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高中大学数学公式归纳

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 13:48
tags:高中数学公式

高中数学逻辑推理考察-更高更好的高中数学


高等数学公式
导数公式:
(tgx)
?
?sec
2
x
(ctgx)
?
??csc
2
x
(secx)
?
?secx?tgx
(cscx)
?
??cscx?ctgx(a
x
)
?
?a
x
lna
1
(log
a
x)
?
?
xlna
基本积分表:
(arcsi nx)
?
?
1
1?x
2
1
(arccosx)?
??
1?x
2
1
(arctgx)
?
?1?x
2
1
(arcctgx)
?
??
1?x
2
?
tgxdx??lncosx?C
?
ctgxdx?lnsinx?C< br>?
secxdx?lnsecx?tgx?C
?
cscxdx?lncscx? ctgx?C
dx1x
?arctg?C
?
a
2
?x
2
aa
dx1x?a
?ln
?
x
2
?a
2
2ax?a
?C
dx1a?x
?
?
a
2
?x
2
2a
ln
a?x
?C
dxx
?arcsin ?C
?
a
2
?x
2
a
?
2
ndx
2
?
cos
2
x
?
?
secxd x?tgx?C
dx
2
?
sin
2
x
?
?
cscxdx??ctgx?C
?
secx?tgxdx?secx?C
?< br>cscx?ctgxdx??cscx?C
a
x
?
adx?
l na
?C
x
?
shxdx?chx?C
?
chxdx?sh x?C
?
dx
x
2
?a
2
?ln(x?x
2
?a
2
)?C
?
2
I
n
?
?< br>sinxdx?
?
cos
n
xdx?
00
n?1I
n?2
n
?
?
?
x
2
a
2
2
x?adx?x?a?ln(x?x
2
?a
2
)?C22
x
2
a
2
222
x?adx?x?a?lnx?x
2
?a
2
?C
22
x
2
a
2x
222
a?xdx?a?x?arcsin?C
22a
22
三 角函数的有理式积分:
2u1?u
2
x2du
sinx?, cosx?,  u?tg, dx?

2
1?u
2
1?u
2
1? u
2


一些初等函数: 两个重要极限:
e
x
?e
?x
双曲正弦:shx?
2e
x
?e
?x
双曲余弦:chx?
2
shxe
x
?e
?x
双曲正切:thx??
chx
e
x
?e
?x
arshx?ln(x?x
2
?1)
archx??ln(x? x
2
?1)
11?x
arthx?ln
21?x

三角函数公式:
·诱导公式:
函数
角A

90°-α
90°+α
180°-α
180°+α
270°-α
270°+α
360°-α
360°+α
sin
lim
sinx
?1
x?0
x
1
lim(1?)
x
?e?2.7045...
x??
x
cos tg
-tgα
ctgα
ctg
-ctgα
tgα
-ctgα
ctgα
tgα
-ctgα
ctgα
-sinα cosα
cosα
cosα
sinα
sinα
-sinα -ctgα -tgα
-cosα -tgα
-sinα -cosα tgα
-cosα -sinα ctgα
-cosα sinα
-sinα cosα
sinα cosα
-tgα
tgα
-ctgα -tgα

·和差角公式: ·和差化积公式:
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?
sin
?< br>sin
?
tg(
?
?
?
)?
tg
?
?tg
?
1
?
tg
?
?tg
?
c tg
?
?ctg
?
?
1
ctg(
?
??
)?
ctg
?
?ctg
?
sin
?
?sin
?
?2sin
?
?
?
22
?
?< br>??
?
?
sin
?
?sin
?
?2coss in
22
?
?
??
?
?
cos
?
?cos
?
?2coscos
22
?
?
??
??
cos
?
?cos
?
?2sinsin
22
cos
?
?
?


·倍角公式:
sin2< br>?
?2sin
?
cos
?
cos2
?
?2c os
2
?
?1?1?2sin
2
?
?cos
2?
?sin
2
?
ctg
2
?
?1
ct g2
?
?
2ctg
?
2tg
?
tg2
?< br>?
1?tg
2
?

·半角公式:
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
cos3
?
?4cos
3
?
?3cos
?
3tg
?
?tg< br>3
?
tg3
?
?
1?3tg
2
?
s in
tg

?
2
??
??
1?cos
??
1?cos
?
            cos??
222
1?co s
?
1?cos
?
sin
??
1?cos
?
1?cos
?
sin
?
??  ctg????
1?cos
?
sin
?
1?cos
?
21?cos
?
sin
?
1?cos
?
abc
???2R
·余弦定理:
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC

sinAsinBsinC
?
2
·正弦定理:

·反三角函 数性质:
arcsinx?
?
2
?arccosx   arctgx??
2
?arcctgx


高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
(uv)
(n)k(n?k) (k)
?
?
C
n
uv
k?0
n
?u
(n)
v?nu
(n?1)
v
?
?
n(n?1)
(n?2)
n(n?1)
?
(n?k?1)
(n?k)(k)
uv< br>??
?
?
?uv?
?
?uv
(n)
2!k!

中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:f(b)?f(a)?f
?< br>(
?
)(b?a)
f(b)?f(a)f
?
(
?)
柯西中值定理:?
F(b)?F(a)F
?
(
?
)< br>曲率:

当F(x)?x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

< br>弧微分公式:ds?1?y
?
2
dx,其中y
?
?tg
?
平均曲率:K?
?
?
.?
?
:从M点到M
?< br>点,切线斜率的倾角变化量;?s:MM
?
弧长。
?s
y
??
?
?
d
?
M点的曲率:K?lim??.

23< br>?s?0
?sds
(1?y
?
)
直线:K?0;
1< br>半径为a的圆:K?.
a
定积分的近似计算:
b
矩形法:
?
f(x)?
a
b
b?a
(y
0
?y
1?
?
?y
n?1
)
n
b?a1
[(y
0
?y
n
)?y
1
?
?
?y
n?1
]
n2
b?a
[(y
0
?y
n
)?2(y
2
?y
4
?
?
?y
n?2
)?4(y
1
?y
3
?
?
?y
n?1
)]
3n

梯形法:
?
f(x)?
a
b
抛物线法:
?
f(x)?
a
定积分应用相关公式:
功:W?F?s
水压力:F?p?A< br>mm
引力:F?k
1
2
2
,k为引力系数

r
b
1
函数的平均值:y?f(x)dx
?
b?a
a
1
2
均方根:f(t)dt
?
b?a
a
空间解析几何和向 量代数:
b


空间2点的距离:d?M
1
M
2
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2
向量在轴上的投影:Prj
u
AB?AB?cos
?
,
?
是 AB与u轴的夹角。
????
Prj
u
(a
1
?a
2
)?Prja
1
?Prja
2
?
?
?
?
a?b?a?bcos
?
?a
x
b
x
?a
y
b
y
?a
z
b
z
,是一个数量,
两向量 之间的夹角:cos
?
?
i
?
??
c?a?b?a
x
b
x
j
a
y
b
y
a
x
b
x
?a
y
b
y
?a
z
b
za
x
?a
y
?a
z
?b
x
?b
y
?b
z
222222
k
??
?
???
a
z
,c?a?bsin
?
.例:线速度:v?w?r.
b
z
a
y
b
y
c
y
a
z
?
?
?
b
z
?a?b?ccos
?
,
?
为锐 角时,

c
z
a
x
??
????
向量的混 合积:[abc]?(a?b)?c?b
x
c
x
代表平行六面体的体积。平面的方程:
?
1、点法式:A(x?x
0
)?B(y?y
0< br>)?C(z?z
0
)?0,其中n?{A,B,C},M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)
2、一般方程:Ax?By?Cz?D ?0
xyz
3、截距世方程:???1
abc
平面外任意一点到该平面的距离 :d?
Ax
0
?By
0
?Cz
0
?D
A< br>2
?B
2
?C
2
?
x?x
0
?mt
x?x
0
y?y
0
z?z
0
?
?
空间直线的方程:???t,其中s?{m,n,p};参数方程:
?
y?y
0
?nt
mnp
?
z?z?pt
0
?
二次曲面:
x
2
y
2
z
2
1、椭球面:
2
?
2
?
2
?1
abc
x
2
y
2
2、抛 物面:??z(,p,q同号)
2p2q
3、双曲面:
x
2
y
2
z
2
单叶双曲面:
2
?
2
?
2
?1
abc
x
2
y
2
z
2
双叶双曲面:
2
?
2
?
2
?(马鞍面)1
abc

多元函数微分法及应用


全微分:dz?
?z?z?u?u ?u
dx?dy   du?dx?dy?dz
?x?y?x?y?z
全微分的近似计 算:?z?dz?f
x
(x,y)?x?f
y
(x,y)?y
多元复 合函数的求导法:
dz?z?u?z?v
z?f[u(t),v(t)]   ???? dt?u?t?v?t
?z?z?u?z?v
z?f[u(x,y),v(x,y)]    ? ???
?x?u?x?v?x
当u?u(x,y),v?v(x,y)时,
du ?
?u?u?v?v
dx?dy   dv?dx?dy 
?x?y?x?y
隐函数的求导公式:
F
x
FF
dydyd
2
y??
隐函数F(x,y)?0,  ??,  
2
?(?
x
)+(?
x< br>)?
dxF
y
?xF
y
?yF
y
dx
dx
F
y
F
?z?z
隐函数F(x,y,z)?0, ??
x
,  ??
?xF
z
?yF
z

?F
?
F(x,y,u,v)?0
?(F,G)
?u
隐函数方程组:   J??
?
?G
?(u,v)
?
G(x,y,u,v)?0
?u?u1?(F,G)?v1?(F,G)
???    ???
?xJ?(x,v)?xJ ?(u,x)
?u1?(F,G)?v1?(F,G)
???    ???
?yJ? (y,v)?yJ?(u,y)
微分法在几何上的应用:
?F
?v
?
F
u
?G
G
u
?v
F
v
G
v< br>
?
x?
?
(t)
x?xy?y
0
z?z< br>0
?
空间曲线
?
y?
?
(t)在点M(x
0
,y
0
,z
0
)处的切线方程:
0
??
? ?
?
(t)
?
(t)
?
?
(t
0
)
00
?
z?
?
(t)
?
在点M处的法平面方程:
?
?
(t
0
)(x?x
0
)?
?
?
(t
0
)(y?y
0
)?
?
?
(t0
)(z?z
0
)?0
?
?
F
y
F< br>z
F
z
F
x
F
x
?
F(x,y,z )?0
若空间曲线方程为:,则切向量T?{,,
?
GG
G
x
G
x
?
yz
G
z
?
G(x,y,z)?0
曲面F(x,y,z)?0上一点M(x
0
,y
0
,z
0
),则:
?
1、过此点的法向量:n?{F
x
(x
0
,y< br>0
,z
0
),F
y
(x
0
,y
0< br>,z
0
),F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)}
x?x
0
y?y
0
z?z
0
3、过此点的法线方程:??
F
x
(x
0
,y
0
,z
0
)F
y
(x
0
,y
0
,z
0
)F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)
方向导数与梯度:
F
y
}
G
y
2、过此点的切平 面方程:F
x
(x
0
,y
0
,z
0
)(x ?x
0
)?F
y
(x
0
,y
0
,z
0
)(y?y
0
)?F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)(z?z
0
)?0


?f?f?f< br>函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为:?cos
?
?s in
?
?l?x?y
其中
?
为x轴到方向l的转角。
?f< br>?
?f
?
i?j
?x?y
??
?f
??它与方向导数的关系是:?gradf(x,y)?e,其中e?cos
?
?i?sin< br>?
?j,为l方向上的
?l
单位向量。
?f
?是gradf( x,y)在l上的投影。
?l
函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度:gradf( x,y)?
多元函数的极值及其求法:
设f
x
(x
0
,y
0
)?f
y
(x
0
,y
0
)?0,令:f
xx
(x
0
,y
0
)?A, f
xy
(x
0
,y
0
)?B, f
yy
(x
0
,y< br>0
)?C
?
?
A?0,(x
0
,y
0
)为极大值
2
AC?B?0时,
?
?
?
A?0,(x0
,y
0
)为极小值
?
?
2
则:值
?
AC?B?0时,      无极
?
AC?B
2
?0时,        不确定
?
?
?
重积分及其应用:

??
f (x,y)dxdy?
??
f(rcos
?
,rsin
?
) rdrd
?
DD
?
曲面z?f(x,y)的面积A?
??
D
?
?z
?
?
?z
?
?
1?
??< br>?
?
dxdy
??
?
?x
?
?
?y
?
2
2
平面薄片的重心:x?
M
x
?
M< br>??
x
?
(x,y)d
?
D
??
?
(x,y)d
?
D
D
,  y?
M
y
M
?
??
y
?
(x,y)d
?
D
??
?
(x,y)d
?
D
D
平面薄片的转动惯量:对于x轴I
x
?
??
y
2
?
(x,y)d
?
,  对于y轴I< br>y
?
??
x
2
?
(x,y)d
?
平 面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力:F?{F
x
, F
y
,F
z
},其中:
F
x
?f
??D
?
(x,y)xd
?
(x?y?a)
222
2
,  F
y
?f
??
3
D
?
(x,y)yd?
(x?y?a)
222
2
,  F
z
??fa
??
3
D
?
(x,y)xd
?
(x?y?a)
2 2
3
2
2
柱面坐标和球面坐标:


?
x?r cos
?
?
柱面坐标:f(x,y,z)dxdydz?
???
F( r,
?
,z)rdrd
?
dz,
?
y?rsin
?
,   
???
??
?
z?z
?
其中:F(r,< br>?
,z)?f(rcos
?
,rsin
?
,z)
?< br>x?rsin
?
cos
?
?
2
球面坐标:
?
y?rsin
?
sin
?
,  dv?rd
?
?r sin
?
?d
?
?dr?rsin
?
drd
?d
?
?
z?rcos
?
?
2
??
r(
?
,
?
)
???
f(x,y,z)dxdydz?
???
F(r,
?
,
?
)r
??
2
sin
?
drd
?
d
?
?
?
d
?
?
d
?
00
?
F(r,
?
,
?
)r
0
2
sin
?
dr
重心:x?
1
M< br>???
x
?
dv,  y?
?
?
1
M
???
y
?
dv,  z?
?
?
1
M
? ??
z
?
dv,  其中M?x?
???
?
dv
? ?
?
转动惯量:I
x
?
???
(y
2
?z
2
)
?
dv,  I
y
?
???
(x2
?z
2
)
?
dv,  I
z
?
?? ?
(x
2
?y
2
)
?
dv
曲线积分: < br>第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):
?
x?
?
(t)
设f (x,y)在L上连续,L的参数方程为:,  (
?
?t?
?
),则:?
y?
?
(t)
?
?
L
?
x?tf(x,y)ds?
?
f[
?
(t),
?
(t)]?
?
2
(t)?
?
?
2
(t)dt  (?
?
?
)  特殊情况:
?
?
y?
?
(t)
?
?


第二类曲线积分(对坐标的曲线积分):
?
x?
?
(t)
设L的参数方程为,则:
?
y?
?
(t)
?
?
?
P(x,y)dx?Q(x,y)dy?
?
?
{P[
?
(t),
?
(t)]
?
?
(t) ?Q[
?
(t),
?
(t)]
?
?
(t)}dt< br>L
两类曲线积分之间的关系:
?
Pdx?Qdy?
?
(Pco s
?
?Qcos
?
)ds,其中
?

?
分 别为
LL
L上积分起止点处切向量的方向角。
?Q?P?Q?P
格林公式:( ?)dxdy?Pdx?Qdy格林公式:(?)dxdy?
?
Pdx?Qdy
??? ??
?x?y?x?y
DLDL
?Q?P1
当P??y,Q?x,即:??2 时,得到D的面积:A?
??
dxdy?
?
xdy?ydx
?x?y 2
LD
·平面上曲线积分与路径无关的条件:
1、G是一个单连通区域;
2、 P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且
减去对此奇点的积分,注意方向相反!·二元函数的全微分求积:
?Q?P
在=时,Pdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的 全微分,其中:
?x?y
(x,y)
?Q?P
=。注意奇点,如(0,0), 应
?x?y
u(x,y)?
(x
0
,y
0
)
?
P(x,y)dx?Q(x,y)dy,通常设x
0
?y
0
?0 。

曲面积分:
22
对面积的曲面积分:f(x,y,z)ds?f[x, y,z(x,y)]1?z(x,y)?z(x,y)dxdy
xy
????
?Dxy
对坐标的曲面积分:,其中:
??
P(x,y,z)dydz?Q(x,y, z)dzdx?R(x,y,z)dxdy
?
号;
??
R(x,y,z)dx dy??
??
R[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正
?D
xy
号;
??
P(x,y,z)dydz??
??
P[x(y,z ),y,z]dydz,取曲面的前侧时取正
?D
yz
号。
??
Q( x,y,z)dzdx??
??
Q[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正< br>?D
zx
两类曲面积分之间的关系:
??
Pdydz?Qdzdx?R dxdy?
??
(Pcos
?
?Qcos
?
?Rcos?
)ds
??
高斯公式:



???
(
?
?P?Q?R
??)dv?
??
Pdydz?Qdzdx?Rdx dy?
??
(Pcos
?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds
?x?y?z
??
高斯公式的物理意义——通量与散度:
?
?P?Q?R
?
散度:div
?
???,即:单位体积内所产生的流 体质量,若div
?
?0,则为消失...
?x?y?z
?
?
通量:
??
A?nds?
??
A
n
ds?
??< br>(Pcos
?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds,< br>?
因此,高斯公式又可写成:
???
divAdv?
??
A< br>n
ds
??
???
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系: < br>??
(
?
?R?Q?P?R?Q?P
?)dydz?(?)dzdx? (?)dxdy?
?
Pdx?Qdy?Rdz
?y?z?z?x?x?y
?< br>cos
?
?
?y
Q
cos
?
?
?z
R

dydzdzdxdxdycos
?
????
上式左端 又可写成:?
????
?x?y?z?x
??
PQRP
?R?Q?P ?R?Q?P
空间曲线积分与路径无关的条件:?, ?, ?
?y?z?z?x?x?yijk
?
???
旋度:rotA?
?x?y?z
PQR
??
?
向量场A沿有向闭曲线?的环流量:Pdx?Qdy?Rdz?A
??
?tds
??
常数项级数:
1?q
n
等比数列:1?q?q??
?q?
1?q
(n?1)n
等差数列:1?2?3?
?
?n?

2
111
调和级数:1???
?
?是发散的23n
2n?1
级数审敛法:


1、正项级数的审敛法——根植审 敛法(柯西判别法):
?
?
?1时,级数收敛
?
设:
??lim
n
u
n
,则
?
?
?1时,级数发散< br>n??
?
?
?1时,不确定
?
2、比值审敛法:
?< br>?
?1时,级数收敛
U
?
设:
?
?lim
n ?1
,则
?
?
?1时,级数发散
n??
U
n
?
?
?1时,不确定
?
3、定义法:
s
n
?u< br>1
?u
2
?
?
?u
n
;lims
n
存在,则收敛;否则发散。
n??

交错级数u
1
?u2
?u
3
?u
4
??(或?u
1
?u
2
?u
3
??,u
n
?0)的审敛法——莱布尼兹定理:
?
?
u
n
?u
n?1
如果交错级数满足s?u
1,其余项r
n
的绝对值r
n
?u
n?1

?< br>limu?0
,那么级数收敛且其和
?
?
n??
n
绝 对收敛与条件收敛:
(1)u
1
?u
2
?
?
?u
n
?
?
,其中u
n
为任意实数;
(2)u
1
?u
2
?u
3
?
?
?u
n
?< br>?
如果(2)收敛,则(1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数;
如果(2)发散,而(1 )收敛,则称(1)为条件收敛级数。

1(?1)
n
调和级数:
?
n
发散,而
?
n
收敛;
1
  级数:
?< br>n
2
收敛;
p?1时发散
1
  p级数:  
?n
p
p?1时收敛
幂级数:


1
x?1时,收敛 于
1?x
1?x?x
2
?x
3
?
?
?x< br>n
?
?
  
x?1时,发散
对于级数(3)a
0?a
1
x ?a
2
x
2
?
?
?an
x
n
?
?
,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全
x ?R时收敛
数轴上都收敛,则必存在R,使x?R时发散,其中R称为收敛半径。
x?R时不定
1
?
?0时,R?
求收敛半径的方法:设lim
a
n?1< br>?
?
,其中a
n
,a
n?1
是(3)的系数,则?
?0时,R???
n??
a
n
?
???时,R?0< br>?
函数展开成幂级数:
f
??
(x
0
)f
(n)
(x
0
)
2
函数展开成泰勒级数:f(x)?f(x
0
)(x?x
0
)?(x?x
0
)?
?
?(x?x
0
)
n
?
?
2!n!
f
(n?1)
(
?
)
余项:R
n
?(x?x
0
)
n? 1
,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是:limR
n
?0
n??(n?1)!
f
??
(0)
2
f
(n)
(0)
n
x
0
?0时即为麦克劳林公式:f(x)?f(0)?f
?
(0)x?x?
?
?x?
?
2!n!
一些函数展开成幂级数: < br>m(m?1)
2
m(m?1)
?
(m?n?1)
n
x ?
?
?x?
?
   (?1?x?1)
2!n!

2n?1
x
3
x
5
x
sinx?x???
?
?(?1)
n?1
?
?
   (???x???)
3!5!(2n ?1)!
(1?x)
m
?1?mx?
欧拉公式:
?
eix
?e
?ix
cosx?
?
?
2

e
ix
?cosx?isinx   或
?
ix?ix
?
s inx?
e?e
?
2
?
三角级数:
a
0
?
f(t)?A
0
?
?
A
n
sin(n
?
t?
?
n
)??
?
(a
n
cosnx?b
n
sinnx)
2
n?1n?1
其中,a
0
?aA
0
,a
n
?A
n
sin
?
n
,b
n
?A
n
cos
?
n

?
t?x 。
正交性:1,sin
x
,cos
x
,sin2
x
,cos2
x?
sin
nx
,cos
nx?
任意两个不同项 的乘积在[?
?
,
?
]
上的积分=0。
傅立叶级数:
?


a
0
?
f(x)??
?
(a
n
cosnx?b
n
sinnx),周期?2
?
2< br>n?1
?
?
1
(n?0,1,2
?
)
?a
n
?
?
f(x)cosnxdx   
?
?
?
?
其中
?
?
?
b?
1
f(x)sinn xdx   (n?1,2,3
?
)
?
n
?
?
?< br>?
?
11
?
2
1?
2
?
2
?
?
?
8
35
 
111
?
2
?< br>2
?
2
?
?
?
2
24
246
正弦级数:a
n
?0,b
n
?
余弦级数:b
n
? 0,a
n
?
111
?
2
1?
2
?
2
?
2
?
?
?(相加)
6
234
111< br>?
2
1?
2
?
2
?
2
?
?
?(相减)
12
234
f(x)sinnxdx  n?1,2,3
?
 f(x)?
?
b
?
?
0
2
?
n
sinnx是奇函数
2
?
?
?
0
f(x)cos nxdx  n?0,1,2
?
 f(x)?
a
0
?
?a
n
cosnx是偶函数
2

周期为
2l
的周期函数的傅立叶级数:


a
0
?
n
?
xn
?
x
f(x)??
?
(a< br>n
cos?b
n
sin),周期?2l
2
n?1
ll
l
?
1n
?
x
dx   (n?0,1,2
?)
?
a
n
?
?
f(x)cos
l
?l
l
?
其中
?
l
?
b?
1
f(x) sin
n
?
x
dx   (n?1,2,3
?
)
?
n
l
?
l
?l
?

微分方程的相关概念:
一阶微分方程:y
?
?f(x,y) 或 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0
可分离变量的微分方程:一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式,解法:
?
g(y)dy?
?
f(x)dx  得:G(y)?F(x)?C称为隐式通解。dyy
?f(x,y)?
?
(x,y),即写成的函数,解法:
dxx< br>ydydududxduy
设u?,则?u?x,u??
?
(u),??分离变 量,积分后将代替u,
xdxdxdxx
?
(u)?ux
齐次方程:一阶微分 方程可以写成
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程:
dy
1、一阶线性微 分方程:?P(x)y?Q(x)
dx
?P(x)dx
当Q(x)?0时,为齐次方程 ,y?Ce
?
P(x)dx?P(x)dx
当Q(x)?0时,为非齐次方程,y?(
?
Q(x)e
?
dx?C)e
?

dy
2 、贝努力方程:?P(x)y?Q(x)y
n
,(n?0,1)
dx
全微分方 程:
如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程,即:
?u ?u
du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0,其中:?P(x,y),?Q(x, y)

?x?y
?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程:
f(x)?0时为齐次
d
2
ydy

?P(x)?Q(x) y?f(x),
2
dx
dx
f(x)?0时为非齐次
二阶常系数齐次 线性微分方程及其解法:
(*)y
??
?py
?
?qy?0,其中 p,q为常数;
求解步骤:
1、写出特征方程:(?)r
2
?pr?q?0, 其中r
2
,r的系数及常数项恰好是(*)式中y
??
,y
?
,y的系数;
2、求出(?)式的两个根r
1
,r
2



3、根据r
1
,r
2
的不同情况,按下表写出(*)式的通解:
r
1
,r
2
的形式

两个不相等实根
(p
2
?4q?0)

两个相等实根
(p
2
?4q?0)

一对共轭复根
(p
2
?4q?0)

(*)式的通解 y?c
1
e
r
1
x
?c
2
e
r
2
x

y?(c
1
?c
2
x)e
r
1
x

y?e
?
x
(c
1
cos
?
x?c
2
sin
?
x)

r
1
?
?
? i
?
,r
2
?
?
?i
?
4q?p
2

p
?
??,
?
?
22
二阶常系数非齐 次线性微分方程
y
??
?py
?
?qy?f(x),p,q为常数
f(x)?e
?
x
P
m
(x)型,
?
为常 数;
f(x)?e
?
x
[P
l
(x)cos
?x?P
n
(x)sin
?
x]型

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