高一数学公式归纳

高一数学公式归纳


高一数学公式归纳2010-06-21 11 ：04一、集合与简易逻辑：一、理解集
合中的有关概念(1)集合中元素的特征：确定性，互异性，无 序性。集合元素的
互异性：如：，，求；(2)集合与元素的关系用符号，表示。(3)常用数集的符< br>号表示：自然数集；正整数集、；整数集；有理数集、实数集。(4)集合的表示
法：列举法，描 述法，韦恩图。注意：区分集合中元素的形式：
如：；；；；；；(5)空集是指不含任何元素的集合。 (、和的区别；0与三者
间的关系)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。注意：条件为，
在讨论的时候不要遗忘了的情况。如：，如果，求的取值。二、集合间的关系
及其运算(1)符 号是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线
(面)的关系；符号是表示集合与集合之间 关系的，立体几何中的体现面与直
线(面)的关系。(2)；；(3)对于任意集合，则：①；；；②； ；；；③；；(4)
①若为偶数，则；若为奇数，则；②若被3除余0，则；若被3除余1，则；若被3除余2，则；三、集合中元素的个数的计算：(1)若集合中有个元素，则集
合的所有不同的子 集个数为_，所有真子集的个数是_，所有非空真子集的个数
是。(2)中元素的个数的计算公式为：； (3)韦恩图的运用：四、满足条件，满
足条件，若；则是的充分非必要条件；若；则是的必要非充分条 件；若；则是
的充要条件；若；则是的既非充分又非必要条件；五、原命题与逆否命题，否
命题 与逆命题具有相同的；注意：若，则在解题中的运用，如：是的条
件。六、反证法：当证明若，则感到困 难时，改证它的等价命题若则成立，
步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得 出矛盾；3、
由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。矛盾的来源：1、与原命题的条件
矛 盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。适用与待证命题
的结论涉及不可能、不是、 至少、至多、唯一等字眼时。正面词语
等于大于小于是都是至多有一个否定正面词语至少有一个任意的所 有的至多有
n个任意两个否定二、函数一、映射与函数：(1)映射的概念：(2)一一映射：
(3)函数的概念：如：若，；问：到的映射有个，到的映射有个；到的函数有个，
若，则到的一一映射 有个。函数的图象与直线交点的个数为个。二、函数的三
要素：，，。相同函数的判断方法：①；②(两 点必须同时具备)(1)函数解析式
的求法：①定义法(拼凑)：②换元法：③待定系数法：④赋值法： (2)函数定义

域的求法：①，则；②则；③，则；④如：，则；⑤含参问题的定义域要 分类
讨论；如：已知函数的定义域是，求的定义域。⑥对于实际问题，在求出函数
解析式后；必 须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已
知扇形的周长为20，半径为，扇形面积 为，则；定义域为。(3)函数值域的求
法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值； 常转化为型如：
的形式；②逆求法(反求法)：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解
不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；④换元法：通过变量代换转化
为能求值域的函数，化归思 想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，
运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：转 化成型如：，利用平均值
不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求< br>值域。⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。求
下列函数的值域：① (2种方法)；②(2种方法)；③(2种方法)；三、函数的性
质：函数的单调性、奇偶性、周期性单 调性：定义：注意定义是相对与某个具
体的区间而言。判定方法有：定义法(作差比较和作商比较)导数 法(适用于多项
式函数)复合函数法和图像法。应用：比较大小，证明不等式，解不等式。奇偶
性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x)与f(-x)的关系。f(x)-f(-
x)=0 f(x)=f(-x)f(x)为偶函数；f(x)+f(-x)=0 f(x)=-f(-x)f(x)为奇函 数。判
别方法：定义法，图像法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。周期性：
定义：若 函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的
周期。其他： 若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x-a),则2a为
函数f(x)的周期 .应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。四、图形变换：
函数图像变换：(重点)要求掌握常见基 本函数的图像，掌握函数图像变换的一
般规律。常见图像变化规律：(注意平移变化能够用向量的语言解 释，和按向量
平移联系起来思考)平移变换y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b注意： (ⅰ)有系数，
要先提取系数。如：把函数y=f(2x)经过平移得到函数y=f(2x+4)的图象 。(ⅱ)
会结合向量的平移，理解按照向量(m，n)平移的意义。对称变换y=f(x)→
y =f(-x),关于y轴对称y=f(x)→y=-f(x),关于x轴对称y=f(x)→y=f|x|,把x
轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右
边 的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。(注意：它是一个偶函数)
伸缩变换：y=f(x)→ y=f(ωx),y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象
变换。一个重要结论： 若f(a-x)=f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a
对称；如：的图象如图，作 出下列函数图象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；

(7)；(8) ；(9)。五、反函数：(1)定义：(2)函数存在反函数的条件：；(3)互
为反函数的定义域与值 域的关系：；(4)求反函数的步骤：①将看成关于的方程，
解出，若有两解，要注意解的选择；②将互 换，得；③写出反函数的定义域(即
的值域)。(5)互为反函数的图象间的关系：；(6)原函数与反 函数具有相同的单
调性；(7)原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。如：求下列函数的反函数：；；七、常用的初等函数：(1)一元
一次函数：，当时 ，是增函数；当时，是减函数；(2)一元二次函数：一般式：；
对称轴方程是；顶点为；两点式：；对 称轴方程是；与轴的交点为；顶点式：；
对称轴方程是；顶点为；①一元二次函数的单调性：当时：为增 函数；为减函
数；当时：为增函数；为减函数；②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，
化 为的形式，Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则时：在顶点处取得最小
值，最大值在距离对称轴较远 的端点处取得；时：在顶点处取得最大值，最小
值在距离对称轴较远的端点处取得；Ⅱ、若顶点的横坐标 不在给定的区间上，
则时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端
点处取得；时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴
较远的端点处取得；有三 个类型题型：(1)顶点固定，区间也固定。如：(2)顶
点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要 讨论顶点横坐标何时在区间之内，
何时在区间之外。(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参 数.③二次
方程实数根的分布问题：设实系数一元二次方程的两根为；则：根的情况等价
命题在 区间上有两根在区间上有两根在区间或上有一根充要条件注意：若在闭
区间讨论方程有实数解的情况，可 先利用在开区间上实根分布的情况，得出结
果，在令和检查端点的情况。(3)反比例函数：(4)指数 函数：指数运算法
则：；；。指数函数：y=(a o,a≠1)，图象恒过点(0，1)，单调性与a的值有
关，在解题中，往往要对a分a 1和0 a 1两种情况进行讨论，要能够画出函数
图象的简图。(5)对数函数：指数运算法则：；；；对数函数： y=(a o,a≠1)图
象恒过点(1，0)，单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a 1和0 a1
两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。注意：(1)与的图象关系是；
(2)比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底
数不相同时转化为同底 数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。(3)已
知函数的定义域为，求的取值范围。已知函数 的值域为，求的取值范围。六、
的图象：定义域：；值域：；奇偶性：；单调性：是增函数；是减函数。 七、
补充内容：抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：①正比例函数

②；；③；；④；三、导数1.求导法则：(c)=0这里c是常数。即常数的导数
值为0。(xn)= nxn-1特别地：(x)=1(x-1)=()=-x-2(f(x)±g(x))=f(x)±
g( x)(kf(x))=kf(x)2.导数的几何物理意义：k=f(x0)表示过曲线y=f(x)上
的点P(x0,f(x0))的切线的斜率。V=s(t)表示即时速度。a=v(t)表示加速度。
3 .导数的应用：①求切线的斜率。②导数与函数的单调性的关系一与为增函数
的关系。能推出为增函数， 但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为
增函数的充分不必要条件。二时，与为增函数的关系。 若将的根作为分界点，
因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。三与为增函数的关系。为增函数，一定可以推出，但反之不
一定，因为，即为或。 当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调
性。∴是为增函数的必要不充分条件。函数的单调 性是函数一条重要性质，也
是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数
的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调
区间，避免讨论以 上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨
论问题，要谨慎处理。四单调区间的求解过程 ，已知(1)分析的定义域；(2)求
导数(3)解不等式，解集在定义域内的部分为增区间(4)解不 等式，解集在定义
域内的部分为减区间。我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三
个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，
前提条件都是函数在某个 区间内可导。③求极值、求最值。注意：极值≠最值。
函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大 值和f(a)、f(b)中最大的一个。最小
值为极小值和f(a)、f(b)中最小的一个。f(x0 )=0不能得到当x=x0时，函数
有极值。但是，当x=x0时，函数有极值f(x0)=0判断极值 ，还需结合函数的
单调性说明。4.导数的常规问题：(1)刻画函数(比初等方法精确细微)；(2) 同
几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线)；(3)应用问题(初等方
法往往技 巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数问题属于
较难类型。2.关于函数特征，最 值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求
最值要比初等方法快捷简便。3.导数与解析几何或函数图 象的混合问题是一种
重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。四、不等式一、不等式的基本性质：注意：(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，
此法尤其适用于不 成立的命题。(2)注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：
①若ab 0，则。即不等式两边同号 时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负 号，如果正负号未

定，要注意分类讨论。③图象法：利用有关函数的图象(指数函数、对 数函数、
二次函数、三角函数的图象)，直接比较大小。④中介值法：先把要比较的代数
式与比 ，与比，然后再比较它们的大小二、均值不等式：两个数的算术
平均数不小于它们的几何平均数。若，则 (当且仅当时取等号)基本变形：①；；
②若，则，基本应用：①放缩，变形；②求函数最值：注意：① 一正二定三取
等；②积定和小，和定积大。当(常数)，当且仅当时，；当(常数)，当且仅当
时，；常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数的最小值。②若正数满足，
则的最小值。三、绝对值不 等式：注意：上述等号成立的条件；四、常用的
基本不等式：(1)设，则(当且仅当时取等号)(2) (当且仅当时取等号)；(当且仅
当时取等号)(3)；；五、证明不等式常用方法：(1)比较法：作 差比较：作差比
较的步骤：⑴作差：对要比较大小的两个数(或式)作差。⑵变形：对差进行因
式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。⑶判断差的符号：结合变形的结
果及题设条件判断差的符 号。注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它
们的平方差来比较大小。(2)综合法：由因导果。 (3)分析法：执果索因。基本
步骤：要证…只需证…，只需证…(4)反证法：正难则反。(5)放缩 法：将不等
式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：⑴添加或舍去一些
项，如 ：；⑵将分子或分母放大(或缩小)⑶利用基本不等式，如：；⑷利用常
用结论：Ⅰ、；Ⅱ、；(程度大 )Ⅲ、；(程度小)(6)换元法：换元的目的就是减
少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简， 常用的换元有三角换元和代
数换元。如：已知，可设；已知，可设()；已知，可设；已知，可设；(7 )构造
法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；六、不等式的
解法：(1 )一元一次不等式：Ⅰ、：⑴若，则；⑵若，则；Ⅱ、：⑴若，则；⑵
若，则；(2)一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形
为二次项系数大于零；注：要对进行讨论：(5)绝对值 不等式：若，则；；注意：
(1).几何意义：：；：；(2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去 绝对值的
方法有：⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若
则；②若 则；③若则；(3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边
为非负值。(4).含有多个绝 对值符号的不等式可用按零点分区间讨论的方法
来解。(6)分式不等式的解法：通解变形为整式不等式 ；⑴；⑵；⑶；⑷；(7)
不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，
即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条
数轴上，取它们的 公共部分。(8)解含有参数的不等式：解含参数的不等式时，

首先应注意考察是否需要 进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：①
不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这 个式子的正、负、零性.②在
求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数 进
行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口
方向，对应的 一元二次方程根的状况(有时要分析△)，比较两个根的大小,设根
为(或更多)但含参数，要分、、讨 论。五、数列本章是高考命题的主体内容之
一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决 下述几个问题：
(1)等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前
项和，则其通项为若满足则通项公式可写成.(2)数列计算是本章的中心内容，
利用等差数列和等比 数列的通项公式、前项和公式及其性质熟练地进行计算，
是高考命题重点考查的内容.(3)解答有关数 列问题时，经常要运用各种数学思
想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标.① 函数思想：
等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是的函数，所以等差等比数列的
某些问 题可以化为函数问题求解.②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为
及；已知求时，也要进行分类； ③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆
板使用公式求解的思维定势，运用整体思想求解.(4)在 解答有关的数列应用题
时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模
仿和套用所能完成的 .特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.一、
基本概念：1、数列的定义及表示方法：2、 数列的项与项数：3、有穷数列与无
穷数列：4、递增(减)、摆动、循环数列：5、数列{an}的通 项公式an：6、数
列的前n项和公式Sn：7、等差数列、公差d、等差数列的结构：8、等比数列、
公比q、等比数列的结构：二、基本公式：9、一般数列的通项an与前n项和
Sn的关系：a n=10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d(其中
a1为 首项、ak为已知的第k项)当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，
an是一个常数。11 、等差数列的前n项和公式：Sn=Sn=Sn=当d≠0时，Sn是关
于n的二次式且常数项为0；当 d=0时(a1≠0)，Sn=na1是关于n的正比例式。
12、等比数列的通项公式：an=a1 qn-1 an=ak qn-k(其中a1为首项、ak为已
知的第k项，an≠0)13、等比数列 的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1(是关
于n的正比例式)；当q≠1时，Sn=Sn=三 、有关等差、等比数列的结论14、等
差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-S m、S3m-S2m、S4m-
S3m、…仍为等差数列。15、等差数列{an}中，若m+n=p+ q，则16、等比数列

{an}中，若m+n=p+q，则17、等比数列{an}的任 意连续m项的和构成的数列Sm、
S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、…仍为等比数列。 18、两个等差数列{an}与{bn}
的和差的数列{an+bn}、{an- bn}仍为等差数列。19、两个等比数列{an}与{bn}
的积、商、倒数组成的数列{an bn }、、仍为等比数列。20、等差数列{an}的任
意等距离的项构成的数列仍为等差数列。21、等比 数列{an}的任意等距离的项
构成的数列仍为等比数列。22、三个数成等差的设法：a-d,a,a +d；四个数成等
差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法：aq ,a,aq；四个数
成等比的错误设法：aq3,aq,aq,aq3(为什么?)24、{an}为等 差数列，则(c 0)
是等比数列。25、{bn}(bn 0)是等比数列，则{logcbn}(c 0且c 1)是等差数列。
26.在等差数列中：(1)若项数为，则(2)若数为则，，27.在等比 数列中：(1)若
项数为，则(2)若数为则，四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。28、分组法求数列的和：
如an=2n+3 n 29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n 30、裂项法求和：如
an=1n(n+1) 31、倒序相加法求和：如an=32、求数列{an}的最大、最小项的方
法：①an+1-an=… 如an=-2n2+29n-3②(an 0)如an=③an=f(n)研究函数f(n)的
增减性如 an=33、在等差数列中,有关Sn的最值问题--常用邻项变号法求解：
(1)当0,d 0时，满足的项数m使得取最大值.(2)当0,d 0时，满足的项数m使
得取最小值。在解含绝对值 的数列最值问题时,注意转化思想的应用。六、平面
向量1.基本概念：向量的定义、向量的模、零向量 、单位向量、相反向量、共
线向量、相等向量。2.加法与减法的代数运算：(1).(2)若a=() ,b=()则a b=().
向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。以向量=、= 为邻
边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量=+,=-,=-且有||-||≤||≤||+| |.
向量加法有如下规律：+=+(交换律)；+(+c)=(+)+c(结合律)；+0=+(-)= 0.3.实
数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。(1)||=||·||；(2)当>0时，与
的方向相同；当<0时，与的方向相反；当=0时，=0.(3)若=()，则·=().两个
向量共线的充要条件：(1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实
数，使得b=.(2) 若=(),b=()则‖b.平面向量基本定理：若e1、e2是同一平面
内的两个不共线向量，那么对 于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，
使得=e1+e2.4.P分有向线段所成的比：设P 1、P2是直线上两个点，点P是上
不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使=，叫做点P分有 向线段所成的
比。当点P在线段上时，>0；当点P在线段或的延长线上时，<0；分点坐标公
式：若=；的坐标分别为(),(),()；则(≠-1)，中点坐标公式：.5.向量的数量

< br>积：(1).向量的夹角：已知两个非零向量与b，作=,=b,则∠AOB=()叫做向量与
b 的夹角。(2).两个向量的数量积：已知两个非零向量与b，它们的夹角为，
则·b=||·|b|c os.其中|b|cos称为向量b在方向上的投影.(3).向量的数量积
的性质：若=(),b=( )则e·=·e=||cos(e为单位向量)；⊥b·b=0(，b为非零
向量)；||=；cos= =.(4).向量的数量积的运算律：·b=b·；
()·b=(·b)=·(b)；(+b)·c=· c+b·c.6.主要思想与方法：本章主要树立数
形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数 的运算处理几何问题，特
别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计< br>算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是
一新的工具，它往往 会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合
考查，是知识的交汇点。七、立体几何1.平面 的基本性质：掌握三个公理及推
论，会说明共点、共线、共面问题。能够用斜二测法作图。2.空间两条 直线的
位置关系：平行、相交、异面的概念；会求异面直线所成的角和异面直线间的
距离；证明 两条直线是异面直线一般用反证法。3.直线与平面①位置关系：平
行、直线在平面内、直线与平面相交 。②直线与平面平行的判断方法及性质,判
定定理是证明平行问题的依据。③直线与平面垂直的证明方法 有哪些?④直线与
平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900}⑤三垂线定理及
其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理.三垂线定理及其逆定理主要用于证
明垂直关系与空 间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，
确定点到直线的垂线.4.平面与平面( 1)位置关系：平行、相交，(垂直是相交的
一种特殊情况)(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性 质。(3)掌握平面与平面
垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，
可以证明线面垂直。(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→(5)二面角。
二面角的 平面交的作法及求法：①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在
计算时要解斜三角形；②垂线、斜线 、射影法，一般要求平面的垂线好找，一
般在计算时要解一个直角三角形。③射影面积法，一般是二面交 的两个面只有
一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法?具体的公式高中数学公式大全
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