那些年我们一起背的公式——高中数学公式大全

公式记得少，分数哪里找 罗Sir
那些年我们一起背的公式——高中数学公式大全
一、对数：
1．对数恒等式：
a
log
a
N
?N
. 2．基本性质：
log
a
a?1
，
log
a
1?0
.（底对1，1对0）
3．运算性质：当
a?0,a?1,M?0,N?0
时：（乘除变加减，指数提前面）
⑴
log
a
?
MN
?
?log
a
M?log
a
N
； ⑵
log
a
?
⑶log
a
M
n
?nlog
a
M
.
4．换底公式：
log
a
b?
?
M
?
?
? log
a
M?log
a
N
；
N
??
log
c
b

?
a?0,a?1,c?0,c?1,b?0
?
.
log
c
a
m
1
log
a
b
6．倒数关系：
log
a
b?
?
a?0,a?1,b?0,b?1< br>?
.
n
log
b
a
m
5．重要公式：log
a
n
b?
二、 函数与导数

1．几种常见函数的导数
1
； ④
(sinx)
?
?cosx
； ⑤
(cosx)
?
??sinx
；
2
x
119
(lnx)
?
?
⑥
(a
x
)
??a
x
lna
； ⑦
(e
x
)
?
?e
x
； ⑧
(log
a
x)
?
?
； ○
xlnax
①
C
?
?0
； ②
(x
n
)
?
?nx
n?1
； ③
()
?
??
2．导数的运算法则
（1）
(u?v)
?
?u
?
?v
?
. （2）
(uv)
?
?u
?
v?uv
?
. （3 ）
()
?
?
1
x
u
v
u
?
v?uv
?
(v?0)
.
v
2

三、三角函数
1． 特殊角0°，30°，45°，60°， 90°，180°，270°等的三角函数值.
?

0
0
1
0
?
6

?
4

?
3

?
2

2
?
3

3
?
4

?

0
3
?
2

2
?

sin
?

cos
?

1

2
3

2
3

3
2

2
2

2
1
3

2
1

2
1
0
3

2
1
?

2
2

2
?
-1
0
不存在
0
1
0
2

-1
2
-1 0
tan
?

3

不存在
?3


2．同角三角函数的基本关系式
22
(1) 平方关系：
sin
?
?cos
?
?1
. (2) 商数关系：
tan
?
?
sin
?
.(3) 倒数关系：
tan
?
cot
?
?1

cos
?

3. 三角函数的诱导公式
（概括为
“符号看象限，纵变横不变”
）
平时努力，高考不费力
1

公式记得少，分数哪里找 罗Sir
(1) 诱导公式一： (2) 诱导公式二：
sin
?
?
?2k
?
?
?sin< br>?
,sin
?
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
?
?2k
?
?
?cos?
,
（其中：
k?Z
）
cos
?
??
?
?
??cos
?
,

tan
?< br>?
?2k
?
?
?tan
?
.tan
?
?
?
?
?
?tan
?
.
(3)诱导公式三： (4)诱导公式四：
sin
?
?
?
?
??sin
?
,sin
?
?
?
?
?
?sin
?
,

cos
?
?
?
?
?cos
?
,

cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,

tan
?
?
?
?
??tan
?
.tan
?
?
?
?
?
??tan
?
.< br> (5)诱导公式五： (6)诱导公式六：
?
?
??
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
,sin
?
?
?
?
?cos< br>?
,
?
2
??
2
?

?
?
??
?
?
cos
?
?
??
?sin
?
.cos
?
?
?
?
?? sin
?
.
?
2
??
2
?
4. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
si n
?
(2)
sin
?
?
?
?
?
? sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

（3）
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
（4）
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos?
?sin
?
sin
?

(5）
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
tan
?
?tan
?
.(6)
tan
?
?
?
?
?
?
.
1?tan
?
tan< br>?
1?tan
?
tan
?
5．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)
sin2
?
?2sin
?
cos
?
，变形：
sin
?
cos
?
?
1
.
2
sin2
?
2222
(2)
cos2
?
?cos< br>?
?sin
?

?2cos
?
?1?1?2sin
?
.
变形如下： ?
cos
2
?
?
1
(1?cos2
?
)
?
?
?
1?cos2
?
?2cos
?
2
升幂公式：
?
降幂公式：
?
2
2< br>?
?
sin
?
?
1
(1?cos2
?
)
?
1?cos2
?
?2sin
?
?2
2
(3)
tan2
?
?
2tan
?
.
1?tan
2
?
6．辅助角公式
y?asinx?bcosx?a
2
?b
2
sin(x?
?
)

四、向量
1． 设
a?
?
x
1
,y
1
?
, b?
?
x
2
,y
2
?
，则： ⑴
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2?
，⑵
a?b?
?
x
1
?x
2
,y< br>1
?y
2
?
，
⑶
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
?
，⑷
ab? x
1
y
2
?x
2
y
1
.
2． 设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?x
2
,y
2
?
，则：
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?

平时努力，高考不费力
2

公式记得少，分数哪里找 罗Sir
3．向量的数量积：
a?b?abcos
?
. 4．
a
在
b
方向上的投影为：
acos
?
.
?
?
??
2
5．
a?a
. 6．
a?a
，
a?b?(a?b)
. 7．
a?b?a?b?0
.
2
2
2
8．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x2
,y
2
?
，则：⑴
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
⑵
a?x
1
2
?y
1
2

????????
⑶
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
⑷
ab?a?
?
b?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

9． 设
A
?
x
1
,y
1
?< br>,B
?
x
2
,y
2
?
，则：
AB ?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
.
x
1
x< br>2
?y
1
y
2
x?y?x
2
?y
2
2
1
2
1
22
??
a?b
10．两向量的 夹角公式
cos
?
?
??
?
ab
五、直线
1．倾斜角与斜率：
k?tan
?
?
2．直线方程的五种形式：

y
2
?y
1
(x
1
?x
2)

x
2
?x
1
⑴点斜式：
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
；⑵斜截式：
y?kx?b⑶两点式：
y?y
1
y
2
?y
1
；
?
x?x
1
x
2
?x
1
⑷截距式：
xy
??1
⑸一般式：
Ax?By?C?0
（A,B不同时为0）
ab
3．两直线的位置关系：
?
k?k
2
l
1< br>:y?k
1
x?b
1
,l
2
:y?k
2x?b
2
有：⑴
l
1
l
2
?
?
1
； ⑵
l
1
和
l
2
相交
? k
1
?k
2
；
?
b
1
?b
2< br>?
k
1
?k
2
?
l
⑶
l
1
和
2
重合； ⑷
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
?
?
b
1
? b
2
4．两点间距离公式：
P
1
P
2
?
5 ．点到直线距离公式：
d?
6．两平行线间的距离公式：
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2

Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

l
1
：
Ax?By?C
1
?0
与
l
2< br>：
Ax?By?C
2
?0
平行，则
d?
六、圆
1．圆的方程：
C
1
?C
2
A?B
22

⑴标准方程：
?
x?a
?
?
?
y?b
?< br>?r
2
.其中圆心为
(a,b)
，半径为
r
. 22
⑵一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0
.其中圆心为
(?
平时努力，高考不费力
3
22
D
2
,?
E
2
)
，半径为
r?
1
2
D
2
?E
2
?4F
.

公式记得少，分数哪里找 罗Sir
2．直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
22
3．弦长公式：
l?2r?d，
l?1?k
2
(x
1
?x
2
)
2< br>?4x
1
x
2
（圆锥曲线也适用）
4．两圆位置关系：
d?O
1
O
2

⑴外离：
d?R?r
；⑵外切：
d?R?r
； ⑶相交：
R?r?d?R?r
；
⑷内切：
d?R?r
； ⑸内含：
d?R?r
.
5．空间中两点间距离公式：
P
1
P
2
?
?
x
2
?x
1
?
2?
?
y
2
?y
1
?
2
?
?< br>z
2
?z
1
?
2


七、圆锥曲线
1．椭圆
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形


标准方程
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
定义
范围
到两定点
F、F
2
的距离之和等于常数2
a
，即
| MF
1
|?|MF
2
|?2a
（
2a?|F
1F
2
|
）
1
?a?x?a
且
?b?y?b

?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
? a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

顶点
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?

?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

轴长
对称性
焦点
焦距
长轴的长
?2a
短轴的长
?2b

关于
x
轴．
y
轴对称，关于原点中心对称
F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c(c2
?a
2
?b
2
)

cc
2
a
2
?b
2
b
2
e????1?
222
a aaa
(0?e?1)

离心率
弦长公式
平时努力，高考不费力
A(x
1,
y
1
),B(x
2,
y
2
)
，
AB??1?k
2(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2

4

公式记得少，分数哪里找 罗Sir
2．双曲线

焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程

x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?
a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
到两定点< br>F
1
、F
2
的距离之差的绝对值等于常数
2a
，即< br>|MF
1
|?|MF
2
|?2a
定义
（
0?2a?|F
1
F
2
|
）
范围
顶点
轴长
对称性
焦点
焦距
x??a
或
x?a
，
y?R

y??a
或
y?a
，
x?R

?
1
?
?a,0
?
．
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?
．
?
2
?
0,a
?

实轴的长
?2a
虚轴的长
?2b

关于
x
轴．
y
轴对称，关于原点中心对称
F
1< br>?
?c,0
?
．
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
．
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c(c2
?a
2
?b
2
)

cc
2
a
2
?b
2
b
2
e????1?
2
aa< br>2
a
2
a
y??
b
x

a
离心率
(e?1)

y??
a
x

b
渐近线方程












平时努力，高考不费力
5

公式记得少，分数哪里找 罗Sir
3．抛物线

图形




y
2
?2px

标准方程
y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?

定义
顶点
离心率
对称轴
范围
?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

与一定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点
F
不在定直线
l
上)
?
0,0
?

e?1

x
轴
x?0

?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
y
轴
x?0

?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
y?0

p
??
F
?
0,
?

2
??
y?0

p
??
F
?
0,?
?

2
??
焦点
准线方程
焦点弦长
公式
参数
p
的
几何意义
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
AB?x
1
?x
2
?p

参数
p
表示焦点到准线的距离，
p
越大，开口越阔



八、数列
1.等差数列
(1) 通项公式：a
n< br>＝a
1
＋(n－1)d＝a
m
＋(n－m)d.
(2)等差中项
a＋b
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项且A＝.
2
(3)前n项和公式
n?n－1??a
1
＋a
n
?n
S
n
＝na
1
＋d＝.
22
（4）等差数列的性质
已知数列{a
n
}是等差数列，S
n
是其前n项和.
1
下标和与项的和的关系 ○
若m＋n＝p＋q，则a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
.
特别地：若m＋n＝2p，则am
＋a
n
＝2a
p
.
2
任意两项的关系 ○
a
m
－a
n
在等差数列{a
n
}中，m、n∈N< br>*
，则a
m
－a
n
＝(m－n)d或a
m
＝ a
n
＋(m－n)d或＝d.
m－n

2.等比数列
平时努力，高考不费力
6

公式记得少，分数哪里找 罗Sir
(1) 通项公式：a
n
＝a
1
q
n1
.
(2)等比中项
－
Gb
如果三个数a、G、b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项，那么＝，即G
2
＝ab.
aG
(3)前n项和公式
na ?q ＝1?
?
?
1
S
n
＝
?
a
1?1－q
n
?a
1
－a
n
q
.
＝ ?q≠1?
?
1－q
?
1－q
（4）等比数列的性质
a< br>m
m
－
n
1
{a
n
}为等比数列，则＝q○ ；
a
n
*
2
若m、n、p、q∈N且m＋n＝p＋q，则a
m
·○a
n
＝a
p
·a
q
.特别地，a
1
a
n
＝a
2
a
n
－
1
＝a3
a
n
－
2
＝…；
3.常见的裂项公式有：
111
1
○＝－；
n?n＋1?
n
n＋1
111
1
2
○＝
?
n
－
n＋k
?
；
?
n?n＋k?
k
?
1
?
11
?< br>1
－
3
○＝
?2n－1??2n＋1?
2
?
2n－12n＋1
?
4
○

1
=（
n?k
－
n
）
n?k?n
k
1
九、基本不等式
a＋b
1.基本不等式：ab≤.(一正二定三相等)
2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
2.常用的几个重要不等式
(1)a
2
＋b
2
≥2ab (a，b∈R)；
(2)
a?b?2ab
（a>0，b>0）
a＋b
2
(2)ab≤()(a，b∈R)；
2
ba
(4)＋≥2(a，b同号且不为零).
ab

十、直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐 标系中取相同的长度单位．设M是平
面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ， θ)，则
?
?
x＝ρcos θ
?
?
?
，
?
y
?
tan θ＝?x≠0?
?
y＝ρsin θ
?

ρ
＝x＋y
x
222
?


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平时努力，高考不费力
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