高中数学教师解题说题比赛-高中数学教辅难一点的
重点公式
第零章
1、
a
2
?2ab?b
2
?(a?b)
2
2、
a
2
?b
2
?(a?b)(a?b)
?b?b
2
?4ac
3.一元二次方程的求根公式:
x?
(
b
2
?4ac?0
)
2a
4.韦达定理:
x<
br>1
?x
2
??
;
x
1
?x
2
?
第一章
第二章
一、不等式的性质
b
a
c
a
1、不等式两边同时加减一个数,不等号不变:
如:
a?b,
则有
a?c?b?c,
2、不等号两边同时乘除以一
个正数,不等号不变;不等号两边同时乘除以一个负数,不等
号变如:(1)
a?b,c?0<
br>,则有
ac?bc,
(2)
a?b,c?0
,则有
ac?bc
,
二、均值定理
a?b
?ab,其中a,b?R
?
,当且仅当a?b时取等号
2
三、不等式的解法
1.
一元一次不等式
ax?b(a?0)
:
解题步骤:
(1)当
a?0时,
解集为
?
x|x?
?
(2)当
a?0
时,解集为
?
x|x?
?
2.
二次函数
ax
2
?bx?c?0(a?0)
解题步骤:(1)令
ax
2
?bx?c?0
,解出其根
?
?
b
?
a
?
?
?
b
?
a
?
(2)根据
a
及所求出的根画图
(3)由图像及符号确定解集
3.分式不等式
f
0
(x)f(x)
?a,
0
?a
g
0
(x)g
0
(x)
解题步骤:(1)把不等
式化为分式不等式的标准形式,即
f(x)f(x)
?0,?0
g(x)g(x)
(2)
正正得正正负得负
f(x
)f(x)
??????????
f(x)g(x)?0?0
????
f(x
)g(x)?0?0
??????
负负得负负正得负
,
g(x)
<
br>g(x)
f(x)
??????
f(x)g(x)?0且g(x)?0?0??????
分母不能为零
(3)
g(x)
4、绝对值不等式
f(x)?a或f(x)?a
(其中
a
>0)
解题步骤:(1)在数轴上
描出?a和a的点
,原则上小于号取中间,大于号两边
(2)
取?a和a的中间
??????
?a?f(x)?
af(x)?a
??????
??????
f(x)??a或f(x)?af(x)?
a
??????
取-a和a两边
5、无理不等式
(1)
?????
{
f(x)?g(x)型
?????
?????????
1、
?????????
????????
2、
????????
当
g(x)小于零时
当g(x)大于等于零时
根号里式子
大于等于零
f(x)?
0,g(x)?0
f(x)?g(x)
f(x)?0,g(x)?0
(2)
f(x)?g(x)型
{
{
f(x)?[g(x)]
2
{<
br>g(x)?0
f(x)?0,
(3)
?????
{
f(x)?g(x)型
????
?
f(x)?[g(x)]
2
g(x)一定要
大于等于零
f(x
)?0,g(x)?0
log
a
n
n
n?loga,n?a
6、指数、对数不等式(常用公式()
a
解题步骤:(1)化为同底函数
(2)利用函数单调性比较大小
第三章
一、单调性
1.正比例函
数
f(x)?kx(k?0),当k?0时为增函数,当k?0时为减函数
2.一次
函数
f(x)?kx?b(k?0),当k?0时为增函数,当k?0时为减函数
3
.反比例函数f(x)?
k
(k?0),
x
当k?0时,函数在区间(??,
0)和(0,??)上是减函数,
当k?0时,函数在区间(??,0)和(0,??)上是增函数
4.二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
bb
)
上是减函数,在
(?,??)
上是增函数,
2a2
a
bb
当
a?0
,函数在区间
(?,??)
上是减函数,在
(??,?)
上是增函数
2a2a
当
a?0
,函数在区间
(??,?
5.对数函数y?log
a
x(a?0且a?1),当0?a?1
时,函数为减函数,当a?1时,函数为增函数
6.指数函数y?a
x
(a?0且a?
1),当0?a?1时,函数为减函数,当a?1时,函数为增函数
7,、单调性
的定义 (1)增函数:若
x
1,
x
2
?D
,且
x1
?x
2
,则有
f(x
1
)?f(x
2
)
(2)减函数:若
x
1,
x
2
?D
,且
x
1
?x
2
,则有
f(x
1
)?f(
x
2
)
二、.最值
1二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
4a
c?b
2
b
(1)当
a?0
,函数图像开口向上,当
x??
时,
y
min
?
4a
2a
4ac?b
2
b
当
a?0
,函数图像开口向下,当
x??
时,
y
max
?
4a
2a
(2)顶点式:
y
?a(x?m)
2
?n(a?0),其中(m,n)为抛物线顶点
(3)对称轴:
x??
b
2a
2.
利用基本不等式求值域:
a+b?2ab其中a?0,b?0,当且仅当a?b时取等号
第四章
一、幂的有关概念
n
?a??a?a(n?N
?
)
1.正整数指数幂:
a<
br>?????
n个
2.零指数幂:
a
0
?1,(a?0)
3.负整数指数幂:
a
?n
?
m
n1
,(a?0,n?N
?
)
a
n
4.正分数
指数幂:
a?
n
a
m
,(a?0,n,m?N
?
,
n?1)
5.负分数指数幂:
a
?
m
n
?
1
n
a
m
,(a?0,n,m?N
?
,n?1)
二、实数指数幂的运算法则
1.
a
m
?a
n
?a
m?n
2.
(a
m
)
n
?a
mn
3.
(a?b)
n
?a
n
?b
n
(注m、n?R,a?
0,b?0)
三、函数
y?a
x
(a?0且a?1,x?R)
叫做指数函数
四、 指数函数
y?a
x
(a?0,a?1)
(1)
a?1
(2)
0?a?1
性质:1、(1)(2)中
x?R
,
y?0
,函数的图像都通过点(
0,1)
2、(1)中的函数在
(??,??)
上是增函数,(2)中的函数在(??,??)
上是增函数
五、对数概念
1、如果
a
b<
br>?N(a?0且a?1)
,那么
b叫做以a为底N的对数,记作log
a
N?b
,其中
a叫做底,N叫做真数
,特别底,以10为底的对数叫做常用对数,
log
10
N可简记作lgN
2、对数的性质
(1)1的对数等于零,即
log
a
1?0(a?0且a?1)
(2).底的对数等于1,即
log
a
a?1(a?0且a?1)
3、对数的运算
(1).
log
a
(MN)?log
a<
br>M?log
a
N(a?0且a?1,M?0,N?0)
(2).
log
a
(
M
)?log
a
M?log
a
N(a?0且a?1,M?0,N?0)
N
(3).
loga
M
a
?alog
a
M(a?0且a?1,M?0)
(4)换底公式:
log
b
N?
log
a
M
(a?0,b?0且a?1,b?1,N?0)
log
a
b
(5)对数恒等式:
a
log
a
N
?N(a?0且a?1
,N?0)
六、对数函数
y?log
a
x(a?0,a?1)
(1)
a?1
(2)
0?a?1
性质:1、(1)(2)中
x?0
,
y?R
,函数的图像都通过点(
1,0)
2、(1)中的函数在
(??,??)
上是增函数,(2)中的函数在(??,??)
上是增函数
七、指数方程及解法
1.定义法:
af(x)
?b?f(x)?log
a
b
2.同底比较法:a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
八、对数方程及解法
?
f(x)?0
1.定义法:
log
a
f(x)?b?
?
b
f(x)?a
?
?
f(x)?0
?
2.同底比较法:
log
a
f(x)?loga
g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
的通项公式:
一、利用数列的前
n项和S
n
与n之间的关
系求出数列
?
a
n
?
?
S
1
,
(n?1)
S
n
?a
1
?a
2
?a
3????a
n
a
n
?
?
?
S
n
?S
n?1
,(n?2)
二、等差数列通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d
三、等差数列前
n
项和公式
记
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
????a
n
,则
Sn
?
四、等差中项
对给定的实数
a与b,如果插入数A使得a,A,b成等差数列,则称A叫做a与b
的等差中项,且
A?
a?b
或2A?a?b
2
n
(a
1
?a
n
)
n(n?1)
或S
n
?n
a
1
?d
22
五、等差数列的性质
1.
在等差数列中,若正整数
m,n,p,q
满足
m?n?p?q
,则有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
(特殊地,若<
br>m?n?2p,则a
m
+a
n
?2a
p
)
六、等比数列通项公式
a
n
?a
1
q
n?1
(q?0)
七、等比数列前
n
项和公式
a?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
(q?1)或S
n
?
1
(q?1)
记
S
n
?a
1
?a
2
?a<
br>3
????a
n
,则
S
n
?
1?q1?q<
br>八、等差中项
对给定的实数
a与b,如果插入数G使得a,G,b成等比数列,则称G叫做a与b
的等比中项,且
G
2
?ab或G??ab
九、等比数列的性质
3. 在等比数列中,若正整数
m,n,p,q
满足<
br>m?n?p?q
,则有
a
m
a
n
?a
pa
q
(特殊地,若
m?n?2p,则a
m
a
n
?a
p
)
2
第六章
一、
180
0
?
?
二、弧长公式:
l?
?
?r(
?
为弧度数)
1
2
1
?
?r
2
(
?
为弧度数)
2
三、扇形的面积公式:
S
扇形
?lr?
四、任意角
的三角函数的定义
定义:在平面直角坐标系中,设点
P(x,y)是角
?
的
终边上的任意一点,且该点到原点的距离
为
r(r?0)
,则
r?x
2
?y
2
sin
?
?
yxy
,cos
?
?,tan
?
?
rrx
五、三角函数的符号
六、特殊角的三角函数值
0
0
1
0
1
1
0
无
sin
?
?tan
?
cos
?七、(1)平方关系:
sin
2
?
?cos
2
?
?1
(2商数关系:
十、诱导公式:
1.
cos(?
?
)?cos
?
,sin(?
?
)?sin
?
,
tan(?
?
)?tan
?
2、
cos(
??
?
)??cos
?
,sin(
?
?
?
)?sin
?
,tan(
?
?
?
)??tan
?
3、
cos(
?
?
?
)??cos
?<
br>,sin(
?
?
?
)??sin
?
,tan(
?
?
?
)?tan
?
4、
cos(2
?
?
?
)?cos
?
,sin(2
?
?
?
)?sin
?
,tan(2
?
?
?
)?tan?
5、
cos(2
?
?
?
)?cos
?
,sin(2
?
?
?
)??sin
?
,tan
(2
?
?
?
)??tan
?
??
6、<
br>cos(?
?
)??sin
?
,sin(?
?
)?c
os
?
22
??
7、
cos(?
?
)
?sin
?
,sin(?
?
)?cos
?
23
?
2
3
?
9、
cos(
2
8、cos(
2
3
?
?
?
)??sin
?
,sin(?
?
)??cos
?
2
3
?
?
?
)?sin
?
,sin(?
?
)??cos
?
2
十一、两角和与差的三角函数的公式
十二、倍角公式
十三、半角公式
sin
?
2
??
1?cos
?<
br>?
1?cos
?
cos??
222
十四、三角函数的图像与性质
1、
y?sinx
2、
y?cosx
定义式:R
定义式:R
值域:
?
?1,1
?
值域:
?
?1,1
?
周期性:最小正周期
T?2
?
周期性:最小正周期
T?2
?
奇偶性:
sin(?x)??sinx
奇函数
奇偶性:
cos(?x)?cosx
偶函数
单调性: 在[0,
3、
y?tanx
定义式:
?
xx?
值域:R
周期性:最小正周期
T?
?
奇偶性:
tan(?x)??tanx
奇函数
单调性:在[0,
?
] 递增
2
?
?
?
?
] 递增
单调性: 在[0, ] 递增
22
?
?
?k?
?
,k?Z
?
2
?
十五、正弦性函数:
y?Asin(
?
x?
?
)?k
或
y?Acos(
?
x?
?
)?k
十六、正切性函数:
y?Atan(
?
x?
?
)?k
最小正周期:T?
?
?
b
)
a
十七、
辅助公式:
y?asin
?
?bcos
?
?a
2
?
b
2
sin(
?
?
?
)
(其中
tan
?
?
十八、三角形中的边角关系
1.
A?B?C?
?
,大边对大角,大角对大边
2.直角三角形中:
A?B?C?
二十、余弦定理
二十一、正弦定理
abc
??
sinAsinBsinC
?
2
、c
2
?a
2
?b
2
、sinA?
ab
,si
nB?,sinC?1
cc
二十二、三角形面积
S
?ABC?
111
absinC?bcsinA?casinB
222
第七章
一、向量内积的概念与性质
1.两向量的夹角
已
知两个非零向量
a与b
,作
OA?a,OB?b,
则
?AOB
是向量
a与b
的夹角,记作
a,b
规定
0
0
?a,b?180
0
2.内积的定义
a?b?a?bcosa,b
或
cosa,b?
a?b
ab
五、设A、B两点的坐标分别是(x
1
,y
1
)(x
2
,y
2
)则
AB?(x
2
,y
2
)?(x
1
,y
1
)?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1)
六、向量直角坐标运算
1.设
a?(a
1
,a<
br>2
)
,
b?(b
1
,b
2
)
则a?b?(a
1
,a
2
)?(b
1
,b
2)?(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
)<
br>
2.
?
a?
?
(a
1
,a
2)?(
?
a
1
,
?
a
2
)
3.若
a?(a
1
,a
2
)
,
b?(b<
br>1
,b
2
)
则
a?b?a
1
b
1<
br>?a
2
b
2
七、向量长度坐标运算
1.若
a?(a
1
,a
2
)
,则
a?a
1
2<
br>?a
2
2
2.若
A(x
1
,y
1
)B(x
2
,y
2
)
,则
AB?(x
2<
br>?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)2
八、中点公式
设
A(x
1
,y
1
)B(x
2
,y
2
)
,线段AB的中点坐标为
(x,y)
,则
x?
九、平移变换公式
1、点平移公式:
?
x?x
0
?a
1
若把点
P
0
(x
0
,y
0
)按向量a?(a
1
,a
2
)平移到点P(x,y),则
?
y?y?a
02
?
x
1
?x
2
y?y
2
,y?
1
22
等价于原来
(
x
0
,y
0
)?a(a
1
,a
2
)?后来
(x,y)
2、图像平移公式:
函数
y?f(x)的图像平移向量
a?(a
1
,a
2
)
后,得到的图像的
函数表达式为
y?a
2
?f(x?a
1
)
等价于
原来
f(x
0
,y
0
)?a(a
1
,a
2
)?
后来
f(x,y)
十、两向量平行于垂直的条件
设
a
?(a
1
,a
2
)
,
b?(b
1
,b2
)
,则
第八章
r
r
一、直线斜率的计算
1、倾斜角
?
求斜率:
k?tan
?
2、两点<
br>A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
求斜率:
k?
3、平行向量
a(x,y)
求斜率:
k?
r
r
y
1
?y
2
,
(其中
x1
?x
2
)
x
1
?x
2
y
x
x
y
4、垂直向量
a(x,y)
求斜率:
k??
二、直线的方程
1、点斜式
l:y?y
0
?k(x?x
0
)
2、斜截式
l:y?kx?b
3、一般式
l:Ax?By?C?0
三、两条直线的位置
1、若给出直线的点斜式如:
l
1
:y?k<
br>1
x?b
1
,
l
2
:y
2
?k2
x?b
2
(1)当
k
1
=
k2
,
b
1
?b
2
时
,
l
1<
br>l
2
(2)当
k
1
k
2
??
1
时,
l
1
?l
2
2、若给出直线的一般式如:
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?
0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
(1)
A
1
B
1
C
1<
br>??时
,
l
1
l
2
A
2B
2
C
2
(2)
A
1
A
2
?
B
1
B
2
?0
,
l
1
?l
2
四、待定系数法求直线方程
已知直线
l
:
Ax?By?C?0
,则
与
l
平行的直线方程可设为:
Ax?By?D?0
与
l
垂直的直线方程可设为:
Bx?Ay?D?0
五、点到直线的距离公式
1. 点到直线的距离公式
设点
P
0<
br>(x
0
,y
0
)
到直线
l
:
Ax?
By?C?0
的距离为
d
,则
d?
2. 两条平行直线间的距离公式
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
设
l
1
:A
1
x?B
1
y?C<
br>1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2y?C
2
?0
的距离为
d
,则
d?
六、圆的标
准方程
C
1
?C
2
A?B
22
圆心在
点
C(a,b)
,半径为
r
的圆的标准方程是
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
九、圆的一般方程
七、圆与直线的位置关系
直线
l
:
Ax?By?C?0
,圆C:
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
1. 直线与圆相离
?
圆心到直线
l
的距离
d?r
2. 直线与圆相切
?
圆心到直线
l
的距离
d?r
3. 直线与圆相交
?
圆心到直线
l
的距离
d?r
八、则过圆上点
P
0
(x
0
,y
0
)的圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的切
线方程为:
(x?x
0
)(x
0
?a)?(y?y
0
)(y
0
?b)?0
九、椭圆的标准方程和几何性质
定义:M
为椭圆上的点
MF
1
?MF
2
?2a(2a?F
1
F
2
)
焦点位置:(1)
x
轴
(2)
y
轴
x
2
y
2
y
2
x<
br>2
1、标准方程:
2
?
2
?1
标准方程:
2
?
2
?1
abab
2、(1)(2
)参数关系:
c
2
?a
2
?b
2
(a?b?0)<
br>
3、焦点:
F
1
(?c,0)、F
2
(c,0)
焦点:
F
1
(0,?c)、F
2
(0,c)
4、顶点:
A(?a,0)、B(0,?b)
顶点:
A(0,?a)、B(?b,0)
5、轴长:长轴长
2a
;短轴长
2b
轴长:长轴长
2a
;短轴长
2b
6、(1)(2)离心率:
e?
c
,
焦距:
2c
a
十、双曲线的标准方程和几何性质
定义:M为双曲
线上的点
MF
1
?MF
2
?2a(0?2a?F
1
F
2
)
焦点位置:(1)
x
轴
(2)
y
轴
x
2
y
2
y
2
x
2
1、标准方程:
2
?
2
?1
标准方程:
2
?
2
?1
abab
2、(1)(2
)参数关系:
c?a
2
?b
2
(a?0,b?0)
3、焦点:
F
1
(?c,0)、F
2
(c,0)
焦点:
F
1
(0,?c)、F
2
(0,c)
4、顶点:
A(?a,0),B(a,0)
顶点:
A(0,?a),B(0,a)
5、轴长:实轴长
2a
;虚轴长
2b
轴长:实轴长
2a
;虚轴长
2b
6、渐近线:
y??x
渐近线:
y??x
7、(1)(2)离心率:
e?
c
,
焦距:
2c
a
b
a
a
b
十一、抛物线的标准方程和几何性质
焦点位置:(1)
x
轴
(2)
y
轴
标准方程:
y
2
?2ax
标准方程:
y
2
?2ax
焦点:
F(,0)
焦点:
F(0,)
准线:
l:x??
准线:
l:y??
第九章
一、两个计算原理
1、分类:完成一
件事情有
n
种类型,而每种类型对应有
m
1
,m
2
,m
3
,m
4
...m
n
种方法,则完成这
件事情
一共有
m
1
?m
2
?m
3
?m
4
...?m
n
种方法。
2、分步:完成一件事情有
n
步骤,而每个
步骤对应有
m
1
,m
2
,m
3
,m
4...m
n
种方法,则完成这件
事情一共有
m
1
m2
m
3
m
4
...m
n
种方法。
二、排列与组合
1、只排列:有位置对应,如:有七个位置七个人去排队,一共有
A
7
7
种可能
2、只组合:组队,没位置对应,如:从六个人中选出两人去参
加比赛,一共有
C
6
2
种可能
3、组合且排列:既要组队又要有位
置对应,如:从六个人中选出两人去分别参加数学、语
文比赛,一共有
C
6
2
A
2
2
种可能
a
2
a
2
a2
a
2
三、频数(概率)与频率
频数:在
n<
br>次重复试验中,事件A发生了
m
次,
m
叫做事件A发生的频率
频率(概率):事件A的频率在试验的总次数中所占得比例
四,概率:P(A)=A含有的基本事件<
br>基本事件总数=
五、总体与样本
(1)总体:在统计中,所研究对象的全体
(2)个体:组成总体的每个对象
(3)被取出来的个体的集合
(4)样本容量:样本所含个体的数目
.六、抽样
1、系统抽样
2、分层抽样
七、频率直方分布图
1、X轴代表是组距
2、Y轴代表是频率组距
m
,叫做事件A发生的频率
n
m
n
3、每组的频率等于对应矩形的面积,即:频率=组距x(频率组距)
4、矩形的面积和为1
七、均值和标准差、方差
1、平均值:
x?(x<
br>1
?x
2
?...x
n
)
2、标准差:<
br>s?
1
n
1
[(x
1
?x)
2
?(
x
2
?x)
2
?...(x
n
?x)
2
]
n
1
n
3、方差:
s
2
?[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?...(xn
?x)
2
]
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