；
(3 )λ
a
＝
(
?
a
1
,
?
a
2
,
?
a
3
)
(λ∈R)；
(4)
a
·b＝
a
1
b
1
?a
2
b
2< br>?a
3
b
3
；
123.设A
(x
1
,y
1
,z
1
)
，B
(x
2
,y
2
,z
2
)
，则
AB?OB?OA
=
(x< br>2
?x
1
,y
2
?y
1
,z
2?z
1
)
.
124．空间的线线平行或垂直
rr
设
a?(x
1
,y
1
,z
1
)
，
b ?(x
2
,y
2
,z
2
)
，则
?
x
1
?
?
x
2
rrrrrr
?
aPb< br>?
a?
?
b(b?0)
?
?
y
1
?
?
y
2
；
?
z?
?
z
2
?
1
rrrr
a?b
?
a?b?0
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z2
?0
.
125.夹角公式
设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
，b＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
，则
cos〈
a
，b〉=
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a?a?a
2
1
2
2
2
3
b?b?b
2
1
2
2
2
3
.
推论
(a
1
b
1
?a
2
b
2< br>?a
3
b
3
)
2
?(a
1
2
?a
2
2
?a
3
2
)(b
1
2
?b
2
2
?b
3
2
)
，此即三维柯西不等式.

126. 四面体的对棱所成的角
四面体
ABCD
中,
AC
与
BD
所成的角为
?
,则
|(AB
2
?CD
2
)?(BC
2
?DA
2
)|
c os
?
?
.
2AC?BD

127．异面直线所成角
rr
cos
?
?|cosa,b|

rr
=
|
r
a?b
r
|
?
|a|?|b|
|x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z2
|
x?y?z?x
2
?y
2
?z
2
oo
rr
（其中
?
（
0?
?
?90
）为异 面直线
a,b
所成角，
a,b
分别表示异面直线
a,b
的方 向向量）
2
1
2
1
2
1
222


128.直线
AB
与平面所成角
?
?arcsinAB?m
(
m
为平面
?
的法向量).
|AB||m|

129.若
?ABC
所在平面若
?
与过若
AB
的平面
?
成的角
?
,另两边
AC,
BC
与平面
?
成的角分别是
?
1
、
?
2
,
A、B
为
?ABC
的两个内角，则
sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?(sin
2
A?sin
2
B)sin
2
?
.
特别地,当
?ACB?90
时,有
sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?sin
2
?
.

130.若
?ABC
所在平面若
?
与过若
AB< br>的平面
?
成的角
?
,另两边
AC
,
BC与平面
?
成的角分别是
?
1
、
?
2
,
A
'
、B
'
为
?ABO
的两个内角，则
tan
2
?
1
?tan
2
?
2
?(sin
2
A
'
?sin
2
B
'
)tan
2
?
.
特别地,当
?AOB?90
时,有
sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?sin
2?
.

131.二面角
?
?l?
?
的平面角
?
?arccos
m?n
或
?
?arccos
m? n
（
m
，
n
为平面
?
，
?
的法向 量）.
|m||n||m||n|
132.三余弦定理
设AC是α内的任一条直线 ，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB

所成的角为
?
1
，AB与AC所成的角为
?
2
，AO与AC所成的角为
?
．则
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2
.
133. 三射线定理
若夹在平面角为
?
的二面角间的线段与二面角的两个 半平面所成
的角是
?
1
,
?
2
,与二面角的棱所成 的角是θ，则有
sin
2
?
sin
2
?
?sin< br>2
?
1
?sin
2
?
2
?2sin
?
1
sin
?
2
cos
?

|
?
1
?
?
2
|?
?
?180?(
?1
?
?
2
)
(当且仅当
?
?90
时等 号成立).

134.空间两点间的距离公式
若A
(x
1,y
1
,z
1
)
，B
(x
2
,y2
,z
2
)
，则

d
A,B
=|AB|?AB?AB
?(x
2
?x
1
)
2
? (y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2
.

135.点
Q
到直线
l
距离
h?
1
(| a||b|)
2
?(a?b)
2
|a|
(点
P
在直 线
l
上，直线
l
的方向向量a=
PA
，向
量b=< br>PQ
).

136.异面直线间的距离
d?
|CD?n |
(
l
1
,l
2
是两异面直线，其公垂向量为
n< br>，
C、D
分别是
l
1
,l
2
上任
| n|
一点，
d
为
l
1
,l
2
间的距离).

137.点
B
到平面
?
的距离
d?
|AB?n|
（
n
为平面
?
的法向量，
AB
是经过 面
?
的一条斜线，
A?
?
）.
|n|

138.异面直线上两点距离公式
d?h
2
?m
2
?n
2
2mncos
?
.
d?h
2
?m
2< br>?n
2
?2mncosEA
'
,AF
.
（
?
?E?AA
'
?F
）.
(两条异面直线a 、b所成的角为θ，其公垂线段
AA
'
的长度为h.
在直线a、b上分别取两 点E、F，
A
'
E?m
,
AF?n
,
EF?d).

139.三个向量和的平方公式
222

(a?b?c)
2
?a?b?c?2a?b?2b?c?2c?a

222
?a?b?c?2|a|?|b|cosa,b?2|b|?|c|cosb,c?2|c|?| a|cosc,a

d?h
2
?m
2
?n
2
?2mncos
?

140. 长度为
l
的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别
为
l
1
、l
2< br>、l
3
，夹角分别为
?
1
、
?
2
、
?
3
,则有
2
l
2
?l
1
2< br>?l
2
?l
3
2
?cos
2
?
1< br>?cos
2
?
2
?cos
2
?
3
? 1
?sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?sin
2
?
3
?2
.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

141. 面积射影定理
S
'
S?
cos
?
.
(平面多边形及其射影的面 积分别是
S
、
S
'
，它们所在平面所成锐
二面角的为
?
).
142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是
l
, 侧面积和体积分别是
S
斜棱柱侧
和
V
斜棱柱
,它的
直截面的周长和面积分别是
c
1
和
S
1
,则
①
S
斜棱柱侧
?c
1
l
.
②
V
斜棱柱
?S
1
l
.
143．作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相
平行.
144．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相 似，
截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比
（对应角相等，对应边对应 成比例的多边形是相似多边形，相似
多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的< br>侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．
145.欧拉定理(欧拉公式)
V?F?E?2
(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
（1）
E< br>=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为
n
的
多边形，则面数F 与棱数E的关系：
E?
1
nF
；
2
（2）若每个顶点引出 的棱数为
m
，则顶点数V与棱数E的关系：
1
E?mV
.
2
146.球的半径是R，则
其体积
V?
4
?
R
3
,
3

其表面积
S?4
?
R
2
．

147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径
是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对
角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为
a
的正四面体的内切球的半径为
66
a
,外接球的半 径为
a
.
124

148．柱体、锥体的体积
1
V
柱体
?Sh
（
S
是柱体的底面积、
h
是柱体的 高）.
V
锥体
3
1
?Sh
（
S
是锥体的 底面积、
h
是锥体的高）.
3

149.分类计数原理（加法原理）
N?m
1
?m
2
??m
n
.

150.分步计数原理（乘法原理）
N?m
1
?m
2
??m
n
.

151.排列数公式
*
m
=
n(n?1)?(n?m?1)=
n！
.(
n
，
m
∈N，且
m?n
) ．
A
n
(n?m)！
注:规定
0!?1
.

152.排列恒等式
（1）
A
n
m
?(n?m?1)A
n
m?1
;
（2）
A
n
m
?
n
m
A
n?1
;
n?m
（3）
A
n
m
?nA
n
m
?
?
1
1
;
（4）
nA
n
n
?A
n
n
?
?
1
1
?A
n
n
;
（5）
A
n
m< br>?1
?A
n
m
?mA
n
m?1
.
（6）
1!?2?2!?3?3!??n?n!?(n?1)!?1
.

153.组合数公式
C
m
n
=
A
n
m
m
A
m
=
n(n?1)
?
(n?m?1)
=
1?2?
?
?m
*
n！(
n
∈N，
m?N
，且
m?n
).
m！?(n?m)！

154.组合数的两个性质
(1)
C
n
m
=
C
n
n?m

(2)
C
n
m
+
C
n
m?1
=
C
n
m
?1
.
注:规定
C
n
0
?
1
.

155.组合恒等式
（1）
C
n
m
?
n?m?1
C
n
m?1
;
m
（2）
C
n
m
?
n
C
n
m
?1
;
n?m
（3 ）
C
n
m
?
n
C
n
m
?
?
1
1
;
m
（4）
?
C
n< br>r
=
2
n
;
r?0
n
（5）
C< br>r
r
?C
r
r
?1
?C
r
r
?2
???C
n
rr?1
?C
n?1
.
12r n
（6）
C
n
0
?C
n
?C
n
? ??C
n
???C
n
?2
n
.
135024（7）
C
n
?C
n
?C
n
???C
n
?C
n
?C
n
??2
n?1
.
123n
（8）
C
n
?2C
n
?3C
n
???nC
n
?n2
n?1
.
r0r?110rr
（9）
C
m
C
n
?C
m
C
n
?
?
?C
m
C
n
r
?C
m?n
.
1222n 2n
（10）
(C
n
0
)
2
?(C
n)?(C
n
)???(C
n
)?C
2n
.

156.排列数与组合数的关系
mm
.
A
n
?m！?C
n

157．单条件排列
以下各条的大前提是从
n
个元素中取
m
个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有
A
n
m?
?
1
1
种；②某（特）元不在某位有
A
n
m
?A
n
m
?
?
1
1
1m?1m1m?1< br>（补集思想）
?A
n?1
A
n?1
（着眼位置）
?A
n?1
?A
m?1
A
n?1
（着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：
k(k?m?n)
个元 在固定位的排列有
A
k
k
A
n
m
?
?k
k
种.
②浮动紧贴：
n
个元素的全排列把k个元排在一起的 排法有
A
n
n
?
?
k
k
?
?1
1
A
k
k
种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空： 两组元素分别有k、h个（
k?h?1
），把它们合在一起来作
全排列，k个的一组互 不能挨近的所有排列数有
A
h
h
A
h
k
?1
种.
（3）两组元素各相同的插空
m
个大球
n
个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当< br>n?m?1
时，无解；当
n?m?1
时，有
n
A
m< br>n
?1
?C
m?1
种排法.
n
A
n
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分
n
别相同的排列数为
C
m?n
.
158．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的
m
、
n
个物件等分给
m
个人，
(mn)!
nnnnn
各得
n
件，其分配方法数共有
N?C
mn
. < br>?C
mn
?C?
?
?C?C?
?nmn?2n2nn
m
(n!)
（2）(平均分组无归属问题)将相异的
m
·
n
个物体等分为无记号或
无顺序的
m
堆，其分配方法数共有
nnnnn
C
mn
?C
mn
(mn)!
?n
?C
mn?2n
...?C
2n
?C
n
N??
m!m!(n!)
m
.
（3）(非平均分组有归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n< br>2
++n
m
)
个物体分给
物件必须被分完，分别得到
n
1
，
n
2
，…，
n
m
件，且
n
1
，
n
2
，…，
m
个人，
n
m< br>这
m
个数彼此不相等，则其分配方法数共有
p!m!
n
nn< br>.
N?C
p
?C
p
C
n
?m!?
?n
...
12
m
1m
n
1
!n
2
!...n
m
!
（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
++n
m
)
个物体
分给
m
个人，物件必须被分完，分别得到
n
1
，
n
2
， …，
n
m
件，且
n
1
，
n
2
，… ，
n
m
这
m
个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有
N?
n
m
n
1
n
2
C
p
?C
p
C
n
?m!
?n
1
...
m
a!b!c!...

?
p!m!
.
n
1!n
2
!...n
m
!(a!b!c!...)

（5）(非平均分组无归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
++ n
m
)
个物体分为
任意的
n
1
，
n
2
，…，
n
m
件无记号的
m
堆，且
n
1
，
n
2
，…，
n
m
这
m
个数彼此不相等，则其分配方法数有
N?
p!
.
n
1
!n
2
!...n
m
!
（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的< br>P(P=n
1
+n
2
++n
m
)
个物体分为任意的
n
1
，
n
2
，…，
n
m< br>件无记号的
m
堆，且
n
1
，
n
2
， …，
n
m
这
m
个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数 有
p!
.
N?
n
1
!n
2
!.n.m
.!(a!b!c!...)
（7）(限定分组有归属问题)将相异的
p
（
p?n
1
+n
2
++n
m
）个物体分
给甲、乙、丙，……等
m
个人，物体必须被分完，如果指定甲得
n
1
件，乙得
n
2
件，丙得
n
3
件，…时，则无论
n< br>1
，
n
2
，…，
n
m
等
m
个数
是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
n
m
n
1
n
2
N?C
p
?C
p
C
n
?
?n< br>1
...
m
p!
.
n
1
!n
2< br>!...n
m
!
159．“错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信
n
封信与
n
个信封全部错位的组合数为 f(n)?n![
111
???
2!3!4!
?(?1)
n1
]
.
n!
推广:
n
个元素与
n
个位置,其中至少有
m
个元素错位的不同组合
总数为
1234
f( n,m)?n!?C
m
(n?1)!?C
m
(n?2)!?C
m(n?3)!?C
m
(n?4)!
??(?1)C(n?p)!?
pp< br>m
?(?1)C(n?m)!
pm
mm
m

1234
C
m
C
m
C
m
C
m
?n![1?
1
?
2
?
2
?
4
?
A
n
A
n
A
n
A
n
p
C
m
? (?1)
p
?
A
n
m
C
m
?(?1)m
]
.
A
n
160．不定方程
x
1
+x
2
++x
n
?m
的解的个数
(1)方程
x< br>1
+x
2
++x
n
?m
（
n,m?N
?
）的正整数解有
C
n?1
个.
(2) 方程
x
1
+x
2
++x
n
?m
（
n,m?N
?
）的非负整数解有
C
n?1
个.
(3) 方程
x
1
+x
2
++x
n
?m
（
n,m?N
?
）满足条件
x
i
?k
(
k?N
?
,
2?i?n?1
)
的非负整数解有
C
n?1
?(n?2)(k?1 )
个.
(4) 方程
x
1
+x
2
++x
n
?m
（
n,m?N
?
）满足条件
x
i
? k
(
k?N
?
,
2?i?n?1
)
的正整数解有< br>C
n?1
?C
1
C
n?1
?C
2
C
n?1
??(?1)
n?2
C
n?2
C
n?1个.
m?1
n?m?1
m?1
n?m?1n?2m?n?k?2n?2 m?n?2k?3n?2m?1?(n?2)k
161.二项式定理

0n1n ?12n?22rn?rrnn
(a?b)
n
?C
n
a?C
n
ab?C
n
ab?
?
?C
n
ab?
?< br>?C
n
b

二项展开式的通项公式
rn?rr
1，2?，n)
.
T
r?1
?C
n< br>ab
(r?0，
162.等可能性事件的概率
m
P(A)?
.
n
163.互斥事件A，B分别发生的概率的和
P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
164.
n
个互斥事件分别发生的概率的和
P(A
1
＋A
2
＋…＋A
n
)=P(A
1
)＋P(A
2
)＋…＋P(A
n
)．
165.独立事件A，B同时发生的概率
P(A·B)= P(A)·P(B).
166.n个独立事件同时发生的概率
P(A
1
· A
2
·…· A
n
)=P(A
1
)· P(A
2
)·…· P(A
n
)．
167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
k k
P
n
(k)?C
n
P(1?P)
n?k
.

168.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）
P
i
?0(i?1,2,)
;
（2）
P
1
?P
2
??1
.
169.数学期望
E
?
?x
1
P?x
n
P
n
?

1
?x
2
P
2
?
170.数学期望的性质
（1）
E(a
?
?b)?aE(
?
)?b
. （2）若
?
～
B(n,p)
,则
E
?
?np< br>.
(3) 若
?
服从几何分布,且
P(
?
?k) ?g(k,p)?q
k?1
p
，则
E
?
?
1
.
p
171.方差
222
D
?
?
?
x
1
?E
?
?
?p
1
?
?
x2
?E
?
?
?p
2
??
?
x
n
?E
?
?
?p
n
?

172.标准差
??
=
D
?
.
173.方差的性质
(1)D
?
a
?
?b
?
?a
2
D
?
；
(2）若
?
～
B(n,p)
，则
D
?
?np(1?p)
.
(3) 若
?
服从几何分布,且
P(
?
?k)?g(k,p)?q
k?1
p
，则
D
?< br>?
174.方差与期望的关系
2
D
?
?E
?
2
?
?
E
?
?
.
q
p
2
.

175.正态分布密度函数
f
?
x
?
?
1
e
2
?
6
?
?
x?
?
?
2
26
2
,x?
?< br>??,??
?
，式中的实数μ，
?
（
?
>0）是参数 ，分
别表示个体的平均数与标准差.
176.标准正态分布密度函数
x
?
1
f
?
x
?
?e
2
,x?
???,??
?
.
2
?
6
2
177.对于N(
?
,
?
2
)
，取值小于x的概率
?x?
?
?
F
?
x
?
??
??
.
?
??
P
?
x
1
?x
0
?x
2
?
?P
?
x?x
2
?
?P
?< br>x?x
1
?

?F
?
x
2
?
?F
?
x
1
?

?
x?
?
??
x
1
?
?
?
??
?
2
??
???
.
??
????
178.回归直线方程
n
?
?
x
i
?x
??
y
i
?y
?< br>?
?
?
b?
i?1
n
?
2
y?a? bx
，其中
?
?
x
i
?x
?
?
?
i?1
?
?
a?y?bx
?
xy?nxy
iii?1
n
n
?
x
i
2
?nx
2
i?1
.
179.相关系数

r?
?
?
x ?x
??
y?y
?
ii
i?1
n
?
(x? x)
?
(y?y)
2
ii
i?1i?1
nn
?
2
?
?
x?x
??
y?y
?
ii< br>i?1
n
(
?
x
i
2
?nx
2)(
?
y
i
2
?ny
2
)
i?1i? 1
nn
.
|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关
程度越小.
180.特殊数列的极限
?
0
?
q
n
?
?
1
（1）
lim
n??
?
不存在
?
| q|?1
q?1
|q|?1或q??1
.
?
0(k?t)
?
a
k
n
k
?a
k?1
n
k?1
??a
0
?
a
t
?
?
(k?t)
. （2 ）
lim
n??
bn
t
?bn
t?1
??b
0tt?1
?
b
k
?
不存在 (k?t)
?
（3 ）
S?lim
n??
a
1
1?q
n
1?q
??
?
a
1
1?q
（
S
无穷等比数列
?< br>a
1
q
n?1
?
(
|q|?1
)的和）.
181. 函数的极限定理
x?x
0
limf(x)?a
?
lim
?
f(x)?lim
?
f(x)?a
.
x?x
0
x?x
0

182.函数的夹逼性定理
如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x
0
的附近满足：
（1）
g(x)?f(x)?h(x)
;
g(x)?a,limh(x)?a
（常数）, （2）
x
lim
?xx?x
00
f(x)?a
. 则
x
lim
?x
0
本定理对于单侧极限和
x??
的情况仍然 成立.
183.几个常用极限
1
?0
，
lima
n?0
（
|a|?1
）（1）
lim
；
n??
n??
n
1
x?x
0
，
lim?
（2）
x
lim
?x
x?x
0
0
x
1
.
x
0
184.两个重要的极限
sinx
?1
； （1）
lim
x?0
x
?
1
?
（2）
lim?
1?
?
?e
(e=2.718281845…).
x??
?
x
?
x
185.函数极限的四则运算法则
f(x)?a
，
limg(x)?b
，则 若
x
lim?xx?x
00
(1)
x
lim
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?a?b
；
?x
?
0
(2)
x
lim
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?a? b
;
?x
?
0
f
?
x
?
a(3)
x
lim?
?
b?0
?
.
?x
g
?
x
?
b
186.数列极限的四则运算法则
a
n
?a,limb
n
?b
，则 若
lim
n??n??
0
(1)
lim
?
a
n
?b
n
?
?a?b
；
n??
(2)
lim
?
a
n
?b
n
?
?a?b
；
n??
a< br>n
(3)
lim
n??
b
n
?
a
?
b?0
?

b
c?lima
n
?c?a
( c是常数). (4)
lim
?
c?a
n
?
?lim
n??n??n??
187.
f(x)
在
x
0
处的导数（ 或变化率或微商）
f
?
(x
0
)?y
?
x?x< br>0
?lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
?lim
.
?x?0
?x
?x?0
?x
188.瞬时速度
?
?s
?
(t)?lim
?ss(t??t)?s(t)
?lim
.
?t?0
?t
?t?0
?t
189.瞬时加速度

< br>a?v
?
(t)?lim
?vv(t??t)?v(t)
?lim.
?t?0
?t
?t?0
?t
dydf?yf(x??x)? f(x)
??lim?lim
.
?x?0?x?0
dxdx?x?x
190.
f(x)
在
(a,b)
的导数
f
?
(x)?y
?
?
191. 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义
函数y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的
斜率
f
?
(x
0
)
，相应的切线方程是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
192.几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
（C为常数）.
(2)
(x
n
)
'
?nx
n?1
(n?Q)
.
(3)
(sinx)
?
?cosx
.
(4)
(cosx)
?
??sinx
.
(5)
(l nx)
?
?
1
；
(loga
x
)
?
?
1
log
a
e
.
x
x
(6)
(e
x
)
?
?e
x
;
(a
x
)
?
?a
x
lna
.
193.导数的运算法则
（1）
(u?v)
'
?u
'
?v
'
.
（2）
(uv)
'
?u
'
v?uv
'
.
u
'
u
'
v?uv
'
（3）
()?
2
(v?0)
.
vv
194.复合函数的求导法则
设函数
u?
?
(x)
在点
x
处有导数
u
x
'
?
?
'
(x)
，函数
y?f(u)
在点
x
处的对应
点U处有导数
y
u
'
?f
'
(u)
，则复合函数
y?f(
?
(x))
在点
x
处 有导数，且
'''
，或写作
f
x
'
(
?
( x))?f
'
(u)
?
'
(x)
.
y
x
?y
u
?u
x
195.常用的近似计算公式（当
(1)1?x?1?
x
充小时）
11
x
;
n
1?x?1?x
；
2n
(2 )
(1?x)
?
?1?
?
x(
?
?R)
；
1
?1?x
；
1?x
(3)
e
x
?1?x
；
(4)
l
n
(1?x)?x
；
(5)
sinx?x
（
x
为弧度）；
(6)
tanx?x
（
x
为弧度）；
(7)
arctanx?x
（
x
为弧度）
196.判别
f(x
0
)
是极大（小）值的方法
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时，
（1）如果 在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是极大值；

（2）如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x )?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是极小值.
197.复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d
.（
a,b,c,d?R
）
198.复数
z?a?bi
的模（或绝对值）
|z|
=
| a?bi|
=
a
2
?b
2
.
199.复数的四则运算法则
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
?bdbc?ad
?
2
i(c?di?0)
. (4)
(a ?bi)?(c?di)?
ac
222
c?dc?d
200.复数的乘法的运 算律
对于任何
z
1
,z
2
,z
3
?C< br>，有
交换律:
z
1
?z
2
?z
2
?z
1
.
结合律:
(z
1
?z
2
)?z
3
?z
1
?(z
2
?z
3
)
.
分配律:
z
1
?(z
2
?z
3
)?z1
?z
2
?z
1
?z
3
.
201.复平面上的两点间的距离公式
d?|z
1
?z
2
|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y< br>1
)
2
（
z
1
?x
1
?y
1
i
，
z
2
?x
2
?y
2
i）.
202.向量的垂直
非零复数
z
1
?a?b i
，
z
2
?c?di
对应的向量分别是
OZ
1，
OZ
2
，则

OZ
1
?OZ
2
?
z
1
?z
2
的实部为零
?
z
2
z
1
为纯虚数
?
|z
1
?z
2
|
2
?|z
1
|
2
?|z
2
|
2

?
|z
1
?z
2
|
2
?|z< br>1
|
2
?|z
2
|
2
?
|z
1
?z
2
|?|z
1
?z
2
|
?
ac?bd?0
?
z
1
?
?
iz
2

(λ为非零
实数).
203.实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
，
?b?b< br>2
?4ac
①若
??b?4ac?0
,则
x
1,2< br>?
;
2a
②若
??b
2
?4ac?0
,则
x
1
?x
2
??
b
;
2a
2< br>③若
??b
2
?4ac?0
，它在实数集
R
内没有实 数根；在复数集
C
内有且
?b??(b
2
?4ac)i
2< br>仅有两个共轭复数根
x?(b?4ac?0)
.
2a