高中数学公式文档

公式分类
乘法与因式分
解
三角不等式
|a-b|≥|a|-|b|
一元二次方程
-b+√(b2-4ac)2a
a2-b2=(a+b)(a-b)
|a+b|≤|a|+|b|
公式表达式
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
|a-b|≤|a|+|b|
-|a|≤a≤|a|
-b-b+√(b2-4ac)2a
|a|≤b<=>-b≤a≤b


的解
根与系数的关
系
X1+X2=-ba X1*X2=ca
b2-4a=0
判别式 b2-4ac>0
b2-4ac<0
三角函数公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
两角和公式
tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)(ctgB+ctgA)
tan2A=2tanA(1-tan2A)
倍角公式
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
sin(A2)=√((1-cosA)2)
cos(A2)=√((1+cosA)2)
半角公式
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA))
ctg(A2)=√((1+cosA)((1-cosA))
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)
和差化积 sinA+sinB=2sin((A+B)2)cos((A-B)2
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)2
某些数列前n2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
项和
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)24
正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB
圆的标准方程 ( x-a)2+(y-b)2=r2
圆的一般方程 x 2+y2+Dx+Ey+F=0
抛物线标准方y2=2px y2=-2px
注：韦达定理
注：方程有相等的两实根
注：方程有一个实根
注：方程有共轭复数根
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A-B)=(tanA- tanB)(1+tanAtanB)
ctg(A-B)=(ctgActgB+1)(ctgB- ctgA)
ctg2A=(ctg2A-1)2ctga
sin(A2)=-√((1-cosA)2)
cos(A2)=-√((1+cosA)2)
tan(A2)=-√((1-cosA)((1+cosA))
ctg(A2)=-√((1+cosA)((1-cosA))
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
cosA+cosB=2cos((A+B)2)sin((A-B)2)
tanA- tanB=sin(A-B)cosAcosB
-ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
12+22+32+42+52+62+72+82+…
+n2=n(n+1)(2n+1)6
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…
+n(n+1)=n(n+1)(n+ 2)3
注：
其中 R 表示三角形的外接圆半径
注：角B是边a和边c的夹角
注：（a,b）是圆心坐标
注：D2+E2-4F>0
x2=2py x2=-2py

程
直棱柱侧面积 S =c*h
正棱锥侧面积 S =12c*h'
斜棱柱侧面积
正棱台侧面积
S=c'*h
S=12(c+c')h'
S=4pi*r2


圆台侧面积 S=12(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积
圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h
弧长公式 l=a*r
圆锥侧面积 S=12*c*l=pi*r*l
s=12*l*r

a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式
圆锥体体积公式

圆柱
V=13*pi*r2h 锥体体积公式 V=13*S*H
斜棱柱体积 V=S'L
柱体体积公式 V=s*h
注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长


高中数学公式大全下载总结 2011高考数学万能必备公式常用记忆技巧全攻略

































常用的诱导公式有以下几组：
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)
cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)
tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)
cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六：
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin(π2+α)=cosα
cos(π2+α)=-sinα
tan(π2+α)=-cotα
cot(π2+α)=-tanα
sin(π2-α)=cosα

cos(π2-α)=sinα

tan(π2-α)=cotα

cot(π2-α)=tanα

sin(3π2+α)=-cosα

cos(3π2+α)=sinα

tan(3π2+α)=-cotα

cot(3π2+α)=-tanα

sin(3π2-α)=-cosα

cos(3π2-α)=-sinα

tan(3π2-α)=cotα

cot(3π2-α)=tanα

(以上k∈Z)

注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

诱导公式记忆口诀

※规律总结※

上面这些诱导公式可以概括为：

对于π2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，

①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变;

②当k是奇数时，得到α相 应的余函数值，即
sin→cos;cos→sin;tan→cot，cot→tan.

(奇变偶不变)

然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

(符号看象限)

例如：

sin(2π-α)=sin(4·π2-α)，k=4为偶数，所以取sinα。

当α是锐角时，2π-α∈(270°，360°)，sin(2π-α)<0，符号为“-”。

所以sin(2π-α)=-sinα

上述的记忆口诀是：

奇变偶不变，符号看象限。

公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·3 60°+α(k∈Z)，-α、
180°±α，360°-α

所在象限的原三角函数值的符号可记忆

水平诱导名不变;符号看象限。

#

各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正;二
正弦(余割);三两

切;四余弦(正割)”.

这十二字口诀的意思就是说：

第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;

第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“-”;

第三象限内切函数是“+”，弦函数是“-”;

第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”.

上述记忆口诀，一全正，二正弦，三内切，四余弦

#

还有一种按照函数类型分象限定正负：

函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

正弦 。。。。。。。。。。。+。。。。。。。。。。。。+。。。。。。。。。。。。
—。

。。。。。。。。。。。—。。。。。。。。

余弦 。。。。。。。。。。。+。。。。。。。。。。。。—。。。。。。。。。。。。
—。

。。。。。。。。。。。+。。。。。。。。

正切 。。。。。。。。。。。+。。。。。。。。。。。。—。。。。。。。。。。。。
+。

。。。。。。。。。。。—。。。。。。。。

余切 。。。。。。。。。。。+。。。。。。。。。。。。—。。。。。。。。。。。。
+。

。。。。。。。。。。。—。。。。。。。。

同角三角函数基本关系

同角三角函数的基本关系式

倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

商的关系：

sinαcosα=tanα=secαcscα

cosαsinα=cotα=cscαsecα

平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

1+tan^2(α)=sec^2(α)

1+cot^2(α)=csc^2(α)

同角三角函数关系六角形记忆法

六角形记忆法：(参看图片或参考资料链接)

构造以“上弦、中切、下割;左正、右余、中间1”的正六边形为模型。

(1)倒数关系：对角线上两个函数互为倒数;

(2)商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上
函数值的乘积。

(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。由此，可得商数关系式。

(3)平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值
的平方和等于下面顶

点上的三角函数值的平方。

两角和差公式

两角和与差的三角函数公式

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)(1+tanα·tanβ)

二倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan2α=2tanα[1-tan^2(α)]
半角公式
半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)
sin^2(α2)=(1-cosα)2
cos^2(α2)=(1+cosα)2
tan^2(α2)=(1-cosα)(1+cosα)
另也有tan(α2)=(1-cosα)sinα=sinα(1+cosα)
万能公式
sinα=2tan(α2)[1+tan^2(α2)]
cosα=[1-tan^2(α2)][1+tan^2(α2)]
tanα=2tan(α2)[1-tan^2(α2)]
万能公式推导
附推导：
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα(cos^2(α)+sin^2(α))。 。。。。.*，
(因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)
再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα(1+tan^2(α))
然后用α2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

tan3α=[3tanα- tan^3(α)][1-3tan^2(α)]

三倍角公式推导

附推导：

tan3α=sin3αcos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)(cos2αcosα-sin2αsinα)


=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα- sin^3(α))(cos^3(α)-cosαsin^2(

α)-2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α=(3tanα-tan^3(α))(1-3tan^2(α))

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα

=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)

=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)

=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))

=4cos^3(α)-3cosα

即

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

三倍角公式联想记忆

★记忆方法：谐音、联想

正弦三倍角：3元 减 4元3角(欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音
似“正弦”))

余弦三倍角：4元3角 减 3元(减完之后还有“余”)

☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余
弦表示。

★另外的记忆方法：

正弦三倍角： 山无司令 (谐音为 三无四立) 三指的是“3倍”sinα，
无指的是减号， 四

指的是“4倍”， 立指的是sinα立方

余弦三倍角： 司令无山 与上同理

和差化积公式

三角函数的和差化积公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)2]·cos[(α-β)2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)2]·sin[(α-β)2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)2]·cos[(α-β)2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)2]·sin[(α-β)2]

积化和差公式

三角函数的积化和差公式

sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化积公式推导

附推导：

首先，我们知道sin(a+b )=sina*cosb+cosa*sinb，
sin(a-b)=sina*cosb- cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以，sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2

同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2

同样的，我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb- sina*sinb，
cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2

同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2

这样，我们就得到了积化和差的四个公式：

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2

有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化
积的四个公式。

我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=(x+y)2，
b=(x-y)2

把a，b分别用x，y表示就可以得到和差化积的四个公式：

sinx+siny=2sin((x+y)2)*cos((x-y)2)

sinx-siny=2cos((x+y)2)*sin((x-y)2)

cosx+cosy=2cos((x+y)2)*cos((x-y)2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)2)*sin((x-y)2)