高中数学公式及知识点总结大全(精华版).

高中文科数学公式及知识点速记
一、函数、导数
1、函数的单调性
(1设 2121],, [x x b a x x <∈、 那么
], [ (0 ( (21b a x f x f x f 在 ?<-上是增函数; ], [ (0 ( (21b a x f x f x f 在 ?>-上是减函数 .
(2设函数 (x f y =在某个区间内可导,若 0 (>'x f ,则 (x f 为增函数;若 0 (<'x f ,则 (x f 为减
函数 .
2、函数的奇偶性
对于定义域内任意的 x ,都有 ( (x f x f =-,则 (x f 是偶函数; 对于定义域内任意的 x ,都有 ( (x f x f -
=-,则 (x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。 3、函数 (x f y =在
点 0x 处的导数的几何意义
函数 (x f y =在点 0x 处的导数是曲线 (x f y =在 (, (00x f x P 处的切线的斜率 (0x f ',相应的切线方
程是 ((000x x x f y y -'=-.
*二次函数: (1顶点坐标为 24(, 24b ac b a a --; (2焦点的坐标为 241(, 24b ac b a a
-+- 4、几种常见函数的导数
① '
C 0=;② 1' (-=n n nx x ③ x x cos (sin' =;④ x x sin (cos' -=;
⑤ a a a x x ln (' =;⑥ x
x e e =' (; ⑦ a x x a ln 1 (log'
=

;⑧ x
x 1 (ln'
= 5、导数的运算法则
(1 '
'
'
( u v u v ±=±. (2 '
'
'
( uv u v uv =+. (3 ' '
' 2
( (0 u u v uv v v v -=
≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值
7、求函数 (y f x =的极值的方法是:解方程 (0f x '=.当 (00f x '=时: (1 如果在 0x 附近的左侧 (0f x
'>,右侧 (0f x '<,那么 (0f x 是极大值; (2 如果在 0x 附近的左侧 (0f x '<,右侧 (0f x '>,那么 (0f x 是极小值.
指数函数、对数函数
分数指数幂
(1m n
a =0, , a m n N *>∈,且 1n > .
(21m n
m n

a
a
-
=
=
0, , a m n N *
>∈,且 1n > .
根式的性质
(1当 n
a =; 当 n
, 0
||, 0
a a a a a ≥?==?-有理指数幂的运算性质

10页
(1 r s
a a ?=
(2 ( r s rs
a a
=
(3( r r
ab a b
=
注:若 a >0,
指数幂都适用 .

. (0, 1, 0
a a N
>≠>.
. 1
a ≠, 0
m >, 且 1
m ≠, 0
N >.
对数恒等式:.
推论 log m n
a
b .
常见的函数图象
8
22
sin cos
θθ
+
9
α

π±
k α看成锐角时该函数的符号;
α
π
π±
+
2
k α看成锐角时该函数的符号。
1sin 2k πα
+=((
2tan
k k
παα
+=∈Z.
((
2sin πα
+=-(tan
παα
+=.
((
((

3sin sin
α
-=-tan α
=-.
((
4sin πα
-=tan
παα
-=-.
(5sin
2
π
α
??
-=
?
??
cos
2
π

αα
??
+=
?
??
, cos sin 2
π
αα??
+=- ?
??
.
10
sin(
αβ
±=
cos(
αβ
±=
第 3页(共 10页
tan tan tan( 1tan tan αβ

αβαβ
±±=
.
11、二倍角公式
sin 2sin cos ααα=.
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.
2
2tan tan 21tan α
αα
=-. 公式变形:
2
2cos 1sin , 2cos 1sin 2;
2
2cos 1cos , 2cos 1cos 22222α
αααα
ααα-=-=+=+=
12、 函数 sin( y x ω?=+的图象变换
①的图象上所有点向左 (右 平移 个单位长度, 得到函数 (sin y x ?=+的图象; 再将函数 (sin y x
?=+的图象上所有点的横坐标伸长(缩短到原来的
1

ω
倍(纵坐标不变 ,得到函数 (sin y x ω?=+的图象;
再将函数 (sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短到原来的 A倍(横坐标不变 ,得到函数
(sin y x ω?=A+的图象.
②数 sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长(缩短到原来的
1
ω
倍(纵坐标不变 ,得到函数
sin y x ω=的图象;再将函数 sin y x ω=的图象上所有点向左(右平移
?
ω
个单位长度,得到函数 (sin y x ω?=+的图象;再将函数 (sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长
(缩短到原来的 A倍
(横坐标不变 ,得到函数 (sin y x ω?=A+的图象.

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14、辅助角公式
sin(cos sin 22?++=+=x b a x b x a y 其中 a

b
=
?tan 15. 正弦定理 :
2sin sin sin a b c
R A B C
===(R 为 ABC ?外接圆的半径 . 2sin , 2sin , 2sin a R A b R B c R C ?===::sin :sin :sin a b c A B C
?=
16. 余弦定理
2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.
17. 面积定理
(1 111
222a b c S ah bh ch =
==(a b c h h h 、 、 分别表示 a 、 b 、 c 边上的高 . (2 111
sin sin sin 222
S ab C bc A ca B ===.
18、三角形内角和定理
在△ ABC 中,有 ( A B C C A B ππ++=?=-+
222
C A B π+?
=-222( C A B π?=-+. 19、 与 的数量积 (或内积

θcos ||||?=?
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20、平面向量的坐标运算
(1设 A 11(, x y , B 22(, x y , 则 2121(, AB OB OA x x y y =-=--
.
(2设 =11(, x y , =22(, x y ,则 ?=2121y y x x +. (3设 = , (y x ,则 22y x a +=
21、两向量的夹角公式
设 a =11(, x y , b =22(, x y ,且 0≠b ,则

cos ||||
a b
a b θ?==
? (a
=11(, x y , b =22(, x y .
22、向量的平行与垂直
设 a
=11(, x y , b =22(, x y ,且 b ≠0
?λ= 12210x y x y ?-=.
0(≠⊥a b a ?0=?12120x x y y ?+=.
*平面向量的坐标运算

(1设 a =11(, x y , b =22(, x y ,则 a +b
=1212(, x x y y ++.
(2设 a =11(, x y , b =22(, x y ,则 a -b
=1212(, x x y y --.
(3设 A 11(, x y , B 22(, x y , 则 2121(, AB OB OA x x y y =-=--
.
(4设 a =(, , x y R λ∈,则 λa
=(, x y λλ.
(5设 a =11(, x y , b =22(, x y ,则 a ·b
=1212x x y y +. 三、数列
23、数列的通项公式与前 n 项的和的关系
11
,
1, 2n n n s n a s s n -=?=?
-≥?( 数列 {}n a 的前 n 项的和为 12n n s a a a =+++ . 24、等差数列的通项公式
*11(1 ( n a a n d dn a d n N =+-=+-∈;
25、等差数列其前 n 项和公式为
1( 2n n n a a s +=
1(1 2n n na d -=+211
( 22

d n a d n =+-. 26、等比数列的通项公式
1*11( n n
n a a a q q n N q
-==
?∈; 27、等比数列前 n 项的和公式为
11(1 , 11, 1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=? 或 11
, 11, 1n n a a q
q q s na q -?≠?
-=??=?.
四、不等式
28、 xy y
x ≥+2
。 必须满足一正 (y x , 都是正数 、 二定 (xy 是定值或者 y x +是定值 、 三相等 (y x =
时等号成立才可以使用该不等式
(1若积 xy 是定值 p ,则当 y x =时和 y x +有最小值 p 2; (2若和 y x +是定值 s ,则当 y x =时积 xy
有最大值
24
1s . 五、解析几何
29、直线的五种方程
(1点斜式 11( y y k x x -=- (直线 l 过点 111(, P x y ,且斜率为 k . (2斜截式 y kx b =+(b为直线 l 在
y 轴上的截距 .

(3两点式
11
2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠(111(, P x y 、 222(, P x y (12x x ≠.
(4截距式 1x y
a b
+=(a b 、 分别为直线的横、纵截距, 0a b ≠、
(5一般式 0Ax By C ++=(其中 A 、 B 不同时为 0.
30、两条直线的平行和垂直
若 111:l y k x b =+, 222:l y k x b =+
① 121212||, l l k k b b ?=≠;
② 12121l l k k ⊥?=-. 31、平面两点间的距离公式
, A B
d =A 11(, x y , B 22(, x y .

32、点到直线的距离
d =
(点 00(, P x y , 直线 l :0Ax By C ++=.
33、 圆的三种方程

(1圆的标准方程 2

2
2
( ( x a y b r -+-=.
(2圆的一般方程 22
0x y Dx Ey F ++++=(2
2
4D E F +->0.
(3圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ
θ
=+??
=+?.
* 点与圆的位置关系:点 00(, P x y 与圆 2
2
2
( (r b y a x =-+-的位置关系有三种
若 d =
d r >?点 P 在圆外 d r =?点 P 在圆上 d r
34、直线与圆的位置关系
直线 0=++C By Ax 与圆 2

22 ( (r b y a x =-+-的位置关系有三种 :
0相离 r d 0=???=相切 r d
0>???<相交 r d . 弦长 =222d r -
其中 22B
A C
Bb Aa d +++=.
35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
椭圆:22221(0 x y a b a b +=>>, 2
22b c a =-,
离心率 c e a ==, 参数方程是 cos sin x a y b θθ
=??=?.

双曲线:12222=-b
y a x (a>0,b>0, 2
22b a c =-,离心率 1>=a c e ,渐近线方程是 x a b y ±=.
抛物线:px y 22=,焦点 0, 2
(
p
, 准线 2p x -=。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离 .
36、双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1若双曲线方程为 12222=-b
y a x ?渐近线方程:22220x y a b -=?x a b
y ±=.
(2若渐近线方程为 x a b
y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为 λ=-2222b
y a x .
(3若双曲线与 12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为 λ=-22
22b
y a x (0>λ,焦点在 x 轴上, 0<λ,
焦点在 y 轴上 .
37、抛物线 px y 22=的焦半径公式
抛物线 22(0 y px p =>焦半径 2
||0p
x PF +
=. (抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离 。 38、过抛物线焦点的弦长 p x x p
x p x AB ++=+++=21212
2.
六、立体几何
39. 证明直线与直线的平行的思考途径 (1转化为判定共面二直线无交点; (2转化为二直线同与
第三条直线平行; (3转化为线面平行; (4转化为线面垂直; (5转化为面面平行 . 40.证明直线与平面的

平行的思考途径 (1转化为直线与平面无公共点; (2转化为线线平行; (3转化为面面平行 . 41. 证明平
面与平面平行的思考途径 (1转化为判定二平面无公共点; (2转化为线面平行; (3转化为线面垂直 .
42.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1转化为相交垂直; (2转化为线面垂直; (3转化为线与另
一线的射影垂直; (4转化为线与形成射影的斜线垂直 . 43.证明直线与平面垂直的思考途径 (1转化为
该直线与平面内任一直线垂直; (2转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3转化为该直线与平面的
一条垂线平行; (4转化为该直线垂直于另一个平行平面。 44.证明平面与平面的垂直的思考途径
(1转化为判断二面角是直二面角; (2转化为线面垂直; 45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面
积、体积计算公式 圆柱侧面积 =rl π2,表面积 =222r rl
ππ+
圆椎侧面积 =rl π,表面积 =2
r rl ππ+
1
3V Sh =柱体 (S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高 .
1
3
V Sh =锥体 (S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高 .
球的半径是 R ,则其体积 343
V R π=, 其表面积 2
4S R π=.
46、若点 A 111(, , x y z ,点 B 222(, , x y z ,则 , A B d
=||AB =

=47、点到平面距离的计算(定义法、等体积法
48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质:侧棱平行且相等,与底面垂直。
正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
七、概率统计
49、平均数、方差、标准差的计算
平均数 :n
x x x x n ++=
21 方差 :] ( ( [(12
22212x x x x x x n s n -+-+-=
标准差 :] ( ( [(1
22221x x x x x x n
s n -+-+-=
50、回归直线方程 (了解即可
y a bx =+,其中 (((1122211n n
i i i i i i n n
i i
i i x y x y nx y b x x a ====?
---?
?==?--??
=-?∑∑∑∑. 经过(,

点。
51、独立性检验
(((( (22
d b c a d c b a bd ac n K ++++-=(了解即可
52、古典概型的计算(必须要用列举法 ... 、列表法 ... 、树状图 ... 的方法把所有基本事件表示出
来,不重复、不遗 漏
八、复数
53、复数的除法运算
2
2 ( ( (( ((d
c i
ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a +-++=-+-+=++. 54、复数 z a bi =+的模 ||z =||a bi +

55、复数的相等:, a bi c di a c b d +=+?==. (, , , a b c d R ∈ 56、复数 z a bi =+的模(或绝对值 ||z
=||a bi +

57、复数的四则运算法则
(1( ( ( ( a bi c di a c b d i +++=+++; (2( ( ( ( a bi c di a c b d i +-+=-+-; (3(( ( ( a bi c di ac bd bc ad i
++=-++; (42222
( ( (0 ac bd bc ad
a bi c di i c di c d c d

+-+÷+=
++≠++. 58、复数的乘法的运算律
对于任何 123, , z z z C ∈,有
交换律 :1221z z z z ?=?.
结合律 :123123( ( z z z z z z ??=??. 分配律 :1231213( z z z z z z z ?+=?+? .
九、参数方程、极坐标化成直角坐标
55、 ???==y x θρθρsin cos ??
???≠=+=
0(tan 2
22x x y
y x θρ 十、命题、充要条件
充要条件(记 p 表示条件, q 表示结论
原 命 题 若 p 则 q 否 命 题 若 ┐p 则 ┐q
逆 命 题 若 q 则 p
逆 否 命 题 若 ┐q 则 ┐p
互 逆 否 互
逆 否 否
互 (1充分条件:若 p q ?,则 p 是 q 充分条件 .
(2必要条件:若 q p ?,则 p 是 q 必要条件 .
(3充要条件:若 p q ?,且 q p ?,则 p 是 q 充要条件 .

注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然 .
56. 真值表

十一、直线与平面的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系 三个公理:

(1公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 (2公理 2:过不在一条
直线上的三点,有且只有一个平面。
(3公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 空
间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系:
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平
行。
3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点:
① a'与 b' 所成的角的大小只由 a 、 b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为简便,点 O 一般取在
两直 线中的一条上;
② 两条异面直线所成的角 θ∈
③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a ⊥ b ④ 两条
直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 空间中直线与平面、
平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系:

(1直线在平面内 —— 有无数个公共点
(2直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3直线在平面平行 —— 没有公共点
直线、平面平行的判定及其性质
共面直线
(0,2π
直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定 定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面
平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
2、判断两平面平行的方法有三种: (1用定义; (2判定定理;
(3垂直于同一条直线的两个平面平行。 直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。
2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 直线、平面垂直的判定
及其性质 直线与平面垂直的判定
1、定义 :如果直线 L 与平面 α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面 α互相垂直,记
作 L ⊥ α, 直线 L 叫做平面 α的垂线,平面 α叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时 , 它们唯一
公共点 P 叫做垂 足。
2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 平面与
平面垂直的判定

1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭
β
B
2α-l-β或 α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。

1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。



直线与
平面、平面与平面垂直的性质