【高中全部数学公式】完整本!自己整理~Word2003版

数 学 公 式
三角函数
①合角公式






④万能公式



⑤和差化积

②倍角公式






③半角公式

⑥积化和差









1

⑦辅助角公式

数 学 公 式
对称中心


⑧诱导公式 sin→cos和tan→cot是加减的关系，若原来的角加减
后的角的新函数值与原来的符号不 同，则要加负号
增区间
减区间

对称中心






⑨其它
增区间
⑾正弦定理





⑿余弦定理

⑩三角函数的图像

对称轴


不等式
对称性


传递性
对称中心
增区间
减区间 推论

对称轴
2

数 学 公 式
推论 ④






时取等号
若②③中不能取到等号则用调和函数

已知
求范围？


注：
，，，

，再根据x的值域来确定定义域
平面向量


①

②

三点共线
均值不等式
三线共点



①
② 当

③ 当

时,

因为A、G、D共线
为定值时，当且仅当

为定值时，当且仅当

因为C、G、E共线
时,


3

数 学 公 式
已知过


,斜率为k
②斜截式
已知截距为b，斜率为k






基底不平行，任意存在唯一实数
(向量关于

①
② 若
③
④ 若则
①
②

③
三点共线
四点共面


且

，则


③

且
②
的分解式)
使
若

则，
③截距式
④一般式

平行


垂直

空间向量
共面向量
相交

①
直线方程
①点斜式
4

②

数 学 公 式
④

重合
焦半径

②
共焦点椭圆系
③且




圆锥曲线
弦长公式

当三角形PF
1
F
2
面积最大时，P为短轴端点

椭圆
一个动点到两个定点的距离之和为定值的点形成的轨
迹为椭圆。
双曲线
一个动点到两个定点的距离之差为定值2a的点形成的
轨迹为双曲线。离心率越大，开口越大。
|PF1|-|PF2|=2a





渐近线


通径

共焦点双曲线系

共渐近线双曲线系
准线


抛物线
5

数 学 公 式
一个动点到一个定点的距离等于这个动点到定直线的
距离的点形成的轨迹为抛物线。
相离
弦长

焦半径（抛物线上任意一点到F的距离）

过焦点的通径最短
圆—圆
圆
（弧度）


（此式为两圆的交点所在的直线的方程）




圆心半径r

①当
②当



时，表示过两圆交点的所有圆的方程
时，表示过两圆交点的弦的直线方程
一般式


（若两圆相切，则表示两圆的内公切线）
解析平面几何



圆—线






k不存在




相交
相切
6

距离

数 学 公 式
：
：
点—线


线—线 求出与的焦点
一点

线—线
代入已知直线

，在上任取
，找到A关于的对称点
则，P、B都在所求直线上
中心直线系

（此处为平行的两个式子x、y的系数都相等的时候）
：
：
与的焦点为P，则





表示过P的所有直线（表示不了）


对称






：
：
：


点—点
点—线



到角
将逆时针绕P旋转到，则所旋转的角θ叫做到
的角——到角


线—点 ①直线上任取两点A、B，找到它们关于
P的对称点C、D，求出过这两点的直线
②P到两直线距离相等
③所求直线上任取一点
它关于
点则

（P为A、B中点）
，找到
与的夹角

在已知直线上的对称
解析空间几何

7

数 学 公 式

①关于x轴对称
②关于y轴对称
③关于z轴对称
④关于xOy对称
⑤关于yOz对称
⑥关于xOz对称
⑦关于原点对称
和




的中点





线—线 平移使两异面直线相交，并确定一个平面，
则直线被平移前直线与所成平面的距离即为
线线间距离
线—面 在l上任取一点A
A与平面任意一点B连线
平面单位法向量为

立体几何
直棱柱

正棱锥


距离


点—点
点—线





取直线方向向量



正棱台

球
圆柱
圆锥
圆台
通过求

通过
8
求

数 学 公 式
空间位置
平行



线—面 线平行于面内任意直线
面—面 相交直线两两平行
数列
求通项公式a
n

①观察法
②已知S
n
求a
n

n=1 a
1
=S
1

n≥2 a
n
=S
n
-S
n-1

③递推公式法
1、a
n+1
-a
n
=d
2、
垂直


线—面 线垂直面内两相交直线
面—面 线垂直面则过线的面垂直面
交角
线—面

面—面


三垂线定理
3、叠加法（a
1
已知）
a
2
-a
1
=
a
3
-a
2
=
a
4
-a
3
=
a
5
-a
4
=
a
6
-a
5
=
……
a
n
-a
n-1
=
叠加之后得
a
n
-a
1
=
a
1
已知
所以a
n
=
4、已知a
n+1
=Pa
n
+q
倒成(a
n+1
+x)=P(a
n
+x)
所以a
n+1
= Pa
n
+px-x
令q=px- x可求出x
b
n
= a
n
+x为等比数列，公比p
求前n项和S
n

①公式法

cos∠AOC=cos∠AOB?cos∠BOC
证明



线—面

Sn=1
2
+2
2
+3
2< br>+……+(n-1)
2
+n
2
=

点—线（三点共线）
不重合的两个平面一个公共点，那它们只有
一条过这点的公共直线

②倒序相加（乘）法（乘用于等比数列且已知x
1
x
n
）
P
n
=x
1
?x
2
?x
3
?……?x< br>n-1
?x
n

9

数 学 公 式
P
n
= x
n
?x
n-1
?……?x
3
?x
2
?x
1
P
n
2
= x
1
x
n
?x
2
x
n-1
?x
3
x
n-2
?……?x
n-1
x
2
?x
n
x
1
=( x
1
?x
n
)
n
=(ab)
n

P
n
=


③分组求和
④错位相减（等差{a
n
}等比{b
n
}求{a
n
b
n
}的{S
n
}）
⑤裂项相消
求S
n

等比数列

若，则

若a、G、b成等比数列，则




Sn=a
1
+a
2
+a
3
+……+a< br>n-1
+a
n

等比数列中S
k
,S
2k< br>-S
k
,S
3k
-S
2k
成等比数列，公比q
k

推理与证明
推理

其它
等差数列


若，则

等差数列中S
k
,S
2k
-S
k
,S
3k
-S
2kn=
成等差数列，公差k
2< br>d
若共有2n项，则



不等式证明
比较法

综合法
分析法





反证法

①作差
②作商
由已知条件推出结论
从结论入手，找出成立的条件
要证A
只需证B
……
Z显然成立
∴A
已知A，求证B
假设?B为真
……


若共有2n+1项，则
10

数 学 公 式
即C 矛盾
（不符已知条件或已知公理或已证过结论）
∴原命题正确
换元法 构造函数
缩放法
证




含有绝对值
无理数








……







有意义、底不同化同底、分情况讨论


有意义、底不同化同底、分情况讨论




平方




④解题
有平方时
被开方数中有未知数

指数





对数







不等式解法
一元一次
一元二次
①求?，并判断正负
②




线性规划







线定界 点定域（ABC三个域）
含直线时用实线否则用虚线
分式
高次






11
③借图像用根解题
移项→同分→化积
①因式分解
②等于零的根
③数轴（从右边起，右在上）
数学归纳法
适用于与正整数有关的命题
格式 1）当时

数 学 公 式















2）可使
带入已知式子，并计算
时命题正确
将已知点
时命题正确
求出
则方程可求

代入

k带入已知式子得到有k的式子A
3）那么，当时
k+1带入已知式子得到有k的式子B，利用A
也就是当时，命题正确
命题正确
四则运算




综合（1）（2）知对于
常用逻辑用语
命题 可以判断真假的语句
开语句（条件命题） 含有变量的语句
全称命题 针对全体对象的命题
存在性命题 对象中部分
且 p∩q p、q同时为真，命题为真
或 p∪q p、q至少有一个为真，命题为
真
非 ?p p的否定
全称命题的非是存在性命题
存在性命题的非是全称命题
原命题 若p则q
否命题 若?p则?q
逆命题 若q则p
逆否命题 若?q则?p
原命题的否定 若p则?q

特殊的函数的导数
幂函数
指数函数






对数函数
导数



三角函数











求过某点的切线方程
设切点
求

常函数
复合函数


并去
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数 学 公 式

二项式系数

展开式中间的最大，奇数二项式系数
等于偶数二项式系数。

定积分
复数
f(x) 被积函数
a 积分下限
b 积分上限







定积分有正负，转化成面积的时候要注意。


排列组合


统计





从元素个数为N的总体中不放回的抽取容量为n的样
本，如果每次抽取时总体中的各 个个体有相同的可能
性被抽到，这种抽样方法叫做简单的随机抽样。
1、抽签法←←简单的随机抽样
2、随机数表法←←简单的随机抽样
3、分层抽样
4、系统抽样法（等距抽样）
系统抽样法
二项式定理


中，令x=1，则
频率分布直方图
横坐标：很多组距 纵坐标：
总体密度曲线 频率直方图用一条光滑的曲线y=f(x)
来描绘，这条光滑的曲线叫总体密度
13

数 学 公 式
曲线。
方差
并 事件A和事件B至少有一个发生。
交 事件A和事件B同时发生。
条件概率



互斥事件

标准差
一般加法公式
数学期望












相互独立

互为对立事件

不可能同时发生的两个事件。（互不相容
事件）
互斥事件的概率加法公式


不能同时发生且必有一个发生的两
个事件。


对于任 何两个事件A和B，在已知事件A
发生的条件下，事件B发生的概率叫做
条件概率。
事件A是否发生对事件B发生的概率没
有影响，这两个事件A、B相互独立。
相互独立事件的概率

散点图 把表中的数据在直角坐标系中描点表示。
线性相关 散点图中的数据点大致分布在一条直线
附近，叫这两个数据近似成线性相关关
系。
回归直线方程
总离差


古典概型
在一次试验中，可 能出现的结果只有有限个，即只有
有限个不同的基本事件。（有限性）每个基本事件发生
的可能 性是均等的。（等可能性）
每个基本事件发生的可能性是均等的


随机现象 当在相同的条件下多次观察同一现象，
每次观察到的结果不一定相同，事先很
难预料哪一种结果出现。
基本事件 是实验中不能再分的最简单的随机事件，
其它事件可以用它们来描绘。
基本事件空间 所有基本事件构成的集合。
14

事件A包含的基本事件数为m
几何概型
事件A为区域Ω的某一子区域，A的概率知与子区域
A的几何度量（长度、 面积或体积）成正比，而与A
的位置和形状无关。（无限性、等可能性）

数 学 公 式
X
P


0 1
?
?

k
?
?

n
概率
随机变量 试验可能出现的结果可以用一个变量X
来表示，并且X是随着实验的结果的不
同而变化的，这样 的变量X叫做一个随
机变量。
离散型随机变量 随机变量X的所有可能的取值都能
一一列举出来，则X为离散型随机
变量。
X x
1
x
2
x
i
x
n

? ?
P p
1
p
2

?
p
i

?
p
n

这个表为离散型随机变量X的概率分布（分布列）。
分布列中概率大于等于零，和为1。
二点分布 q=1-p
0

表中的第二行恰好是二项式展开式各对应项的值，称
这样的离散型随机变 量X服从参数为n、p的二项分布



正态分布
正态变量概率密度曲线的函数表达式
X

1
数学期望：μ

正态曲线

P p
0
q
标准差：σ
（1）曲线在x轴上方，关于x=μ对称，
且在x=μ时最大为
超几何分布
有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有
物品中任取n件，这 n件中所含这类物品件数X是一
个离散型随机变量，它取值为m时的概率为
（2）曲线取与μ邻近的值的概率大 ，
取离μ越远的值的概率越小
（3）σ越小，分布越集中在μ附近，σ
越大，分布越分散。





独立重复试验
在相同的条件下，重复的做n次试验，各次实验的结果相互独立，那么称为n次独立重复试验。（只考虑有
两个可能结果A和）
在一次试验中 事件A发生的概率是p，那么在n次独
立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为

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统计案例
独立性检验
频数
A

合计
B

n
11

n
21

n
+1

n
12

n
22

n
+2

n
1+

n
2+

n
合计

数 学 公 式
直线

（1）
（2）
（3）
时，事件A与B有无关
时，有95%的把握说事件A与B有关
时，有99%的把握说事件A与B有关

射线

圆
以极点为圆心，R为半径的圆

r用来检验线性相关关系。
（1）
（2）

越接近1，线性相关程度越强；越接近0，




以（a，0）为圆心a为半径的圆

以（0，a）为圆心a为半径的圆
三角形面积
平行极轴




α为极轴到极点与直线的垂线的角（到角）
垂直极轴

回归分析
表示过极点且极轴到l的角为的
线性相关程度越弱
用n-2（n为样本容量）在表中查找r
0.05
。
如果，表明有95%的 把握认为x与Y之间具
，无线性相关关系，
（A（ρ
1
，θ
1
）B（ρ
2
，θ
2
）与极点形成的三角形）
图像的变换
有线性相关关系；如果
回归直线方程无意义。
坐标系
平面上任意一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和
从Ox到OM得角度θ表示为M（ρ，θ）
直角坐标—极坐标



参数方程
参数方程—直角坐标方程
（1）直接代入消参法
（2）平方后消参法
（3）配项后消参
圆

极坐标—直角坐标

极坐标方程
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椭圆

数 学 公 式
（x
0
，y
0
）为中心，半长轴a，半短轴b
M（x ，y）时θ为以椭圆的中心为圆心，长
轴长为半径的圆上与M点横坐标一致的点A
（x，z）与 极点的连线与极轴的夹角。
图中∠AOx


直线
方向向量直线过M（x
0
，y
0
）

（只有t的系数的平方和为1时才有）

方程与其它方程联立后弦长
附加

AD平分∠BAC则


17