高中数学公式大全(理数) - 精华版

高中理科数学公式汇总

1集合
nnn
1. 集合
{a
1
,a
2
,L,a
n
}
的子集个数共有2
个；真子集有
2
–1个；非空子集有
2
-1
个；非空的真子集有
2
–2个.
2.充要条件
例：x＞5是x＞3的必要不充分条件
n
2函数
3.反函数
y=x-1反函数x=y-1（把x，y互换位置标明定义域和值域）
4.常混淆的函数方程
(1)指数函数
f(x)?a

(2)对数函数
f(x)?log
a
x
（log2 6=log2 2+log2 3=1+log2 3）
(3)幂函数
f(x)?x

2
2
5.设函数
f(x)?log
m
(ax?bx?c)( a?0)
,记
??b?4ac
.若
f(x)
的定义域为
R< br>,
x
?
则
a?0
，且
??0
;若
f (x)
的值域为
R
,则
a?0
，且
??0
.对于< br>a?0
的情形,需
要单独检验.
6. 对数换底不等式及其推广 （基本没怎么用）
推论:设
n?m?1
，
p?0
，
a?0
，且
a?1
，则
（1）
log
m?p
(n?p)?log
m
n
.
（2）
log
a
mlog
a
n?log
a
2
m?n
.
2
3数列
7.等比数列前n项的和公式为 等差数列前n项和像梯形面积公式=（a1+an）2
?
a
1
(1?qn
)
,q?1
?
s
n
?
?
1?q
?
na,q?1
?
1
4三角函数
8.二倍角公式 （这个容易忘较少考）
tan2
?
?
tan< br>?
?tan
?
2tan
?
tan(
?
??
)?
.
1mtan
?
tan
?
1?tan
2
?
9.正弦定理
abc
???2R
.（2R指的是该三角形外接圆的直径）
sinAsinBsinC
余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA

面积定理
111
absinC?bcsinA?casinB

2 22
uuuruuur
2
uuuruuur
2
1
S
?OAB
?(|OA|?|OB|)?(OA?OB)

2
S?

5向量
10.平面向量基本定理
如果e
1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有
不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
a
·b=|
a
||b|cosθ．
11.平面向量的坐标运算
例： （1）设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)

则a+b=
( x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
< br>则a·b=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)

则a||b
?
b=λa
?x
1
y< br>2
?x
2
y
1
?0
.
a
?
b(a
?
0)
?
a
·b=0
?x
1
x< br>2
?y
1
y
2
?0
.
12.线段的定比分公式
uuuruuur
设
P
1
P
2
的分点,
?
是实数，且
PP
1
(x
1< br>,y
1
)P
2
(x
2
,y
2
)，
P(x,y)
是线段
P
1
?
?
PP
2
，则
x
1
?
?
x
2
?
uuu ruuur
x?
uuur
?
OP
?
1?
?
1
?
?
OP
2
OP?
（记）
?
?< br>1?
?
y?
?
y
2
?
y?
1
?
1?
?
?
uuuruuuruuur
1

?
OP?tOP
（）.
t?
?(1?t)OP
12
1?
?
13. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为
?ABC
所在平面上一 点，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
，则
uuur
2
uuur
2
uuur
2
（1）
O
为
? ABC
的外心
?OA?OB?OC
.三边的垂直平分线相交的点
uuuru uuruuurr
（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB ?OC?0
.三条中线相交的点
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
（3）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC?OC?O A
.三条高相交的点
uuuruuuruuurr
（4）
O
为?ABC
的内心
?aOA?bOB?cOC?0
.三角形三条内角平分线的交点
uuuruuuruuur
（5）
O
为
?ABC
的
?A
的旁心
?aOA?bOB?cOC
.一边及其他两边的延长线都
相切的圆 的圆心一个三角形有三个旁心

6. 不等式
14.常用不等式：
（1）
a,b?R
?
a?b?2ab
(当且仅当a＝b时取“=”号 )．
（3）
a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0).

（4）
(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R.

（5）
a?b?a?b?a?b
.

22222
333
22
07. 直线和圆的方程
15.夹角公式 （不常用可不记）
k
2
?k
1
|

1?k
2
k
1
(
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
??1
)
AB?A
2
B1
(2)
tan
?
?|
12
|
.
A
1
A
2
?B
1
B
2
(1)
tan
?
?|

16.点到直线的距离
d?
| Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22

08. 圆锥曲线方程

17. 双曲线的切线方程
xxyy
x
2
y
2
(1)双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1

ab
ab
x
2
y
2
（2）过双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
外一点
P(x
0< br>,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程
ab
x
0xy
0
y
?
2
?1

a
2
b
x
2
y
2
（3）双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
ab
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2

18. 抛物线的切线方程
2
（ 1）抛物线
y?2px
上一点
P(x
0
,y
0
)< br>处的切线方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
.
2
（2）过抛物线
y?2px
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
y
0
y?p (x?x
0
)
.
（3）抛物线
y?2px(p?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
pB?2AC
.
19.曲线方程通用公式
对于一般的二次曲线
Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey ?F?0
，用
x
0
x
代
x
，用
y
0
y
代
22
2
22
x?xy?y
x
0< br>y?xy
0
代
xy
，用
0
代
x
，用
0
代
y
即得方程
22
2
xy?xy
0< br>x?xy?y
Ax
0
x?B?
0
?Cy
0
y ?D?
0
?E?
0
?F?0
，曲线的切线，切点
222y
2
，用
弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.

20.夹角公式
设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
，b＝
(b
1
,b
2
, b
3
)
，则
cos〈
a
，b〉=
a
1< br>b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a?a?a
2
1
2
2
2
2
3
b ?b?b
2
1
2
2
2
3
.
222222
推论
(a
1
b
1
?a
2< br>b
2
?a
3
b
3
)?(a
1
?a< br>2
?a
3
)(b
1
?b
2
?b
3< br>)
，此即三维柯西不等式.
21. 四面体的对棱所成的角
四面体
ABCD
中,
AC
与
BD
所成的角为
?
,则
|(AB
2
?CD
2
)?(BC
2
?DA
2
)|
c os
?
?

2AC?BD
22.异面直线间的距离
uu uruur
r
|CD?n|
r
d?
(
l
1
,l
2
是两异面直线，其公垂向量为
n
).
|n|

23.组合数公式
C
m
n
=
A
n
m
n(n?1)?(n?m?1)
n！
*
n
==(∈N，
m?N
，且
m?n
).
m
m！?(n?m)！
1?2???m
A
m

24.组合数的两个性质
n?m
(1)
C
n
=
C
n

m?1m
(2)
C
n
+
C
n
=
C
n?1
.
m
m
25.组合恒等式
n?m?1
m?1
C
n
;
m
n
mmC
n
（2）
C
n
?
?1
;
n?m< br>n
m?1m
（3）
C
n
?C
n?1
;
m
rrrrr?1
（4）
C
r
?C
r?1
?C
r?2
???C
n
?C
n?1

（1）
C
n
?
m
012rnn
(5)
C
n
?C
n
?C
n
???C
n
???C
n
?2.
26.二项展开式的通项公式
rn?rr
1，2?，n)
.
T
r?1
?C
n
ab
(r?0，
9. 概率与统计
27.数学期望的性质
（1）
E(a
?
?b)?aE(
?
)?b
. （2）若
?
～
B(n,p)
,则
E
?
?np< br>.
(3)

若
?
服从几何分布,且
P(
?
?k)?g(k,p)?q
28.方差
k?1
p
，则
E
?
?
2
1
.

p
D
?
?
?
x
1
?E
?
?
?p
1
?
?
x
2
?E
?
?
?p
2
?L?
?
x
n
?E
?
?
?p
n
?L

29.方差的性质
(1)
D
?
a
?
?b
?
?aD
?
；
2
22
(2）若
?
～B(n,p)
，则
D
?
?np(1?p)
.
30.方差与期望的关系
D（X）=E（x^2）+E（X）^2

10. 导 数
31.几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
（C为常数）.
(n?Q)
.
(3)
(sinx)
?
?cosx
.
(4)
(cosx)
?
??sinx
.
11
e
x
(5)
(lnx)
?
?< br>；
(loga)
?
?log
a
.
xx
xx
xx
(6)
(e)
?
?e
;
(a)
?
?alna
.


(2)
(x
n
)?nx
'n?1

11. 复 数
32.复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d
.
33.复数
z?a?bi
的模（或绝对值）
|z|
=
|a ?bi|
=
a
2
?b
2
.
34.复平面上的两点间的距离公式
d?|z
1
?z
2
|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y1
)
2
（
z
1
?x
1
?y
1
i
，
z
2
?x
2
?y
2
i
）.