高中数学4-4知识题-高中数学各册内容
用心教学生,用心做教育
高中数学公式及知识点速记
一、函数、导数
1、函数的单调性
(1)设
x
1
、x
2
?[a,
b],x
1
?x
2
那么
f(x
1
)?f(x
2
)?0?f(x)在[a,b]
上是增函数;
f(x
1
)?f(
x
2
)?0?f(x)在[a,b]
上是减函数。
(2)设函数
y
?f(x)
在某个区间内可导,若
f
?
(x)?0
,则
f(
x)
为增函数;若
f
?
(x)?0
,则
f(x)
为
减函数。
2、函数的奇偶性
对于定义域内任意的
x
,都有
f(?
x)?f(x)
,则
f(x)
是偶函数;
对于定义域内任意的
x<
br>,都有
f(?x)??f(x)
,则
f(x)
是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称。
灵犀一指:若奇函数在
x?0
处有定义,则有
f(x)?0
。 3、对数的性质及运算公式:①
a?b?log
a
b?x
②
lo
g
a
1
?0
,
log
a
a
=
x<
br>;③
xx
a
log
a
b
?b
;④
log
a
MN?log
a
M?log
a
N
,
log
a
log
a
m
b
n
=
M
?log
a
M?log
a
N
;⑤
N
log
c
b
lgb
n
?
。
log
a
b
;⑥
log
a
b?
log
c
alga
m
4
、函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义
函数<
br>y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f?
(x
0
)
,相应
的切线方程是
y?y
0?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
。
5、几种常见函数的导数
①
C
?0
;②
(x)?nxx'x
'
n'n?1
sni
;③
(x)
'
?c
osx
;
cos
④
(
x'x
x)
'
??s
nix
;⑤
(a)?alna
;
'
⑥
(e)?e
;
⑦
(log
a
x)?
11
'
;⑧
(lnx)?。
xlnax
'''
6、导数的运算法则
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
。 (1
)
(u?v)?u?v
;(2)
(uv)?uv?uv
;(3)
()
?
2
vv
'''
7、会用导数求单调区间、极值、最值
8、求函数
y?f
?
x
?
的极值的方法是:解方程
f
?
?
x
?
?0
。当
f
?
?
x
0<
br>?
?0
时:
(1)如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
,右侧
f
?
?<
br>x
?
?0
,那么
f
?
x
0
?
是极大值;
(2)如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
,右侧
f
?
?
x
?<
br>?0
,那么
f
?
x
0
?
是极小值。
二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
9、同角三角函数的基本关系式:
s
in
?
?cos
?
?1
,
tan
?
=
22
sin
?
。
cos
?
1
用心教学生,用心做教育
10、正弦、余弦的诱导公式
k
?
?
?
的正弦、余弦,等于
?
的同名函数,前面加上把
?<
br>看成锐角时该函数的符号;
k
?
?
?
2
?
?
的正弦、余弦,等于
?
的余名函数,前面加上把
?
看成锐角时该函
数的符号。
11、和角与差角公式
sin(
?
?
?
)?
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?<
br>?sin
?
sin
?
;
tan
?
?tan
?
。
tan(
?
?<
br>?
)?
1
?
tan
?
tan
?
12
、二倍角公式
sin2
?
?2sin
?
cos
?
;
c
os2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2
cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
;
2tan
?
。
tan2
?
?
2
1?ta
n
?
1?cos2
?
?
22
2cos
?
?
1?cos2
?
,cos
?
?;
?
2
?
公
式变形:(1)
降幂公式
?
2sin
2
?
?1?cos2<
br>?
,sin
2
?
?
1?cos2
?
;
?
2
?
1
?
2sin
?
cos
?
?sin2
?
,sin
?
cos
?
?sin2
?
.
?
2
?
(2)
sin2
?
1?cos2
?
??tan
?
。
1?cos2
?
sin2
?
13、三角函数的周期
函数<
br>y?sin(
?
x?
?
)
,x∈R及函数
y?cos
(
?
x?
?
)
,x∈R(A,ω,
?
为常数,且A
≠0,ω>0)
的周期
T?
2
?
?
2
?
0
)的周期
T?
。
?
14、函数
y?sin(
?
x
?
?
)
的周期、最值、单调区间、图象变换
15、辅助角公式:
y
?asinx?bcosx?
16、正弦定理:
17、余弦定理
;函数
y?
tan(
?
x?
?
)
,
x?k
?
?
?
,k?Z
(A,ω,
?
为常数,且A≠0,ω>
a
2<
br>?b
2
sin(x?
?
)
,其中
tan
?<
br>?
b
。
a
abca?b?c
。
???2R
=
sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC
a
2
?b2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
。
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a<
br>2
?b
2
?c
2
cosA?
;
cosB?<
br>;
cosC?
。
2bc2ac2ab
18、三角形面积公式
111
S?absinC?bcsinA?casinB
。
222
19、三角形内角和定理
2
用心教学生,用心做教育
在△ABC中,有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)
。
20、
a
与
b
的数量积(或内积):
a?b?|a|?|b|cos
?
。
21、平面向量的坐标运算
(1)设A
(x
B
(x
???
?????????
1
,y
1
)
,
2
,y
2
)
,则
AB?OB?OA?(x
2
?x
1
,y<
br>2
?y
1
)
。
(2)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
,则
a?b
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
。
(3)设
a
=
(x,y)
,则
a?x
2
?y
2
。
22、两向量的夹角公式
设
a
=
(x
a?b
?<
br>x
1
x
2
?y
1
y
2
1
,
y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2)
,且
b?0
,则
cos
?
?
ab
x
222
1
?y
1
?x
2
?y
2
。
2
23、向量的平行与垂直
ab
?
b?
?a
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?
0
。
a?b(a?0)
?
a?b?0
?x
1
x<
br>2
?y
1
y
2
?0
。
灵犀一指:
涉及到平面向量问题时,可建坐标系将问题转化坐标借助函数、方程、不等式知识。
三、数列
24、数列的通项公式与前n项的和的关系
a
?
?
s
1<
br>,n?1
n
?
(数列
{
?
s
a
n<
br>}
的前n项的和为
s
n
?
n
?s
n?1,n?2
a
1
?a
2
???a
n
)。
25、等差数列的通项公式:
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?
a
*
1
?d(n?N)
。
26、等差数列其前n项和公式为 s
n(a
1
?a
n
)
n
?
2
?na
n(n?1)d1
1
?
2
d?
2
n
2
?(a
1
?
2
d)n
。
27、等比数列的通项公式
a
n?1
a
1
n
?a
1
q?
q
?q
n
(n?N
*
)
。
28、等比数列前n项的和公式为
?
a
n
1
(1?q)<
br>s
?
?
1?q
,q?1
?
a
1
?a
n
q
或
s
?
,q?1
n
?
n?
?
1?q
。
?
?
na
1
,q?1
?
?
na
1
,q?1
灵犀一指:
(1)等差数列
:①
a
2
n
?an?b
;②
S
n
?An?
Bn
等。
(2)等比数列:①
a
n
n
?aq
;②
S
n
?A?Aq
n
等。
*数列重点考查内容:
(1)求数列的通项:①公式法;②
S
n
法;③累加法、迭乘法;④构造法等。
3
用心教学生,用心做教育
(2)求数列的
前
n
项和:①公式法;②裂项相消法;③错位相减法;④分组求和法等。
四、不等式
x?y
?xy
,当
x?y
时等号成立。
2
(1)
若积
xy
是定值
p
,则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
;
1
(2)若和
x?y
是定值
s
,则当
x?y
时积
xy
有最大值
s
2
。
4
29、已知
x,y
都是正数,则有
*.拓展与补充:
(
1)重要不等式:
a?b?2ab
。(当且仅当
a
=
b
时,
取“=”)
22
a
2
?b
2
a?b2
??ab?
(a,b?R
?
)
。(2)均值不等式:(当且仅当
a
=
b
时,取
11
22
?
ab
“=”)
五、解析几何
30、直线的五种方程
(1)点斜式:
y?y
1
?k(x?x1
)
(直线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)
,且斜率为
k
)。
(2)斜截式:
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距)。 <
br>y?y
1
x?x
1
(
y
1
?y
2<
br>)(
P
?
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x<
br>1
?x
2
))。
y
2
?y
1
x<
br>2
?x
1
xy
(4)截距式:
??1
(
a、
b
分别为直线的横、纵截距,
a、b?0
)。
ab
(5)一般式:
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0)。
(3)两点式:
31、两条直线的平行和垂直
若
l
1
:y
?k
1
x?b
1
,
l
2
:y?k
2
x?b
2
。
①
l
1
||l
2
?k1
?k
2
,b
1
?b
2
;②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
。
32、平面两点间的距离公式
d
A,B
?(x
2
?x1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
=
1?k
AB
?x
2
?x
1
(其中A
(x
1
,y
1
)
,B
(x
2
,y
2<
br>)
)。
33、点到直线的距离
2
d?
|Ax
0<
br>?By
0
?C|
A?B
22
(点
P(x
0<
br>,y
0
)
,直线
l
:
Ax?By?C?0
)
。
222
34、圆的三种方程
(1)圆的标准方程:
(x?a)?(y?b)?r
;
22
(2)
圆的一般方程:
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
>0); 22
(3)圆的参数方程:
?
?
x?a?rcos
?
。
?
y?b?rsin
?
222
35、直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种
:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交
???0
。
4
用心教学生,用心做教育
弦长=
2r?d
,其中
d?
灵犀一指:
22
Aa?Bb?C
A?B
22
。
(1)过圆外一点(<
br>x
0
,
y
0
)作圆
x?y?Dx?Ey?C?0的切线,切线长为
22
x
0
?y
0
?Dx
0<
br>?Ey
0
?C
;
(2)当两圆相交时,两圆(两圆一般方程分别为<
br>x?y?D
1
x?E
1
y?C
1
?0
和22
22
x
2
?y
2
?D
2
x?E<
br>2
y?C
2
?0
)公共弦所在直线的方程为
(x
2<
br>?y
2
?D
1
x?E
1
y?C
1
)
?(x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?C<
br>2
)?0
。
36、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
?
x?acos
?
x
2
y
2
c
椭
圆:
2
?
2
?1(a?b?0)
,
a
2
?
c
2
?b
2
,离心率
e??1
,参数方程是
?。
ab
a
?
y?bsin
?
x
2
y
2
c
b
双曲线:
2
?
2
?1
(<
br>a
>0,离心率
e??1
,渐近线方程是
y??x
。
b
>0),
c
2
?a
2
?b
2
,
a
ab
a
p
p
2
抛物线:
y?2px
,
焦点
(,0)
,准线
x??
。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距2
2
离。
37、双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2y
2
x
2
y
2
b
(1)若双曲线方程为
2
?
2
?1
?
渐近线方程:
2
?
2?0?
y??x
。
ab
ab
a
22
xyxy
b
(2)若渐近线方程为
y??x
?
??0
?双曲线可设为
2
?
2
??
。
ab
ab
a
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)若
双曲线与
2
?
2
?1
有公共渐近线,可设为
2
?<
br>2
??
(
??0
,焦点在x轴上,
abab
。
??0
,焦点在y轴上)
*焦点三角形的面积公式:
(1)椭圆:
S
PF
1
F
2
?btan
(2)双曲线:
S
PF
1
F
2
?
2
2
?
2
(其中
P为椭圆上任意一点,
?F
1
PF
2
?
?
。) <
br>b
2
tan
?
2
(其中P为双曲线上任意一点,
?F
1
PF
2
?
?
。)
38、抛物线
y?2px
的焦半径公式
抛物线
y?2px(p?0
)
焦半径
|PF|?x
0
?
离。)
39、过抛物线焦点的弦长
AB?x
1
?
*弦长公式:
2
p
。(抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距
2
pp
?x
2
??x
1
?x
2
?p
。
22
5
用心教学生,用心做教育
AB?1?k
2
x<
br>2
?x
1
?1?
1?
222
y?y?1?k(x?x
)?4xx?1?k
。
212121
2
A
k
六、立体几何
40、证明直线与直线平行的方法
(1)三角形中位线
(2)平行四边形(一组对边平行且相等)
41、证明直线与平面平行的方法
(1)直线与平面平行的判定定理(证平面外一条直线与平面内的一条直线平行)
(2)先证面面平行
42、证明平面与平面平行的方法
平面与平面平行的判定定理(一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行)
....
43、证明直线与直线垂直的方法
转化为证明直线与平面垂直
44、证明直线与平面垂直的方法
(1)直线与平面垂直的判定定理(直线与平面内两条相交直线垂直)
....
(2
)平面与平面垂直的性质定理(两个平面垂直,一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面)
45、证明平面与平面垂直的方法
平面与平面垂直的判定定理(一个平面内有一条直线与另一个平面垂直)
46、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
圆柱侧面积=
2
?
rl
,表面积=
2
?
rl?2
?
r
<
br>圆椎侧面积=
?
rl
,表面积=
?
rl?
?
r
V
柱体
?Sh
(
S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高)。
2
2
1
。
V
锥体
?
Sh
(
S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高)
3
4<
br>3
2
球的半径是
R
,则其体积
V?
?
R,其表面积
S?4
?
R
。
3
47、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算
48、点到平面距离的计算(定义法、等体积法)
49、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质:侧棱平行且相等,与底面垂直。
正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
七、概率统计
50、平均数、方差、标准差的计算
x
1
?
x
2
??
x
n
1
2222
方差:
s?[(x
1<
br>?x)?(x
2
?x)??(x
n
?x)]
nn
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x
)
2
??(x
n
?x)
2
]
标准差:
s?
n
平均数:
x?
51、回归直线方程
n?
?
x
i
?x
??
y
i
?y
?
?
?
?
b?
i?1
n
?
?
2<
br>y?a?bx
,其中
?
x
i
?x
??
??
i?1
?
?
a?y?bx
?
xy?nxy
i
i
i?1
n
n
?
x
i?1
2
i
?
nx
2
。
6
用心教学生,用心做教育
n(ac?bd)
2
52、独立性检验:
K?
。
(a?b
)(c?d)(a?c)(b?d)
2
53、古典概型的计算(必须要用列举法、列表法、树状
图的方法把所有基本事件表示出来,不
.........
重复、不遗漏)。
八、复数
54、复数的除法运算
a?bi(a?bi)(c?di)(ac?bd)?(bc?ad)i
。
??22
c?di(c?di)(c?di)
c?d
55、复数
z?a?bi
的模
|z|
=
|a?bi|
=
a?b
。
九、参数方程、极坐标化成直角坐标
22
?
?
2
?x2
?y
2
?
?
cos
?
?x
?
56、
?
,
?
。
y
?
?
sin
?
?y
?
tan
?
?(x?0)
x
?
【
同步范例】
示例1:(奇函数)定义在R上的以3为周期的奇函数,且
f(2)?0
在区间(0,6)内整数解
的个数的最小值是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
听课笔记:
示例2:已知性质M:点P(<
br>x
,
y
)满足
5?7
,则下列命题正确的序号是
。
①点P(0,0)满足性质M;②点P(
lg5
,
lg7
)满足
性质M;③点P(
x
,
y
)满足
1?
④所有满足性质M的点
P(
x
,
y
)共线。
听课笔记:
示例3:(导数与函数)已知函数
f(x)?sinx?
下面命题中真命题的序号是
。
①
f(x)
的最大值为
f(x
0
)
;②
f(x)
的最小值为
f(x
0
)
;③
f(x)
在
[0,x
0
]
上是减函数;④
f(x)
在
[x0
,
?
]
]上是减函数。
听课笔记:
7
xy
x
?2
;
y
11
x,
x?[0,
?
],cosx
0
?(x
0
?[0,
?
])
,那么
33
用心教学生,用心做教育
示例4:
(导数与函数含参分类讨论)(2010佛山市质检)已知函数
f(x)?x?ax?blnx
(实
数
a
,
b
为常数)。
(Ⅰ)若
a?1,b??1
,求函数
f(x)
的极值;
(Ⅱ)若
a?b??2
,讨论函数
f(x)
的单调性。
听课笔记:
示例5:(三角函数)已知函数
f(x)?2si
n
?
(I)求
f(x)
的最大值和最小值;
(II)若不等式f(x)?m?2
在
x?
?
,
?
上恒成立,求实数m
的取值范围。
42
听课笔记:
示例6:(平面向量)在
?ABC
中,若
BC?4
,
cosB?
听课笔记:
8
2
2
?
π
?
?
ππ
?
?x
?
?3cos2x
,
x?
?
,
?
。
?
4
?
?
42
?
?
ππ?
??
1
,则
AB?AC
的最小值为 。
2
用心教学生,用心做教育
示例7:(等差、等比数列的性质)(1
)在等差数列{a
n
}中,已知S
100
=10,S
10
=
100,则S
110
=_________。
(2)等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
=
a?2?
a?2
,则
a
n
=_______。
n
听课笔记:
示例8:(求数列的通项)求下列数列的通项公式:
(1)
已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
=1,
a
n?1
?
a
n
,则
a
n
=
。
3a
n
?1
(2)已知数列
?
a
n
?
中,
a
1
=2,且
a
n
n?1
?
,则
a
n
= 。
a
n?1
n?1
(3)已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
=1
,且
a
n
?a
n?1
?
1
n?1?n
(n
?2)
,则
a
n
= 。
(4)数列
?<
br>a
n
?
中,
a
1
=2,前
n
项和<
br>S
n
?(S
n?1
?
是 。
2)
2
(n?N
*
)
,则数列
?
a
n
?
的通项公式
(5)已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
=1,
a
n?1
?2a
n
?2
,则
a
n
= 。
(6)已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
=1,
a
n?1
?an
?
听课笔记:
9
a
n
a
n?1
,则
a
n
=
。
用心教学生,用心做教育
示例9:(数列求和)
(1)求和:
111
??
?
??
。
1?44?7(3n?2)?(3n?1)
(2)记等差数列{
a
n}的前n项和为
S
n
,已知
a
2
(Ⅰ)求数列{
a
n
}的通项公式;
?a
4
?6
,
S
4
?10
。
(
Ⅱ)令
b
n
?a
n
?2
(n?N)
,求数列{b
n
}的前项和
T
n
。
示例10:(不等式)(1)(2010年全国卷)已知函数
f(x)?lgx
,若
0?a?b
且
f(a)?f(b)
,
则
a?2b
的取值范围是( )
(A)
(22,??)
(B)
[22,??)
(C)
(3,??)
(D)
[3,??)
(2)(2012陕西卷·文)小王从甲地到乙地的往返时速分
别为
a
和
b
(
a
<
b
),其全程的平均时
速为v,则( )
A.
a
B.v=
ab
C.
ab
10
n
?
a?ba?b
D.v=
22
用心教学生,用心做教育
x
2
y
2<
br>示例11:(圆锥曲线的定义)(1)F
1
、F
2
是椭圆
2<
br>+
2
=1(a>b>0)的两焦点,P是椭圆上任一点,
ab
过一焦点
引∠F
1
PF
2
的外角平分线的垂线,则垂足Q的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
(2)已知M(-3,0)、N(3,0)、B(1,0)
,动圆C与直线MN切于点B,过M、N与圆C相切
的两直线相交于点p,则点P的轨迹方程为(
)
y
2
y
2
2
?1(x?1)
B.
x??1(x??1)
A.
x?
88
2
y
2
y
2
2
C.
x??1(x?0)
D.
x??1(x?1)
810
2
(3)
?
AB
C中,B(-3,8),C(-1,-6),另一个顶点A在抛物线
y?4x
上移动,则此三角
形重心G的轨迹方程为 。
(4)已知圆的方程为
x?
y?4
,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0),且以圆的切线为准线,
则抛物线的焦点
的轨迹方程为 。
听课笔记:
22
2
x
2
y
2
示例12:(圆锥曲线---焦点
三角形)(1)已知
F
1
、
F
2
是椭圆
C:
2
?
2
?1
(
a
>
b
>0)
a
b
的两个焦点,
P
为椭圆
C
上一点,且
PF
1?PF
2
。若
?PF
1
F
2
的面积为9,则<
br>b
=___________。
??????????
y
2
?1
的焦点为F
1
、F
2
,点M在双曲线上且
MF
1
?MF
2
?0,
则点M到(2)已知双曲线
x?
2
2
x轴的距离为( )
A.
4
5
23
B. C. D.
3
3
3
3
听课笔记:
11
用心教学生,用心做教育
示例13:(圆锥曲线大题---弦长、基本量)已知椭圆的中心在坐标原点
O
,焦点
在坐标轴上,
直线
y?x?1
与椭圆交于
P
和
Q
,
且
OP?OQ
,
PQ?
10
,求椭圆方程。
2
示例14:(圆锥曲线大题---定值)如图,ADB为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且OD⊥AB,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持
|PA|+|PB|的值不变。
(I)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(
II)过点B的直线l与曲线C交于M、N两点,与OD所在直线交于E点,
????????????
?????
EM?
?
1
MB,EN?
?
2
NB,求
证:
?
1
?
?
2
为定值。
12
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