高中数学公式汇总(上海版)

集合命题不等式公式
1、
C
U
(
A?B
)
=_____
C
U
A?C
U
B
____；
C
U
(A?B)
=_____
C
U
A?C
U
B
______。
2、
A?B?A?
__
A?B
___ ；
A?B?B?
__
A?B
__；
C
U
B?CU
A?
__
A?B
___；

A?C
_ ___
A?B
____；
C
U
A?B?U?
______< br>A?B
_____。
U
B???
3、含n个元素的集合有：__2
n
__个子集，__
2
n
?
1
__个真子集 ，__
2
n
?1
__个非
空子集，__
2
n
?
2
__个非空真子集。
4、常见结论的否定形式
原结论 反设词
是 否
都是 不都是
大于
小于
原结论
至少有一个
至多有一个
反设词
一个都没有
至少有两个
小于等于 至少有n个 至多n-1个
大于等于 至多有n个 至少n+1个
至少有一个x不（非p）且（非
对所有x都成立 P或q
成立 q）
对任何x都不成至少有一个x成（非p）或（非
P且q
立 立 q）
5、 四种命题的相互关系：__原命题___与___逆否命题__互为等价命题；____否
命题____ 与____逆命题___互为等价命题。
6、若
p?q
，则p是q的___充分__ __条件；q是p的____必要____条件。
7、基本不等式：
（1）
a,b ?R
：________
a
2
?b
2
?2ab
__ ___________等且仅当
a?b
时取等号。
（2）
a,b?R?
：__________
a?b?2ab
__________等且仅当
a?b
时取等号。
（3）绝对值的不等式：__________
||a|?|b ||?|a?b|?|a|?|b|
_________
8、均值不等式：
a,b ?R
?
时，
a?b
a
2
?b
2
_____ ________
?
_____
ab
_____
?
____ __
?
_______
11
2
2
?
ab
2
等且仅当
a?b
时取等号。
)0
?
f(x)?g(x) ?0
?
f(x)?g(x?
f(x)f(x)
?0??0?
9、分式 不等式：
??
g(x)g(x)
g(x)?0g(x)?0
??
10、绝对值不等式：
|f(x)|?a(a?0)?____f(x)??a或f( x)?a________________

第 1 页

|f( x)|?a(a?0)?____?a?f(x)?a__________

11、指、对数不等式：
（1）
a?1
时：
a
f (x)
?a
g(x)
?____f_x(?g)x()_______
lgg x?()
a
o___?_f__x_?0gx()log(?)
a
fx()_ _______


（2）
0?a?1
时：

a< br>f(x)
?a
g(x)
?______f(x)?g(x)________< br>log
a
f(x)?log
a
g(x)?______f(x)?g( x)?0________

函数公式
1、函数
y?f(x)
的图象与直线
x?a
交点的个数为 1 个
2、一元二次函数解析式的三种形式：
b
2
4ac?b
2
(a?0)
_；
一般式：y?ax?bx?c(a?0)
__；顶点式：
y?a(x?)?
2a4a
2
?b+b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
)(x?)( a?0)
___________。
零点式：____
y?a(x?
2a2 a
3、二次函数
y?f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
，x?[m,n]
的最值：
b
?
f(n)??n
?
bm ?n
2a
?
?
f(m)??
?
bb
?
?< br>2a2
0
y?
1、
a?0
时，
max
?
y
min
?
?
f(?)m???n

bm?n
2a2a
?
f(n)?
?
?
?
b
?
2a2
?
f(m)??m
?
2a
?
b
?
f(n)??n
?
bm?n
2a
?
?
f(m)? ?
?
bb
?
?
2a2
2
0
、
a? 0
时，
y
max
?
?
f(?)m??

?n

y
min
?
?
2a2a
?
f(n)?
b
?
m?n
?
?
b
?
2a2
?
f(m)??m
?
2a
?
4、奇函数
f(?x) ?
_____
?f(x)
_____，函数图象关于 原点 对称；
偶函数
f(?x)?
_____
f(x)
____=___
f(|x|)
___，函数图象关于 y轴
对称。
奇函数若在x=0有意义，则
f(0)
= 0
5＊、若
y? f(x)
是偶函数，则
f(x?a)
=______
f(?x?a)
_______；
若
y?f(x?a)
是偶函数，则
f(x?a )
=______
f(?x?a)
_______。
6、函数
y? f(x)
在
x?[m,n]
单调递增(减)的定义：_____________任取
x
1
,x
2
?[m,n]
，且
x
1
?x
2
，若
f(x
1
)?f(x
2
)
， 则函数
y?f(x)
在
x?[m,n]
单调递
增；若
f(x
1
)?f(x
2
)
，则函数
y?f(x)
在
x?[m,n]
单调递减________。
第 2 页

7、 如果函数
f(x)
和
g(x)
在R上单调递减，那么
f(x)?g( x)
在R上单调递__减
___，
f[g(x)]
在R上单调递___增__ __。
8、奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有
相反的 单调性。（填写“相同”或“相反”）
9、互为反函数的两个函数的关系：
f(a)?b?< br>___
f
?1
(b)?a
_____。
10、
y? f(x)
与
y?f
?1
(
x
)
互为反函数，设f(x)
的定义域为D，值域为A，则有
f[f
?1
(x)]?
____
x(x?A)
_____；
f
?1
[f(x)]?
______
x(x?D)
______。
11、定义域上的单调函数一定有反函数。（填写“一定有”，“可能有”，“一定没
有”）
12、奇函数如果存在反函数，则反函数的奇偶性 奇函数 ；
互为反函数的两个函数具有相同的单调性。（填写“相同”或“相反”）
13、函数
y?f(x)
的图像向右移
a
个单位，上移b个单位，得函数
____
y?f(x?a)?b
____的图像；
曲线
f(x,y)?0
的图像向 右移
a
个单位，上移b个单位，得曲线
f(x?a,y?b)?0
的图像。


1、函数图像的对称性与周期性
（1）一个函数
y?f(x)
本身的对称性与周期性
解析式满足
f(a?x)?f(b?x)

图像满足
a?b
对称
2
?

关于直线
x?
关于点
(
f(a?x)??f(b?x)

?

f(a?x)?f(b?x)

a?b
,0)
对称
2
?

以
|a?b|
为周期
以2
|a?b|
为周期
f(a?x)??f(b?x)

?


图像对称性
同时关于
x?a,x?b
对
称
同时关于
(a,0),(b,0)
对称
同时关于
x?a,(b,0)
对称
（2）两个函数图像的对称性：
第 3 页
图像周期性
以2
|a?b|
为周期
以2
|a?b|
为周期
以4
|a?b|
为周期
?

?

?

y?f(a?x), y?f(b?x)
图像关于
x?
b?a
对称；
2
y?f( a?x),y??f(b?x)
图像关于
(
b?a
,0)
对称； < br>2
y?f(x)
和
y?f
?1
(x)
图像关于___ _直线
y?x
_____对称。
2、写出满足下列恒等关系的一个（组）具体的函数：
恒等关系
f(x?y)?f(x)?f(y)

f(x?y)?f(x)f(y)

f(xy)?f(x)?f(y)

具体函数
y?kx

y?a
x
(a?0且a?1)

y?log
a
x(a?0且a?1)

y?x
k
(k为有理数)

f(xy)?f(x)f(y)

f(x?y)?
f(x)?f(y)

1?f(x)f(y)
y?tanx

1
**
f(x)f(y)?[f(x?y)?f(x?y)]

2< br>**
f
(
x
)
?f
(
y
)
?
2
f
(


幂指对函数公式
1、
a? ___a_____,a
n
m
m
n
?
m
n
y?cosx

y?cosx

x?yx?y
)
f
()

22
?____
1
n
a
m
______(a?0,m,n?N
*
,n?1)

?
___a___ n为奇数
2、
(
n
a
)
n
?
_____
|a|
_____，
n
a
n
?
?

?
___?a___ n为偶数
3、有理指数幂的运算性质：
a
r
a
s
?___ a
r?s
____;(a
r
)
s
?____a
rs
______;(ab)
r
?___a
r
b
r
__ _.(a?0,b?0,r,s?Q)
4、指数式与对数式的互化：
log
a
N?b?
_____
a
b
?N
______.(
a?
0,
a?
1,
N?
0)

5、对数换底公式：
l og
a
N?_
lo
a
m
gb
n
?
n
?
m
lbo

g
log
c
N
_ .(a?0,a?1,N?0)
，推论：
log
c
a
a
第 4 页

6、对数的四则运算：
(a?0,a?1,M,N?0)

log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N;l og
a
M
?log
a
M?log
a
N;loga
M
n
?n?log
a
M

N
?_______N_________
(a?0,a?1,N?0)

7、对数恒 等式
a
log
a
N
8、幂函数：
y?x
?
（
?
为常数，
?
?0
），图像恒过点（1，1），画出幂函数在第< br>一象限的图像。
?
>1
?
=1 0<
?
<1
?
<0

9、指数函数与对数函数

定义域
值域
奇偶性
单调性



y?a
x
(a?0,a?1)

y?log
a
x(a?0,a?1)

R
(0,??)

(0,??)

R
非奇非偶
a>1 增 0非奇非偶
a>1 增 0图像





三角比公式
1、设< br>?
终边上任意一点坐标为
P(x,y)
，这点到原点的距离为
r?x< br>2
?y
2
(
r?
0)
，
yxyxrr则
sin
?
?
,cos
?
?
,tan
?
?
,cot
?
?
,sec
?
?
,csc
?
?
。
rrxyxy
2、同角三角比公式：平方关系：1=
cos
2
?
?sin
2
?
=
sec
2< br>?
?tan
2
?
=
csc
2
?
?c ot
2
?
。
商数关系：
tan
?
?
si n
??
co
?
s
(
?
?k
?
?< br>,
k?Z
)

co
?
t?(
?
?k
?
,k?Z)
cos
?
2sin
?
sse
?
c?1(
??k
?
?
倒数关系：
sin
?
csc
?
?1(
?
?k
?
,k?Z)

co
?
?
2
,
k?Z
)

第 5 页

tan
?
cot
?
?1(
?
?
k
?
,k?Z)

2
3、两角和与两角差公式：
_______
sin(
?
?
?
)?sin
?
c os
?
?cos
?
sin
?
)
tan
?< br>?tan
?
___
tan(
?
?
?
)?< br>__
1tan
?
tan
?
cos(
?
??
)?
___
cos
?
cos
?
sin
?
sin
?
)
___。
b
4、辅助角公式：
a sinx?bcosx?__a
2
?b
2
sin(x?arctan)___ (a?0)

a
5、二倍角公式
；
sin2
?
? 2sin
?
cos
?
；
cos2
?
?
co s
2
?
?sin
2
?
?
2cos
2
?
?1
?
1?2?sin
2
?
；
2tan??
k
??
__(
?
?k
?
?,
?< br>??,k?Z)

1?tan
2
?
224
1?cos
?
1?cos
?
?
?
6、半角公式：
sin
?
?
；
cos?
?

22
22
tan2
?
?_
1?cos
?
1?cos
?
sin
?
??(
?
?k
?
,k?Z)
21?cos
?sin
?
1?cos
?

7、万能置换公式：
tan ??
?
2tan
sin
?
?
?
2
，
cos
?
?
1?
tan
2
1?tan
2
?
?
2
，
tan
?
?
2
2tan
?
2
。
1?tan
2
其中
?
?k
??
?
,
?
?
2
k
?
?
?(
k?Z
)

2
8、（理）三角比的积化和差与和差化积公式
11
sin
?
cos
?
?[sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)]cos
?
si n
?
?[sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)]
22
，
11
cos
?
cos< br>?
?[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?< br>?
)]sin
?
sin
?
??[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)]
22
， < br>sin
?
?sin
?
?2sin
?
2
1?t an
2
?
2
?
?
?
2
cos
?< br>?
?
2
，
sin
?
?sin
?
?2 cos
?
?
?
2
sin
?
?
?
2

cos
?
?cos
?
?2cos
9、正弦定理：
?
?
?
2
cos
?
?
?
2
，
cos
?
?cos
?
??2sin
?
?
?
2
sin
?
?
?
2

abc
???2
R
，其中R是三角形外接圆半径。
sinAsin BsinC
b
2
?c
2
?a
2
222
10 、余弦定理：
a
?
b
?
c
?
2bccosA
；
cosA?
。
2bc
11a?b?c
p(p?a)(p?b) (p?c),其中p?
11、三角形面积公式：
S?absinC?

222
x
1
y
1
1
22
11
?x
2y
2
1?ABAC?(AB?AC)
2

22
x
3
y
3
1
（第三格用行列式表示，第四格用向量表示）
第 6 页

诱导公式
1、
1
o
?
?
180
o

rad
，
1rad?
180
?
11
lR
=
?R
2

22
2、扇形的弧长公式
l?
?
R；扇形的面积公式
S?
3、在直角坐标系中用“+”、“—”标出各个三角比在各个象限中 的符号。





sin
?

cos
?







cot
?

sec
?


4、诱导公式
（k?Z)

诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限




第 7 页
tan
?

csc
?

三角函数图像与性质
名称
解析式
定义域
值域
增区间
减区间
奇偶性
周期性
正弦函数
y?sinx

x?R

y?
?
?1,1
?

余弦函数 正切函数 余切函数
y?cosx

x?R

y?
?
?1,1
?

y?tanx

x?k
?
?
y?cotx

x?k
?
,k?Z

y?R

?
2
,k?Z

y?R

??
?

?
2k
?
?,2k
?
?
?
22
?
??
?
2k
?
?
?
,2k
?
?< br>
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

偶函数
周期
2k
?
,k?0

最小正周期
2
?

x?2k
?
,y
max
?1

??
??< br>?
k
?
?,k
?
?
?

22
??
无
?
3
?
?

?2k
?
?,2k
?
?
?
22
?
??< br>无
奇函数
周期
k
?
,k?0

最小正周期
?

无最大（小）值
?
k
?
,k
?
?
?
?

奇函数
周期
k
?
,k?0

最小正周期
?

无最大（小）值
奇函数
周期
2k
?
,k?0

最小正周期
2
?

x?2k
?
?
?
2
,y
max
?1

最值
x?2k
?
?
?
2
,y
min
??1

x?2k
?
?
?
,y
min
??1

零点
对称轴
对称中
心
x?k
?

直线
x?k
?
?
?

2
点
(k
?
,0)

x?k
?
?
?

2
x?k
?

无
点
(
k
?
,0)

2
x?k
?
?
?

2
直线
x?k
?

点
(k
?
?
?
,0)

2
无
点
(
k
?
,0)

2
图象




第 8 页

(一)弦曲线
y?A sin(
?
x?
?
)
的物理意义
1、

振幅A：表示离开平衡位置的最大值
2、

周期
T?
2< br>?
(二)参数
A,
?
,
?
,m
对
y ?Asin(
?
x?
?
)
图象影
响
1、

位置变化
，表示往复振动一次所需的
时间
?
其他
3、

频率
f?
1
?
?
，表示单位时间内 往复振
T2
?
y?sin(x?
?
)
左右平移
y?sinx?m
上下平移
动次数
4、

?
x ?
?
叫做相位，
?
叫做初相；
x??
?
表
?
示相位移。
初相
?
表示振动开始时物体的位置。


反三角函数与三角方程
反三角函数图像与性质
名称
解析式
定义域
值域
增区间
减区间
奇偶性
反正弦函数
y?arcsinx

x?
?
?1,1
?

y?[?
2、

形状变化
y?Asinx
上下伸缩
y?sin
?
x
左右伸缩
反余弦函数 反正切函数 反余切函数
y?arccotx

y?arccosx

x?
?
?1,1
?

y?
?
0,
?
?

y?arctanx

x?R

y?(?
x?R

y?(0,
?
)

??

,
]
22
??

,)
22
?
?1,1
?

无
奇函数
x?1,y
max
?
无
R

无
R
?
?1,1
?

非奇非偶函数
?

2
2
x??1,y
max
?
?

无
奇函数

非奇非偶函数
最值
x??1,y
min
?
??

x?1,y
min
?0

无最大（小）值 无最大（小）值
零点
对称轴
x?0

无
x?1

无
第 9 页
x?0

无
无
无

对称中
心
(0,0)

(0,)

2
?
(0,0)

?
点
(0，)
2
图象


2、恒等式(写明x的取值范围)：
arcsin(sinx)?
x,x?[?



??,]
；
arccos(cosx)?
x,x?[0,
?
]
；
arctan(tanx)?
x,x?(?,)

2222
??
sin(arcsinx)?x,x?[?1,1]
；
cos(arccosx)?x ,x?[?1,1]
；
tan(arctanx)?x,x?R

arcsi n(?x)?
?arcsinx，x?[?
??
,]
；
arccos (?x)?
22
?
?arccosx，x?[0,
?
]
；< br>arctan(?x)?
?arctanx,x?(?
??
,)
；arcsinx?arccosx?
,x?[?1,1]

222
?
3、最简单的三角方程：
方程 方程的解集 方程 方程的解集
sinx?a
{x|x?k
?
?(?1)
k
arcsina ,k?Z}
sinx?sin
?
{x|x?2k
?
?
?或2k
?
?
?
?
?
,k?Z}
，
|a |?1



cosx?a
{x|x?2k
?
?arccosa,k?Z}
cosx?cos
?
{x|x?2k
?
?
?
,k?Z}

，
|a|?1

tanx?atanx?tan
?{x|x?k
?
?arctana,k?Z}

{x|x?k
?
?
?
,k?Z}




数列公式

定义
通项公式
通项公式
的推导方
法
推广的通
项公式
m?n?p?q
时
等差数列
{
a
n
}

a
n?1
?a
n
?d
,(
n?N
*
)

等比数列
{a
n
}

a
n?1?q,(a
n
?0,q?0,n?N
*
)

a
n
a
n
?a
1
q
n?1
a
n
?
a
1
?(
n
?1)
d

累加法 累乘法
a
n
?a
m
?(n?m)d

a
m
?a
n
?a
p
?a
q

a
n
?a
m
q
n?m

a
m
a
n
?a
p
a
q

第 10 页

求和公式
n(a
1
?a
n
)
2

n(n?1)
?na
1
?d
2
S
n?
?
na
1
(q?1)
?
na
1
(q?1)
??
S
n
?
?
a
1
?a
n
q
??
a
1
(1?q
n
)
(q?1)
?
( q?1)
?
1?q
?
?
1?q

错位相减法
前n项和公
式推导的
方法：
S
n
,S
2n
,S
3n
间的关系
充要条件
倒序相加法
2(S
2n
?S
n
)?S
n
?(S
3n
?S
2n
)

等差中项：
a
n
?
n?2,n?N

*
( S
2n
?S
n
)
2
?S
n
?(S
3n
?S
2n
)

a
n
2
?a
n ?1
?a
n?1
（充分非必要）
a
n?1
?a
n ?1
，
2
n?2,n?N
*

S
n
?A?q
n
?(?A)

S
n
=
An?Bn

2
2、a与b的等差中项__ __
a?b
_______；a与b的等比中项_____
?ab
_____ __。
2
(n?1)
?
S
1

3、数列的通项公式与前n项和的关系：
a
n
?
?
。 *
S?S(n?2,n?N)
n?1
?
n
4、
a
n
?
ka
n?1
?
b
（k≠0,k≠1,b≠0），求通 项时，将该式变形
a
n
?
bb
（
n?2,n?N
*
）。
?k(a
n?1
?)
k?1k?1
5、已知
{
a
n
}
为等差数列，
{b
n
}
为等比数 列，则
（1）求数列
{
a
n
?b
n
}
前 n项和用分组求和法；（2）求数列
{a
n
?b
n
}
前n项 和用错
位相减法；
（3）求数列
{
6、
lim
1
}
前n项和用裂项相消法。
a
n
a
n?1
1
=_ _0__；
lim
C
=__
C
__；（其中
C
为常 数），
n??
n
n??
|q|?1
?
0
?
limq
n
?
?
1q?1

n??
?
不存在|q|?1或q??1
?
n??
7、无穷等 比数列各项和：
S?limS
n
?
a
1
，其中公比q的取值 范围为
1?q
__
|q|?1,q?0
__
8、已知
li m
a
n
?
A
，
limb
n
?B
， 则
lim(a
n
?b
n
)?A?B
；
lim(a< br>n
?b
n
)?A?B
；
n??
n??
n??
n??
lim
a
n
A
?(b
n
?0,B? 0)

n??
bB
n
矩阵行列式公式
1、通过对线性方程 组增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解，这里所用的矩
阵变换有下列三种：
第 11 页

（1）互换矩阵的两行；
（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；
（3）某一行乘以一个数加到另一行。
通过上述三种矩阵变换，使线性方程组系数矩阵变成单 位矩阵时，其增广矩阵的
最后一个列向量给出了方程的解。
2、已知矩阵
A
n?k
，矩阵
B
k?m
，矩阵
C
n?m
，如果矩阵 C中第i行，第j列的元素
c
ij
为A的第i个行向量与B的第j个列向量的数量积，
i?1,2,n,j?1,2,
么C=AB。
（1）只有当A的列数和B的行数相等时,矩阵之积AB才有意义；
（2）一般的，
AB___?____BA
。（填
?
或
?
）
?
4
??
4812
?
????
例如：若
A?
?
123
?
，
B?
?
5
?
，则AB=
?32
?
， BA=
?
51015
?
。
?61218
?
?
6
?
??
??
n
，那
?
x
??
ab
?
3、矩阵变换：向量
??
的左边乘一个2阶方阵
??
，就可以得到另一个向量
?
y
??
cd
?
?
x'
?
?
x'
??
ab
??
x
?
，即
?
??
??????
，这个矩 阵变换把向量
?
xy
?
变换成向量
?
x'y'
?< br>。
y'
y'cdy
??
??????
a
1
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
按 对角线法则展开
a
1
b
2
c
3
?a
2b
3
c
1
?a
3
b
1
c
2< br>?a
3
b
2
c
1
?a
2
b
1
c
3
?a
1
b
3
c
2

c
3
4、
a
2
a
3
按第一行展开
a1
b
2
b
3
c
2
c
3
a1
?b
1
b
1

a
2
a
3< br>c
2
c
3
?c
1
a
2
a
3
b
2
b
3
，
c
2
的代数余子式是
?
a
3
b
3
a
?
ax?b
1
y ?c
1
5、二元一次方程
?
1
记D=
1
a
2
?
a
2
x?b
2
y?c
2
b
1
b
2
，Dx=
c
1
c
2
b
1b
2
，Dy=
a
1
a
2
c
1
c
2

?
x?
?
?
当
D?0
时， 方程组有唯一解，其解为
?
?
y?
?
?
D
x
D
；
D
y
D
当
D?
0,
且D
x
?
0
或D
y
?
0
时，方程组无解；
当
D?D
x
?D
y
?
0
时，方程组有无数多解。 < br>?
a
1
x?b
1
y?c
1
z?d
1
?
6、三元一次方程
?
a
2
x?b
2
y? c
2
z?d
2

?
ax?by?cz?d
333
?
3
第 12 页

a
1
b
1
b
2
b
3
c
1
d
1
b
1
b
2
b
3
c
1
a
1
d
1
d
2
d
3
c
1
a
1
b
1
b
2
b
3
d
1
d
2

d
3
记D=
a
2
a
3
c
2
，Dx=
d
2
c
3
d
3
c
2
，Dy=
a
2
a
3
c3
c
2
，Dz=
a
2
c
3
a
3
?
?
x?
?
?
当
D?0
时，方程组有唯 一解，其解为
?
y?
?
?
?
z?
?
Dx
D
D
y
D
D
z
D
；
当
D?0
时，方程组无解或有无穷多解。
7、算法部分请看书



向量复数公式
x
2
,y
1
y
2
?)
1、向量
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
，则
a?b?
(x
1
?
a?b?
(x
1
?x
2
,y
1
?y2
)
，，
?
a?
cos
?
?
(
?
x
1
,
?
y
1
)
，
a?b?
|a||b|cos
?
=
x
1
?x
2
?y
1
?y
2
，向量夹角
x
1
x
2
? y
1
y
2
a?b
=，
|a|?
2222
| a||b|
x
1
?y
1
x
2
?y
2
??
x
1
2
?y
1
2
。
2、设
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
，则
ab
?
a?
?
b
?
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
?
a?b ?
?|a||b|

a?b
?
a?b?0
?
x1
x
2
?y
1
y
2
?0
?
| a?b|?|a?b|

??
3、向量
a
与向量
b
夹角为锐角
?
a?b?0且a不平行于b

4、向量
a
在向 量
b
上的投影为
|a|cos
?

5、定比分点公式：P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x2
,y
2
)
，
PP
1
?
?
P P
2
，则P坐标为
x?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
(
1
,)
。
1?
?
1?
?
6、
?ABC
顶点
A(x
1
,y< br>1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y< br>3
)
，则
?ABC
重心坐标为
(
x
1?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
。
33

7、三角形四心定义：内心：三角形角平分线的交点；
外心：三角形中垂线的交点；
第 13 页

重心：三角形中线的交点；
垂心：三角形高的交点；
三角形四“心”向量形式的充要条件：
设O为
?ABC
所在平面上一点，
a ,b,c
是
A,B,C
对应的边。
（1） O为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC

（2） O为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0

（3） O为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC?OA?OC

（4）
AP?
?
(
AB
AB
?
AC< br>AC
)
(
?
?R
)，则P的轨迹过三角形的内心
2 22
8、A、B、C三点共线
?
AB?
?
AC(
?
?0)
?
OA?tOB?(1?t)OC
（
OA
、
OB、
OC
的关系式）
9、复数
z?a?bi,(a,b?R)
， 则
|z|
=
a
2
?b
2
；
z
是纯 虚数
?
a?0,b?0
。
10、
|z
1
?z2
|
的几何意义是：
Z
1
,Z
2
两点间的距离 。
11、
|z|
?
|z|
?
z
；
|a|
?
|a|
?
a
（填写
?,?
）
222
2
2
2
12、
z?R
?
z?z
。
13、负实数
a
的平方根是
??a?i
。
14、实数a
的立方根是
3
a,
15、实系数一
?1?3i
3?a
。
2
元二次方程
_
0
__
ax
2
?bx?c?0
的解
?
?

?
?
x?
?

?
?
?

?
?b?
2
b4?ac
__?_____
2a
b
_ ?___?_?___

_
2a
_
?b?4a
__
2a
2
>0
c?b?i
?_?______0
16、实系数一元二次 方程
ax
2
?bx?c?0
的两根为
x
1
,x2
，则
?
?
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
|x
1
?x
2
|
=
?
|2b|
?
?
??0
??0
。




第 14 页

直线公式
y?y
2
(x
1
?x
2
)

1、 已知
A
(
x
1
,
y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
k
AB
?
1
x
1
?x
2
|AB|?
(x
1
?x< br>2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
=
1?k
2
|x
1
?x
2
|
=
1?
1
|y
1
?y
2
|

2
k
2、直线的方程：（应用以上直线方程时应考虑其存在的条件）
（1） 点方向式：
x?x
0
y?y
0
?
（过
P(x
0
,y
0
)
,一个方向向量为
(u,v)
，
uv ?0
）
uv
当
u?0
时，该直线方程为
x?x
0
；当
v?0
时，该直线方程为
y?y
0

（2）点 法向式：
a
(
x?x
0
)
?b
(
y?y< br>0
)
?
0
（过
P(x
0
,y
0)
，一个法向量为
(a,b)
）
（3）点斜式：
y?y
0
?k
(
x?x
0
)
（过
P(x
0
,y
0
)
，斜率为k）
当斜率不存在时，该直线方程为
x?x
0

（4）一般式：
Ax?By?C?0
（A、B不同时为零）
（5）斜截式：
y?kx?b
（斜率为k，在y轴上的截距为b）
当斜率不存在时，该直线方程为
x?0

第 15 页

?
x?x
0
?ut
（6）(理)参数方程：
?
（过
P (x
0
,y
0
)
,一个方向向量为
(u,v)
）
?
y?y
0
?vt
?
x?x
0
?tcos
?
（7）(理)参数方程：
?
（过
P(x
0
,y< br>0
)
,倾斜角为
?
）
y?y?tsin
?
0
?
3、直线斜率
k
和倾斜角
?
的关系：
(k?0)
?
arctank
?
?
??
?
(k不存在)

k?
tan
?
,
?
?[0,)?(,
?
)
； =
?

2
22
?
?
?
?arctank(k?0)
4、已知直线的法向量为
n?(a,b)
，则该直线的方 向向量为
d?
(b,?a)
，斜率为
a
k?
?
（< br>b?0
）
b
5、两条直线的平行和垂直
（1）若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2

?
k
1
?k
2|b?b|
l
1
l
2
?
?
；此时两平行直线< br>l
1
，l
2
间的距离
d?
12
；
1?k
2
?
b
1
?b
2
l
1
?l
2
?
k
1
k
2
??1,或一个为零另一个不存在< br>。
（2）若
l
1
:
A
1
x?B
1
y?C
1
?
0
，
l
2
:A
2x?B
2
y?C
2
?0

l
1
l2
?
A
1
B
1
?0即A
1
B
2
?A
2
B
1
?
AB
?
22
；此 时两平行直线
l
1
，l
2
间的距离
?
?
?
A
1
C
1
?0即AC?AC
1221
?
A C
2
?
2
；
d?
|C
1
?C
2
|
A?B
22
l
1
?l
2
?
A< br>1
A
2
?B
1
B
2
?0
。
6、两直线夹角公式：
（1）
tan
?
=
|
k< br>2
?k
1
|
（
l
1
:y?k
1x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
）
1?k
1
k
2
（2）
cos
?
=
|A
1
A
2
?B
1
B
2
|< br>A
1
?B
1
22
A
2
?B
2
22
（
l
1
:
A
1
x?B
1
y ?C
1
?
0
，
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
）
第 16 页

7、常见的直线系方程：
（1）定点直线系方程：经过定点
P(x< br>0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k( x?x
0
)
（除
直线
x?x
0
），其中k是待定的 系数。
（2）共点直线系方程：经过两直线
l
1
:
A
1< br>x?B
1
y?C
1
?
0
，
l
2:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线系 方程为
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
(
A
2
x?B
2
y?C
2
)
?
0
（除l
2
），其中
?
是
待定的系数。
（3）平 行直线系方程：与直线
Ax?By?C?0
平行的直线系方程为
Ax?By?C
'
?0(C
'
?C)
。
（4）垂直直线系方程：与直线
Ax?By?C?0
垂直的直线系方程为
Bx?Ay?C
'
?0
。
8、点
P(x
0
,y
0
)
到直线
Ax?B y?C?0
的距离d=
ax
0
?by
0
?c
a?b
22
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
。
9、
?
?
的符号确定了点
P(x
0
, y
0
)
关于直线
l:ax?by?c?0
的相对位
置。在直 线同侧的所有点，
?
的符号是相同的，在直线异侧的所有点，
?
的符号
是相反的。（填写“相同”或“相反”）
10、点
A
(
x
1,
y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
在直线
Ax?By?C?0
异侧
?
(Ax
1
? By
1
?C)(Ax
2
?By
2
?C)?0
。 < br>11、点
A
(
x
1
,
y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
在直线
Ax?By?C?0
同侧
?

(Ax
1
?By
1
?C)(A x
2
?By
2
?C)?0









直线与圆锥曲线联立勿忘△
1、对于 曲线C和方程
F(x,y)?0
，满足：（1）曲线C上的点的坐标都是方程
F(x, y)?0
的解；（2）以方程
F(x,y)?0
的解为坐标的点都是曲线C上的点，我
第 17 页

们就把方程
F(x,y)?0
叫做曲线C的 方程，曲线C叫做方程
F(x,y)?0
的曲线。
2、圆的方程：
（1） 圆的标准方程：
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
。
（2）圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F ?
0
(D
2
?E
2
?4F?0)
。
?< br>x?a?rcos
?
（3）圆的参数方程：
?
?
?[0,2< br>?
)，
?
是参数
。
?
y?b?rsin
?
（4）圆的复数方程：
|z?z
0
|?r

3、已知点M< br>(
x
0
,
y
0
)
，圆C：
(x?a )
2
?(y?b)
2
?r
2
。
点在圆外
?
|CM|?r?(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
；
点在圆上
?
|CM|?r?(x0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
；
点在圆内
?
|CM|?r?(x
0
?a)
2< br>?(y
0
?b)
2
?r
2
。
4、直线l
：
Ax?By?C?0
与圆C：
(x?a)
2
?(y ?b)
2
?r
2

相交
?
d?
|Aa?B b?Cc|
a?b
22
?r
；相切
?
d?
|Aa? Bb?Cc|
a?b
22
?r
；
相离
?
d?|Aa?Bb?Cc|
a?b
22
?r
。
5、圆C
1
与圆C
2
位置关系：
外离
?|C1
C
2
|?r
1
?r
2
；外切
?|C
1
C
2
|?r
1
?r
2
；相交
? |r
1
?r
2
|?|C
1
C
2
|?r1
?r
2
；
内切
?
|
C
1
C
2
|
?
|
r
1
?r
2
|(r
1
?r
2
)
；内含
?|C
1
C2
|?|r
1
?r
2
|(r
1
?r
2
)
。
6、圆的切线方程：
（1）过圆C：
x
2
?y
2
?r
2
上一点M
(x
0
,y
0)
的圆的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
2< br>。
（2）过圆C：
(x?a)
2
?(y?b)
2
? r
2
上一点M
(x
0
,y
0
)
的圆的切线 方程为
(x
0
?a)(x?a)?(y
0
?b)(y?b)
2
?r
2
。
（3）过圆C：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
0(
D
2
?E
2
?
4
F?
0)
上一点M
(x
0
,y
0
)的圆
的切线方程为
x
0
x?y
0
y?D
x0
?xy?y
?E
0
?F?
0
。
22
第 18 页

（4）斜率为k的圆C：
x
2
?y
2
?r
2
的切线方程为
y?kx?rk
2?1
。
7、圆的弦AB的长度=
2R
2
?d
2
（圆半径为R，圆心到AB距离为d）
8、椭圆的定义是平面内到两个定点F
1
， F
2
的距离之和等于常数2a（2a大于|F
1
F
2
|）< br>x
2
y
2
的点的轨迹。焦点在x轴的椭圆标准方程为
2
?
2
?
1(
a?b?
0)
，长轴长为2a，
ab
短轴长为2b，焦点坐标为
(?a
2
?b
2
,0)
，对称轴为x轴、y轴，对称中心为
(0,0)
。
?
x?acos
?
x
2
y
2
9、椭圆
2
?
2
?< br>1(
a?b?
0)
的参数方程是
?
?
?[0,2?
),
?
是参数
；
ab
?
y?bsin
?
复数方程是
|z?z
1
|?|z?z
2
|?2a,2a?|Z
1
Z
2
|
。
xy
x
2
y
2
10、点M
(
x
0
,
y
0
)
在椭圆
2
?
2?1(a?b?0)
内部
?
0
2
?
0
2
?
1
。
ab
ab
22
11、双曲线的定义是平面内到两 个定点F
1
，F
2
的距离之差等于常数2a（2a小于
x
2
y
2
|F
1
F
2
|）的点的轨迹。焦点在x轴的双 曲线标准方程为
2
?
2
?
1(
a?
0,
b ?
0)
，
ab
实轴长为2a，虚轴长为2b，焦点坐标为
(?a2
?b
2
,0)
，对称轴为x轴、y轴，
对称中心为
( 0,0)
。
12、双曲线
x
2
y
2
?
2
?
1(
a?
0,
b?
0)
2
ab
的参数方程是
?
x?asec
?
?
?[0,2
?
) ,
?
是参数
；
?
y?btan
?
?
复
||z?z
1
|?|z?z
2
||?2a,2a?|Z
1
Z
2
|
。
数方程是
x
2
y
2< br>b
13、（1）双曲线
2
?
2
?
1(
a?< br>0,
b?
0)
的渐进线方程为
y??x
。
ab
a
x
2
y
2
xy
（2）渐进线 为
??
0
的双曲线方程可设为
2
?
2
?
?
，
?
?0
。
ab
ab
14、抛物线的定义是平面 内到一个定点F和到一条定直线
l
（F不在
l
上）距离相
等的点的轨 迹。
第 19 页

p
p
15、抛物线
y
2
?2px(p?0)
，焦点坐标为
(,0)
，准线方程为
x??
，
p
的几何
2
2
意义是焦点到准线的距离。
16 、（1）曲线
F(x,y?)
F(2x
0
?x,2y
0
?y )?0
。
关
0
于点M
(
x
0
,
y
0
)
成中心对称的曲线是
（2）曲线
F(x,y?)
F(?y?c,?x?)c
。
?0

关
0
于直线
x?y?C?0
成轴对称的曲线是
*** **（3）曲线
F(x,y)?0
关于直线
Ax?By?C?0
成轴对称的点 是
F(x?
2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C)
,y?)
。
2222
A?BA?B
排列组合二项式定理概率统计公式
1、排列数公式：
P
n
m
?__n(n?1)
2
m
C
n?_
(n?m?1)__?__
n!
___(n,m?N
*
,m ?n)

(n?m)!
、
n(?
_
m!
组
n1
合
?)n
?
?
数
?(m
_
m!
*
公
n_
(n
1
式
?_

N
m )
)n
：
!
m?_
!
N
mn?mmm?1
?
_
C
n
_
；
C
n
?C
n
3、组合数性质：
C
n
=
C
n
m
?1
。
4、组合数恒等式：
（1）C
r
r
?C
r
r
?1
?C
r
r
?2
?
012
?C
n
?C
n
?
（2）
C
n
r
?1
?C
n
=
C
n
r
?1
；
n
?C
n
=
2
n
；
024
?C
n
?C
n
?
（3）
C
n
135
? C
n
?C
n
?
=
2
n?1
=
C< br>n
。
1k
（4）
nP
n
k
?
?< br>1
?_P
n
_;
n
m?1m
C
n?1
?_C
n
_.

m
mm
_
C
n
5、排列数与组合数的关系：
P
n
m
?
_
P
m
0n1n?1
a?C
n
ab?
6、二项式定理
(a?b
)
n
=
C
n
rn?rr
?C
n
ab?
nn
?C
n
b(n?N
?
)
， < br>其中通项公式
T
r?1
=
C
n
r
a
n?r
b
r
。
7、二项式系数，当n是偶数时，中间一项
C
取得最大值，当n是奇数时，中间
n
2
n
第 20 页

两项
C
n?1
2
n
?C
n?1
2
n
取得最大值。
8、记必然事件为
?
，不可能事件为
?
，随机事件为A
P(?)?_1__;P(?)?_0__;P(A)?__[0,1]___

设E、F是两个随机事件（填写独立、对立、互斥）
（1）满足
E?F??
且
E?F??
的E和F叫做对立事件； （2）（理）E、F不可能同时出现，则E和F叫做互斥事件；此时
P(E?F)?P(E)?P( F)

（3）（理）E、F互相之间没有影响，则E和F是互相独立事件；此时
P(E F)?P(E)P(F)

9、（理）概率加法公式：
P(A?B)
=
P(A)?P(B)?P(AB)
。
10、设总体有N个个体，它们分别是
x
1
,x
2
,x
3
,
则总体方差
?
2
=
1
[(x
1
?
?
)
2
? (x
2
?
?
)
2
?
N
x
N
，且它们的平均数为
?

?(x
n
?
?
)
2
]

?
叫做总体标准差，反映总体中各个个体之间的差别的大小。

11、抽样方法：
（1）随机抽样：抽样过程中能使总体中的每一个个体都有同样的可能性被 选入
样本。（抽签、利用随机数抽样等）
（2）系统抽样：把总体的每一个个体编号，按某种相等的间隔抽取样本的方法。
（3）分层抽样：把总体分成若干个部分，然后再每个部分进行随机抽样的方法。
将总体个数N分成k层，每层的个体数分别记作
N
1
,N
2
,N3
,
在每层中分别随机抽取
n
1
,n
2
,n< br>3
,
本。
n
n
1
n
?
2
?
3
?
N
1
N
2
N
3
?
n
k
n
?

N
k
N
N
k
，
n
k
个个体组成 容量为
n
的样
12、样本为
x
1
,x
2
, x
3
,x
n
，样本容量为
n
，则
总体均值的点估 计值为
x
=
x
1
?x
2
?x
3
?
n
?x
n

第 21 页

总体标准差的点估计值为
s?

1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?
n?1?(x
n
?x)
2
]

均值的
?
估计 区间为
[x?
?
,x?
?
]
。
13、（理）取离散值的随机变量叫做离散型随机变量，其取值概率可用下表给出
x
i

x
1

x
2

……
x
n

P(
?
?x
k
)

p
1

p
2

……
p
n

随机变量所有的取值
x
1
,x
2
,
量的概率分布律。
,x
n
对应的概率所成的数列
p
1
,p
2
,,p
n
叫做随机变
随机变量
?
的数学期望为
E
?
=
x< br>1
p
1
?x
2
p
2
??x
n
p
n

?(x
n
?E
?
)
2
p
n
随机变量
?
的方差
D
?
=
(x
1
?E
?
)
2
p
1
?(x
2
?E
?)
2
p
2
?
数学期望是随机变量的加权平均数，表示随机变量取 值的平均水平，因此也叫做
随机变量的均值；随机变量的方差或标准差刻画了随机变量取值的离散程度。
14、（理）把直角坐标系的远点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并且取相同的
单位长度。
设M是平面内的任意一点，它的直角坐标为
(x,y)
，极坐标为
(
?
,
?
)

?
?
2
?x
2
?y
2
?
x?
?
cos
?
?
则
?
，
?
y
tan
?
?x(?
?
y?
?
sin
?
?
x
?
。
0)
15、（理）
?
?
?
0
?a
?
对应的曲线叫做等 速螺线（阿基米德螺线）





立体几何公式 1、如果直线
l
上有两个点在平面
?
上，那么直线
l
与 平面
?
的关系是直线
l
在平
面
?
上
如果平面
?
与平面
?
相交，那么它们所有的交点构成的图形是直线
确定平面的条件是不在同一直线上的三点确定一个平面，或直线和直线外一
第 22 页

点确定一个平面，或两条相交直线确定一个平面，或两条平行直线确定一个平面。
平行与同一直线的两条直线平行。
如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补。
2、空间直线
l< br>1
与直线
l
2
所成角是指在直线
l
1
上任取 一点M，过M作
l
2
的平行线
l
3
，
l
1
与
l
3
的夹角就是直线
l
1
与直线
l2
所成角，范围是
[0,
?
2
]
。
空 间直线
l
与平面
?
所成角是指当直线
l
与平面
?< br>不垂直时，直线
l
与平面
?
所成角是指直线
l
与其在 平面上
?
的投影
l'
所成的角，范围是
[0,]
。
2
空间平面
?
1
与平面
?
2
所成角 是指在两平面的交线
l
上任取一点O，过点O分
别在两平面上作垂线OM、ON，?MON
就是平面
?
1
与平面
?
2
所成角，范 围是
[0,
?
)
。
?
3、与平面上任何直线都垂直的直线 叫做平面的垂线。如果一条直线与平面上的
两条相交直线垂直，那么它与平面上的任意直线都垂直。 < br>4、已知平面
?
与平面
?
互相平行，平面
?
与它们的 交线分别为直线a，b，那么
直线a，b的位置关系是
ab
。
已知直 线
l
平行于平面
?
，平面
?
经过
l
且与平 面
?
相交于直线
l'
，那么直线
l
与
l'
的位置关系是
ll'
。
5、请写出定理“在平面内的一条直线，如果它和这个平面的 一条斜线的射影垂
直，那么它也和这条斜线垂直”的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面
的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。
6、斜二测法规定在x轴方向上线段的长度是其 表示的真实长度的一半，在y轴
和z轴方向上线段的长度与其表示的真实长度相等。
斜二测画法中原图形和直观图的面积比为
1:
2
。
4
7、祖暅原理 是：体积可以看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间
图形，若在任意等高处的截面面积都对 应相等，则两空间图形的体积相等。
8、圆柱是由长方形绕其一条边所在直线旋转形成的，圆锥是由直角三角形绕其
第 23 页

一条直角边所在直线旋转形成的，球是由半圆绕其直径所在直线旋转形成的。


9、设几何体的底面周长为C，母线或斜高长为
h'
，则圆柱或直棱柱的侧 面积为
1
Ch'
；圆锥或正棱锥的侧面积为
Ch'
；半径为R的球的 表面积为
4
?
R
2
。
2
14
10、柱体 体积公式为
Sh
，锥体体积公式为
Sh
，半径为R的球的体积为
?< br>R
3
。
33
11、半径为R的球的小圆半径为
r
=
R
2
?d
2
（球心到小圆所在平面距离为d）
12、球面距离是指联结球面上两点的路径中，通过该两点的大圆劣弧的长度。
13、（理） 已知空间中，直线
l
1
，
l
2
方向向量分别为
d< br>1
，
d
2
，平面
?
、
?
分别法向量为
n
1
，
n
2
，则
直线
l1
与
l
2
所成角
?
满足：
cos
?< br>?|
d
1
?d
2
|

|d
1
||d
2
|
d
1
?n
1
|

| d
1
||n
1
|
n
1
?n
2
n? n
或cos
?
?
12

|n
1
||n2
||n
1
||n
2
|
直线
l
1与平面
?
所成角
?
满足：
sin
?
?|
平面
?
与平面
?
所成二面角
?
满足：
cos?
?
点A到平面
?
的距离d=
|













AM?n
1
|

|n
1
|
第 24 页