高中数学常用公式大全99269

高中数学常用公式大全
1. 元素与集合的关系
x?A?x?C
U< br>A
,
x?C
U
A?x?A
.
2.德摩根公式 < br>C
U
(AIB)?C
U
AUC
U
B;C
U< br>(AUB)?C
U
AIC
U
B
.
3．集合
{a
1
,a
2
,L,a
n
}
的子集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
–1个；非空子集有
2
n
–1个；非空
的真子集有
2
n
–2个.
4.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;
(3)零点式f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
5.方程
f(x)?0
在
(k
1
,k
2
)
上有且只有一个实根,与
f(k
1
)f(k
2
)?0
不等 价,前者是后者的一个必
要而不是充分条件.特别地, 方程
ax?bx?c?0(a?0)< br>有且只有一个实根在
(k
1
,k
2
)
内,等价于2
2
2
f(k
1
)f(k
2
)?0
, 或
f(k
1
)?0
且
k
1
??
6.闭区间 上的二次函数的最值
k?k
2
k?k
2
bb
?
1
???k
2
. ,或
f(k
2
)?0
且
1
2a222a
二次 函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)
在闭区间
?
p,q
?上的最值只能在
x??
2
b
处及区间的两端
2a
点处取 得，具体如下：（可画图解决问题）
(1)当a>0时，若
x??
b
b?
?
p,q
?
，则
f(x)
min
?f(?) ,f(x)
max
?
max
?
f(p),f(q)
?
；
2a
2a
b
?
?
p,q
?
，
f(x)
max
?
max
?
f(p),f(q)
?
，
f(x)
min
?
min
?
f(p),f(q)
?
.
2a
bb
(2)当a<0时，若
x???
?
p,q
?
，则
f(x)
min
?min
?
f(p ),f(q)
?
，若
x???
?
p,q
?
，则2a2a
x??
f(x)
max
?max
?
f(p), f(q)
?
，
f(x)
min
?min
?
f(p) ,f(q)
?
.
7.真值表
ｐ ｑ 非ｐ
真 真 假
真 假 假
ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真
真
真
假

假 真 真
假 假 真
8.常见结论的否定形式
原结论
是
都是
大于
小于
对所有
x
，
成立
对任何
x
，
不成立
真
假
反设词
不是
不都是
不大于
不小于
假
假
原结论 反设词
至少有一个 一个也没有
至多有一个 至少有两个
至少有
n
个
至多有
n
个
至多有（
n?1
）个
至少有（
n?1
）个
存在某
x
，
p
或
q

不成立
存在某
x
，
p
且
q

成立
?p
且
?q


?p
或
?q

9.四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ

10.充要条件
（1）充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
充分条件.
（2）必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
必要条件.
（3）充要条件：若
p?q
，且
q?p
，则
p
是< br>q
充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
11.函数的单调性
(1)设
x
1
?x
2
??
a,b
?
,x
1
?x
2
那么
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是增函数；
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
x
1
?x
2
(2)设函数
y?f( x)
在某个区间内可导，如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数；如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为减 函数.

12.如果函数
f(x)
和
g(x)
都是减 函数,则在公共定义域内,和函数
f(x)?g(x)
也是减函数; 如果
函数
y?f(u)
和
u?g(x)
在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数
y?f[g(x)]
是增函数.
13．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点 对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点
对称，那么这个函数是奇函数 ；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
14.两个函数图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象关于直线
x ?0
(即
y
轴)对称.
(2)同底的指数和对数函数互为反函数，图像关于直线y=x对称。
15.几个函数方程的周期(约定a>0)
f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期T=a；
16.分数指数幂
(1)
a
m
n
?
1
n
a
m
1
m
n
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
?
(2)
a
?
m
n
?
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
?
a
17．根式的性质
n
（1）
(
n
a)?a
.
?
a,a?0
（2）当
n
为奇数时，
a?a
； 当
n
为偶数时，
a?|a|?
?
.
?a,a?0
?
n
n
n
n
18．有理指数幂的运算性质
(1)
a?a?a
rsrs
rsr?s
(a?0,r,s?Q)
.
(2)
(a)?a(a?0,r,s?Q)
.
(3)
(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q)
.
注： 若a＞0，p 是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无
理数指数幂都适用.
19.指数式与对数式的互化式

p
rrr
log
aN?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

20.对数的换底公式
log
a
N?
log
m
N
(
a?0,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
log
m
a

推论
l og
a
m
b
n
?
n
log
a
b< br>(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m? 1
,
n?1
,

N?0
).
m
21．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
( 1)
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
;
(2)
log
a
M
?log
a
M? log
a
N
;
N
n
(3)
log
aM?nlog
a
M(n?R)
.
22.数列的同项公式与前n项的和的关系
n?1
?
s
1
,
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
?L ?a
n
).
a
n
?
?
?
s
n< br>?s
n?1
,n?2
*
23.等差数列的通项公式
a< br>n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N)
；
其前n项和公式为
s
n
?
n(a
1
? a
n
)
n(n?1)d1
?na
1
?d?n
2?(a
1
?d)n
.
2222
n?1
24.等比数列 的通项公式
a
n
?a
1
q?
a
1
n
?q(n?N
*
)
；
q
?
a
1
(1? q
n
)
?
a
1
?a
n
q
,q?1
,q?1
?
?
其前n项的和公式为
s
n
?
?
1?q
或
s
n
?
?
1?q
.
?
na,q?1< br>?
na,q?1
?
1
?
1
25.同角三角函数的基本 关系式
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，
tan
?
=
sin
?
，
cos
?
27.正弦、余弦的诱导公式： 奇变偶不变，符号看象限。
28.和角与差角公式
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
c os(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
ms in
?
sin
?
;
tan(
?
?
?)?
tan
?
?tan
?
.
1
m
t an
?
tan
?
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)

(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决定,
tan
?
?
29.二倍角公式
b
).
a
sin2
?
?sin
?
cos
?
. < /p>

cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
tan2
?
?
2tan
?
.
2
1?tan
?
30.三角函数的周期公式
函数
y?s in(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0 )的
周期
T?
2
?
?
；
函数
y?tan (
?
x?
?
)
，
x?k
?
?
?< br>2
abc
31.正弦定理
???2R
.
sinAsinBsinC
32.余弦定理
,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T?
?
.
?
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
33.面积定理
111
ah
a
?bh
b
?ch< br>c
（
h
a
、h
b
、h
c
分别表示a 、b、c边上的高）.
222
111
（2）
S?absinC?bcsin A?casinB
.
222
（1）
S?
34.三角形内角和定理
在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)< br>
sinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B),tanC=-tan(A+B)
35.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
36.向量的数量积的运算律：
(1) a·b= b·a （交换律）;
(2)（
?
a）·b=
?
（a·b）=
?
a·b= a·（
?
b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
37.平面向量基本定理
如果e
1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平 面内的任一向量，有且只有一对实
数λ
1
、λ
2
，使得a=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
．
不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
38．向量平行的坐标表示
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b?
0，则a
P
b(b
?
0)
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.
39. a与b的数量积(或内积)

a·b=|a||b|cosθ．
40. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
41.平面向量的坐标运算
(1)设a=
(x
1
,y
1< br>)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a+b=(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(2)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a-b=
(x
1
? x
2
,y
1
?y
2
)
.
uuuruuuruuur
(3)设A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
,则
A B?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1)
.
(4)设a=
(x,y),
?
?R
，则
?
a=
(
?
x,
?
y)
.
(5)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
, y
2
)
，则a·b=
(x
1
x
2
?y1
y
2
)
.
42.两向量的夹角公式
cos
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2x?y?x?y
2
1
2
1
2
2
2
2< br>(a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
).
43.平面两点间的距离公式
uuuruuuruuur

d
A,B
=
|AB|?AB?AB

?(x
2?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
).
44.向量的平行与垂直
设a=< br>(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b
?
0，则
A||b
?
b=λa
?x
1
y
2
?x< br>2
y
1
?0
.
a
?
b(a
?0)
?
a·b=0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
45.三角形的重心坐标公式
△ABC三 个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x< br>2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3)
,则△ABC的重心的坐标是
G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
.
33
46. 三角形四“心”向量形式的充要条件
设
O
为?ABC
所在平面上一点，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c，则
uuur
2
uuur
2
uuur
2
（1 ）
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
u uuruuuruuurr
（2）
O
为
?ABC
的重心
?O A?OB?OC?0
.

uuuruuuruuuruuuruuuruuur
（3）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC?O C?OA
.
uuuruuuruuurr
（4）
O
为
?A BC
的内心
?aOA?bOB?cOC?0
.
47.常用不等式：
（1）
a,b?R
?
a?b?2ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）
a,b?R
?
333
?
22
a?b
?ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
2
（3）
a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0).

（4）
a?b?a?b?a?b
.
48.均值定理
已知
x,y
都是正数，则有
（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
； < br>（2）若和
x?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值
2
1
2
s
.
4
2
2
49.一元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)(a?0,??b?4ac?0)< br>，如果
a
与
ax?bx?c
同
号，则其解集在两根之外；如果
a
与
ax?bx?c
异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之
外，异号两根之间.
2
x
1
?x?x
2
?(x?x1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
；
x?x
1
,或x?x
2
?(x?x
1
)(x ?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
.
50.含有绝对值的不等式
当a> 0时，有
x?a?x
2
?a??a?x?a
.
2
x?a?x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
51.指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
; ?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?

(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0

?
f(x)?g(x)
?
52..斜率公式
k?
y2
?y
1
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)）.
x
2
?x
1
53.直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直 线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)< br>，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
（3）两点式 < br>y?y
1
x?x
1
?
(
y
1
?y< br>2
)(
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
(4)截距式
xy
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
54.两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2

①
l
1
||l
2
?k
1
? k
2
,b
1
?b
2
;
②
l
1< br>?l
2
?k
1
k
2
??1
.
(2 )若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C2
?0
,且A
1
、A
2
、B
1
、B< br>2
都不为零,
①
l
1
||l
2
?
A
1
B
1
C
1
；
??
A
2B
2
C
2
②
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
；
55．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
(除直线
x?x
0
),其
中< br>k
是待定的系数; 经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
A(x?x
0
)?B(y?y
0)?0
,其中
A,B
是

待定的系数．
(2)共 点直线系方程：经过两直线
l
1
:A
1
x?B
1
y ?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线系方
程为
(A
1x?B
1
y?C
1
)?
?
(A
2
x? B
2
y?C
2
)?0
(除
l
2
)，其中λ 是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线
y?kx?b
中当斜率k一定而b变动 时，表示平行直线系方程．与直线
Ax?By?C?0
平行的直线系方程是
Ax?By ?
?
?0
(
?
?0
)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线
Ax?By?C?0
(A≠0，B≠0)垂直的直线 系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,
λ是参变量．
56.点到直线的距离
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By?C?0
).
57.
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域
设直线
l: Ax?By?C?0
，则
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区 域是：
若
B?0
，当
B
与
Ax?By?C
同号时 ，表示直线
l
的上方的区域；当
B
与
Ax?By?C
异号时 ，
表示直线
l
的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若
B ?0
，当
A
与
Ax?By?C
同号时，表示直线
l
的右方的区域；当
A
与
Ax?By?C
异号时，
表示直线
l
的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
58.
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y? C
2
)?0
或
?0
所表示的平面区域
设曲线
C: (A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
（
A
1
A
2< br>B
1
B
2
?0
），则
(A
1
x? B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C< br>2
)?0
或
?0
所表示的平面区域是：
(A
1x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
所表示的平面区域上下两部分；
(A
1
x ?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
所表示的平面区域上下两部分.
59. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.
22
（2）圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
＞0).
22
222
60.点与圆的位置关系

点
P(x0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关 系有三种
若
d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
，则
22
222
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点< br>P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
61.直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a )?(y?b)?r
的位置关系有三种:
222
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
其中
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
.
62.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
，O
2，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
63.椭圆的标准方程及简单的几何性质
64．椭圆的的内外部
22
x< br>0
y
0
x
2
y
2
（1）点
P(x< br>0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a ?b?0)
的内部
?
2
?
2
?1
.
ab ab
22
x
0
y
0
x
2
y
2（2）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的外部
?
2
?
2
?1
.
abab
65.双曲线的内外部
22
x
0
y
0
x
2
y
2
(1)点
P(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0 )
的内部
?
2
?
2
?1
.
abab

22
x
0
y
0
x
2
y
2
(2)点
P(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的外部
?
2
?
2
?1
.
abab
66.双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2
y
2
x
2
y
2
b
(1）若双曲 线方程为
2
?
2
?1
?
渐近线方程：
2
?
2
?0?
y??x
.
ab
ab
a
xy
xy
b
(2)若渐近线方 程为
y??x
?
??0
?
双曲线可设为
2
?
2
??
.
ab
ab
a
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线与
2
?
2
?1
有公共渐近线，可设为
2
?
2
??
（??0
，焦点在x轴上，
ab
ab
22
??0
，焦点在 y轴上）.
67. 抛物线
y?2px
的焦半径公式
抛物线
y?2px(p?0)
焦半径
CF?x
0
?
过焦点弦长
C D?x
1
?
2
2
2
p
.
2
pp
?x
2
??x
1
?x
2
?p
.
22
2
y
2
2
68.抛物线
y?2px
上的动点可 设为P
(
?
,y
?
)
或
P(2pt,2pt)或< br> P
(x
o
,y
o
)
，其中
y
o
?2px
o
.
2p
69.抛物线的内外部
(1)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y? 2px(p?0)
的内部
?y?2px(p?0)
.
点
P(x0
,y
0
)
在抛物线
y?2px(p?0)
的外部?y?2px(p?0)
.
(2)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y??2px(p?0)
的内部
?y??2px(p?0 )
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线y??2px(p?0)
的外部
?y??2px(p?0)
.
(3)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x?2py(p?0)
的内部
?x?2py(p?0)
.
点
P(x
0
, y
0
)
在抛物线
x?2py(p?0)
的外部
?x?2py (p?0)
.
(4) 点
P(x
0
,y
0
)在抛物线
x?2py(p?0)
的内部
?x?2py(p?0)
. 点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x??2py( p?0)
的外部
?x??2py(p?0)
.
70.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?
22
22
22
22
22
22
22
22
(x
1
?x
2< br>)
2
?(y
1
?y
2
)
2
或

AB=
1?k
2
x
1
?x
2
?1 ?
1
y
1
?y
2

k
2
?
y?kx?b
2
（弦端点A
(x
1
,y
1
),B (x
2
,y
2
)
，由方程
?
消去y得到
ax?bx?c?0
，
??0
,
?
为
?
F(x,y )?0
直线
AB
的倾斜角，
k
为直线的斜率）.
71．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.
72．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
73．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.
74．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
75．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直.
76.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
77.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b
?
存在实数λ使a=λb．

uuuruuur
uuuruuuruuur
P、A、B
三点共线< br>?
AP||AB
?
AP?tAB
?
OP?(1?t)OA?t OB
.
ruuuruuur
uuur
uuu
AB||CD
?
AB
、
CD
共线且
AB、CD
不共线
?
AB?tCD
且
AB、CD
不共线.
78.球的半径是R，则
其体积
V?
4
3
?
R
,
3
2
其表面积
S?4
?
R
．
79．柱体、锥体的体积
1
V
柱体
?Sh
（
S< br>是柱体的底面积、
h
是柱体的高）.
3
1
V
锥体< br>?Sh
（
S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高）.
3
80.互斥事件A，B分别发生的概率的和
P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
81.
n
个互斥事件分别发生的概率的和
P(A
1
＋A< br>2
＋…＋A
n
)=P(A
1
)＋P(A
2
) ＋…＋P(A
n
)．
82.独立事件A，B同时发生的概率
P(A·B)= P(A)·P(B).
83.n个独立事件同时发生的概率
P(A
1
· A
2
·…· A
n
)=P(A
1
)· P(A
2
)·…· P(A
n
)．
84.回归直线方程
nn
?
?
x
i
?x
??
y
i
?y
?
?
x
i
y
i
?nxy
?
?
i?1i?1
?b??
nn
$$
2
y?a?bx
，其中
?
22< br>.
x?xx?nx
??
??
ii
?
i?1i?1< br>?
?
a?y?bx
85.相关系数r
|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.
86. 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义
函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f (x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f
?
(x
0
)
，相应的切
线方程是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
87.几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
（C为常数）.

'n?1
(2)
(x
n
)?nx(n?Q)
.
(3)
(sinx)
?
?cosx
.
(4)
(cosx)
?
??sinx
.
(5)
(l nx)
?
?
11
e
x
；
(loga)
?< br>?log
a
.
xx
xx
xx
(6)
(e)
?
?e
;
(a)
?
?alna
.
88.导数的运算法则
（1）
(u?v)?u?v
.
（2）
(uv)?uv?uv
.
'''
'''
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
. （3）
()?< br>2
vv
89.判别
f(x
0
)
是极大（小）值的方法
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时，
（1）如果 在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是极大值； （2）如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是 极小值.
90.复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d
.（
a,b,c,d?R
）
91.复数
z?a?bi
的模（或绝对值）
|z|
=
|a ?bi|
=
a
2
?b
2
.
92.复数的四则运算法则
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
(4)
(a?bi)?(c?di)?
ac?bdbc?ad
?i(c?di?0)< br>.
c
2
?d
2
c
2
?d
2