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高中数学公式总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 13:36
tags:高中数学公式

高中数学书版本-高中数学算法的概念的教案


高中数学公式总结
一、 函数
1、 若集合A中有n
(n?N)
个元素,则集合A的所有不同的子集个数为
2
n
,所有非 空
真子集的个数是
2
n
?2

二次函数
y?ax ?bx?c
的图象的对称轴方程是
x??
2
b
,顶点坐标是
2a
?
b4ac?b
2
?
?
解析式的设法有三种形
?
?
2a

4a
?
?
。用待定系数法求二次函数的 解析式时,
??
)
式,即
f(x)?ax?bx?c(一般式)
,< br>f(x)?a(x?x
1
)?(x?x
2
(零点式)

f(x)?a(x?m)
2
?n
(顶点式)。
2
二、 三角函数
1、 以角
?
的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴建立直角坐标系,在角
?
的终边上任
取一个异于原点的点
P(x,y)
,点P到原点的距离 记为
r
,则sin
?
=
x
y
,cos
?< br>=,
r
r
tg
?
=
xr
r
y
,ctg
?
=,sec
?
=,csc
?
=。
yy
x
x
2、 同角三角函数的关系中,
平方关系是:
s in
2
?
?cos
2
?
?1

1?tg< br>2
?
?sec
2
?

1?ctg
2
?
?csc
2
?

倒数关系是:
tg
?
?ctg
?
?1

sin
?
?csc
?
? 1

cos
?
?sec
?
?1

相除关 系是:
tg
?
?
sin
?
cos
?
ctg
?
?

cos
?
sin
?
3 、诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变,符号看象限。
(其中A?0,
?
?0)
4、 函数
y?Asin(
?x?
?
)?B
的最大值是
A?B
,最小值是
B?A,周期是
T?
2
?
?
,频率是
f?
?
,相位是
?
x?
?
,初相是
?
;其图象的
2
?
对称轴是直线
?
x?
?
?k
?
?
?< br>2
(k?Z)
,凡是该图象与直线
y?B
的交点都是该


图象的对称中心。
5、 三角函数的单调区间:
2k
?
?
?
(k?Z)
,递减区间是
y?s inx
的递增区间是
?
2k
?
?,
22
??
?
??
?
?
3
?
??
2k
?
? ,2k
?
?
2k
?
?
(k?Z)
,递
(k ?Z)

y?cosx
的递增区间是
?
2k
?
?< br>?

??
22
??
2k
?
?
??
(k?Z)

y?tgx
的递增区间是
?
k
?
?
减区间是
?
2k
?

6、和角、差角公式:< br>sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
??cos
?
sin
?


cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?< br>?sin
?
sin
?

?
?
?
2< br>,k
?
?
?
?
?
(k?Z)

2< br>?
tg(
?
?
?
)?
tg
?
?tg
?

1?tg
?
?tg
?
7、二倍角公式是:si n2
?
=
2sin
?
?cos
?

cos 2
?
=
cos
?
?sin
?
=
2cos< br>?
?1
=
1?2sin
?

tg2
?
=
2222
2tg
?

21?tg
?
8、半角公式是:sin
1?cos
?
1?cos< br>?
??
=
?
cos=
?

22
22
tg
1?cos
?
1?cos
?
sin
?
?
=
?
==。
1?cos
?
sin
?
1?cos
?
2
2
9、升幂公式是:
1?cos
?
?2cos
?
22
1?cos2
?
1?cos2
?
22
10、降幂公式是:
sin
?
?

cos
?
?

22
11.特殊角的三角函数值:


1?cos
?
?2sin
2
?

?

sin
?

0
?

6
1

2
?

4
2

2
?

3
3

2
?

2
1
?

0
3
?

2
0
?1


cos
?

1
3

2
3

3
3

2

2
1
1

2
3

0
?1

0
tg
?

0 不存在 0 不存在
ctg
?


不存在 1
3

3
0 不存在 0
13、正 弦定理(其中R为三角形的外接圆半径):
2
22
abc
???2R

sinAsinBsinC
14、余弦定理:第一形式,
b
=
a?c ?2accosB

a
2
?c
2
?b
2
第二形式,cosB=
2ac
15、△ABC的面积用S表示,外接圆半径用R表示,内切圆 半径用r表示,半周长用
p表示则:
11
a?h
a
??
;②
S?bcsinA??

22
abc
2

S?2RsinAsinBsinC
;④< br>S?

4R

S?

S?p(p?a)(p?b) (p?c)
;⑥
S?pr

16、△ABC 中:
sin(A+B)=sinC,cos(A+B) ?-cosC,tg(A+B) ?-tgC


sin
A?BCA?BCA?BC
?cos

cos?sin

tg?ctg

222222

tgA?tgB?tgC?tgA?tgB?tgC

三、 不等式
1、两个正数的均值不等式是:
a?b
?ab

2
2、两个 正数
a、b
的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是
a?ba
2
?b
2

?ab??
11
22
?
ab
2
3. 双向绝对值不等式:
a?b?a?b?a?b

左边:
ab?0(?0)时取得等号。右边:
ab?0(?0)
时取得等号。


四、 数列
1、等差数列的通项公式是
a
n
?a< br>1
?(n?1)d
,前n项和公式是:
S
n
?
=na
1
?
n(a
1
?a
n
)

2
1
n(n?1)d

2
?
na
1(q?1)
?
n
n?1
2、等比数列的通项公式是
a
n
?a
1
q
,前n项和公式是:
S
n
?
?< br>a
1
(1?q)

(q?1)
?
?
1?q< br>3、当等比数列
?
a
n
?
的公比q满足
q
< 1时,
limS
n
=S=
n??
a
1
。一般地,如 果无穷数列
1?q
?
a
n
?
的前n项和的极限
li mS
n
存在,就把这个极限称为这个数列的各项和(或所有项
n??
的和), 用S表示,即S=
limS
n

n??
4、若m、n、p、q∈N ,且
m?n?p?q
,那么:当数列
?
a
n
?
是等 差数列时,有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q< br>;当数列
?
a
n
?
是等比数列时,有
a
m< br>?a
n
?a
p
?a
q

五、 排列组合、二项式定理
1、 加法原理、乘法原理:加法分类,类类独立;乘法分步,步步相关。 < br>2、排列数公式:
P
n
=
n(n?1)?(n?m?1)
=< br>mm
?C
n
排列数与组合数的关系:
P
n
?m!

m
n!

(n?m)!
组合数公式:
C
n
=
m
mn!
n(n?1)?(n?m?1)
=;
m!?(n?m)!
1?2???m
n?m
m
m?1m

C
n
+
C
n
=
C
n?1
, 组合数性质:
C
n
=
C
n
?
C
r?0n
r
n
rrrrr?1
n
=
2
, < br>C
r
?C
r?1
?C
r?2
???C
n?C
n?1

n0n1n?12n?22rn?rrnn
3.二项式定理:
(a?b)?C
n
a?C
n
ab?C
n
ab???C
n
ab?? ?C
n
b

rn?rr
1,2?,n)
二项展开式的通项 公式:
T
r?1
?C
n
ab
(r?0,
六、 解析几何


1、 同一坐标轴上两点距离公式:
AB?x
B
?x
A

2、 数轴上两点间距离公式:
AB?x
B
?x
A

3、 直角坐标平面内的两点间距离公式:
P
1
P
2
?
4、 若点 P分有向线段
P
1
P
2
成定比λ,则λ=
(x
1< br>?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)2

P
1
P

PP
2
5、 若点
P
1
P
2
成定比λ,则:
1
(x1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2),P(x,y)
,点P分有向线段
P
λ=
x?x
1
y ?y
1
x?
?
x
2
y?
?
y
2< br>=;
x
=
1

y
=
1

x
2
?xy
2
?y
1?
?
1?
?

A(x
1
,y
1
),B(x
2
, y
2
),C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心G 的坐标是
?
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
?

??

3 3
??
6、求直线斜率的定义式为k=
tg
?
,两点式为k=
y
2
?y
1

x
2
?x
1
7 、直线方程的几种形式:点斜式:
y?y
0
?k(x?x
0
)
, 斜截式:
y?kx?b

两点式:
y?y
1
x?x
1
xy
?
, 截距式:
??1
,一般式:
Ax?By?C?0

y
2?y
1
x
2
?x
1
ab
经过两条直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0和l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2< br>?0
的交点的直
线系方程是:
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
(A
2
x?B
2
y?C2
)?0

8、 直线
l
1
:y?k
1
x?b
1
,l
2
:y?k
2
x?b
2
, 则从直线
l
1
到直线
l
2
的角θ满足:
tg
?
?
k
2
?k
1
k?k
1
;直线
l
1

l
2
的夹角θ满足:
tg
?
?< br>2

1?k
1
k
2
1?k
1
k
2
9、 点
P(x
0
,y
0
)
到直线
l:Ax?By?C? 0
的距离:
d?
Ax
0
?By
0
?C
A? B
22

10、两平行直线
l
1
:Ax?By?C
1
?0,l
2
:Ax?By?C
2
?0
距离
d?< br>11、圆的标准方程:
(x?a)?(y?b)?r

222
C
1
?C
2
A?B
22


圆的一般方程:
x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F?0)

2222
其中,半径是
r?
D
2
?E
2
? 4F
E
??
D
?
?
,圆心坐标是
?
?,
2
2
??
2
?
x?a?rcos
?
圆心在 点
C(a,b)
,半径为
r
的圆的参数方程是:
?

(
?
是参数)

y?b?rsin
?
?
12、若
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2)
,则以线段AB为直径的圆的方程是
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0

经过两个圆:
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0

x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0< br>
的交点的圆系方程是
x?y?D
1
x?E
1
y? F
1
?
?
(x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0

经过直线
l:Ax?By?C?0
与圆
x?y?Dx?Ey?F?0
的交点的圆系方程
是:
x?y?Dx?Ey?F ?
?
(Ax?By?C)?0

2222
13、圆
x?y? r的以P(x
0
,y
0
)
为切点的切线方程是:
x
0
x?y
0
y?r

22
一般地,曲线
Ax?Cy ?Dx?Ey?F?0的以点P(x
0
,y
0
)
为切点的切线方程是 :
2222
2222
22
22
Ax
0
x?Cy0
y?D?
x?x
0
y?y
0
?E??F?0

22
14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种:
①代数法(判别式法):Δ>0,=0,<0,等价于直线与圆相交、相切、相离;
②几何法 (圆心到直线的距离与半径的大小关系):距离大于半径、等于半径、小
于半径,等价于直线与圆相离、 相切、相交。
x?2py,x??2py。
15、抛物线标准方程的四种形式是:
y ?2px,y??2px,

16、抛物线
y?2px
的焦点坐标是:
?
2
2
2222
p
?
p
?
,0
?
,准线方程是:
x??

2
?
2
?

P(x
0
,y
0
)
是抛物线
y?2px
上一点,则点P到抛物线的焦点的距离(称为焦
半径):
x
0
?
p< br>,过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦(通径)的长:
2p

2x
2
y
2
y
2
x
2
17、椭圆标准方 程的两种形式是:
2
?
2
?1

2
?
2< br>?1
(a?b?0)

abab


x
2
y
2
a
2
18、椭圆
2
?
2
?1
(a?b?0)
的焦点坐标是
(?c,
,离心
0)
,准线方程是< br>x??
c
ab
2b
2
c
222
率是
e?
,通径的长是。其中
c?a?b

a
a
x
2
y
2
19、若点
P(x
0
,y
0
)
是椭圆
2
?
2
?1
(a?b?0)
上一点,
F< br>1
、F
2
是其左、右焦点,
ab
则点P的焦半径的长是
PF
1
?a?ex
0

PF
2
?a?ex
0

x
2
y
2
y
2
x
220、双曲线标准方程的两种形式是:
2
?
2
?1

2
?
2
?1
(a?0,b?0)

abab
x2
y
2
a
2
c
21、双曲线
2
?2
?1
的焦点坐标是
(?c,
准线方程是
x??
,离心 率是
e?

0)

c
a
ab
x
2
y
2
2b
2
222
通径的长是,渐近线方程是
2< br>?
2
?0
。其中
c?a?b

a
abx
2
y
2
x
2
y
2
22、与双曲线< br>2
?
2
?1
共渐近线的双曲线系方程是
2
?
2
?
?
(
?
?0)
。与双曲
ab
abx
2
y
2
x
2
y
2
?
2?1
。 线
2
?
2
?1
共焦点的双曲线系方程是
2
a?kb?k
ab
23、若直线
y?kx?b
与圆锥曲线交于两 点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
) ,则弦长为
AB?(1?k
2
)(x
1
?x
2
)
2

若直线
x?my?t
与圆锥曲线交于两点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则弦长 为
AB?(1?m
2
)(y
1
?y
2
)
2

24、圆锥曲线的焦参数p的几何意义是焦点到准线的距离,对于椭圆和 双曲线都有:
b
2
p?

c
25、平移坐标轴,使新坐标 系的原点
O
?
在原坐标系下的坐标是(h,k),若点P在原
坐标系下的坐标 是
(x,y),
在新坐标系下的坐标是
(x
?
,y
?
)
,则
x
?
=
x?h

y
?
=
y?k

七、 立体几何


一、有关平行的证明
⑴公理4 ⑵ ⑶ ⑷
l
1
∥l
2
l
1
∥α α∥β
l
1
?
?

1、

?
l
1
∥l
3

l
1
?
?

?
l
1
∥l
2

?
?
?
?l
1

?
l
1
∥l
2

?
l
1
∥l
2

线∥线
l
2
∥l
3
α∩β=l
2

?
?
?
?l
2

l
2
?
?


线∥线
?
线∥线 线∥面
?
线∥线 面∥面
?
线∥线 同垂直于一个平面
?
线∥线
⑴ ⑵

a?
?
α∥β
2、

b?
?

?
a∥α
?
a∥β
线∥面
a∥b
a?
?

线∥线
?
线∥面 面∥面
?
线∥面
⑴ ⑵

a?
?

3、
面∥面

b?
?

a?
?


a?b?A

?
α∥β
?
α∥β
a∥α
a?
?

b∥β
线∥面
?
面∥面 同垂直于一直线
?
面∥面

二、有关垂直的证明
⑴ ⑵

a?
?
三垂线定理 ⊥射影
?
⊥斜线
1、

?
a?b
平面内直线
线⊥线

b?
?
逆定理 ⊥斜线
?
⊥射影
(线⊥面
?
线⊥线) (线⊥线
?
线⊥线)
⑴ ⑵ ⑶ ⑷

a?
?

?
?
?


b?
?
a∥b α∥β
a?
?

2、

a?b?A

?
l?
?

?
b?
?

?
l?
?

?
a?
?

线⊥面

l?a

a?
?

l?
?

?
?
?
?l


l?b

a?l

(线⊥线
?
线⊥面)

a?
?

3、
面⊥面

?
?
?
?



a?
?

(线⊥面
?
面⊥面)

1、求二面角的射影公式是
cos
?
?
S
?
,其中各个符 号的含义是:
S
是二面角的一个面
S
内图形F的面积,
S
?
是图形F在二面角的另一个面内的射影,
?
是二面角的大小。
2、若直线< br>l
在平面
?
内的射影是直线
l
?
,直线m是平面?
内经过
l
的斜足的一条直线,
l

l
?所成的角为
?
1

l
?
与m所成的角为
?2
,
l
与m所成的角为θ,则这三个角之
间的关系是
cos< br>?
?cos
?
1
?cos
?
2

3、体积公式:
直棱柱:
V?S?h
, 锥体:
V?
14
S?h
, 球体:
V?
?
r
3

33
1

c?h
?

2
3、 侧面积:直棱柱侧面积:
S?c?h< br>,;正棱锥侧面积:
S?
2
球的表面积:
S?4
?
r

5、几个基本公式:
弧长公式:
l?
?
?r< br>(
?
是圆心角的弧度数,
?
>0);扇形面积公式:
S?1

l?r

2
十一、比例的几个性质
1、比例基本 性质:
a
b
ac
更比定理:
?
bd
ac
分 比定理:
?
bd
ac
合比定理:
?
bd
?
cacbd
?ad?bc
;反比定理:
???

dbdac
abaca?bc?d

??
;合比定理;
? ??
cdbdbd
a?bc?daca?bc?d
;合分比定理:
??

???
bdbda?bc?d
a?bc?d

??
a? bc?d
a
a
1
a
2
a
3
?????n

b
1
?b
2
?b
3
???bn
?0
,则
b
1
b
2
b
3
b
n
等比定理:若
a
1
?a
2
?a
3
???a
n
a
1
?

b
1
?b
2
?b
3
???b
n
b
1


200 4年新高考新增内容数学概念总结
一、 简易逻辑
1. 可以判断真假的语句叫做命题.
2. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.
3. p、q形式的复合命题的真值表:
p





4. 命题的四种形式及其相互关系


原命题


互 逆
逆命题

若p则q 若q则p
互 互
互 为 互
否 逆 逆 否
否 否
否命题 逆否命题
否 否
若﹃p则﹃q 若﹃q则﹃p
否 互 逆
原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.
q




P且q




P或q









二、 平面向量
1.运算性质:
a?b?b?a,a?b?c?a?b?c,a?0?0?a?a
< br>2.坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2?

设A、B两点的坐标分别为(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),则
AB?
?
x
2
? x
1
,y
2
?y
1
?
.
3.实数与向量的积的运算律:
??????
?
?
??
? ?
?
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a,
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a,
?
?
a?b
?
?
?
a?< br>?
b

????
??
?
??
???
?

a?
?
x,y
?
,则λ
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?

4.平面向量的数量积:
??
?
????
00?
定义:
a?b?a?bcos
?
?
a?0,b?0,0??
?180
?

0?a?0
.
??
?? ??
??
?
?
?
??
?
?
??
? ?
?
运算律:
a?b?b?a,
?
?
a
?
?b?a?
?
?
b
?
?
?
?
a?b
?

??????
????


?
??
?
?????

?
a?b
?
?c?a?c?b?c

??
坐标运 算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
??
??< br>a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

5.重要定理、公式:
(1) 平面向量的基本定理
如果
e
1

e
2
是同一平面内的两个不共线向量 ,那么对该平面内的任一向量
a
,有
且只有一对实数
?
1
,
?
2
,使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2

(2) 两个向量平行的充要条件
ab?a?
?
b

(
?
?R)


a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2< br>?
,则
ab?

x
1
y
2
?x2
y
1
?0

(3) 两个非零向量垂直的充要条件
a?b?a?b?0


a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2< br>,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

(4) 线段的定比分点坐标公式:设P(x,y) ,P(y
1
) ,P(y
2
) ,且
P
1
x
1

2
x
2

1
P?
?
PP
2

??
????
??
???
??
?
????
??
????
?
x ?
?
?

?
?
y?
?
?
x
1
?
?
x
2
x
1
?x
2
?x?
?
?
1?
?
2
。 中点坐标公式
?

y
1
?
?
y
2
y?y
2
?
y?
1
?
1?
?
2< br>?
?
(5) 平移公式:如果点 P(x,y)按向量
a?
?
h,k
?
平移至P′(x′,y′),则
'
?
?
x?x?h,

?
'
?
?
y?y?k.
三、 空间向量
(1)向量加法与数乘向量的基本性质.
???
?
??
?
????
?
??
?
a?b?b?a,
?
a?b
?< br>?c?a?(b?c)

k
?
a?b
?
?ka?kb

????
???
(2)向量数量积的性质.
??
???
?
????
00
?
a?b?a?bcos
?
?a?0,b?0,0?
?
?180
?

a?a?a
,
??
????
??
2
a?b?a?b?0

< p>
?
?
???
?
(3)空间向量基本定理.给定空间一个基底?
a,b,c
?
,且对空间任一向量
p
,存在唯一的有序
??
?
???
?
实数组(x,y,z)使
p?xa?yb?zc< br>,(x,y,z)叫做向量
p
在基底
?
a,b,c
?
上的坐
??
标.
设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x,y,z使
?????
OP?xOA?yOB?zOC

(4)向量的直角坐标运算
????
????


a?
?
a
1
,a
2
,a
3
?
,b?
?
b
1
,b
2
,b
3
?
,则
a?b?
?
a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
?

?
a?b?
?
a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
?

?
a?
?
a
1
,
?
a
2
,
?
a
3
?
?
?R
?
22
?a
3
a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3

a?a?a ?a
1
2
?a
2

???
??
??
??
cos?a,b??
??
??
a
1
b
1?a
2
b
2
?a
3
b
3
a?a?a< br>2
1
2
2
2
3
b?b?b
2
12
2
2
3

??
ab?a
1
?
?
b
1
,a
2
?
?
b
2
,a< br>3
?
?
b
3
,
?
?
?R
?

a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
?0

A=设
?
x< br>1
,y
1
,z
1
?
, B=
?
x< br>2
,y
2
,z
2
?
,则
AB?OB?OA?
???
?
x
2
,y
2
,z
2
?< br>-
?
x
1
,y
1
,z
1
?
=
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
?

AB?
?
AB ?AB?
??
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
?
?
z
2
?z
1
?
2

四、 概率

(1)若事件A、B为互斥事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)
(2)若事件A、B为相互独立事件,则P(A·B)=P(A)·P(B)
(3)若事件A 、B为对立事件,则P(A)+P(B)=1。一般地,
pA?1?P
?
A
?

(4)如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事恰好发生
kk
K次的概率
P
n
?
K
?
?C
n
p
?
1?p
?
n?k
??

五、 概率与统计

(1)离散型隋机变量的分布列的性质:①
p
i
?0 ,i?1,2,?;

p
1
?p
2
???1
.
(2)若离散型惰机变量ξ的分布列为


ξ
p
X
1

P
1

X
2

P
2



x
n

p
n



则ξ的数学期望 Eξ=
x
1
p
1
?x
2
p
2
???x
n
p
n
??

期望的性质:
设a、b为常数,则E(aξ+b)=a Eξ+b
若ξ~B(n,p),则Eξ=np
ξ的方差为Dξ=(x
1
- Eξ)
2
·p
1
+(x
2
- Eξ)
2
·p
2
+…+(x
n
- Eξ)
2
·p
n
+…
方差的性质:
设a、b为常数,则D(aξ+b)=a
2

若ξ~B(n,p),则 Dξ=np(1-p)
(3)正态分布:
①正态总体函数
f
?
x
?
?
1
2
??
e
?
?
x?
?
?
2
2
?
2
?
表,
x?< br>?
??,?
?
,其中
?
表示总体平均值,
示标准差, 其分布叫做正态分布,记作N(
?

?
2
),函数的图象叫正态曲线 .
②在正态分布中,当
?
,=0,
?
=1时,叫做标准正态分布, 记作N(0,1).
③标准正态分布表中,相应于
x
0
的值
??
x
0
?
=P
?
x?x
0
?
.
④正态总体N(
?

?
2
)取值小于x的概率F(x) =
?
?
?
x?
?
?
?
.
??
?
⑤若
x
0
<0,则
?
?
x
0
?
=1-
?
?
?x
0
?
,从而可利用 标准正态分布表.
⑥正态分布 N(
?

?
2
),
P
?
x
1
?x
0
?x
2
?
?P
?
x?x
2
?
?P
?
x?x
1
?

=
F
?
x
2
?
?F
?
x
1
?
?
?
?
?
x
2
?
?
??
x
1
?
?
?
?
?
?
??

?
?
??
?
?
?y
的极限,,即
?x
六、 导数
(1)定义:当△x→0时,函数的增量△y与自变量的增量△x的 比
f
'
?
x
?
?Lim
?yf
?
x??x
?
?f
?
x
?

?Lim
?x? 0
?x
?x?0
?x
(2)函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
处的导数的几何意义,就是曲线
y?f
?x
?
在点P(
x
0
,f(
x
0
))< br>处的切线的斜率.
'
(3)质点作直线运动的位移S是时间t的函数,则
S< br>?
t
0
?
即为质点在t=t
0
的瞬时速度.
(4)几个重要函数的导数:

?
cosx
?
??sinx

??
?n x
?
n?Q
?

?
sinx
?
?cosx

11

?
Inx
?
?
;⑥
?< br>Iogx
?
?Ioge
;⑦
?
e
?
?e;⑧
?
a
?
?aIna

xx

C? 0
(,C为常数);②
x
n
''
a
'
'
n ?1
''
x
'
xx
'
x
a


''''
(6) 导数的四运算法则①
?
?
?
?
?
?
?
?
?
;②
?
??
?
?
??< br>?
??

''
?
'
?
'
?
?
??
'
?
?
?0
?

()?
?
?
2
(5)复合函数求导法则
'
'
''''
, 其中
y
x
是y对x求导,
y
?
是y对
?
求导,
?
x

?
对x求导.
y
x
?y
?
?
x
(7) 导数的应用
① 可导函数求单调区间或判断单调性的方法:使
f
....
的区间为减区间.
② 可导函数
....
f
?
x
?
求极值的步骤:ⅰ .求导数
f
ⅲ.检验
f
'
'
'
?
x
?
>0的区间为增区间,使
f
'
?
x
?
<0?
x
?
ⅱ.求方程
f
'
?
x
?
=0的根
x
1
,x
2
,?,x
n

?< br>x
?
在方程的根的附近左右值的符号,若左正右负,则在这个根处取极大值,若
左负右正,则在这个根处取极小值.
③ 连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值,

f
?
x
?
在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则求< br>f
?
x
?
最大值、最小值的步骤与格
式为:ⅰ. 求导数f
'
?
x
?
ⅱ.求方程
f
'
?
x
?
=0的根
x
1
,x
2
,?,x
n< br>
ⅲ.结合在[a,b]上的根及闭区间[a,b]的端点数值,列出表格若
(
a?x
1
?x
2
???x
n
?b
)
x a


?
a,x
1
?

x
1

?
x
1
,x
2
?

正负号
单调性
x
2

0




x
n

0

?
x
n
,b
?

b
y
'

y

正负号 0
单调性 值
正负号
单调性 值
ⅳ.根据上述表格的单调性及的大小,确定最大值与最小值.
七、 函数极限
(1)
Iimf
?
x
?
?a的充 要条件是Iimf
?
x
?
?Iimf
?
x
?
?a

x??x???x???
f
?
x
?
?Ii mf
?
x
?
?a
(2)
Iimf
?
x< br>?
?a
的充要条件是
Iim
??
x?x
0
x ?x
0
x?x
0
(3)
f
?
x
?

x
0
处连续的充要条件是
Iimf
?
x
?
?f
?
x
0
?
,几可意义是
f
?
x?
的图象在
x
0
处是
x?x
0
不间断的,即是 连续的.
(4)函数极限的四则运算
如果
Iimf
?
x
?
?a,Iimg
?
x
?
?b
,那么,
x?x< br>0
x?x
0


x?x
0
Iim[f
?< br>x
?
?g
?
x
?
]?a?b

Ii m
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?a?b

Iim
x?x
0
x?x
0
f
?
x
?
a
?,
?
b?0
?

g
?
x
?
b

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