高中数学公式大全(最新整理版)(含答案)

高中数学公式大全

1、二次函数的解析式的三种形式
2
f(x)?ax?bx?c(a?0)
; (1)一般式
2
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
; (2)顶点式
12
(3)零点式.
2、四种命题的相互关系
原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否；
逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；
否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；
逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否
f(x)?a(x?x)(x?x)(a?0)
§ 函数
a
(,0)
1、若
f(x)??f(?x?a)
,则函数
y?f(x)
的图象关于点< br>2
对称;
若
f(x)??f(x?a)
,则函数
y ?f(x)
为周期为
2a
的周期函数.
2、函数
y?f(x)
的图象的对称性
(1)函数
y?f(x)< br>的图
x?a
象关于直线对称
?f(a?x)?f(a?x)

?f(2a?x)?f(x)
.
(2)函数
y?f(x)
的图象关 于直线
x?
a?b
2
对称
?f(a?mx)?f(b?mx)

?f(a?b?mx)?f(mx)
.
3、两个函数图象的对称性
( 1)函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象关于直线
x?0
(即
y
轴)对称.
(2)函数
y?f(mx?a)
与函数
y?f(b?mx)
的图象关于直线
(3)函数
y?f(x)
和y?f
?1
x?
a?b
2m
对称.
(x)
的图象关于直线y=x对称.
4、若将函数
y?f(x)
的 图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y?f(x?a)?b
的图象；若将曲线
f(x,y)?0
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到曲线
f(x?a,y?b)?0
的图象.
?1
f(a)?b?f(b)?a
. 5、互为反函数的两个函数的关系：
1
y?[f
?1
(x)?b]
?1
y?f(kx?b)
y?[ f(kx?b)
,而函数
k
6、若函数存在反函数,则其反函数为,并不是
1
y?[f(x)?b]
?1
y?[f(kx?b)
是
k
的反 函数.
7、几个常见的函数方程
(1)正比例函数
f(x)?cx
,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c
.
x
f(x)?a
(2)指数函数,
f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0
.
f(x) ?log
a
x
,
f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0, a?1)
. (3)对数函数
?
'
f(x)?x
f(xy)?f(x )f(y),f(1)?
?
. (4)幂函数,
(5)余弦函数
f(x)?c osx
,正弦函数
g(x)?sinx
，
f(x?y)?f(x)f(y)? g(x)g(y)
，

§ 数 列

1、数列的同项公式与前n项的和的关系
n?1
?
s
1
,
a
n
?
?
?
s
n
?s
n?1,n?2
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
??a
n
).
*
a?a?(n?1)d?dn?a?d(n?N)
；其前n项和公式为
n11
2、等 差数列的通项公式
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d1s
n
??na
1
?d?n
2
?(a
1
?d)n
2222
.
a
a
n
?a
1
q< br>n?1
?
1
?q
n
(n?N
*
)
q
3、等比数列的通项公式；其前n项的和公式为
?
a
1
(1?q< br>n
)
,q?1
?
s
n
?
?
1?q< br>?
na,q?1
?
1
4、等比差数列
?
a
n
?
:
a
n?1
?qa
n
?d,a
1
?b(q?0)
的通项公式为
或
?
a
1
?a
n
q
,q?1
?
1?q
s
n
?
?
?
na,q?1
?
1
.
?
b?(n?1)d,q?1
?
a
n
?
?
bq
n
?(d?b)q
n? 1
?d
,q?1
?
q?1
?
；其前n项和公式为
?
nb?n(n?1)d,(q?1)
?
s
n
?
?
d1?q
n
d
(b?)?n,(q?1)
?
1?qq?11?q?
.
§ 三角函数
sin
?
22
1、同角三角函数的基本关系式
sin
?< br>?cos
?
?1
，
tan
?
=
cos
?
，
tan
?
?cot
?
?1
.
2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

n
?
n
?
?
(?1)
2
sin
?
,
sin(?< br>?
)?
?
n?1
2
?
(?1)
2
c os
?
,
?
n
2

(n为偶数)

(n为奇数)
(n为偶数)

(n为奇数)
?
n?
?
(?1)cos
?
,
cos(?
?
)?< br>?
n?1
2
?
(?1)
2
sin
?
,
?

3、和角与差角公式
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
sin
?
sin
?
;
tan
?
?tan
?
1tan
?
tan
?
.
si n(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin
2
?
?sin
2
?
(平方正弦公式);
cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos2
?
?sin
2
?
.
tan(
?
?
?
)?
asin
?
?bcos
?
=
a?b sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决定,
4、二倍角公式
22
tan
?
?
b
a
).
sin2
?
?sin
?
cos
?
.

cos2
?
?cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1?1?2sin
?
.
2tan
?
tan2
?
?
1?tan
2
?
.
5、三倍角公式
2222
sin3
?
?3sin
??4sin
3
?
?4sin
?
sin(?
?
) sin(?
?
)
33
.
cos3
?
?4cos< br>3
?
?3cos
?
?4cos
?
cos(?
?
)cos(?
?
)
33
??
??
.
3t an
?
?tan
3
???
tan3
?
??tan< br>?
tan(?
?
)tan(?
?
)
1?3tan2
?
33
.
6、三角函数的周期公式
函数
y?s in(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0 )的周期
函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
T?
2
?
?
；
2
(A,ω,
?
为常数， 且A≠0，ω＞0)的周期
abc
???2R
sinAsinBsinC
7、 正弦定理 .
8、余弦定理
x?k
?
?
?
,k?ZT?
?
?
.
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
9、面积定理
111
ah
a
?bh
b
?chc
h、h
b
、h
c
222
（1）（
a
分别表示a、b、c边上的高）.
111
S?absinC?bcsinA?casinB
222
（2）. < br>1
S
?OAB
?(|OA|?|OB|)
2
?(OA?OB)
2
2
(3).
S?
§平面向量
1、两向量的夹角公式
cos
?
?
x
1
x
2
?y
1y
2
22
(x,y)
(x,y)
x
1
2
?y
1
2
?x
2
?y
2
(a=
11,b=
22
).
2、平面两点间的距离公式

d
A,B
|AB|?AB?AB
=
(A
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)< br>2
3、向量的平行与垂直
设a=
(x
1
,y
1< br>)
，B
(x
2
,y
2
)
).
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b
?
0，则
.
.
a||b
?
b=λa
?x
1
y
2
?x< br>2
y
1
?0
a
?
b(a
?
0)?
a·b=0
4、线段的定比分公式
设
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
P
1
P
2
的分点,
?
是实数，且
PP
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2< br>)
，
P(x,y)
是线段
P
1
?
?
PP
2
，则

x
1
?
?
x
2
?
x?
?
?
1?
?
?OP?
?
OP
2
1
?
y?
y
1
?
?
y
2
OP?
1
t?
?
1?
?
?
?
?
OP?tOP
1?
?
1
?(1? t)OP
2
（
1?
?
）.
5、三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐标是
G(
x
1
? x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3< br>,)
33
.
6、 三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为
?ABC
所在平面上一点，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
，则
（1）
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0
.
（3）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?O C?OC?OA
.
（4）
O
为
?ABC
的内心
? aOA?bOB?cOC?0
.
（5）
O
为
?ABC
的< br>?A
的旁心
?aOA?bOB?cOC
.
222
§直线和圆的方程
y?y
1
k?
2
x2
?x
1
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)）. 1、斜率公式

2、直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
?
y?y
1
x
2
?x
1
(
y
1
?y
2
)(
P
1
(x1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
, y
2
)
(
x
1
?x
2
)). （3）两点式
2
xy
??1
(4)截距式
ab
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
3、两条直线的平行和垂直
(1)若
①
②
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2< br>x?b
2
;

l
1
||l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
l
1?l
2
?k
1
k
2
??1
.
(2) 若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0< br>,,且A1、A2、B1、B2都不为零,
A
1
B
1
C1
??
ABC
2
；
22
①
l
1?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
l
1
||l
2
?
②；
d?
4、点到直线的距离

5、圆的四种方程
|Ax
0
?By
0
?C|
A
2
?B
2
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By ?C?0
).
222
(x?a)?(y?b)?r
（1）圆的标准方程 .

22
（2）圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
＞0).
22
?
x?a?rcos
?
?
y?b?rsin
?
. （3）圆的参数方程
?
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y ?y
1
)(y?y
2
)?0
(圆的直径的端点是
A(x1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
). （4）圆的直径式方程
6、直线与圆的位置关系
222
Ax? By?C?0
(x?a)?(y?b)?r
直线与圆的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0d?r?相交???0
.
A?B
其中
7、圆的切线方程
d?
Aa?Bb?C
22
.
22
x?y?Dx?Ey?F ?0
．①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上，则切 线只有一条，其方程是 (1)已知圆
D(x
0
?x)E(y
0
?y )
??F?0
(x
0
,y
0
)
22
.当圆外时,
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
x
0
x?y
0
y???F?0
22
表示过两个切点的切点弦方程．②过 圆外一点的切线方程可设为
x
0
x?y
0
y?
y?y
0
?k(x?x
0
)
，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要 漏掉平行于y轴的切线．③斜率为k
的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件 求b，必有两条切线．
222
P(x,y)
xx?y
0
y?r;②斜率为
k
的圆的切线方程为(2)已知圆
x?y?r
．①过圆上的< br>000
点的切线方程为
0
2
y?kx?r1?k
2
.

§圆锥曲线方程
?
x?acos
?
x
2
y
2
?
?
2
?1(a?b?0)
2
y?bsin
?
.
b
1、椭圆
a
的参数方程是
?
x< br>2
y
2
a
2
a
2
?
2
?1 (a?b?0)PF
1
?e(x?)PF
2
?e(?x)
2
abc
，
c
2、椭圆焦半径公式 .
3、椭圆的切线方程
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
??1(a ?b?0)
?
2
?1
22
2
P(x
0
,y
0
)
ab
ab
(1)椭圆上一点处的切线方程是.
x2
y
2
?
2
?1(a?b?0)
2
P(x0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
ab
(2) 过椭圆外一点
x
0
xy
0
y
?
2
?1a
2
b
.
x
2
y
2
?
2< br>?1(a?b?0)
22222
2
b
(3)椭圆
a
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
Aa?Bb?c
.
a2
a
2
x
2
y
2
PF
1
?| e(x?)|PF
2
?|e(?x)|
?
2
?1(a?0,b?0)
2
c
，
c
ab
4、双曲线的焦半径公式.
5、双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2
y
2
x
2
y
2
b
??1??0?
y??x
22
22ab
?
ab
a
(1）若双曲线方程为渐近线方程：.

xy
xy
b
???
??0
y?? x
22
?
双曲线可设为
ab
a
?
ab
(2 )若渐近线方程为.
x
2
y
2
x
2
y
2
?
2
?1?
2
??
22
abab
(3)若 双曲线与有公共渐近线，可设为（
??0
，焦点在x轴上，
??0
，焦点在y
轴上）.
6、 双曲线的切线方程
22
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
??1(a?0,b?0)
?2
?1
22
2
P(x,y)
00
ab
ab (1)双曲线上一点处的切线方程是.
x
2
y
2
?
2
?1(a?0,b?0)
2
P(x
0
,y
0
)< br>所引两条切线的切点弦方程是
b
（2）过双曲线
a
外一点
x
0
xy
0
y
?
2
?1
2
ab.
x
2
y
2
?
2
?1(a?0,b?0)< br>22222
2
b
(3)双曲线
a
与直线
Ax?By ?C?0
相切的条件是
Aa?Bb?c
.
p
CF?x?
2
2
0
y?2pxy?2px(p?0)
2
.过焦点弦长7、抛物线的 焦半径公式：抛物线焦半径
pp
CD?x
1
??x
2
??x
1
?x
2
?p
22
.
b
2
4a c?b
2
y?ax?bx?c?a(x?)?
(a?0)
的图象是抛物线：< br>2a4a
8、二次函数（1）顶点坐标为
b4ac?b
2
b4ac?b
2
?14ac?b
2
?1
(?,)(?,)y?
2a4a2 a4a4a
；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是.
2
9、 抛物线的切线方程
2
y?2px
上一点
P(x
0
,y
0
)< br>处的切线方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
. (1) 抛物线
2
y?2px
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
. （2）过抛物线
22
Ax?By?C?0
y?2px(p?0)pB?2 AC
. （3）抛物线与直线相切的条件是
4
V?
?
R
3< br>2
3
1、球的半径是R，则其体积,其表面积
S?4
?
R．
2、柱体、锥体的体积
1
V
柱体
?Sh
3
（
S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高）.
1
V
锥体
?Sh
3
（
S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高 ）.

3、回归直线方程
nn
?
?
x
i< br>?x
??
y
i
?y
?
?
x
i
y
i
?nxy
?
?
?
b?
i?1
n?
i?1
n
2
?
x
i
?x
?
x
i
2
?nx
2
?
??
?
i?1i?1< br>?
y?a?bx
，其中
?
a?y?bx
.
§极

限

1、几个常用极限

11
1
n
lim
lim?0
lima?0
limx?x0
x?x
0
x
?
x
|a|?1
0
. （1）
n??
n
，
n??
（）；（2）
x?x
0< br>，

?
1
?
sinx
lim
lim?1?
1?
?
?e
x??
x?0
?
x
?< br>x
（3）；（4）(e=2.718281845…).
§导 数
1、几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
（C为常数）.
'n?1
(x)?nx(n?Q)
. (2)
n
x
?
(3)
(sinx)?cosx
.
?
(4)
(cosx)??sinx
.
11
e
(loga
x
)
?
?log
a
x
；
x (5) .
xxxx
?
?
(e)?e
(a)?alna
. (6)
(lnx)
?
?
2、导数的运算法则
'''
(u?v)?u?v
（1）.
'''
(uv)?uv?uv
（2）.
u
'
u
'
v?uv
'
()?(v?0)
2
v
（3）
v
.
3、复合函数的求导法则
''''
u?
?
(x)y?f (u)
，则复
u?
?
(x)y?f(u)
xx
xu
设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数
''''''
y?y?uf(
?
(x))?f(u)
?
(x)
.
y?f(
?
(x ))
x
xuxx
合函数在点处有导数，且，或写作
§复 数
1、复 数
z?a?bi
的模（或绝对值）
|z|
=
|a?bi|
=
a?b
.
2、复数的四则运算法则
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
22
(a?bi)?(c?di)?
(4)
3、复数的乘法的运算律
交换律:
结合律:
ac?bdbc?ad
?i(c?di?0)
c
2
?d
2
c
2
?d
2
.
z
1
?z
2
?z
2
?z
1
. < br>(z
1
?z
2
)?z
3
?z
1
?( z
2
?z
3
)
.
231213
. 分配律:
1
4、复平面上的两点间的距离公式
z?(z?z)?z?z?z?z< br>d?|z
1
?z
2
|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
5、向量的垂 直
（
z
1
?x
1
?y
1
i
，
z
2
?x
2
?y
2
i
）.
z< br>2
z?a?biz
2
?c?di
OZ
1
，
O Z
2
，
OZ
1
?OZ
2
?
z
1< br>?z
2
的实部为零
?
z
1
非零复数
1
，对应的向量分别是则
222
|z?z|?|z|?|z|
?
1212为纯虚数

?
|z
1
?z
2
|?|z
1
|?|z
2
|
?
|z
1?z
2
|?|z
1
?z
2
|
?
ac? bd?0
?
z
1
?
?
iz
2
(λ为非零实数).
6、实系数一元二次方程的解
2
实系数一元二次方程
ax?bx?c?0
，
222
?b ?b
2
?4ac
x
1,2
?
2
??b?4ac?0
2a
①若,则;
b
x?x??
12
2
2a
; ②若
??b?4ac ?0
,则
2
③若
??b?4ac?0
，它在实数集
R
内没有实数根；在复数集
C
内有且仅有两个共轭复数根
?b??(b
2?4ac)i
2
x?(b?4ac?0)
2a
.